第二十二章 二次函数章节进阶练习 (1) 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数章节进阶练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次函数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（    ）． A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过点，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 4．如图二次函数的图象，与轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③当时，随的增大而增大．正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线经过点，且当时，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知二次函数y=x2﹣2x﹣c的图象上有A（2，y1），B（3，y2），下列结论正确的是（ ） A．y1＜y2 B．y2＜y1 C．y1=y2 D．不能确定 8．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 9．二次函数，当时，函数值y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的系数具有这样的等差关系：，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数的图象上，那么与的大小关系是 ． 12．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上任意一点，则长的最小值为 ． 13．将抛物线y＝x2+x向下平移3个单位再向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 14．如图，长为9cm，宽为6cm的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A，B（阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A与矩形B面积和的最小值是 ． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线上的一个动点，连接、，当时，点P的坐标为 ． 三、解答题 16．已知二次函数的顶点为，且过点； (1)求二次函数的解析式； (2)画出该函数图象； 17．已知抛物线． (1)求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 18．伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在市场上的销售量y（吨）与销售价x（万元）之间的函数关系为y＝-x＋2.6 （1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？ （2）当每吨销售价为多少万元时利润最大？并求出最大利润是多少？ 19．一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系.    (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围. 20．已知二次函数的图象经过，，三点，且 (1)当时，求点A和点B的坐标； (2)将点C先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得点D，若点D恰好落在该二次函数的图象上，求n的值； (3)当时，n的最大值为5，n的最小值是，直接写出a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D D D A B B A 1．B 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可． 【详解】解：， ∴当x=−1时，二次函数取得最小值为2． 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数的最值，解题关键在于化为顶点式． 2．A 【分析】根据二次函数图象平移时上加下减，左加右减进行求解即可． 【详解】解：由题意知二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于掌握二次函数图象平移时上加下减，左加右减． 3．D 【分析】二次函数y=a（x-m）2（a＜0）开口向下，对称轴为直线x=m，根据抛物线上的点与直线x=m的距离越小对应的y值就越大即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵y=a（x-m）2（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m， ∴当抛物线上的点与直线x=m的距离越小，对应的y值就越大， ∵A（-1，p），B（3，q），且p＜q， ∴B点到直线x=m的距离小于A点到直线x=m的距离， ∴m≥3，或m+1＞3-m， 解得m＞1， 而只有＞1， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 4．D 【分析】由抛物线开口方向及与轴的交点位置可判断①；根据二次函数与轴的交点坐标可判断②；由图象的对称轴，结合图象的开口方向，则可判断③；则可求得答案．本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与一元二次方程的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 【详解】解：抛物线开口向上、与轴的交点在轴的下方， ，， ，故①正确； ∵二次函数的图象，与轴交于、点， ∴方程的根是， ∴②是正确的； 抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，故③正确； 综上可知说法正确的有①②③， 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考二次函数图象与系数之间的关系，解决问题的关键是利用对称轴求与的关系，以及二次函数特殊值的运用． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与或进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A、由函数图象开口向下可知，，由图象与轴的交点在轴正半轴可知，，由对称轴，，可知， 所以，故A选项错误，不符合题意； B、当时，对应得到，故B选项错误，不符合题意； C、由图象知：当时，， ∴，故C选项错误，不符合题意； D、由对称轴得，又，代入得， ∴得，故D正确，符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】根据二次函数的定义通过经过的定点进行计算，得到一个关系式，再将另一个点的横坐标代入，得到另一个方程，最后求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，且与x轴至少有一个交点， ∴，且， ∵当时，， 当时，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求解． 7．A 【详解】试题分析：先利用配方法得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大． 解：∵y=x2﹣2x﹣c=（x﹣1）2﹣c﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵2＜3， y1＜y2． 故选A． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 8．B 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，该选项不符合题意； B、是二次函数，该选项符合题意； C、是一次函数，该选项不符合题意； D、不是二次函数，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．其一般形式为，其中，且a、b、c是常数． 9．B 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大和最小值即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， 当-1≤x≤0时，y随x的增大而减小， ∴当x=-1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0， 当0≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x=3时，y有最大值9，当x=0时，y有最小值0， ∴当-1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性分别求得ｙ的最大值和最小值是解题的关键． 10．A 【分析】根据题意可得方程组解方程组得出，．将代入，化简即可得出结论． 【详解】由题意，得由①得，代入②得，． 由①得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用方程组解答． 11．． 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】∵二次函数的开口向下，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵，∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 12．3 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴长的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 13．y＝x2-3x-1 【分析】将原抛物线解析式进行配方，再根据二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：∵y＝x2+x=(x+)2-， ∴将抛物线向下平移3个单位可得y =(x+)2--3=(x+)2-， 再向右平移2个单位可得y =(x+-2)2-=(x-)2-， 即y＝x2-3x-1． 故答案为y＝x2-3x-1． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题的关键是掌握二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律． 14． 【分析】设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x，根据图形表示出矩形A与矩形B面积，求出面积和的表达式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设其余5块形状、大小完全相同的小矩形的短边为x， 根据图中各边关系可得： ， ， ∴， 当时，，符合题意， ∴矩形A与矩形B面积和的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查了矩形的性质、二次函数的应用及最值问题，理解题意，表示出两个矩形的面积是解题关键． 15．或或 【分析】根据，求出抛物线的解析式，设点P的坐标为，再根据得到，得到，分别根据和进行求解即可得到答案． 【详解】解：如下图所示， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为， ∴，，， 解得：，， ∴抛物线的解析式为：； 设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴当P点的坐标分别为或或时，； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用建立方程求出P的点纵坐标． 16．(1) (2)见解析 【分析】（1）设二次函数顶点式为，然后根据为顶点坐标，且过点；将其代入求解出，再化为一般式即可； （2）根据五点法画出图象即可． 【详解】（1）解：设二次函数顶点式为， 二次函数的顶点为，且过点； ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：函数图象如图所示：   ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．设二次函数的解析式方程时，要根据已知条件来决定设顶点式方程、一般式方程还是两根式方程． 17．(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 【详解】（1）证明：令， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）解：该抛物线与轴两交点为和， 是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 解得 18．（1）当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元；（2）每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元． 【分析】（1）由销售量y=-x+2.6，而每吨的利润为x-0.4，所以w=y（x-0.4）； （2）解出（2）中的函数是一个二次函数，对于二次函数取最值可使用配方法. 【详解】解：（1）设销售利润为w万元，由题意可得： w=（x-0.4）y=（x-0.4）（-x+2.6）=-x2+3x-1.04， 令w=0.96，则-x2+3x-1.04=0.96 解得x1=1，x2=2， 答：当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元； （2）w=-x2+3x-1.04=-（x-1.5）2+1.21， 当x=1.5时，w最大=1.21， ∴每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是掌握题中的数量关系，列出相应方程和函数表达式. 19．(1) (2)球不能射进球门 (3) 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，然后将点代入即可解答； （2）令，求得函数值，然后与比较即可解答； （3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，把点、分别代入求得n的值，据此确定n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线为， 把点代入得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令时，． ∴球不能射进球门． （3）解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：，解得：（舍去）或， 把点代入得：，解得：（舍去）或， ∴足球恰好经过区域（含点但不含点）时，n的取值范围为． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． 20．(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化——平移，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可知，，关于抛物线的对称轴对称，故把代入解析式得到关于的方程，解方程即可求得点和点的坐标； （2）表示出点的坐标，然后把的坐标代入解析式，得到关于的方程组，解方程组即可； （3）把代入抛物线解析式求得对应的的值，然后根据二次函数的性质即可求得的取值范围． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过，， ，，关于抛物线的对称轴对称， 当 时， 则 ，即， 解得 ； （2）将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得点， ∵， ， ∵点在该二次函数的图象上， ，解得 ， ∴的值为 （3）当 时，的最大值为，的最小值是， ， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 把 代入 得 ， 解得： ∴当或5时，有最大值为， 当时，有最小值， ∴的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$