福建省多校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

2024～2025学年高三11月测评（福建） 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为 A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则 A. B. C. D. 6.定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则 A.1 B.3 C. D. 7.数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，为数列的前项和，则 A. B. C. D. 8.函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数最小值为4的是 A. B. C. D. 10.已知函数，则下列说法正确的是 A.当时，的最小正周期为 B.函数过定点 C.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为 D.函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 11.已知正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是 A.的面积为 B.三棱锥体积的最大值为 C.若平面，则点的轨迹长度为 D.当点为的中点时，到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数，则______. 13.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则______. 14.记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知等差数列的前项和为，若，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前项和. 16.（本小题满分15分） 如图所示，，分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点. （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值. 17.（本小题满分15分） 函数，其中为整数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的最大值. 18.（本小题满分17分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的面积； （3）在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 19.（本小题满分17分） 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间. （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有. ①将不等关系转化为对应的不等式； ②证明：当，时，恒成立. 2024～2025学年高三11月测评（福建）•数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C B C B D 题号 9 10 11 答案 BCD BC ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】易得，，则，所以，故选B. 2.【答案】C 【解析】，在复平面内对应的点在第三象限，故选C. 3.【答案】A 【解析】若，易得，或者，，可推出，反之，若，无法推出，故选A. 4.【答案】C 【解析】因为，所以，即，可得，则在方向上的投影向量为，故选C. 5.【答案】B 【解析】根据三角函数的定义，，即，解得，即，易得是第四象限角，，，解得，故选B. 6.【答案】C 【解析】，，解得，，，设，函数的对称轴为，当时，，解得或者（舍）.当时，，解得（舍）.故选C. 7.【答案】B 【解析】易得，，所以，显然当为偶数时，，当为奇数时，，此时，因此.故选B. 8.【答案】D 【解析】将条件变形为，构造函数，则，则，即，所以，，，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，则的最小值为.故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】A选项错误，，当时，最小值为2； B选项正确，，当且仅当，即时，等号成立； C选项正确，，当且仅当时等号成立. D选项正确，，当且仅当，即时等号成立，故选BCD. 10.【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分） 【解析】A选项错误，当时，最小正周期； B选项正确，，与的取值无关； C选项正确，向左平移个单位长度后的函数解析式，令，，解得，当时，的最小正值为； D选项错误，令，即，解得或，，，即或者，要使得在区间上恰好有5个零点，令，满足，解得.故选BC. 11.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】A选项正确，是边长为的等边三角形，； B选项错误，由三垂线定理易得，平面，要使得三棱锥体积达到最大值，只需点与点重合.设与平面的交点为，由等体积法得，，而，所以，此时三棱锥的体积为； C选项正确，点在正三角形上，其轨迹长度为； D选项正确，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，在上的投影长度为，故到的距离为 ，故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案及评分细则】（5分，其他结果均不得分） 【解析】，，. 13.【答案及评分细则】2（5分，其他结果均不得分） 【解析】，由正弦定理得，，解得，由余弦定理得，，，解得，（舍），所以. 14.【答案及评分细则】或或（5分，结果正确均得分） 【解析】的定义域为.令， 即， 如图所示，不妨设， 因为，，所以， 解得：，代入条件得：， 化简得：， 即，， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】（1），（2） 【解析及评分细则】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得： ，解得：，…………………………………………………………………3分 通项公式，……………………………………………………………………………4分 前项和；…………………………………………………………………6分 （2），……………………………………………………………………………7分 …………………………………………………………9分 ①—②： ……………………………………………………………………12分 所以.……………………………………………………………………………………………13分 16.【答案】（1）详见解析（2） 【解析及评分细则】（1）设的中点为，连接，，，，， 在中，为三角形的中位线，所以，，…………………………………2分 因为，分别为半圆弧上的两个三等分点， 为等边三角形，， 所以，，………………………………………………………………………………4分 易得四边形为平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面；…………………………………………………………………………………………6分 （2）解法一： 过作的垂线，则垂足为的中点，过作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面平面， 平面平面，，所以平面，，…………………8分 又因为，，所以平面，， 则为平面与平面的夹角， 设底面半径为，则，…………………………………………………………………………11分 ，，………………………………………………………………………13分 在中，，即，…………………………………14分 所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.……………15分 解法二： 作的中点，连接，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2， 则，，，，，，9分 由图形可知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以是平面的一个法向量，………………………………………………………13分 ， 即平面与平面的夹角的余弦值为.………………………………………………………15分 17.【答案】（1）（2）2 【解析及评分细则】（1）当时，，，即切点坐标为，，切线斜率，…………………………………………………………3分 由点斜式得，切线方程为，即；…………………………5分 （2）当时，，则恒成立，……………………………………………6分 当时，，，………………………………………………………8分 两边同时取对数，则， 问题等价于恒成立，…………………………………………………………10分 设且， ，……………………………………………………………………11分 当时，显然恒成立，则在区间上单调递增， ，满足题意， 当时，令，即，解得，则函数在区间上单调递减，此时，不符合题意，…………………………………………………………………14分 综上所述，整数的最大值为2.……………………………………………………………………………15分 18.【答案】（1）（2）（3） 【解析及评分细则】（1），…………………………………………1分 因为， 所以，…………………………………………………………………………………………2分 由正弦定理得：，即， 所以；………………………………………………………………………………………………………4分 （2）将余弦定理：代入得： ，…………………………………………………………………………5分 两边同时除以， ，………………………………………………………………7分 ，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，即， 由余弦定理得：，……………………………………………9分 即，的面积；……………………………………………11分 （3）由（1），（2）可知，，，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立直角坐标系，则，，……………………………………………………………12分 则，， ，， 所以（为变量）， 则，…………………………16分 所以的最小值为.…………………………………………………………………………17分 19.【答案】（1）详见解析（2）①②详见解析 【解析及评分细则】（1）易得函数的定义域为， ，…………………………………………………………………………………………………1分 设，，………………………………………………………………3分 当时，恒成立，在区间上单调递减， 当时，恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的凹区间为，凸区间为；………………………………………………………5分 （2）①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，，，，，，，，，由，有；8分 ②对不等式两边取对数，问题等价于，恒成立，………………………10分 构造函数，， 即恒成立，………………………………………………………………………12分 ，令，……………………………………………………13分 ，………………………………………………14分 令，即，解得，所以是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，由①知，即，当时，，………………………………16分 所以，时，恒成立，即恒成立.………………………………………………………………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$