河南省信阳市潢川县2024-2025学年八年级上学期期中教学质量监测数学试题

2024—2025 学年度上期期中教学质量监测 八年级数学参考答案与评分标准 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. D　 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图 形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【解答】解:选项 A、B、C 不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁 的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形,选项 D 能找到这样的一条直线,使图形沿 一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形,故选:D. 2. A　 【分析】先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围,然后根据取值范围即可 解答. 【解答】解:∵ 三角形两边的长分别是 3 和 5,∴ 第三边的取值范围为:5-3<第三边<5+ 3,即 2<第三边<8,∴ A 符合题意. 故选:A. 3. D　 【分析】先根据题意求出∠1,再根据三角形的外角性质计 算,得到答案. 【解答】解:由题意得:∠1 = 90°-60° = 30°,则∠α = 45°+30° = 75°,故选:D. 4. B　 【分析】设三角形的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,根据题意,不妨设∠A = ∠B+ ∠C;再根据∠A+∠B+∠C= 180°,即可求得∠A 的度数,从而可以判断三角形的形状. 【解答】解:设三角形的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,∵ 一个三角形的一个内角等于 另外两个内角之和,不妨设∠A= ∠B+∠C,∵ ∠A+∠B+∠C = 180°,∴ ∠A+∠A = 180°, ∴ ∠A= 90°,∴ 该三角形为直角三角形. 故选:B. 5. C　 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+ ∠ACB = 180° - ∠A = 140°,∠DBC+ ∠DCB= 180°-∠BDC= 90°,进而可求出∠ABD+∠ACD 的度数. 【解答】解:在△ABC 中,∵ ∠A = 40°,∴ ∠ABC+∠ACB = 180°-40° = 140°,在△DBC 中, ∵ ∠BDC= 90°,∴ ∠DBC+∠DCB= 180°-90° = 90°,∴ ∠ABD+∠ACD = 140°-90° = 50°; 故选:C. 6. B　 【分析】根据角平分线的定义,由 BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACE,得∠ABC= 2∠DBC, ∠ACE= 2∠DCE.根据三角形外角的性质,得∠A= 2∠D,从而推断出∠D= 1 2 ∠A= 40°. 【解答】解:∵ BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACE,∴ ∠ABC= 2∠DBC,∠ACE= 2∠DCE. ∴ ∠A= 2∠D. ∵ ∠A= 80°,∴ ∠D= 1 2 ∠A= 1 2 ×80° = 40°. 故选:B. 7. A　 【分析】利用 HL 证得 Rt△PEO 和 Rt△PDO 全等,即可得出∠AOP= ∠BOP,从而求 出∠AOP 的度数. 【解答】解:E 点标记在直尺边缘与 OA 交点处,过点 P 作 PD⊥OB 于点 D, )页7共(页1第　案答考参学数级年八 ∵ 两把直尺为完全相同的长方形,∴ PD =PE,∵ PE⊥OA,PD⊥ OB,∴ ∠PEO=∠PDO,在 Rt△PEO 和 Rt△PDO 中, PE=PD, PO=PO,{ ∴ Rt△PEO≌ Rt △PDO( HL),∴ ∠AOP = ∠BOP,∵ ∠AOB = 50°,∴ ∠AOP= ∠BOP= 25°,故选:A. 8. D　 【分析】分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形,再利用 三角形内角和定理和可求得顶角的度数. 【解答】解:①当为锐角三角形时可以画图,如图①,高与右边腰成 40°夹角,由三角形内 角和为 180°可得,顶角为 50°;②当为钝角三角形时可画图为如图②,此时垂足落到三 角形外面,因为三角形内角和为 180°,由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 50°, 所以三角形的顶角为 130°,所以该等腰三角形的顶角为 50°或 130°,故选:D. 9. B　 【分析】根据 SAS 可证得△ABC≌△EDC,可得出∠BAC = ∠DEC,继而可得出答案. 【解答】解:在△ABC 与△EDC 中, AB=ED, ∠D= ∠B, BC=CD, ì î í ïï ïï ∴ △ABC≌△EDC(SAS),∴ ∠BAC=∠1,∠1+∠2= 180°.故选:B. 10. C　 【分析】由 AD 垂直于 BC,CE 垂直于 AB,利用垂直的定义得到一对角为直角,再由 一对对顶角相等,利用三角形的内角和定理得到一对角相等,再由一对直角相等,以 及一对边相等,利用 AAS 得到三角形 AEH 与三角形 EBC 全等,由全等三角形的对应 边相等得到 AE=EC,由 EC-EH,即 AE-EH 即可求出 CH 的长. 【解答】解:∵ AD⊥BC,CE⊥AB,∴ ∠ADB = ∠AEH = ∠BEC = 90°,∵ ∠AHE = ∠CHD, ∴ ∠BAD = ∠BCE, ∵ 在 △HEA 和 △BEC 中, ∠BAD= ∠BCE, ∠AEH= ∠BEC, EH=EB, ì î í ïï ïï ∴ △HEA ≌ △BEC (AAS),∴ AE=EC= 4,则 CH=EC-EH=AE-EH= 4-3 = 1. 故选:C. 二、填空题(共 5 小题,满分 15 分,每小题 3 分) 11. 108　 【分析】根据正五边形的性质和图形全等 的性质得到∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 108°,再利用 邻补角的定义计算出∠OCD = ∠ODC = 72°,接 着根据三角形内角和定理计算出∠COD = 36°, 然后利用周角的定义计算出∠AOB 的度数. 【解答】解:如图,∵ 两图形为全等的正五边形,∴ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 108°,∴ ∠OCD = ∠ODC= 180°-108° = 72°,∴ ∠COD= 180°-72°-72° = 36°,∴ ∠AOB = 360°-∠1-∠3 )页7共(页2第　案答考参学数级年八 -∠COD= 360°-108°-108°-36° = 108°. 故答案为:108. 12. -3　 【分析】先根据关于 y 轴对称的点的坐标特点求出 m、n 的值,进而可得出结论. 【解答】解:∵ 点 A(2,m)和点 B(n,-1)关于 y 轴对称,∴ n= -2,m = -1,∴ m+n = -1-2 = -3. 故答案为:-3. 13. 90　 【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论. 【解答】解:在△OCF 与△ODG 中, ∠OCF= ∠ODG= 90°, ∠COF= ∠DOG, OF=OG, ì î í ïï ïï ∴ △OCF≌△ODG( AAS), ∴ CF=DG= 40cm,∴ 小明离地面的高度是 50+40 = 90(cm),故答案为:90. 14. 70°　 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可. 【解答】解:∵ 将△CBD 沿 CD 折叠,使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处,∠ACB = 90°, ∴ ∠BCD= ∠ECD= 45°,∠B= ∠CED,∵ ∠A = 25°,∴ ∠B = 90°-25° = 65°,∴ ∠CED = 65°,∴ ∠CDE= 180°-45°-65° = 70°,故答案为:70°. 15. 8　 【分析】如图,连接 CD,由于△ABC 是等腰三角形,点 D 是 AB 边的中点,可得出 CD⊥AB,再由 S△ABC = 12,即可得出 CD= 6,由 MN 是线段 BC 的垂直平分线,可知点 C 关于直 线 MN 的对称点为点 B,故 CD 的长为 BP+PD 的最小值,即 可得出答案. 【解答】解:如图,连接 CD,∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 AB 边的中点,∴ CD⊥AB,∴ S△ABC = 1 2 AB×CD= 1 2 ×4×CD = 12,解得 CD = 6,∵ MN 是线 段 BC 的垂直平分线,∴ 点 C 关于直线 MN 的对称点为点 B,∴ CD 的长为 BP+PD 的 最小值,∴ △PBD 的周长最短= (BP+PD) +BD=CD+ 1 2 AB= 6+ 1 2 ×4 = 8. 故答案为:8. 三、解答题(共 8 小题,满分 75 分) 16. 解:(1)如图所示:DH 即为所求; (5 分)……………………………………………………………… (2)∵ DH 垂直平分 BC, ∴ DC=DB,∴ ∠B= ∠DCB, ∵ ∠B+∠A= 90°,∠DCB+∠DCA= 90°, ∴ ∠A= ∠DCA, )页7共(页3第　案答考参学数级年八 ∴ DC=DA,∴ DA=DB, ∴ DC=DA=DB= 1 2 AB= 1 2 ×8 = 4 ∴ △ACD 的周长=AC+DA+DC= 5+4+4 = 13. (8 分)…………………………………… 【分析】(1)利用基本作图,作 BC 的垂直平分线即可; (2)根据线段垂直平分线的性质得到 DC = DB,则利用等角的余角相等得到∠A = ∠DCA,则 DC=DA= 1 2 AB,即可求出答案. 17. 解:(1)一扇窗户打开后,用窗钩 AB 可将其固定,这里所运用的几何原理是三角形的 稳定性,故答案为:三角形的稳定性; (2 分)…………………………………………… (2)把小河里的水引到田地 A 处,若使水沟最短,则过点 A 向河岸 l 作垂线,垂足为点 B,沿 AB 挖水沟即可,理由是垂线段最短. 故答案为:垂线段最短; (5 分)…………… (3)这样做合适. (6 分)………………………………………………………………… 理由:∵ AB∥CD,∴ ∠B= ∠C, 在△AEB 与△DEC 中, AB=CD, ∠B= ∠C, BE=CE, ì î í ïï ïï ∴ △AEB≌△DEC(SAS), ∴ AE=DE. (9 分)………………………………………………………………………… 【分析】(1)由三角形的稳定性即可得出答案;(2)由垂线的性质:垂线段最短,即可得 到答案;(3)首先证明△AEB≌△DEC,根据全等三角形的性质可得 AE=DE. 18. 解:任务 1:∵ BD⊥OA,CE⊥OA, ∴ ∠ODB= ∠OEC= 90°, ∵ ∠BOC= 90°,∠BOD+∠EOC= 90°,∠BOD+∠DBO= 90°, ∴ ∠OBD= ∠EOC, 在△BOD 和△OCE 中, ∠BDO= ∠OEC= 90°, ∠OBD= ∠EOC, BO=CO, ì î í ïï ïï ∴ △BOD≌△OCE(AAS); (4 分)……………………………………………………… 任务 2:设 OA 的延长线与地面交于 M,如图, ∵ △BOD≌△OCE, ∴ BD=OE= 1. 4m,EC=OD= 1. 8m, ∴ EM=OD+DM-OE= 1. 8+1-1. 4 = 1. 4(m) . (9 分)…… 【分析】任务 1:理由 AAS 可以证明△OBD 与△COE 全等; 任务 2:理由△BOD≌△OCE,得到 BD = OE = 1. 4m,EC = OD= 1. 8m,进而可求出当爸爸在 C 处接住小丽时,小丽距 离地面高度. 19. 解:(1)如图,△ABC 和△A′B′C′即为所求; (3 分)…………………………………… )页7共(页4第　案答考参学数级年八 (2)由题意可得,点 A′的坐标为( -a,b) . (6 分)……………………………………… 故答案为:( -a,b); (3)如图,点 P 即为所求. (9 分)………………………………………………………… 【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可; (2)根据关于 y 轴对称的点的坐标特征求解即可; (3)连接 A′C,与直线 l 交于点 P,连接 PA,此时 PA+PC 最短. 20. 解:(1)∵ 最小的等腰直角三角形的斜边长为 1, ∴ 中间大的等腰直角三角形的直角边为 1, ∴ A1(2,0), 由图可得 A2(5,0),A3(8,0), 由规律可得 A4(11,0),An(3n-1,0), 故答案为:(8,0);(11,0);(3n-1,0); (3 分)………………………………………… (2)由题图可知,图案每 3m 重复一次, ∵ 2 026÷3 = 675……1, ∴ 一共循环了 675 次,还余下 1m,多出来的 1m 是四块小号的墙砖, ∴ 大号墙砖需要 675 块, 中号墙砖需要 675×2 = 1 350(块), 小号墙砖需要 675×4+4 = 2 704(块), ∴ 大号墙砖需要 675 块,中号墙砖需要 1 350 块,小号墙砖需要 2 704 块. (9 分)… )页7共(页5第　案答考参学数级年八 【分析】(1)根据条件分别写出 A1,A2,A3 的坐标,找出规律,进而得到 A4,An 的坐标; (2)根据图形复现,墙砖每 3 个单位长度循环一次,在每一个循环周期内,需要大号墙 砖 1 块,中号墙砖 2 块,小号墙砖 4 块,再用 2026 除以 4 即可求解; 21. (1)证明:∵ ∠ABC+∠ABE= 180°,BF 平分∠ABE,BO 平分∠ABC, ∴ ∠ABO+∠ABF= 1 2 ∠ABC+ 1 2 ∠ABE= 1 2 (∠ABC+∠ABE)= 90°, ∴ ∠FBO= 90°,∴ BF⊥BO. ∵ OD⊥OB,∴ BF∥OD; (4 分)…………………………………………………………… (2)解:∵ BF∥OD, ∴ ∠COD= ∠F= 35°, ∴ ∠BOC= 90°+35° = 125°, ∴ ∠OBC+∠OCB= 180°-125° = 55°. ∵ BO、CO 分别为∠ABC、∠ACB 的角平分线, ∴ ∠ABC+∠ACB= 2×55° = 110°, ∴ ∠BAC= 180°-(∠ABC+∠ACB)= 180°-110° = 70°. (9 分)………………………… 【分析】(1)已知∠ABC+∠ABE = 180°,BF 平分∠ABE,BO 平分∠ABC,根据角平分线 的定义得到∠OBF 的度数,根据内错角相等,两直线平行,即可判断本问结论; (2)根据两直线平行,内错角相等,可得∠COD = ∠F = 35°,即可得到∠BOC 的度数, 从而求出∠OBC+∠OCB 的度数; 已知 BO、CO 分别为∠ABC、∠ACB 的角平分线,根 据角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB 的度数,结合三角形内角和即可得到∠BAC 的 度数. 22. 解:(1)∵ △ABC 是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A= 56°, ∴ ∠A+2∠B= 90°, ∴ ∠B= 17°, 故答案为:17°; (2 分)…………………………………………………………………… (2)①△ABD 是“准互余三角形” . (3 分)……………………………………………… 理由:∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠BAC= 2∠BAD, ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠BAC+∠B= 90°,∴ 2∠BAD+∠B= 90°, ∴ △ABD 是“准互余三角形” . (6 分)…………………………………………………… ②∵ △ABE 是“准互余三角形”, ∴ 2∠EAB+∠B= 90°或∠EAB+2∠B= 90°, ∵ ∠ABC= 28°,∴ ∠EAB= 31°或∠EAB= 34°, (8 分)………………………………… 当∠EAB= 31°,∠ABC= 28°时,∠AEB= 121°, (9 分)………………………………… 当∠EAB= 34°,∠ABC= 28°时,∠AEB= 118°. ∴ ∠AEB 的度数为:121°或 118°. (10 分)……………………………………………… 【分析】(1)根据“准互余三角形”的定义,由于三角形内角和是 180°,∠C>90°,∠A = 56°,只能是∠A+ 2∠B = 90°;( 2) ①由题意可得∠ADB> 90°,所以只要证明∠B 与 ∠BAD 满足 2α+β = 90°,即可解答,②由题意可得∠AEB>90°,所以分两种情况,∠B+ 2∠BAE= 90°,2∠B+∠BAE= 90°. )页7共(页6第　案答考参学数级年八 23. 解:(1)由题意得:AC⊥AB,BD⊥AB, AB= 12cm,AP= 2t cm,PB= (12-2t)cm, 故答案为:(12-2t); (2 分)……………………………………………………………… (2)当 t= 1 时,△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ. (4 分)……………………………………… 理由如下:当 t= 1 时,AP=BQ= 2 cm. ∵ AC= 10 cm,AB= 12 cm, ∴ BP= 12-2 = 10(cm)= AC, ∵ AC⊥AB,BD⊥AB, ∴ ∠A= ∠B= 90°, 在△ACP 和△BPQ 中, AC=BP, ∠A= ∠B, AP=BQ, ì î í ïï ïï ∴ △ACP≌△BPQ(SAS),∴ ∠C= ∠BPQ, ∵ ∠C+∠APC= 90°, ∴ ∠APC+∠BPQ= 90°, ∴ ∠CPQ= 90°,∴ PC⊥PQ; (6 分)……………………………………………………… (3)由题意得 AB= 12 cm,AP= 2t cm,PB= (12-2t) cm, BQ= vt cm,∠CAB= ∠DBA=α, ∴ △ACP 和△BPQ 全等有以下两种情况: ①△ACP≌△BPQ, 则有 AP=BQ,AC=PB, 即 2t= vt,12-2t= 10, 所以 v= 2,t= 1. (8 分)…………………………………………………………………… ②△APC≌△BPQ, 则有 AP=BP,AC=BQ, 即 2t= 12-2t,10 = vt, 所以 t= 3,v= 10 3 . (10 分)………………………………………………………………… 综上所述:速度 v 为 2 cm / s,时间 t 为 1s 或速度 v 为10 3 cm / s,时间 t 为 3 s 时,△ACP 和△BPQ 全等. (11 分)………………………………………………………………… 【分析】(1)根据点 P 在线段 AB 上以 2 cm / s 的速度由点 A 向点 B 运动,可得 AP = 2t cm,PB= (12-2t)cm; (2)利用 SAS 证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP = ∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ = ∠APC+∠ACP= 90°得出结论即可; (3)分类讨论:①△ACP≌△BPQ,则有 AP=BQ,AC=PB,即 2t= vt,12-2t= 10; ②△APC≌△BPQ,则有 AP = BP,AC = BQ,即 2t = 12-2t,10 = vt,然后分别求出 v 和 t 即可. )页7共(页7第　案答考参学数级年八 2024—2025 学年度上期期中教学质量监测 八年级　 　 数学 注意事项: 1. 本试卷共 6 页,三个大题,满分 120 分,考试时间 100 分钟。 2. 本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求,直接把答案填写在答题卡上。 答 在试卷上的答案无效。 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是 2. 已知三角形两边的长分别是 3 和 5,则此三角形第三边的长可能是 A. 7　 　 　 　 　 　 　 　 B. 8　 　 　 　 　 　 　 　 C. 9　 　 　 　 　 　 　 　 D. 10 3. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起,则图中∠α 的度数是 A. 55° B. 60° C. 65° D. 75° 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 4. 如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和,那么这个三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图,已知在△ABC 中,∠A= 40°,将一块直角三角板放在△ABC 上,使三角板的两条 直角边分别经过 B,C,直角顶点 D 落在△ABC 的内部,则∠ABD+∠ACD= (　 　 )度. A. 90 B. 60 C. 50 D. 40 6. 如图,∠ACE 是△ABC 的外角,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACE,且 BD,CD 相交于点 D. 若∠A= 80°,则∠D 等于 A. 30° B. 40° C. 50° D. 55° )页6共(页1第　卷试学数级年八 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,现有两把一样的直尺,将一把直尺的边与射线 OA 重合,另一把直尺的边与射线 OB 重合,两把直尺的另一边在∠AOB 的内部交于点 P,作射线 OP,若∠AOB = 50°,则 ∠AOP 的度数为 A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为 40°,则顶角的度数为 A. 50° B. 120° C. 50°或 120° D. 50°或 130° 9. 如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图,其中∠1+∠2 等于 A. 150° B. 180° C. 210° D. 225° 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为 D,E,AD,CE 交于点 H,已知 EH = EB= 3,AE= 4,则 CH 的长是 A. 4 B. 5 C. 1 D. 2 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分. 11. 如图,是有一个公共顶点 O 的两个全等正五边 形,若将它们的其中一边都放在直线 a 上,则 ∠AOB 的度数为 °. 12. 已知点 A(2,m)和点 B(n,-1)关于 y 轴对称, 则 m+n= . 13.如图,小明与小敏玩跷跷板游戏.如果跷跷板的支点 O(即跷跷板的中点)距地面的距离 是 50 cm,当小敏从水平位置 CD 下降 40 cm 时,小明这时离地面的高度是 cm. )页6共(页2第　卷试学数级年八 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,点 D 在 AB 边上,将△CBD 沿 CD 折叠,使点 B 恰好 落在 AC 边上的点 E 处. 若∠A= 25°,则∠CDE= . 15. 如图,等腰△ABC 的底边 AB 长为 4,面积为 12,BC 边的垂 直平分线 MN 分别交 BC,AC 于点 M,N,若点 D 为 AB 的中 点,点 P 为线段 MN 上一动点,则△PBD 的周长的最小值 为 . 三、解答题(共 8 小题,满分 75 分) 16. (8 分)如图,已知 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AB= 8,AC= 5. (1)作 BC 边的垂直平分线,分别交 AB,BC 于点 D,H;(要求:尺规作图,不写作法,保 留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接 CD,则△ACD 的周长为 . 17. (9 分)生活中的数学: (1) 如图 1,一扇窗户打开后,用窗钩 AB 可将其固定,这里所运用的几何知识 是 ; (2)如图 2,把小河里的水引到田地 A 处,若要使水沟最短,则过点 A 向河岸 l 作垂线, 垂足为点 B,沿 AB 挖水沟即可,这里所运用的几何知识是 ; (3)如图 3,要测量池塘沿岸上两点 A、E 之间的距离,可以在池塘周围取两条互相平 行的线段 AB 和 CD,且 AB =CD,点 E 是线段 BC 的中点,要想知道 A、E 之间的距离, )页6共(页3第　卷试学数级年八 只需要测出线段 DE 的长度,这样做合适吗? 请说明理由. 18. (9 分)根据以下素材,探索完成任务. 荡秋千问题 素材 1 如图 1,小丽与爸妈在公园里荡秋千,开 始时小丽坐在秋千的起始位置,且起始 位置与地面垂直. 素材 2 如图 2,小丽从秋千的起始位置 A 处,两 脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面 1m 高的 B 处接住她后用力一推,爸爸在 C 处接住她. 若妈妈与爸爸到 OA 的水平 距离 BD、 CE 分别为 1. 4m 和 1. 8m, ∠BOC= 90°. 问题解决 任务 1 △OBD 与△COE 全等吗? 请说明理由. 任务 2 当爸爸在 C 处接住小丽时,小丽距离地面有多高? 19. (9 分)如图,在正方形网格中,直线 l 与网格线重合,点 A,C,A′,B′均在网格点上. (1)已知△ABC 和△A′B′C′关于直线 l 对称,请在图上把△ABC 和△A′B′C′补充完整; (2) 在以直线 l 为 y 轴的坐标系中, 若点 A 的坐标为 ( a, b), 则点 A′的坐标 为 ; )页6共(页4第　卷试学数级年八 (3)在直线 l 上画出点 P,使得 PA+PC 最短. 20. (9 分)在数学活动课中,小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案,该图案由 3 种等腰直角三角形构成,设最小的等腰直角三角形的斜边长为 1,最大的等腰直角 三角形的顶点位于 x 轴上,依次为 A1,A2,A3,…,An . (1)A3 的坐标为 ,A4 的坐标为 ,An 的坐标为 . (2)若用此图案装修学校的围墙(只装一层),制作如图所示的 3 种等腰直角三角形墙 砖,最小的等腰直角三角形的斜边长为 1 m,围墙总长为 2 026 m,按照图中的排列方 式,则 3 种墙砖各需要多少块? 21. (10 分)如图,在△ABC 中,三个内角的平分线交于点 O,过点 O 作 OD⊥OB,交边 BC 于点 D,△ABC 的外角∠ABE 的平分线与 CO 的延长线交于点 F. (1)求证:BF∥OD; (2)若∠F= 35°,求∠BAC 的度数. )页6共(页5第　卷试学数级年八 22. (10 分)定义:如果一个三角形的两个内角 α 与 β 满足 2α+β= 90°,那么我们称这样的 三角形为“准互余三角形” . (1)若△ABC 是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A= 56°,则∠B= °; (2)若△ABC 是直角三角形,∠ACB= 90°. ①如图,若 AD 是∠BAC 的角平分线,请你判断△ABD 是否为“准互余三角形” . 并说 明理由; ②点 E 是边 BC 上一点,△ABE 是“准互余三角形”,若∠B= 28°,求∠AEB 的度数. 23. (11 分)如图①,AB= 12 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A、B,AC= 10 cm. 点 P 在线 段 AB 上以 2 cm / s 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在射线 BD 上运动. 它们运动 的时间为 t(s)(当点 P 运动结束时,点 Q 运动随之结束) . (1)PB= cm(用含 t 的代数式表示); (2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t = 1 时,△ACP 与△BPQ 是否全 等? 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系,请分别说明理由; (3)如图②,若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=α”,点Q 的运动速度为 v cm/ s,其 他条件不变,当点 P、Q 运动到某处时,有△ACP 与△BPQ 全等,求出相应的 v、t 的值. )页6共(页6第　卷试学数级年八