专题05 解一元一次方程的八种应用类型-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

专题05 解一元一次方程的八种应用类型 题型1：解方程在一元一次方程定义的应用 题型2：解方程在涉及一元一次方程的解中的应用 题型3：解方程在错解问题中的应用 题型4：解方程在解新定义问题中的应用 题型5：整体求解在解方程中的应用 题型6：解方程在解含绝对值问题中的应用 题型7：解方程在解含多重括号的方程中的应用 题型8 解方程在解分母为小数的方程中的应用 ： 题型1：解方程在一元一次方程定义的应用 已知方程是关于x的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义、代数式求值、有理数的乘方，根据一元一次方程的定义可得，即，再代入求值即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， 把代入得，． 一．解答题（共3小题） 1．若是关于x的一元一次方程，求的值． 2．如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 3．若是关于的一元一次方程，求的值． 题型2：解方程在涉及一元一次方程的解中的应用 已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先求出第一个方程的解是，把代入第二个方程得出，求出k的值即可． 【详解】解： ，         ∵方程的解与关于的方程的解互为倒数， ∴关于的方程的解是，   把代入方程的得：， 解得 ． 一．解答题（共3小题） 1．为何值时，代数式的值比的值大1． 2．当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 3．为何值时，关于的方程的解是的解的倍． 题型3：解方程在错解问题中的应用 小丽做作业时解方程的步骤如下： 解：①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)不正确，①； (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）根据小丽的解题过程分析即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：小丽的解答过程不正确，最早出现错误的步骤是①， 故答案为：不正确，①； （2）解： 去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． 一．解答题（共2小题） 1．解方程： 步骤如下：①去括号，得：； ②移项，得：； ③合并同类项，得：； ④系数化为1，得：． 其中错误的是第 步，原因是 ． 正确的解法为： 2．下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空 （1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 题型4：解方程在解新定义问题中的应用 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1)6； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴ 解得：， 的值为． 1． 解答题（共4小题） 1．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 2．综观中国传统文化和西方文化中，“7”的含义都是代表吉祥和吉利、尊贵与博大，它蕴含着古代自然科技与人文科学的一种结合．我们约定：如果任意两个有理数，满足，则称，互为吉祥数．如，则9与互为吉祥数． (1)填空：2024与_______互为吉祥数； (2)若，，当与互为吉祥数时，求的值． 3．我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 4．新定义一种运算：．例如：． (1)求的值； (2)解方程：． 题型5：整体求解在解方程中的应用 用整体思想解方程 【答案】x= 【详解】试题分析：本题首先将2x－3看作一个整体，然后进行解方程，得出答案． 试题解析：∵3－2x=－（2x－3） ∴原方程可化为：3（2x－3）+（2x－3）=－5（2x－3）+（2x－3） 移项合并同类项，得：（3++5－）（2x－3）=0 ∴2x－3=0      解得：x= 考点：整体思想解方程 1． 解答题（共2小题） 1．用整体思想解方程： 2．用整体思想解方程． 题型6：解方程在解含绝对值问题中的应用 求方程的所有解的和． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质及一元一次方程的解法，先根据绝对值的性质求出的值，再求出x的值，再求和即可解答． 【详解】解：， ，， ，， 或或或， 所有解的和为：． 故答案为：． 1． 解答题（共4小题） 1．解方程：； 2．解方程：． 3．解方程： 4．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 题型7：解方程在解含多重括号的方程中的应用 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 1． 解答题（共4小题） 1．解下列方程： ． 2．解方程： 3．解方程． 题型8： 解方程在解分母为小数的方程中的应用 解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 一．解答题（共3小题） 1．解方程： ． 2．解下列方程： ． 3．解方程 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解一元一次方程的八种应用类型 题型1：解方程在一元一次方程定义的应用 题型2：解方程在涉及一元一次方程的解中的应用 题型3：解方程在错解问题中的应用 题型4：解方程在解新定义问题中的应用 题型5：整体求解在解方程中的应用 题型6：解方程在解含绝对值问题中的应用 题型7：解方程在解含多重括号的方程中的应用 题型8 解方程在解分母为小数的方程中的应用 ： 题型1：解方程在一元一次方程定义的应用 已知方程是关于x的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义、代数式求值、有理数的乘方，根据一元一次方程的定义可得，即，再代入求值即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， 把代入得，． 一．解答题（共3小题） 1．若是关于x的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，求代数式的值，根据一元一次方程的定义，得到，求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ， ， ． 2．如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，解含绝对值的方程，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可得出，，再求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：，或． 3．若是关于的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程求出m值，再代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， 且， 解得， 当时，原式 ． 题型2：解方程在涉及一元一次方程的解中的应用 已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先求出第一个方程的解是，把代入第二个方程得出，求出k的值即可． 【详解】解： ，         ∵方程的解与关于的方程的解互为倒数， ∴关于的方程的解是，   把代入方程的得：， 解得 ． 一．解答题（共3小题） 1．为何值时，代数式的值比的值大1． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，本解题关键在于根据题意列出方程式；根据题意可列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化1得：． 2．当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 3．为何值时，关于的方程的解是的解的倍． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，进而得到方程的解，再把解代入方程即可求出的值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：由方程得，， ∵方程的解是的解的倍， ∴方程的解为， 把代入方程得，， 解得． 题型3：解方程在错解问题中的应用 小丽做作业时解方程的步骤如下： 解：①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)不正确，①； (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）根据小丽的解题过程分析即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：小丽的解答过程不正确，最早出现错误的步骤是①， 故答案为：不正确，①； （2）解： 去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． 一．解答题（共2小题） 1．解方程： 步骤如下：①去括号，得：； ②移项，得：； ③合并同类项，得：； ④系数化为1，得：． 其中错误的是第 步，原因是 ． 正确的解法为： 【答案】②，移项没变号，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解方程的依据是等式的基本性质，注意移项变号． 根据去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1进行求解即可． 【详解】解：错误的是第②步，原因是移项没变号． 正确解法： 去括号，得：； 移项，得：； 合并同类项，得：． 2．下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空 （1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 【答案】任务一：（1）等式的性质2；（2）二，括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号；任务二：见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 任务一：（1）根据等式的性质判断即可； （2）根据去括号法则即可判断解方程中的错误处； 任务二：根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1）求解即可． 【详解】解：（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的； （2）第二步开始出现错误，这一步的错误的原因是：括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号， 正确解法为： 解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 题型4：解方程在解新定义问题中的应用 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1)6； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴ 解得：， 的值为． 1． 解答题（共4小题） 1．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【答案】(1)是和解方程，理由见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据新定义代入判断即可； （）根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和解方程，理由： 由可得， ，解得：， ∴， ∴是和解方程； （2）解：根据题意得：， 又， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：， ∴的值为． 2．综观中国传统文化和西方文化中，“7”的含义都是代表吉祥和吉利、尊贵与博大，它蕴含着古代自然科技与人文科学的一种结合．我们约定：如果任意两个有理数，满足，则称，互为吉祥数．如，则9与互为吉祥数． (1)填空：2024与_______互为吉祥数； (2)若，，当与互为吉祥数时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程． （1）根据吉祥数定义进行求解即可； （2）根据与互为吉祥数，得出， 解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴2024与互为吉祥数； （2）解：∵与互为吉祥数， ∴，             整理，得， 解得：． 因此，当与互为吉祥数时，的值为． 3．我们规定一种运算：，（注意：它不是绝对值运算！）． (1)计算：_________； (2)若关于的方程的解为整数，求符合条件的所有正整数的值． 【答案】(1)7 (2)1，3，5 【分析】本题考查的是新定义，有理数的的混合运算及解一元一次方程，正确理解新定义、掌握解一元一次方程步骤是解题的关键． （1）根据新定义列出算式，根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：7； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程的解为整数，所以3能被整除，即 或， 解得或或或． 因为为正整数， 所以，符合条件的所有正整数的值为1，3，5． 4．新定义一种运算：．例如：． (1)求的值； (2)解方程：． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算和解一元一次方程，牢记有理数运算的法则和解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照新运算计算即可； （2）按照新运算转化为，再解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：． 题型5：整体求解在解方程中的应用 用整体思想解方程 【答案】x= 【详解】试题分析：本题首先将2x－3看作一个整体，然后进行解方程，得出答案． 试题解析：∵3－2x=－（2x－3） ∴原方程可化为：3（2x－3）+（2x－3）=－5（2x－3）+（2x－3） 移项合并同类项，得：（3++5－）（2x－3）=0 ∴2x－3=0      解得：x= 考点：整体思想解方程 1． 解答题（共2小题） 1．用整体思想解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握把看作整体，利用整体法解方程是解题的关键． 【详解】∵ ∴原方程可化为： 移项合并同类项，得： ∴ 解得：． 2．用整体思想解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 题型6：解方程在解含绝对值问题中的应用 求方程的所有解的和． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质及一元一次方程的解法，先根据绝对值的性质求出的值，再求出x的值，再求和即可解答． 【详解】解：， ，， ，， 或或或， 所有解的和为：． 故答案为：． 1． 解答题（共4小题） 1．解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，根据正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：当时，， 不成立； 当时，， 解得； 当时，， 不成立； 综上，． 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，先整理成，然后根据绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．解方程： 【答案】无解 【分析】本题主要考查绝对值方程，由绝对值的意义可知得到或，解方程即可； 【详解】解： 解得 由绝对值的意义可得， 或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解； 4．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 【答案】(1)或 (2)；； (3)无解 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用分类讨论得出是解题关键． （1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）运用分类讨论进行解答； （3）先去分母，再分别根据当，以及当分别求出即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是或； （2）解：∵， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程只有一个解； ③当时，方程有两个解； 故答案为：；；； （3）解： 去分母，得， ①当，即时， 原方程化为，， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时， 原方程化为， 解得 ，不符合题意，舍去； 所以，原方程无解． 题型7：解方程在解含多重括号的方程中的应用 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 1． 解答题（共4小题） 1．解下列方程： ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键， 先去括号，再移项，合并同类项解方程． 【详解】去中括号，得． 去小括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以，得． 2．解方程： 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键；先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可． 【详解】解：， 原方程可化为， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．解方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．利用去括号，移项，合并同类项解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 即， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型8： 解方程在解分母为小数的方程中的应用 解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 一．解答题（共3小题） 1．解方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． 先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：原方程可变形为：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 2．解下列方程： ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程的知识． 根据一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可． 【详解】 原方程可变为， 去括号得， 移项合并同类项得，， 系数化为1得， 3．解方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： 按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$