专题06 一次方程应用的六种题型-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

专题06 一次方程应用的六种题型 题型1：行程问题 题型2：销售问题 题型3：工程问题 题型4：和差倍分问题 题型5：古代问题 题型6：方案问题 ： 题型1：行程问题 甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步．甲的速度是乙的3倍，后两人首次相遇，此时乙还需要跑才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长．（列二元一次方程组解答） 【答案】乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用．设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程慢者走的路程环形周长建立方程求出其解即可． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为， 由题意得， 解得：， 乙的速度为：， 甲的速度为：； 答：乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 一．解答题（共3小题） 1．甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 2．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为9千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为9千米． 3．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？ 【答案】甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据相遇问题和追击问题的等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈， 由题意得， 解得：， 答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈． 题型2：销售问题 某商店购进甲，乙两种型号的服装，已知购进甲种服装件，乙种服装件用去元，购进甲种件，乙种件用去元． (1)求甲乙服装的单价各多少？ (2)若甲种服装每件售价为元，乙种服装的售价为元，该商店预计用不高于元钱购进两种服装共件，在全部销售出后总获利不低于元，问有几种购货方案？ 【答案】(1)甲服装每件元，乙服装每件元； (2)共有种购进方案，方案一：购进甲种服装件，购进乙种服装件；方案二：购进甲种服装件，购进乙种服装件；方案三：购进甲种服装件，购进乙种服装件． 【分析】（）设甲服装每件元，乙服装每件元，根据购进甲种服装件，乙种服装件用去元，购进甲种件，乙种件用去元，列方程组求解即可； （）设购进甲种服装件，购进乙种服装件，根据进价不超过元，全部销售出后总获利不低于元，列不等式组求解即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解． 【详解】（1）解：设甲服装每件元，乙服装每件元， 由题意得：，解得：， 答：甲服装每件元，乙服装每件元； （2）设购进甲种服装件，购进乙种服装件， 由题意得：， 解得：， ∵为整数 ∴ 共有种购进方案， 方案一：购进甲种服装件，购进乙种服装件； 方案二：购进甲种服装件，购进乙种服装件； 方案三：购进甲种服装件，购进乙种服装件． 一．解答题（共3小题） 1．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 2．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 3．甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 【答案】任务1：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件；任务2：超市获得1395元利润；任务3：9，9，549 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算的应用，任务一，设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y的值；任务二：根据销售量×每件利润可得结论；任务三：分类讨论求解即可 【详解】任务1：解：设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意得： ， 解得， 答：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件． 任务2： 元     答：超市获得1395元利润． 任务3：①甲种消毒液进价9件，乙种消毒液9件，需要549元， ②甲种消毒液进价12件，乙种消毒液7件，需要562元． ③甲种消毒液进价15件，乙种消毒液5件，需要575元． 故答案为：9，9，549 题型3：工程问题 为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？ 【答案】甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米 【分析】设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米，由题意可得： ，化简得 解得 答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出二元一次方程组是解题的关键． 一．解答题（共3小题） 1．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 【答案】(1)这批校服共有4800件 (2)乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先求得乙工厂每天加工这种校服的件数，设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，乙工厂每天加工这种校服（件）， 设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：这批校服共有4800件； （2）设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得（天）， ∴甲工厂全部工作时间是12天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得（件）． 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件． 2．一些工人做一项工程，如果能调来人，那么天可以完成；如果只调来人，就要天才能完成，那么调走人后，完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设个人做天的量为，原来有人在做这项工程， 根据题意可得，求出进而可求出调走人后，完成这项工程需要的时间，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设个人做天的量为，原来有人在做这项工程， 由题意可得，， 解得， 如果调走人，需要天， 答：调走人后，完成这项工程需要天． 3．甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？ 【答案】甲工程队原计划平均每月修建公路4km，乙工程队原计划平均每月修建公路6km． 【分析】根据题意可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲，乙两工程队原计划平均每月修建公路的长度． 【详解】设原计划甲每月，乙每月， ， 解得：， 经检验，符合题意． 故甲工程队原计划平均每月修建公路4km，乙工程队原计划平均每月修建公路6km． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型4：和差倍分问题 为拓展学生的课外兴趣活动，某校组织七年级名学生参加社团活动，现有报名参加田径社团与篮球社团的人数比为，占七年级学生总人数的六分之一． (1)报名参加田径社团和篮球社团的学生各有多少人？ (2)结合学校实际情况，现在需要把田径社团与篮球社团的学生人数调整成一样多，请问需从篮球社团调多少名学生去田径社团？ 【答案】(1)报名参加田径社团的学生有人，篮球社团的学生有人； (2)需从篮球社团调8名学生去田径社团； 【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际应用，设报名参加田径社团的学生有人，则篮球社团的学生有人，根据占总人数的六分之一列方程求解即可得到答案； （2）本题考查一元一次方程的实际应用，设需要从篮球社团调人，根据人数一样列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设报名参加田径社团的学生有人，则篮球社团的学生有人，由题意可得， ， 解得：， ∴，， 答：报名参加田径社团的学生有人，篮球社团的学生有人； （2）解：设需要从篮球社团调人，由题意可得， ， 解得：， 答：需从篮球社团调8名学生去田径社团． 1． 解答题（共3小题） 1．为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，某校初二年级开展了“数学思维导图”评比活动，学校计划购买A、B两种奖品用于奖励此次活动表现优异的学生．已知2件A种奖品的总价格等于3件B种奖品的总价格，4件A种奖品的总价格比5件B种奖品的总价格高10元，求每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为多少元？ 【答案】每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为15元，10元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为x元，y元，根据2件A种奖品的总价格等于3件B种奖品的总价格，4件A种奖品的总价格比5件B种奖品的总价格高10元列出方程组求解即可． 【详解】解：设每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为15元，10元． 2．某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 【答案】(1)淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． (2)不能找回68元，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可； （2）设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）设买x本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据依题意，得，     解得，     则（本）．     答：淇淇买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本． （2）不能，理由如下； 设买y本5元的笔记本，则买本8元的笔记本， 根据题意，得，    解得， ∵不是整数， ∴不能找回68元． 3．美国数学邀请赛哈尔滨赛区，某中学的同学们取得了优异的成绩，六年级共45名同学获奖，其中六年一班获奖的同学人数占六年级获奖同学人数的，也占全校获奖同学人数的，求全校获奖的同学人数． 【答案】全校获奖的同学人数为126人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设全校获奖的同学人数为x人，则六年一班获奖的同学人数为人，根据六年级共45名同学获奖，其中六年一班获奖的同学人数占六年级获奖同学人数的，列出方程求解即可． 【详解】解：设全校获奖的同学人数为x人，则六年一班获奖的同学人数为人，根据题意得： 解得： 答：全校获奖的同学人数为126人． 题型5：古代问题 《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？大意是甲袋中装有9枚质量相等的黄金，乙袋中装有11枚质量相等的白银，两袋质量相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两 【详解】解：设黄金每枚重a两，白银每枚重b两． 根据题意列方程组为 解得 故黄金每枚重两，白银每枚重两． 1． 解答题（共2小题） 1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 【答案】共有39人出行，15辆车． 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，由于人数是一个定值，根据题干中的两种情况表示出人数，列出一元一次方程即可解题． 【详解】解：设有辆车，由题意得： ． 解得 ∴ 答：共有39人出行，15辆车． 2．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 3．中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚人，小和尚人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 由题意得：，解得：， 答：大和尚人，小和尚人． 题型6：方案问题 某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)租45座客车5辆 (2)租60座客车4辆合算 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租客车辆． 根据题意列方程得：， 解得：． 答：原计划租45座客车5辆； （2）解：租45座客车：（辆），所以需租6辆， 租金为（元）， 租60座客车：（辆），所以需租4辆， 租金为（元）． ． 答：租用4辆60座客车更合算． 1． 解答题（共3小题） 1．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 2．赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案； （2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 3．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？ (2)甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买120套队服和a个足球（其中且为整数），当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所花的费用一样？ 【答案】(1)每套队服150元，每个足球100元 (2)购买的足球数a为60时在两家商场购买所花的费用一样 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，打折问题，正确理解，列出方程解答是关键． (1)设每个足球的定价是x元，则每套队服是元，根据题意得：，解方程即可． (2)甲商场购买所花的费用为：，乙商场购买所花的费用为：；两家商场购买所花的费用一样时，，解方程即可． 【详解】（1）解：设每个足球的定价是x元，则每套队服是元，根据题意得： ， 解得， ． 答：每套队服150元，每个足球100元． （2）解：甲商场购买所花的费用为：， 乙商场购买所花的费用为：； 两家商场购买所花的费用一样时，， 解得． 答：购买的足球数a为60时在两家商场购买所花的费用一样． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次方程应用的六种题型 题型1：行程问题 题型2：销售问题 题型3：工程问题 题型4：和差倍分问题 题型5：古代问题 题型6：方案问题 题型1：行程问题 甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步．甲的速度是乙的3倍，后两人首次相遇，此时乙还需要跑才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长．（列二元一次方程组解答） 【答案】乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用．设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程慢者走的路程环形周长建立方程求出其解即可． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为， 由题意得， 解得：， 乙的速度为：， 甲的速度为：； 答：乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为． 一．解答题（共3小题） 1．甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 2．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 3．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？ 题型2：销售问题 某商店购进甲，乙两种型号的服装，已知购进甲种服装件，乙种服装件用去元，购进甲种件，乙种件用去元． (1)求甲乙服装的单价各多少？ (2)若甲种服装每件售价为元，乙种服装的售价为元，该商店预计用不高于元钱购进两种服装共件，在全部销售出后总获利不低于元，问有几种购货方案？ 【答案】(1)甲服装每件元，乙服装每件元； (2)共有种购进方案，方案一：购进甲种服装件，购进乙种服装件；方案二：购进甲种服装件，购进乙种服装件；方案三：购进甲种服装件，购进乙种服装件． 【分析】（）设甲服装每件元，乙服装每件元，根据购进甲种服装件，乙种服装件用去元，购进甲种件，乙种件用去元，列方程组求解即可； （）设购进甲种服装件，购进乙种服装件，根据进价不超过元，全部销售出后总获利不低于元，列不等式组求解即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解． 【详解】（1）解：设甲服装每件元，乙服装每件元， 由题意得：，解得：， 答：甲服装每件元，乙服装每件元； （2）设购进甲种服装件，购进乙种服装件， 由题意得：， 解得：， ∵为整数 ∴ 共有种购进方案， 方案一：购进甲种服装件，购进乙种服装件； 方案二：购进甲种服装件，购进乙种服装件； 方案三：购进甲种服装件，购进乙种服装件． 一．解答题（共3小题） 1．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 2．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 3．甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 题型3：工程问题 为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？ 【答案】甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米 【分析】设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米，由题意可得： ，化简得 解得 答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出二元一次方程组是解题的关键． 一．解答题（共3小题） 1．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多． (1)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (2)在（1）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 2．一些工人做一项工程，如果能调来人，那么天可以完成；如果只调来人，就要天才能完成，那么调走人后，完成这项工程需要多少天？ 3．甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长的公路？ 题型4：和差倍分问题 为拓展学生的课外兴趣活动，某校组织七年级名学生参加社团活动，现有报名参加田径社团与篮球社团的人数比为，占七年级学生总人数的六分之一． (1)报名参加田径社团和篮球社团的学生各有多少人？ (2)结合学校实际情况，现在需要把田径社团与篮球社团的学生人数调整成一样多，请问需从篮球社团调多少名学生去田径社团？ 【答案】(1)报名参加田径社团的学生有人，篮球社团的学生有人； (2)需从篮球社团调8名学生去田径社团； 【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际应用，设报名参加田径社团的学生有人，则篮球社团的学生有人，根据占总人数的六分之一列方程求解即可得到答案； （2）本题考查一元一次方程的实际应用，设需要从篮球社团调人，根据人数一样列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设报名参加田径社团的学生有人，则篮球社团的学生有人，由题意可得， ， 解得：， ∴，， 答：报名参加田径社团的学生有人，篮球社团的学生有人； （2）解：设需要从篮球社团调人，由题意可得， ， 解得：， 答：需从篮球社团调8名学生去田径社团． 1． 解答题（共3小题） 1．为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，某校初二年级开展了“数学思维导图”评比活动，学校计划购买A、B两种奖品用于奖励此次活动表现优异的学生．已知2件A种奖品的总价格等于3件B种奖品的总价格，4件A种奖品的总价格比5件B种奖品的总价格高10元，求每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为多少元？ 2．某班举行了演讲活动，班长安排淇淇去购买奖品，下图是淇淇与班长的对话： 请根据淇淇与班长的对话，解答下列问题： (1)若找回55元钱，则淇淇买了两种笔记本各多少本？ (2)可能找回68元钱吗？若能，求出此时买了两种笔记本各多少本；若不能，说明理由． 3．美国数学邀请赛哈尔滨赛区，某中学的同学们取得了优异的成绩，六年级共45名同学获奖，其中六年一班获奖的同学人数占六年级获奖同学人数的，也占全校获奖同学人数的，求全校获奖的同学人数． 题型5：古代问题 《九章算术》是我国古代数学经典著作，书中记载着这个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？大意是甲袋中装有9枚质量相等的黄金，乙袋中装有11枚质量相等的白银，两袋质量相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两 【详解】解：设黄金每枚重a两，白银每枚重b两． 根据题意列方程组为 解得 故黄金每枚重两，白银每枚重两． 1． 解答题（共2小题） 1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车；两人同乘一辆车，则有九人步行．请问共有多少人出行，多少辆车． 2．《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 3．中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 题型6：方案问题 某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)租45座客车5辆 (2)租60座客车4辆合算 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租客车辆． 根据题意列方程得：， 解得：． 答：原计划租45座客车5辆； （2）解：租45座客车：（辆），所以需租6辆， 租金为（元）， 租60座客车：（辆），所以需租4辆， 租金为（元）． ． 答：租用4辆60座客车更合算． 1． 解答题（共3小题） 1．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 2．赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 3．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格各是多少元？ (2)甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买120套队服和a个足球（其中且为整数），当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所花的费用一样？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$