专题06 圆锥曲线 曲线与方程（七大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题06 圆锥曲线 曲线与方程（七大题型+优选提升题） 圆锥曲线有关的概念 1．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴上，从而可求准线方程. 【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期末）双曲线的渐近线是 . 【答案】 【分析】根据渐近线方程的公式即可求解. 【解析】双曲线的渐近线是， 故答案为： 3．（23-24高二上·上海奉贤·期末）椭圆的短轴长为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的标准方程即可求解. 【解析】由，可得， 所以，所以椭圆的短轴长为. 故答案为：. 4．（23-24高三上·上海松江·期末）双曲线的右焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【解析】因为，所以， 且焦点在x轴上，所以右焦点为. 故答案为：. 5．（21-22高二下·上海闵行·期末）若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义直接求解即可. 【解析】由椭圆方程得：，根据椭圆定义可知：到椭圆两焦点的距离之和为. 故选：B. 6．（22-23高二上·上海闵行·期末）双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程求出、，即可得解. 【解析】解：双曲线，则，， 所以，， 所以离心率. 故答案为： 7．（21-22高二下·上海闵行·期末）若椭圆与椭圆圆扁程度相同，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据焦点的位置以及椭圆离心率的计算公式即可求解. 【解析】两椭圆的圆扁程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 椭圆的离心率为， 当焦点在轴时，椭圆的离心率为，解得 当焦点在轴时，椭圆的离心率为，可得， 故的值为或， 故答案为：或 8．（21-22高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性进行判断即可. 【解析】因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、， 所以只有选项C正确， 故选：C 根据圆锥曲线的方程求参数 9．（23-24高二上·上海·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据方程表示椭圆可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解析】因为方程表示椭圆，则，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据双曲线标准方程的特点求解. 【解析】 是焦点在x轴的双曲线， ，即 ； 故答案为： . 11．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知曲线为实数，则下列说法错误的是（    ） A．曲线可能表示两条直线 B．若，则是椭圆，长轴长为 C．若，则是圆，半径为 D．若，则是双曲线，渐近线方程为 【答案】D 【分析】A选项，注意到当时，可表示两条直线； B选项，由题，将化为，据此可判断选项正误； C选项，由题，将化为，据此可判断选项正误； D选项，当，化为；当，化为，据此可判断选项正误. 【解析】A选项，注意到当时，，表示两条直线或，故A正确； B选项，，因，则，故椭圆长轴为 ，故B正确； C选项，，则圆半径为，故C正确； D选项，当，，则双曲线渐近线为； 当，，则双曲线渐近线为.故D错误. 故选：D 圆锥曲线的性质 12．（21-22高二下·上海徐汇·期末）设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由的关系得出的齐次方程，转化为的方程解之可得． 【解析】由已知，，即， 解得（舍去）． 故答案为：． 13．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，在上有一点满足，则点到轴的距离为 . 【答案】9 【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求出点的横坐标即得. 【解析】抛物线的准线方程为：，设点， 由抛物线的定义知：，解得， 所以点到轴的距离为9. 故答案为：9 14．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由A、B为焦点，可得，点C在椭圆上，可得，即可求得椭圆的离心率. 【解析】由已知，所以， 又点C在椭圆上，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【解析】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 16．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设点，则，利用两点间的距离公式以及的取值范围可求得的最小值. 【解析】由题意知，，，则，设点，则， 所以，， 因此，的最小值为. 故答案为：. 17．（22-23高二上·上海嘉定·期末）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆，则该椭圆的面积为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出、，依题意椭圆的面积，从而计算可得. 【解析】对于椭圆，则、， 所以椭圆的面积； 故答案为： 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）设，P为双曲线右支上一动点.若点P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为 . 【答案】/ 【分析】依据题意将题目转化为平行线间距离的最值问题，利用平行线间距离公式建立方程，求解参数值即可. 【解析】 由双曲线方程可得，则双曲线的一条渐近线方程为， 因为双曲线无限接近于渐近线，且显然直线与直线平行， 则两直线之间的距离即为的最大值，此时. 故答案为： 19．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，然后再判断另一个点，求出双曲线方程，再根据离心率公式即可得解. 【解析】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上， 若在双曲线上， 则，方程组无解，故不在双曲线上， 则在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 20．（23-24高二上·上海·期末）已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 【答案】/0.25 【分析】根据内切圆的性质，由切线长以及双曲线定义可得，即可利用锐角三角函数求解. 【解析】由可得， 如图：作出的内切圆与三边分别交于, 则， 又， 所以，所以轴， 由内切圆的性质可得，， ,所以, 故答案为： 21．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线的焦点为，若，则椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点坐标公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【解析】抛物线的焦点为， 设椭圆左右焦点分别为， 由得 所以，即椭圆的长轴长为， 故答案为： 22．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点（在轴上方），过作，垂足为，则到直线的距离为 . 【答案】 【分析】分析可知是等边三角形，求出该三角形的边长，即可求解. 【解析】设直线交轴于点，因为直线的斜率为，则该直线的倾斜角为， 由抛物线的定义可得，易知轴，则，， 所以是等边三角形， 则，所以， 因此，点到直线的距离为. 故答案为： 23．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 焦点三角形（四边形） 24．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 【答案】3 【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解． 【解析】如图，画出草图． 由的离心率为，且，可得，解得. 因为， 所以由双曲线的定义，可得. 故答案为：． 25．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，结合双曲线的定义以及通径分析求解即可. 【解析】因为为等腰直角三角形，则或或， 结合对称性可知：，结果是相同的， 所以只需讨论或即可，则有： 若，可知直线与轴垂直，则，即， 整理得，解得或（舍去）； 若，设，则， 因为，即，可得， 且，即，解得， 又因为，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率为； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 26．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 【答案】1 【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可. 【解析】椭圆的参数方程为（为参数）， 则可设点, 所以矩形的面积为， 所以， 因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最大值为1. 故答案为：1. 27．（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则    【答案】1 【分析】设，用表示矩形的面积和的面积，可得. 【解析】如图：    设，则. 因为，，所以，， 所以. 又直线的方程为：，所以，， 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：1 28．（19-20高二上·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与、重合，点N满足：，，则与的面积之比为 . 【答案】 【分析】设为椭圆的左顶点，由此求出点，，的坐标，利用直角三角形的性质求出的长度，进而可以求解． 【解析】解：设为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可得在的正半轴上， 则，，， 由，可得， 则， 故答案为：． 直线与圆锥曲线 29．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离可求出的值，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线无公共点可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【解析】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 30．（23-24高二上·上海·期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】方程有两个不相等的实根等价于与有两个交点，利用数形结合即可求. 【解析】由题意，表示交点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 表示斜率为1的一组平行线，    若直线与椭圆相切时，由得， 所以，解得（负根舍去）， 当两图象有两个交点时，根据图象， 纵截距的取值范围为：. 故答案为： 31．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于两点，设点M在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则 . 【答案】或 【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，分别对直角顶点进行分类讨论，利用三角形相似以及焦点弦公式列方程即可解得的取值为或. 【解析】如下图所示： 易知抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线的方程为，，设的中点为； 联立直线与抛物线方程可得，显然， 则，则； 可得， 因为是等腰直角三角形，当点为直角顶点时， 过点作轴的垂线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图所示：    易知，，， 所以， 可得，，可得； 又，，所以， 即，解得，可得， 所以； 同理可得当点为直角顶点时，； 当点为直角顶点时，点在以为直径的圆上，如下图所示：    易知线段的中点为， 可得以为直径的圆的方程为， 当时，解得； 即，此时与轴平行， 又是等腰直角三角形，所以，即直线与轴垂直， 显然此时，满足题意； 故答案为：或 【点睛】方法点睛：求抛物线中弦长问题时往往利用焦点弦公式，利用韦达定理以及等腰直角三角形性质，根据圆周角性质列方程可得结果. 题型06 弦长、中点弦问题 32．（21-22高二下·上海金山·期末）已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长 ． 【答案】 【分析】求得直线的方程并与椭圆方程联立，结合弦长公式求得. 【解析】椭圆方程为，所以， 所以，所以直线的方程为， 由消去并化简得， 设，所以， 所以. 故答案为： 33．（21-22高二下·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线的焦距和离心率求得双曲线方程，根据题意可令，即可求得答案. 【解析】由题意双曲线，则半焦距， 又离心率为2，则，故， 则双曲线方程为， 过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点， 则令，故， 故， 故答案为：12. 34．（21-22高二上·上海杨浦·期末）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出双曲线的离心率． 【解析】解：设，，，，则①，②， 是线段的中点， ，， 直线的方程是， ， 过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点， ①②两式相减可得，即， ． 故答案为：． 35．（2023·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【解析】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 36．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，则直线的方程为，将直线方程与曲线方程联立，由可得t的取值范围，设的横坐标分别为，，结合的倾斜角为，结合弦长公式可将表示为关于t的函数，从而求得其取值范围． 【解析】设，则直线的方程为， 代入曲线的方程，得， 化简可得：，① 由于与交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式，即 ， 解得，② 设的横坐标分别为，由①知，， 因此，结合的倾斜角为可知， ， 由②可知，， 故， 从而得， 故答案为：． 【点睛】 圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 37．（21-22高二上·上海闵行·期末）已知椭圆的左顶点为，过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于点两点，直线与直线分别交于，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【分析】设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程可得，利用直线方程可得，，则可求得，，，的值，从而可得答案. 【解析】解：由题可设直线的方程为，， 由得，所以， 则方程，令，得，所以，同理， 所以， ， ， ， 则只有为定值. 故选：C． 题型07 曲线与方程 38．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/0.6 【分析】根据给定的参数方程求出椭圆的长短半轴长，再利用离心率公式计算作答. 【解析】依题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，则该椭圆半焦距， 所以该椭圆的离心率. 故答案为： 39．（21-22高二下·上海杨浦·期末）极坐标系中，点与点，表示同一个点，则 . 【答案】/ 【分析】与点表示同一个点满足，，根据，对赋值即可求解. 【解析】由题，与点表示同一个点满足，， 所以，， 因为，所以当时，， 故答案为： 40．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，根据题意，得到，代入椭圆方程，即可求解. 【解析】解：设是所求轨迹上的一点，且， 因为，且，可得， 即，可得， 代入椭圆，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 41．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先根据对称性分析可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，再说明若曲线在坐标轴上有交点，则交点也为4个，不会出现2个，并举例说明4个交点的可能. 【解析】对于， 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于x轴对称； 综上所述：曲线关于x、y轴对称； 同理可知：曲线关于x、y轴对称； 且，可知原点不为公共点， 结合对称性可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，故AC错误； 根据对称性：不妨假设， 若曲线在第一象限内有交点，根据对称性可知：每个象限内均有交点，即交点个数为4的倍数； 若曲线在坐标轴上有交点，不妨设为曲线的公共点， 则，解得， 此时曲线，曲线， 显然也为曲线的公共点， 结合对称性可知：此时至少有4个公共点，即曲线不可能有2个交点，故B错误； 例如， 则曲线，曲线， 令，则，解得， 即，解得或或或， 即交点为，为4个，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：分析方程的对称性，结合对称性可知交点个数必为偶数. 一、解答题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆，若直线与圆相切，求点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程. （2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案. 【解析】（1）椭圆的离心率是，解得. 故椭圆方程为：. （2）圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 当时，，解得或（舍），故， 当时，，解得或（舍），故， 故或 2．（21-22高二下·上海黄浦·期末）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度. (1)以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程； (2)若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 【答案】(1) (2)如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险. 【分析】（1）结合双曲线的定义求得正确答案. （2）求与直线距离为2的平行直线的方程，结合平行直线与点轨迹有无公共点即可. 【解析】（1）依题意，， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， ， 所以点的轨迹方程为. （2）直线的方程为，即， 设与直线的距离为2的平行直线的方程为， 所以， 所以与直线的距离为2的平行直线的方程为或， 双曲线的渐近线为， 直线，即，斜率为，过点， ，所以直线与点的轨迹没有公共点. 直线，即， 由，消去并化简得， ， 又，所以方程存在大于4的实数解， 所以直线与点的轨迹有公共点. 综上所述，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险. 3．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用离心率求解即可，（2）利用是等边三角形，得到，（3）由知，故．联立双曲线和直线的方程结合韦达定理求解即可. 【解析】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 4．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 【答案】(1)，为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据斜率的计算公式利用直接法即可得结果； （3）根据椭圆（类似）的性质作答即可； （3）直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，通过斜率计算公式可得的斜率为，进而可得结果. 【解析】（1）依题意可得， 化简得， ∴为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）曲线的上下顶点为，曲线上点到中心的距离的取值范围为等； （3）设直线的斜率为，则其方程为． 由，解得． 记，则，，． 于是直线的斜率为，方程为． 由得①， 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为，∴，即是直角三角形． 5．（22-23高二下·上海松江·期末）已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆．若直线与圆相切，且点在轴右方，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值， 【分析】（1）根据椭圆离心率的定义可得结果； （2）设直线的方程为，由直线与圆相切求出k，联立直线与椭圆方程解方程组得交点坐标可得结果； （3）设，由三点共线，得，由三点共线，得，计算可得结果. 【解析】（1）因为椭圆的离心率是，解得， 故椭圆方程为：. （2）圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 因为点在轴右方，所以， 由，解得或（舍），故. （3）设, 且，， 因三点共线，则，即， 解得， 因三点共线，同理可得，， 所以为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是根据三点共线，得，由三点共线，得，计算可得结果. ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线 曲线与方程（七大题型+优选提升题） 圆锥曲线有关的概念 1．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线的准线方程为 . 2．（23-24高二下·上海·期末）双曲线的渐近线是 . 3．（23-24高二上·上海奉贤·期末）椭圆的短轴长为 . 4．（23-24高三上·上海松江·期末）双曲线的右焦点坐标是 ． 5．（21-22高二下·上海闵行·期末）若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·上海闵行·期末）双曲线的离心率为 . 7．（21-22高二下·上海闵行·期末）若椭圆与椭圆圆扁程度相同，则的值为 ． 8．（21-22高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 根据圆锥曲线的方程求参数 9．（23-24高二上·上海·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为 . 10．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ． 11．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知曲线为实数，则下列说法错误的是（    ） A．曲线可能表示两条直线 B．若，则是椭圆，长轴长为 C．若，则是圆，半径为 D．若，则是双曲线，渐近线方程为 圆锥曲线的性质 12．（21-22高二下·上海徐汇·期末）设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为 ． 13．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，在上有一点满足，则点到轴的距离为 . 14．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为 ． 15．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，则的最小值为 ． 17．（22-23高二上·上海嘉定·期末）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆，则该椭圆的面积为 ． 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）设，P为双曲线右支上一动点.若点P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为 . 19．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ． 20．（23-24高二上·上海·期末）已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 21．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线的焦点为，若，则椭圆的长轴长为 ． 22．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点（在轴上方），过作，垂足为，则到直线的距离为 . 23．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 焦点三角形（四边形） 24．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 . 25．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 26．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 . 27．（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则    28．（19-20高二上·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与、重合，点N满足：，，则与的面积之比为 . 直线与圆锥曲线 29．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 30．（23-24高二上·上海·期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 31．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线交于两点，设点M在抛物线的准线上，若是等腰直角三角形，则 . 题型06 弦长、中点弦问题 32．（21-22高二下·上海金山·期末）已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长 ． 33．（21-22高二下·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则 ． 34．（21-22高二上·上海杨浦·期末）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为 . 35．（2023·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 36．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，则的取值范围为 ． 37．（21-22高二上·上海闵行·期末）已知椭圆的左顶点为，过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于点两点，直线与直线分别交于，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 题型07 曲线与方程 38．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 39．（21-22高二下·上海杨浦·期末）极坐标系中，点与点，表示同一个点，则 . 40．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 41．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、解答题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆，若直线与圆相切，求点的坐标； 2．（21-22高二下·上海黄浦·期末）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度. (1)以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程； (2)若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 3．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 4．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 5．（22-23高二下·上海松江·期末）已知椭圆：的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆．若直线与圆相切，且点在轴右方，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线、分别交轴与点、点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$