专题05 坐标平面上的直线 圆（八大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题05 坐标平面上的直线 圆（八大题型+优选提升题） 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 . 2．（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为 ． 3．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知直线的一个法向量是，则它的斜率为 ． 4．（23-24高二上·上海青浦·期末）直线的倾斜角为 ． 5．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 7．（9-10高一下·河北邯郸·期末）图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 直线的方程 9．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是 . 11．（22-23高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线平行的直线方程是 ． 12．（23-24高二上·上海·期末）若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（    ） A． B． C． D． 13．（21-22高二上·江苏连云港·期中）如果且，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 15．（22-23高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 16．（21-22高二上·上海浦东新·期末）已知直线l过点，且与直线的夹角为，则直线l的方程是 ． 两条直线的位置关系 17．（23-24高二下·上海·期末）直线与直线的夹角大小为 ． 18．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ． 19．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 20．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 点到直线的距离 21．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 22．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 23．（21-22高二下·上海虹口·期末）已知点在直线上，则的最小值为 ． 24．（22-23高二上·上海奉贤·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 直线的其他问题 25．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 26．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 27．（22-23高二上·上海嘉定·期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 题型06 圆的方程 28．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 29．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 30．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 31．（23-24高二上·上海·期末）已知、，则以为直径的圆的标准方程为 . 32．（22-23高二上·上海浦东新·期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 题型07 圆的位置关系 33．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 34．（21-22高二上·上海闵行·期末）直线与圆交于、两点，则 ． 35．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 36．（22-23高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 37．（22-23高二上·上海普陀·期末）已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为 . 38．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 39．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，，且，不全为零，若直线与圆：相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．随、取值的变化而变化 40．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 题型08 解答题 41．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 42．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知直线，直线 (1)若，求直线、的夹角； (2)设交x轴于点A，交y轴于点B，交x轴于点D，交y轴正半轴于点C，若，且梯形ABCD的面积为，求直线在y轴上的截距． 43．（23-24高二上·上海·期末）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 44．（20-21高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 45．（22-23高二上·上海普陀·期末）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上. (1)求码头点的坐标； (2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标. 46．（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 2．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 3．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知直线与轴的交点为，直线上的动点满足：点到直线的距离恒成立，则动点所对应轨迹的长度为 . 4．（23-24高二下·上海金山·期末）已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是 ． 5．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 . 二、单选题 6．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 坐标平面上的直线 圆（八大题型+优选提升题） 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角. 【解析】因为直线的方程为， 所以直线的斜率1， 令直线的倾斜角为，则， 因为， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【分析】先由斜率坐标公式求解斜率，再求倾斜角. 【解析】因为直线经过，， 所以直线的倾斜角的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 则直线的倾斜角. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知直线的一个法向量是，则它的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线的法向量与直线的方向向量垂直即可求解. 【解析】设直线的斜率为，则直线的方向向量为， 直线的一个法向量是， ，解得. 直线的斜率为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海青浦·期末）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线方程直接确定倾斜角. 【解析】由直线与轴垂直，即其倾斜角为. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可. 【解析】由，可得，所以直线的斜率, 所以直线的方向向量为， 当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确； 当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确； 当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确. 故选：D. 6．（22-23高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可. 【解析】对于:直线的倾斜角,,所以错误； 对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误； 对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； 对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确. 故选：. 7．（9-10高一下·河北邯郸·期末）图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【解析】由图象可得，， 故选：C 8．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【解析】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 直线的方程 9．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是 . 【答案】 【分析】直线的一个法向量，可得直线的斜率为，结合已知条件利用斜截式即可得出直线方程. 【解析】因为直线的一个法向量是，所以直线的斜率为， 又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为. 故答案为： 11．（22-23高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线平行的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答. 【解析】设与直线平行的直线方程是， 依题意，，解得， 所以所求直线方程是. 故答案为： 12．（23-24高二上·上海·期末）若直线经过点、，则以下是直线的方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线的斜率，利用直线的点斜式方程，求得直线的方程，结合选项，即可求解. 【解析】由直线经过点、，可得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 结合选项，只有B项，符合题意. 故选：B. 13．（21-22高二上·江苏连云港·期中）如果且，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案. 【解析】由且，可得同号，异号，所以也是异号； 令，得；令，得； 所以直线不经过第三象限. 故选：C 14．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【解析】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 15．（22-23高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【答案】 【分析】先找到直线的斜率，再由直线过点求出直线方程. 【解析】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线， 故答案为：. 16．（21-22高二上·上海浦东新·期末）已知直线l过点，且与直线的夹角为，则直线l的方程是 ． 【答案】或 【分析】根据夹角公式列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. 【解析】设直线的斜率为，因为，且为锐角， 所以， 所以，解得或0， 故过点，且与直线的夹角为的直线的方程为： 或， 即或． 故答案为：或 两条直线的位置关系 17．（23-24高二下·上海·期末）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】求出两条直线的倾斜角，可得两条直线的夹角． 【解析】直线的斜率，可得倾斜角为， 因为直线与轴垂直，其倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 18．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据两直线平行的条件列式求解即可. 【解析】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，符合题意， 综上，或. 故答案为：或. 19．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【解析】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 20．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论. 【解析】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件， 故选：C. 点到直线的距离 21．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【解析】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 22．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得. 【解析】平行直线及之间的距离. 故答案为： 23．（21-22高二下·上海虹口·期末）已知点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解即可. 【解析】可以理解为点到点的距离， 又∵点在直线上， ∴的最小值等于点到直线的距离， 且. 故答案为：. 24．（22-23高二上·上海奉贤·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解． 【解析】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小， 由题知，点满足： ，解得：，，即点， 因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：D 直线的其他问题 25．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 【答案】 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【解析】令，即，可得， 所以直线：恒过定点. 故答案为：. 26．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【解析】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 27．（22-23高二上·上海嘉定·期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【分析】根据题意，先得到所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点坐标，再求得点关于直线的对称点的坐标，即可得到反射光线的直线方程. 【解析】由题意可得所在直线方程为:，即， 联立直线方程，解得入射点， 设点关于直线的对称点为 则，解得，所以， 即反射光线方程为:，即 故答案为: 题型06 圆的方程 28．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【解析】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 29．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】依题意设圆的方程为，代入原点坐标求出，即可得解. 【解析】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 30．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【解析】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 31．（23-24高二上·上海·期末）已知、，则以为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程. 【解析】线段的中点坐标为，， 所以，所求圆的半径为，故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 32．（22-23高二上·上海浦东新·期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程. 【解析】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1， 故圆的标准方程是. 故答案为： 题型07 圆的位置关系 33．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【解析】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 34．（21-22高二上·上海闵行·期末）直线与圆交于、两点，则 ． 【答案】 【分析】求圆心到直线的距离，利用几何法求弦长. 【解析】圆的圆心到直线的距离， 又圆的半径，则． 故答案为： 35．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方程解实数的值. 【解析】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为： 36．（22-23高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出简图，结合图象可求答案. 【解析】因为，所以，； 其图象是以为圆心，2为半径的下半个圆弧， 当直线与圆弧相切时，恰有一个公共点，此时由可求，（舍去）； 当直线过图中点时，由可得， 当直线过图中点时，由可得， 所以直线截距位于和3之间时也符合题意， 综上可得实数b的取值范围是. 故答案为： 37．（22-23高二上·上海普陀·期末）已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案. 【解析】把直线化为 ， ，恒过定点， 当圆被直线l截得的弦长的最小值时， 圆心到定点的距离为， 圆心到直线距离最大值时即为， 此时直线弦长为最小值. 故答案为：. 38．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【答案】B 【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【解析】如图：    直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B 39．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，，且，不全为零，若直线与圆：相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．随、取值的变化而变化 【答案】C 【分析】依题意可得圆心到直线的距离，从而得到，即可判断. 【解析】因为直线与圆：相交， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，则点在圆外. 故选：C 40．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】A 【分析】将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得. 【解析】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径； 圆的方程可化为，圆心为，半径. 因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切. 所以有，即，所以. 又，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：A. 题型08 解答题 41．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【解析】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时，，有，故. 42．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知直线，直线 (1)若，求直线、的夹角； (2)设交x轴于点A，交y轴于点B，交x轴于点D，交y轴正半轴于点C，若，且梯形ABCD的面积为，求直线在y轴上的截距． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线方程得到它们的法向量，根据法向量夹角与直线夹角关系求、的夹角. （2）由题意有：，进而求，再由平行线距离求梯形的高，最后根据梯形面积公式求参数b，即可得结果. 【解析】（1），：的一个法向量分别为， 则，故． （2）由，故，即：，易知， 梯形的高h即平行直线，之间的距离，故， 设梯形ABCD的面积为S，则， 化简得，解得，故直线在y轴上的截距为． 43．（23-24高二上·上海·期末）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据外切的性质，由点点距离公式即可求解. 【解析】（1）的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， （2）由题意可知在直线上，由于，, 所以直线方程为， 设，则， 化简可得，解得或， 由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 故，圆心为则圆的方程为 44．（20-21高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设可得圆的方程，求出两点的坐标计算出的面积即可证明； （2）由条件得出原点在线段的垂直平分线上，所以直线与直线垂直，由斜率之积为-1求得，从而得到圆C的方程. 【解析】（1）设圆心为， 圆过原点，，圆方程为， 令，得，令，得， 为定值； （2）垂直平分线段， ，直线的方程是， ，解得或（舍）， 则圆的方程为. 45．（22-23高二上·上海普陀·期末）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上. (1)求码头点的坐标； (2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON方程，再求解Q点坐标. （2）由直线AQ的方程求解B点坐标，进而求解AB的直线方程.由（1）知C为垂足，可联立直线AB与PC 方程，即可求解C点坐标. 【解析】（1）由已知得，，直线ON方程： 设，由及图，得，. （2）直线AQ的方程为即 由，解得，即 则直线AB 方程， 点P到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C， 因为，且，， ，则直线PC方程为 联立，解得 轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为. 46．（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 【答案】(1)走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. (2)15海里. 【分析】（1）设，根据得到方程，化简即可得到轨迹； （2）设，根据化简得到轨迹，；利用在圆的内部，得到不等式，转化为直线与圆的位置关系从而得到不等式，解出即可. 【解析】（1）由题意得，设走私船能被截获的点为， 则，则， 化简得. 因此，走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. （2）设走私船能被截获的点为，则， 由，整理得， 走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，记为圆. 当在圆的内部，则， 可变形为，即， 因此巡逻庭不能在圆内部截获走私船. 分要保证巡逻艇在领海内捕获走私船， 圆内部区域与直线不相交， 则圆心到直线的距离， 所以，相距最远是15海里. 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【解析】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 2．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【解析】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 3．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知直线与轴的交点为，直线上的动点满足：点到直线的距离恒成立，则动点所对应轨迹的长度为 . 【答案】 【分析】设，根据，求出的范围，再根据两点间的距离公式即可得解. 【解析】因为直线与轴的交点为，所以 由题意，设， 由， 得， 即，解得， 所以动点所对应轨迹为， 其长度为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海金山·期末）已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】建立以的正方向为轴正方向的平面直角坐标系，设，，结合投影向量定义计算可得，即可得在或上，再由计算可得点在以为圆心，1为半径的圆上，则可得，求出点关于直线的对称点为，再借助两点间距离公式计算即可得解. 【解析】如图，以的正方向为轴正方向建立平面直角坐标系，设，， 非零向量在方向上的投影向量为， 故有，又，故， 则的终点在或上， 又， 故与垂直，如图所示，    由向量减法的几何表示，可知的终点就落在图中以为圆心，1为半径的圆上， 设，则，， 即， 由对称性，不妨设点在上， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 则， 即的最小值是. 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据，得到，结合，得到，变形得到，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案. 【解析】设，则，解得， 因为，所以，即， 化简得到，其中， 整理得， 所以集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部， 而集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 因为，所以，故两圆内含或内切， 故圆心距小于等于半径之差，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】以复数为载体，考查核心内容为轨迹问题，数形结合进行求解，这是复数的模长相关题目的基本思路和方法. 二、单选题 6．（23-24高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则k的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出的取值范围可得答案. 【解析】设，连接，设， 则，，所以， 又， 所以， 令，则有，解得：或， 因为在单位圆外，所以舍去， 即在以原点为圆心，半径为2的圆上， 因为曲线上存在四个点， 即与圆有4个交点，且过点， 结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可， 所以，解得：或（舍去）.， 所以、、都符合. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点. 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