精品解析：上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量检测数学试卷

2024学年第一学期海滨中学期中学业质量检测卷 高二年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一．填空题（共12小题，1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 已知平面，直线，点，若，且，则_____（填数学符号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本事实可得结果. 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 2. 空间中两条直线的位置关系有___________. 【答案】平行、相交、异面 【解析】 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答. 【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面. 故答案为：平行、相交、异面. 3. 已知复数（i为虚数单位），则|z|＝__. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算得，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】∵， ∴|z|＝1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的模长公式，属于基础题. 4. 有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 5. 若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 6. 已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】代入于不等式，然后求解出关于的分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式的解集为且， 所以， 解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式直接求得结果. 【详解】因为， 点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点， 所以， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 8. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为； 故答案为 考点：圆锥体的表面积． 9. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正三棱柱结构特征及线面角定义确定其平面角，进而求其正弦值. 【详解】若为中点，连接， 由正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，故，且面， 面，则，，面， 所以面，故为与侧面所成角平面角， 所以. 故答案为： 10. 已知二面角的大小为，直线分别在平面内且都垂直于棱，则与所成角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角的定义可得答案. 【详解】因为二面角的大小为，直线分别在平面内且都垂直于棱， 所以与所成角的大小为 故答案为： 11. 如图所示，已知三棱锥中，平面，，，，．则点A到平面的距离______． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】由等体积法可求点A到平面的距离. 【详解】因为，，，所以， 因为平面，所以，且，因为， 所以, ， 因为，所以是直角三角形，且， 所以， 因为在中， 由平面知，为三棱锥以平面为底时的高， 所以设点A到平面的距离为，由等体积法知： ，即：， 所以，解得：. 故答案为： 二．选择题（共4小题，每题5分） 12. 下列几何体中，多面体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项. 【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体； C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体. 故选B. 【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题. 13. 已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【详解】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . 14. 在三棱锥中，若，，那么必有（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知条件推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；利用面面垂直的性质定理可判断BCD选项的正误. 【详解】，，且，平面. 对于A选项，平面，所以，平面平面，A选项正确； 对于B选项，若平面平面，过点在平面内作，如下图所示： 由于平面平面，平面平面，，平面， 平面， 又平面，过点作平面的直线有且只有一条，假设不成立，B选项错误； 对于C选项，若平面平面，平面平面，，平面，平面， 平面，则，而与是否垂直未知，C选项错误； 对于D选项，过点在平面内作，垂足为点， 若平面平面，平面平面，，平面， 所以，平面， 平面，， ，，平面， 平面，，但与是否垂直未知，D选项错误. 故选：A. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可. 15. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 三．解答题（共5小题，12分+14分+16分+16分+18分） 16. 正方体中，求证： （1）平面； （2）与的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，所以与的夹角为或其补角，求出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 17. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积． （2）求该蒙古包的体积． 【答案】（1）平方米 （2）立方米 【解析】 【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可； （2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可. 【小问1详解】 依题意得米，米，米， 所以米， 所以圆锥的侧面积为平方米， 圆柱的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米. 【小问2详解】 圆锥的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 所以该蒙古包的体积为立方米. 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）求证:平面； （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）. 【答案】（1）证明:设，则是中点，连接，又因为是中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 又因为，所以， 平面,平面，所以，同理， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在直角中，，， ， 所以， 所以二面角的大小是． 20. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . （1）求证：四棱锥为阳马； （2）若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； （3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 【答案】（1） 证明：由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以四边形为平行四边形为矩形， 又，， 所以平面， 所以根据题意得：四棱锥为阳马. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义证明底面为矩形，侧棱矩形面即可； （2）找出线面角，根据题意以及（1）中的相应条件求出所需线段长度，然后利用三棱柱的体积公式计算即可； （3）由前两问表示出阳马的体积，利用基本不等式求出最值，从而得到相应线段的长度，在根据图找出、证明、求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面， 所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，， 所以 在中，， 所以， 又，所以在中， ， 所以堑堵的体积为： . 【小问3详解】 过作交于点，如图所示： 由平面，平面， 所以，又， 所以平面， 所以为点到平面的距离， 由， 因为， 当且仅当时， 阳马的体积最大且为， 在中，, 由等面积法得：， 即， 所以当阳马的体积最大时，点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期海滨中学期中学业质量检测卷 高二年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一．填空题（共12小题，1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 已知平面，直线，点，若，且，则_____（填数学符号）． 2. 空间中两条直线的位置关系有___________. 3. 已知复数（i为虚数单位），则|z|＝__. 4. 有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 5. 若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为_____． 6. 已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____． 7. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为_____． 8. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是______． 9. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值是______． 10. 已知二面角的大小为，直线分别在平面内且都垂直于棱，则与所成角的大小为__________. 11. 如图所示，已知三棱锥中，平面，，，，．则点A到平面的距离______． 二．选择题（共4小题，每题5分） 12. 下列几何体中，多面体是（ ） A. B. C. D. 13. 已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 14. 在三棱锥中，若，，那么必有（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 15. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ） A. B. C. D. 三．解答题（共5小题，12分+14分+16分+16分+18分） 16. 正方体中，求证： （1）平面； （2）与的夹角的余弦值. 17. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积． （2）求该蒙古包的体积． 18. 函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）求证:平面； （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）. 20. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . （1）求证：四棱锥为阳马； （2）若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； （3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $