湖南省益阳市安化县第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024年下学期高二期中考试试卷 数 学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集,集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知直线,,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知空间向量,,若,则( ) A.4 B.6 C. D. 4.设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=( ) A. B. C. D. 5.设直线l的斜率为k,且,求直线l的倾斜角的取值范围 A. B. C. D. 6.一动圆与圆外切,与圆内切,则动圆圆心点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 7.在四棱锥中,,则这个四棱锥的高h等于( ) A.1 B.2 C.13 D.26 8.已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点,点,则的周长最大值为( ) A.14 B.16 C.18 D.20 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,满分18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中以顶点为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( ) A. B.与所成角的余弦值为 C.平面 D.与平面所成角的余弦值为 10.下面四个结论正确的是( ) A.已知向量,则在上的投影向量为 B.若对空间中任意一点,有,则四点共面 C.已知是空间的一组基底,若,则也是空间的一组基底 D.若直线的方向向量为,平面的法向量,则直线 11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,,点P满足.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是( ) A.C的方程为 B.在x轴上存在异于的两定点,使得 C.当三点不共线时,射线是的平分线 D.在C上存在点M,使得 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分15 分 12.设复数满足,则 . 13.如图是某圆拱形桥的示意图,雨季时水面跨度AB为6米,拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米.旱季时水位下降了1米,则此时水面跨度增大到 米. 14.已知圆,点,从坐标原点向圆作两条切线,切点分别为,若切线的斜率分别为,,且,则的取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,满分87分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤15.(1)在 ABC中,内角所对的边分别为,且,且.求角A,C的大小; (2)在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,求的面积. 16.“山水画卷,郴州相见”,2023年9月16日,第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行.开幕式期间,湖南卫视全程直播.学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况(单位:分钟),将其按照,,,,,分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图: 请完成以下问题: (1)求的值,并估计样本数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)为进一步了解学生观看开幕式的情况,采用分层抽样的方法在观看时长为和的两组中共抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在内的概率. 17.已知圆,直线. (1)求证直线恒过定点; (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 18.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,M为棱的中点. (1)证明:平面; (2)证明:; (3)若,,求二面角的余弦值. 19.已知椭圆,点在椭圆上,椭圆的离心率是. (1)求椭圆的标准方程; (2)设点为椭圆长轴的左端点,为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点,记直线斜率分别为,若,请判断直线是否过定点?若过定点,求该定点坐标,若不过定点,请说明理由. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司