专题04 反比例函数的应用5大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末好题分类汇编（河南专用）

专题04 反比例函数的应用5大题型 题型一 求反比例函数的解析式 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列那个点在反比例函数上（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征，根据双曲线上的点的横纵坐标之积等于，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故点在反比例函数上； B、，故点不在反比例函数上； C、，故点不在反比例函数上； D、，故点不在反比例函数上； 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，将一块含的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为，顶点B的坐标为，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，则该双曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，综合程度较高． 过点A作轴于点D，易证，从而可求出A的坐标，进而可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D， ，， ， 在和中 ， ， ，， A点坐标为， 设反比例函数的解析式为： 将代入得：， 双曲线的解析式为：． 故选：A． 3．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m，n，那么点在反比例函数图象上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表或画树状图找出所有的值，然后根据概率公式分析求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴． 画树状图如下：    共6种等可能结果，其中符合题意的有2种， ∴点在反比例函数图象上的概率为， 故选：B． 4．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，纵坐标分别为1，4，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴，过B点作，交延长线于E，利用矩形性质及角相等来证明，根据A，B两点在反比例函数图像上，设带有k值的两点坐标，利用两边对应成比例求出k的值． 【详解】解：矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，A的纵坐标为1，B的纵坐标为4，过点A作轴，过B点作，交延长线于E． ， ， ，， ， ， ， 设，， 则，，，， ， ， ， 解得：， 反比例函数在第二象限， ， ， 故选：C． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）反比例函数的图象经过点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点与反比例函数的关系，熟练掌握的对于函数解析式与函数图象上点的坐标来说，知点则代入是解题的关键．将点代入解析式求即可． 【详解】解：将点代入解析式， 得， 解得：， 故答案为． 6．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数的图像经过点，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析，掌握待定系数法是解题的关键． 将代入反比例函数求得k即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴将代入反比例函数可得：，解得：． 故答案为8． 7．（23-24九年级上·河南周口·期末）反比例函数的图象经过和两点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象经过点，将点代入解析式可求得a的值，解题的关键在于掌握反比例函数图象与性质． 【详解】解：∵比例函数的图象经过点， ∴将点代入反比例函数解析式，得到：， 解得：， ∴． 又∵反比例函数的图象经过点， 将点代入到反比例函数解析式，得到： ． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·河南焦作·期末）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时． 【答案】 【分析】将点分别代入，中，求出k、m，确定出函数关系式，再把代入两个函数式中求出对应的t，把所求两个时间t作差即可． 【详解】解：由题意可得， 当时，， 当时，设函数关系式为， 将代入可得：， 所以y与t的函数关系式为； 当时，函数关系式为， 将代入可得：， 所以y与t的函数关系式是：； 当时，将代入可得：， 解得：； 当时，将代入可得：， 解得：． （小时）， 所以成年人服药一次有效的时间是小时． 故答案为：． 9．（22-23九年级上·河南信阳·期末）已知点关于原点对称的点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】2 【分析】求得的坐标，代入即可求解． 【详解】解：∵点， ∴点关于原点对称的点为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：2． 10．（23-24九年级上·河南开封·期末）反比例函数的图象在二、四象限内，请写出一个满足条件的反比例函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一，k小于0即可） 【分析】反比例函数图像位于二四象限，只要满足k<0即可． 【详解】解：当反比例函数的图象在二、四象限内时． k<0． ∴该函数可以为：． 故答案为：（答案不唯一，k<0即可）． 题型二 反比例函数与几何综合 11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为，对角线交双曲线于点D，轴，则k的值为（    ）． A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征等知识点，解直角三角形求出D的坐标是解此题的关键． 过B作轴于M，根据菱形的性质得出,即可得出，解直角三角形求得，进一步求得，通过证得进而求得D的坐标，然后运用待定系数法求得反比例函数即可解答． 【详解】解：如图：过B作轴于M， ∵四边形是菱形， ∴， ∴, ∵点B的纵坐标为, ∴, ∴, ∵轴，轴， ∴,, ∴, ∴，即， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点， ∴． 故选：D． 12．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，菱形的边在x轴上，边交y轴于点D，点B的横坐标为1，，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得点C的坐标是解题关键．过点B作于点E，由菱形的性质得出，，根据点B的横坐标为1，，得出，设菱形的边长为a，则，利用勾股定理求得菱形的边长，即可求得点C的坐标为，所以． 【详解】解：过点B作于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点B的横坐标为1，， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为a，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴ ． 故选：B． 13．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点，，若反比例函数的图象经过点C，则k的值是（   ）    A．12 B．48 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．由菱形的性质和锐角三角函数可求点C坐标，将点C坐标代入解析式可求k的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，    ∵菱形的边在x轴上，点， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴点C坐标 ∵若反比例函数经过点C， ∴， 故选：D． 14．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若记，，…的面积分别为则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键． 【详解】解：设， 过点，，，分别作轴，轴，轴，轴于点，，，， ∵，，，在抛物线上， ∴，，； ，，； ，，； ； ，，， ∴； 故选：C． 15．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，已知正方形的中心与坐标原点重合，且正方形的一组对边与轴平行，是反比例函数的图象与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积和为4，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，正方形的性质，熟练掌握反比例函数的图象及正方形的性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 设与轴交于与轴交于与轴交于，根据正方形的性质得四边形为正方形，，再根据点得，且，然后根据反比例函数的对称性可知：，由此得，由此解出的值，进而得点的坐标为，再将点的坐标代入反比例函数之中求出的值即可． 【详解】解：设与轴交于与轴交于与轴交于，如图所示： ∵四边形为正方形，其中心与坐标原点重合， ∴四边形为正方形，， ∵点的坐标为， ∴，且， ∴， 根据反比例函数的对称性可知：， 解得：，舍去负值； ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：2． 16．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形（其中在x轴正半轴上）绕点O逆时针旋转得到矩形，与相交于点D，点落在y轴上，若点B的坐标为，则经过点D的反比例函数的解析式是 ． 【答案】； 【分析】 本题考查求反比例函数解析式，三角形相似的性质与判定及矩形的性质，根据旋转及得到，，根据相似求出，代入解析式求解即可得到答案； 【详解】解：∵矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B的坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为：， 将点代入得， ， 解得， ∴， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、在函数的图象上，过点A作轴的垂线，与函数的图象交于点，连结交轴于点，若点A的横坐标为1，且，则点B的横坐标为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标． 首先，设A的坐标为，设与x轴的交点为E，过点B作轴，垂足为F，根据题意得出C的坐标，表示出的长度，过点B作垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标． 【详解】解：设点A的坐标为，设与x轴的交点为E，过点B作轴，垂足为F，如图， ∵点C在函数的图象上，且轴， ∴C的坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴ , ∴ , 又∵， ∴ , ∴， 即， ∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式：， 当时，， ∴B点的横坐标是2， 故答案为：2． 18．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．    【答案】 【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知四边形是矩形，反比例函数和一次函数的图象交于点，且点分别在上． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)请判断反比例函数的图象是否经过矩形的中心，并说明理由． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)经过，理由见解析； (3)或． 【分析】（）用待定系数法求函数的解析式即可； （）求出，根据矩形的性质可得的中点为，再代入反比例函数的表达式计算即可判断是否在反比例函数图象上； （）根据直线图象在反比例函数图象上方的部分即为所求即可； 本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； 将代入中，得， ∴， 将点，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：反比例函数的图象经过矩形的中心，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴， ∴的中点为， 将点代入，得， ∴反比例函数的图象经过矩形的中心； （3）解：由图可得或． 20．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形和正方形的中心均与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且，反比例函数的图象在第二象限的部分与正方形交于点，且经过正方形的顶点，已知图中阴影部分的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，熟练掌握图象上点的特征是解题的关键．（1）设H点的坐标为，可表示，可得正方形面积，即可求解；（2）令时，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）∵正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设H点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过H点， ∴， ∴正方形EFGH的面积为， 又且正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴，又， ∴正方形的面积为， ∴图中阴影部分的面积=正方形的面积－正方形的面积， ． ∴，又反比例函数的图象在二四象限， ∴， ∴函数解析式为； （2）由（1）得正方形的面积为64， ∴边长， ∴M的纵坐标为， 又∵点在反比例函数上， ∴当时，， ∴点M的坐标为． 21．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求m的值及反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)观察图象，请直接写出的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）把点A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可m的值及反比例函数的解析式； （2）首先把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出B点坐标，然后利用代入求解即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解： 点是直线与的交点， 把，，代入得 ． ，． （2）解：设一次函数的图象分别与x轴，y轴交于M，N两点 由得，． 由与得B的坐标为 ． （3）解：由图像可得，x的取值范围为或时，． 题型三 一次函数与反比例函数图象的综合判断 22．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故C，D错误； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故B选项错误，A选项正确； 故选：A． 23．（23-24九年级上·河南安阳·期末）若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A．  B．   C． D．   【答案】A 【分析】由参数值，判断函数图象所在的象限：时，图象在第一，三象限；时，图象在第二，四象限，判断求解． 【详解】解：∵， ∴在第二，四象限，在第一，三象限． 故选：A． 24．（23-24九年级上·河南商丘·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项， 当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确， 故选：A． 25．（21-22九年级上·河南周口·期末）直线y＝ax﹣ab与双曲线y＝的图象如图所示，则（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质和双曲线的图象与性质即可得． 【详解】解：∵y＝ax﹣ab的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，﹣ab＞0， ∴b＞0， ∵双曲线的图象在一、三象限， ∴bc＞0， ∴c＞0， 综上可得，a＜0，b＞0，c＞0， 故选C． 26．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定的长度， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，即可求解．， 【详解】（1）在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得： 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或； （3）设点P的坐标为， 则， ， 解得：或， 点P的坐标或 27．（22-23九年级上·河南焦作·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)的面积为8 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式的解析式为； （2）解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，； （3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D， 把代入得， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴ ． 28．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．    (1)求k的值； (2)根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集； (3)将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在直线上可得a，将点B代入即可求解． （2）由反比例反比例函数大于一次函数时反比函数图像位于一次函数上方即可求解； （3）直线向上平移个单位可得，联立平移后的直线与反比例函数即可得点C坐标，过B作得求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， 将点代入得： ． （2）原不等式变形得：， 即可看作反比例函数大于一次函数， ， 由图可知可得：    ． （3）直线向上平移个单位得： ， 联立， 解得：或（舍去）， 点C坐标为， 过B作，    点M坐标为，点N坐标为， 29．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， (1)求函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或者 (3) 【分析】（1）先把代入得到，据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出k即可； （2）根据（1）中求得出B点坐标，结合以及函数图像进而求得结论； （3）根据待定系数法求出一次函数解析式，得到直线与y轴的交点坐标，将分割为，求出即可． 【详解】（1）解：A、B点是一次函数与反比例函数的交点， ∴A，B点在一次函数上， ∴当时，；当时， ∴，， 将A点坐标代入反比例函数，∴，即， 即反比例函数的解析式为：． （2）解：一次函数值大于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∵、， ∴一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：或者． （3）解：设一次函数与x轴的交点为， ． 30．（21-22九年级上·河南信阳·期末）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … (1)列表，写出表中a，b的值：__________，_________； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________． ①函数的图像关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值是； ③在自变量x的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大； ④函数与x轴必有两个交点； (3)已知函数的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；；图见解析 (2)①② (3)或 【分析】（1）已知解析式，代入x的值，即可算出对应的y值，即可得出答案； （2）结合图像即可分析函数的对称性、增减性、最值、交点问题； （3）结合图像分析不等式与函数的关系，即可得出结论． 【详解】（1）函数， 令，可得， 故； 令，可得， 故， 故答案为：；． 描点、连线，在画出该函数的图像如下： （2）由函数的图像可得： ①函数的图像关于轴对称，①正确； ②当时，函数有最小值，最小值是，②正确； ③自变量时，函数的值随自变量的增大而增大；自变量时，函数的值随自变量的增大而减小，③错误； ④由于恒成立，故函数的图像与轴不可能有交点，④错误， 故答案为：①②． （3）不等式表现在图像上， 即函数的图像比函数的图像低， 因此观察图像可得到的解集为：或． 题型四 一次函数与反比例函数的交点问题 31．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． 根据反比例函数图象的特点得出点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为2， 点的横坐标为． 由函数图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方， 当时，的取值范围是或． 故选：A． 32．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，过点分别作x轴，y轴的平行线，交直线于A，B两点，若反比例函数的图象与有公共点，则k的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知当k最小时正好过点C，当直线与反比例函数只有一个交点时，k取得最大值，从而可以求得k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象与有公共点，过点分别作x轴、y轴的平行线，交直线于A、B两点， ∴当经过点C时，， 当与的图象只有一个交点时， ∴方程有两个相等的根， ∴方程整理为：， ∴，解得，， ∴反比例函数的图象与有公共点，则k的取值范围是， 故选：C． 33．（18-19九年级上·河南信阳·期末）正比例函数的图象与反比例函数 的图象的交点位于  (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限 【答案】D 【分析】将两个函数的解析式联立方程组，解之得出交点坐标，再根据象限内点的坐标特点，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的相交， ∴可得， 解得：或， ∴正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点坐标为，， ∴正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点位于第一、三象限． 故选：D． 34．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，确定点C坐标是解题的关键．先求出点坐标，进而求出点坐标，得到点坐标，即可得出结论． 【详解】∵直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，， 故， ∴， 故答案为：5． 35．（21-22九年级上·河南商丘·期末）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是x＜﹣2或 ． 【答案】0＜x＜1 【分析】观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象的下方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，y1＜y2时的x的取值范围为：x＜−2或0＜x＜1， 故答案为：0＜x＜1． 36．（21-22九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A，直线与函数的图象交于点B，与x轴交于点C．若点B的横坐标是点A的横坐标的2倍，则k的值为 ． 【答案】 【分析】设，则，求出的值，进而求． 【详解】解：直线与函数的图象交于点， ， 设，则， 代入， ， 即， 解得，， 把，代入，得， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．    (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到，，，再由为的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可； （2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象分别与交于点和点， ， 反比例函数的表达式为 四边形是矩形， ，， 点，且点为的中点． ， ∴点D的横坐标为3， 在中，， ； （2）解：当直线经过点时，则， 解得； 当直线经过点时，则， 解得； ∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合） ∴． 38．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，交反比例函数的图象于，两点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)将直线向下平移个单位长度，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合； （1）根据待定系数法求解即可； （2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的的范围即可； （3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上，   ∴，   ∴反比例函数解析式为：， ∵在反比例函数图象上，   ∴，， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得：，   ∴一次函数解析式为：； （2）根据图像，不等式的解集为：或； （3）设直线向下平移个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ，   ∴， 或， 因为点，   ∴不符合题意舍去．   ∴． 39．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q． (1)求这两个函数的解析式； (2)填空：①当时，x的取值范围为________________．②若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）由A坐标求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出点B坐标，待定系数法求出直线解析式即可； （2）①根据函数图象，可直接写出时自变量x的取值范围；②设点P的坐标为则，，，根据面积为3列出方程解出m值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：在函数为的图象上， 反比例函数解析式为：， 当时，， ， 一次函数过，， ， 解得： 一次函数解析式为； （2）解：①根据函数图象，当时，x的取值范围为：， 故答案为：； ②设点P的坐标为则，， ， ， 整理得， 解得或， 或． 40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，交y轴交于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，x的取值范围是：______； (3)点D在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接CE．求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)4 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键． （1）将代入得，则A点坐标为，代入反比例函数解析式即可求解； （2）先求出两图象交点，结合图象写出结论即可； （3）先把点代入直线表达式求出点坐标，进而根据两点横坐标代入反比例函数表达式求出点坐标，求出点C坐标，根据可求出答案． 【详解】（1）解：将代入得： ， 点坐标为， 点A在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的表达式为：； （2）解：由题意得：， 解得：， ，， 当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （3）解：将代入一次函数得： ， 即点的坐标为， 将代入反比例函数得： ， 即点坐标为， 当时，，即， ， ． 41．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，并求的面积； (3)将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线向下平移了几个单位长度？ 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) (3)直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，以及一元二次方程． （1）设点的坐标为，根据，可求得点的坐标，进而可求得答案； （2）根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，可得，进而可求得点的坐标； （3）设直线平移后的表达式为，根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于一点，可得，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设点B的坐标为． 令，则， 解得， ∴点C的坐标为， ∵，解得． ∴点B的坐标为． 因为反比例函数的图象过点B，得， 解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立得， 变形，得， 解得，． ∴点A的坐标为． ∴； （3）解：直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度，理由如下： 设直线平移后的表达式为， 由一次函数的图象与反比例函数的图象相交于一点，得， 变形，得， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点， ∴， 解得：，， ∴或， ∴直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度． 题型五 反比例函数与一次函数的综合应用 42．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】连接，根据图象先证明与的面积相等，再根据题意分别计算出与的面积即可得的面积． 【详解】解：连接，设与y轴交于点D，如图，    ∵反比例函数与函数的图象为中心对称图形， ∴O为的中点， ∴， ∵由题意得A点在上，B点在上， ∴，； ∴， ∴． 故选：C． 43．（2023·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形于点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出反比例函数解析式为，再求出直线的解析式为，设，则，则，由平行四边形的面积是，得到，解得，则． 【详解】解：把点代入到反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故选C． 44．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明与都是等腰直角三角形，证明、可证明，由此判断①；由与都是等腰直角三角形，得到，继而得到，，从而得到可判断②；由可得，可判断③；设，则，，由结论③可得，即，可判断④． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 一次函数中， 令，得， 令，得， ， ， ∴， 与都是等腰直角三角形， ， 同理可得， ； 故①正确； 与都是等腰直角三角形， 故②正确； 故③正确； 设， 则，， 由结论③可得：， ∴， ∴， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 45．（23-24九年级上·河南安阳·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)； (2)不合理，理由见解析． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合在实际问题中的应用，掌握“建模”思想是解题关键． （1）设所在的反比例函数的解析式为，将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，分别求出当时，一次函数与反比例函数的自变量的值，即可作出判断． 【详解】（1）解：设所在的反比例函数的解析式为． 由题意知，解得， ∴所在的反比例函数的解析式为． （2）解：不合理．理由如下： 设直线的解析式为 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 将代入， 得， 解得； 将代入， 得，解得． ， ∴老师的安排不合理． 46．（22-23九年级上·河南安阳·期末）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量与燃烧时间之间的函数关系如图所示，其中当时，y是x的正比例函数，当时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 【答案】(1) (2)本题中的消毒是有效消毒 【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据点，利用待定系数法即可得； （2）根据（1）的结果，求出时，y的值，由此即可得A点的坐标，利用待定系数法求出所在直线的表达式，再求出时x的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则当时，y与x的函数关系式为． （2）解：对于反比例函数， 当时，， 则点A的坐标为． 设所在直线的表达式为， 将点代入得：，解得， 则所在直线的表达式为， 将代入得：， 解得， 将代入得：， 解得， ∵， ∴本题中的消毒是有效消毒． 47．（21-22九年级上·河南新郑·期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示），已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为12毫克． （1）求药物燃烧时和药物燃尽后，y与x之间的函数表达式； （2）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于6毫克，且持续5分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌． 【答案】（1），；（2）能，理由见解析 【分析】（1）根据药物燃烧时，与成正比例，利用待定系数法进行求解；根据药物燃尽后，与成反比例，利用待定系数法进行求解； （2）求出药物燃烧时和药物燃尽后空气中每立方米的含药量6毫克的时间，再作差即可判断． 【详解】解：（1）由于在药物燃烧时，与成正比例，因此设函数解析式为， 由图示可知，当时，．将，代入函数解析式， 解得：， 解析式为： 由于在药物燃尽后，与成反比例，因此设函数解析式为， 同理将，代入函数解析式，解得． 药物燃尽后的函数解析式为， （2）当时，由得， 当时，由得， 含药量不低于6毫克的时间共有分钟分钟， 此次消毒能有效杀灭空气中的病菌． 48．（23-24九年级上·河南济源·期末）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B、D，连接．点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，．设直线的解析式为． (1)请结合图像直接写出不等式的解集； (2)求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线与交于点E，与反比例函数图像交于点F，当这条直线左右平移时，线段的长为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或3 【分析】（1）先求出点A的坐标和点C的横坐标，再结合函数图象进行求解即可； （2）把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式进而求出点C的坐标，再把A、C坐标代入一次函数中求解即可； （3）分别求出点E的纵坐标为，点F的纵坐标为，再根据线段的长为建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点A的坐标为，点C的横坐标为4， ∴由函数图象可知，当时，； （2）解：将A点坐标代入，得：， ∴反比例函数解析式为， 又∵， ∴， 将和分别代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：当时，点E的纵坐标为，点F的纵坐标为， 依题意，得：， 解得：或， ∴n的值为或3． 49．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求出反比例函数的解析式及点B的坐标； (2)观察图象，请直接写出满足的x的取值范围； (3)点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若的面积为2，求点P的横坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为， ； (2)或； (3)P点的横坐标为． 【分析】（1）把代入，，把代入，可得反比例函数的表达式为，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标； （2）观察函数图象即可求解； （3）设，，可得方程或，求得m的值，即可得到点P的横坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得， ∴，把代入，可得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点B与点A关于原点对称， ∴． （2）解：∵，， ∴根据图像得，的取值范围是或； （3）解：作轴于M，轴于N，连接，设， ∵三角形的面积三角形的面积，， ∴或， 整理得，或，解得，（舍去），，（舍去）， ∴P点的横坐标为． 50．（23-24九年级上·河南新乡·期末）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值； (3)在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明． 【详解】（1）∵直线过点， ∴ ∴将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为 （2）∵点在的图象上， ∴， ∴ 设平移后直线的解析式为， 将代入中，得4=1+b， 解得． （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵在反比例函数的图象上， ∴n=-4， ∴B（-4，-1） 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 又∵直线与轴、轴分别交于点，， ∴，， ∴ 在和中， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数的应用5大题型 题型一 求反比例函数的解析式 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列那个点在反比例函数上（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，将一块含的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为，顶点B的坐标为，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，则该双曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m，n，那么点在反比例函数图象上的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，纵坐标分别为1，4，则k的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）反比例函数的图象经过点，那么 ． 6．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数的图像经过点，则 ． 7．（23-24九年级上·河南周口·期末）反比例函数的图象经过和两点，则a的值为 ． 8．（23-24九年级上·河南焦作·期末）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时． 9．（22-23九年级上·河南信阳·期末）已知点关于原点对称的点在反比例函数的图象上，则 ． 10．（23-24九年级上·河南开封·期末）反比例函数的图象在二、四象限内，请写出一个满足条件的反比例函数表达式 ． 题型二 反比例函数与几何综合 11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为，对角线交双曲线于点D，轴，则k的值为（    ）． A．6 B． C．12 D． 12．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，菱形的边在x轴上，边交y轴于点D，点B的横坐标为1，，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A．12 B． C．15 D． 13．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点，，若反比例函数的图象经过点C，则k的值是（   ）    A．12 B．48 C．50 D．60 14．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若记，，…的面积分别为则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，已知正方形的中心与坐标原点重合，且正方形的一组对边与轴平行，是反比例函数的图象与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积和为4，则的值为 ． 16．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形（其中在x轴正半轴上）绕点O逆时针旋转得到矩形，与相交于点D，点落在y轴上，若点B的坐标为，则经过点D的反比例函数的解析式是 ． 17．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、在函数的图象上，过点A作轴的垂线，与函数的图象交于点，连结交轴于点，若点A的横坐标为1，且，则点B的横坐标为 ． 18．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．    19．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知四边形是矩形，反比例函数和一次函数的图象交于点，且点分别在上． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)请判断反比例函数的图象是否经过矩形的中心，并说明理由． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 20．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形和正方形的中心均与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且，反比例函数的图象在第二象限的部分与正方形交于点，且经过正方形的顶点，已知图中阴影部分的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 21．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求m的值及反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)观察图象，请直接写出的解集． 题型三 一次函数与反比例函数图象的综合判断 22．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（    ） A．B． C． D． 23．（23-24九年级上·河南安阳·期末）若，则在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A．  B．   C． D．   24．（23-24九年级上·河南商丘·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（    ） A．B．C．D． 25．（21-22九年级上·河南周口·期末）直线y＝ax﹣ab与双曲线y＝的图象如图所示，则（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0 26．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围； (3)在y轴上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（22-23九年级上·河南焦作·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 28．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．    (1)求k的值； (2)根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集； (3)将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积． 29．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， (1)求函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； (3)求的面积． 30．（21-22九年级上·河南信阳·期末）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … (1)列表，写出表中a，b的值：__________，_________； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________． ①函数的图像关于y轴对称； ②当时，函数有最小值，最小值是； ③在自变量x的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大； ④函数与x轴必有两个交点； (3)已知函数的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式的解集． 题型四 一次函数与反比例函数的交点问题 31．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 32．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，过点分别作x轴，y轴的平行线，交直线于A，B两点，若反比例函数的图象与有公共点，则k的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 33．（18-19九年级上·河南信阳·期末）正比例函数的图象与反比例函数 的图象的交点位于  (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限 34．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴于点B，，则k的值为 ． 35．（21-22九年级上·河南商丘·期末）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＜y2，则x的取值范围是x＜﹣2或 ． 36．（21-22九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A，直线与函数的图象交于点B，与x轴交于点C．若点B的横坐标是点A的横坐标的2倍，则k的值为 ． 37．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．    (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围． 38．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，交反比例函数的图象于，两点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)将直线向下平移个单位长度，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出的值． 39．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q． (1)求这两个函数的解析式； (2)填空：①当时，x的取值范围为________________．②若的面积为3，求点P的坐标． 40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，交y轴交于点C．    (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，x的取值范围是：______； (3)点D在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接CE．求的面积． 41．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，并求的面积； (3)将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线向下平移了几个单位长度？ 题型五 反比例函数与一次函数的综合应用 42．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 43．（2023·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形于点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形的面积是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，直线分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线于点A、B，且．下列结论：①与相似；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（23-24九年级上·河南安阳·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 46．（22-23九年级上·河南安阳·期末）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量与燃烧时间之间的函数关系如图所示，其中当时，y是x的正比例函数，当时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求当时，y与x的函数关系式； (2)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 47．（21-22九年级上·河南新郑·期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示），已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为12毫克． （1）求药物燃烧时和药物燃尽后，y与x之间的函数表达式； （2）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于6毫克，且持续5分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌． 48．（23-24九年级上·河南济源·期末）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B、D，连接．点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，．设直线的解析式为． (1)请结合图像直接写出不等式的解集； (2)求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线与交于点E，与反比例函数图像交于点F，当这条直线左右平移时，线段的长为，求n的值． 49．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求出反比例函数的解析式及点B的坐标； (2)观察图象，请直接写出满足的x的取值范围； (3)点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若的面积为2，求点P的横坐标． 50．（23-24九年级上·河南新乡·期末）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值； (3)在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$