专题5-1二次函数（考点清单，知识导图+8个考点清单&13种题型解读+4种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

专题5-1 二次函数 （8个考点梳理+13种题型梳理+4种方法解读） 【考点01】二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特征：1）函数关系式的左侧是因变量，右侧是含有自变量的是整式； 2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数不能为0. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 【考点02】二次函数的表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【考点03】二次函数的性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 【考点04】二次函数与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【考点05】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移规律：上加下减，左加右减. 2）二次函数的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 【考点06】二次函数与一元二次方程 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 【考点07】二次函数与不等式 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集． 注意：不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 【考点08】二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 【考点题型一】二次函数的识别 解题思路：1）看它的解析式右侧是不是含有自变量的整式，若不是,则不是二次函数； 2）看它是不是一个二次的整式，若不是，则不是二次函数; 3）判断其二次项的系数是不是0，若是，则不是二次函数. 【例1】．（23-24九年级上·广东惠州·期中）下列函数，，，，中，二次函数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（21-22九年级上·山西·期中）若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若是二次函数，则的值是（    ） A．或2 B．4 C．2 D． 【变式1-3】（20-21九年级·河南许昌·阶段练习）已知函数． （1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数； （2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数． 【考点题型二】二次函数的图象与性质 【例2】．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；，比较a，b，c，d的大小，用“”连接为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·北京海淀·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 【变式2-2】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数． (1)求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求出这个二次函数的图象与轴的交点； (3)写出图象随增大而增大时，的取值范围是_______． 【变式2-3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数． (1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)求出这个抛物线与轴的交点坐标． 【考点题型三】待定系数法求二次函数的解析式 解题方法：求二次函数解析式的常见方法： 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【例3】（23-24九年级上·广东广州·期中）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … … … … (1)求该抛物线的解析式． (2)根据上表填空： 抛物线与x轴的交点坐标是______和______； 抛物线经过点（，______），对称轴为______； 【变式3-1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的对称轴及顶点坐标． 【变式3-2】（22-23九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．求m的值及这个二次函数的关系式． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数（、为实数）的图象经过点，点． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标． (2)当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【考点题型四】二次函数的图象与各系数的关系 解题方法：1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 【例4】（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】（23-24九年级上·天津·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程的解为或，③；④当时，；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息： ； ； ； ． 你认为其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④ 中，正确结论的序号是 .   【考点题型五】二次函数图象的综合判断 【例5】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·山东威海·期末）已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·山东烟台·期中）抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表； x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【考点题型六】二次函数的对称性问题 解题技巧： 1）抛物线上两点关于直线x=对称，则 ①这两点在同一高度，即两点的纵坐标相同； ②这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 3）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y）. 【例6】（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式6-1】（23-24九年级上·山东烟台·期中）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式6-2】（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【考点题型七】二次函数的图象变换 【例7】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将抛物线：向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线：．则下列关于抛物线的解析式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【变式7-2】（22-23九年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【变式7-3】（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧）． (1)当时，求线段的长． (2)请直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式． (3)若抛物线经过点，将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，求抛物线的顶点的坐标． 【考点题型八】求二次函数的最值 【例8】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值（   ） A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关 【变式8-1】（20-21九年级上·四川南充·期末）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 【变式8-2】（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【变式8-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求，的值； (2)当时，求的最小值； (3)当时，求的取值范围． 【变式8-4】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（a为常数，且） (1)若函数图象过点，求a的值； (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值． 【考点题型九】求抛物线与坐标轴交点个数 【例9】（22-23九年级上·山西太原·期末）抛物线与两坐标轴交点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式9-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）抛物线与坐标轴交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式9-2】（23-24九年级上·山东济宁·期中）关于二次函数 (m是常数）不管m是什么实数，该函数图象与x轴的交点个数是 【变式9-3】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）若抛物线， (1)求证：不论为何值，抛物线与轴必有两个交点； (2)若抛物线与轴交于、两点，求、两点距离的最小值； (3)若且为整数，随的增大而增大，求实数取值范围． 【变式9-4】（23-24九年级上·广东江门·期中）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ． 【考点题型十】二次函数与一次函数交点问题 【例10】（2021·贵州贵阳·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-1】（22-23九年级上·四川成都·期末）已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是 ． 【变式10-2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）二次函数（是常数）的图象与x轴交于A，B两点． (1)若函数的图象经过点，且时，求m的最大值； (2)若一次函数（k，b是常数，），它的图象与的图象都经过x轴上同一点，且．当函数的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值． 【变式10-3】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解． 下面是通过方程思想解决二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： (1)请参照文中时的分析过程，直接写出当和时的二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况； (2)若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求c的取值范围； (3)当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式的解集． 【考点题型十一】图象法确定一元二次方程近似根或解一元二次不等式 【例11】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式11-1】（21-22九年级上·山东青岛·期中）根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式11-2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式11-3】（23-24九年级上·湖北孝感·期中）二次函数（、、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 0 3 3 3 当时，下列结论：①；②若点，在该抛物线上，则；③；④对于任意实数，总有．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【考点题型十二】二次函数与一元二次不等式 【例12】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数．    (1)在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并求该函数图像的顶点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【变式12-1】（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； … 0 1 2 3 … … …    (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【变式12-2】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围 ． (3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ． 【变式12-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，二次函数的图象经过、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________． (3)不等式的解集为__________； 【考点题型十三】二次函数与实际问题 【例13】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． (1)设降价x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，______； (2)请你测算一下，当售价为多少元时，可使日销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式13-1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【变式13-2】（23-24九年级上·江西·期末）打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． (2)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． (3)若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 【变式13-3】（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【变式13-4】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x的函数表达式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-1 二次函数 （8个考点梳理+13种题型梳理+4种方法解读） 【考点01】二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特征：1）函数关系式的左侧是因变量，右侧是含有自变量的是整式； 2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数不能为0. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 【考点02】二次函数的表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【考点03】二次函数的性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 【考点04】二次函数与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【考点05】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移规律：上加下减，左加右减. 2）二次函数的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 【考点06】二次函数与一元二次方程 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 【考点07】二次函数与不等式 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集． 注意：不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 【考点08】二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 【考点题型一】二次函数的识别 解题思路：1）看它的解析式右侧是不是含有自变量的整式，若不是,则不是二次函数； 2）看它是不是一个二次的整式，若不是，则不是二次函数; 3）判断其二次项的系数是不是0，若是，则不是二次函数. 【例1】．（23-24九年级上·广东惠州·期中）下列函数，，，，中，二次函数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义；根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：，，是二次函数， 是一次函数，是反比例函数， ∴二次函数的个数为3个， 故选：B． 【变式1-1】（21-22九年级上·山西·期中）若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若是二次函数，则的值是（    ） A．或2 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，据此作答即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， ∴． 故选：D． 【变式1-3】（20-21九年级·河南许昌·阶段练习）已知函数． （1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数； （2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数． 【答案】（1）；（2）且． 【分析】（1）根据一次函数的定义列出不等式组，然后求解即可； （2）根据一次函数的定义列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：（1）∵函数是一次函数， ∴，解得：． 即当时，这个函数是关于的一次函数． （2）函数是二次函数， ∴，解得：且． 即当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解答本题的关键． 【考点题型二】二次函数的图象与性质 【例2】．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；，比较a，b，c，d的大小，用“”连接为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象，利用抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小解题． 【详解】解：由抛物线的开口方向和大小可知，，， ， 故选：A． 【变式2-1】（23-24九年级上·北京海淀·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数． (1)求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求出这个二次函数的图象与轴的交点； (3)写出图象随增大而增大时，的取值范围是_______． 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标为； (2)与x轴的交点坐标为，； (3) 【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）令，可求出与x轴的交点坐标； （3）根据二次函数的图像开口向下，以及对称轴是直线可得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴这个二次函数图像的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：当时，即， 解得：，， 与x轴的交点坐标为，； （3）解：∵ ∴二次函数的图像开口向上， ∵对称轴是直线， ∴图象随增大而增大时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，与坐标轴的交点问题、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式2-3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数． (1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)求出这个抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)开口方向向下，对称轴，顶点坐标是 (2)抛物线与轴的交点坐标是 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用解析式求坐标轴的交点的方法以及顶点坐标公式是本题的关键． （1）根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴． （2）当时，，解方程可求得与轴的交点为，． 【详解】（1）， 开口方向向下，对称轴，顶点坐标是； （2）当时，，解得， 抛物线与轴的交点坐标是． 【考点题型三】待定系数法求二次函数的解析式 解题方法：求二次函数解析式的常见方法： 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【例3】（23-24九年级上·广东广州·期中）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … … … … (1)求该抛物线的解析式． (2)根据上表填空： 抛物线与x轴的交点坐标是______和______； 抛物线经过点（，______），对称轴为______； 【答案】(1) (2)，直线 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及的图象和性质，解题的关键在于从表格中获取需要的信息． （1）由表格可知抛物线过点，，，再结合待定系数法求解，即可解题； （2）①直接根据表格信息求解，即可解题； ②利用抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴，再结合二次函数的对称性求解，即可解题． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线过点，，， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①由表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和； 故答案为：，； ②由表格可知抛物线对称轴为直线， 与关于直线对称，且抛物线过点 抛物线经过点； 故答案为： ，直线． 【变式3-1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1)这个二次函数的解析式为：； (2)这个二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将一般式化为顶点式，掌握以上知识是解题的关键． （1）将点，代入二次函数，待定系数法求解析式即可求解； （2）将一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数，得 ， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式3-2】（22-23九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．求m的值及这个二次函数的关系式． 【答案】， 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，先把点坐标代入可求出，由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式，然后把点坐标代入求出即可． 【详解】解：把代入得， 解得； ∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以二次函数解析式为． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数（、为实数）的图象经过点，点． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标． (2)当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1)该二次函数的解析式，顶点坐标为； (2)该二次函数的最大值为5，该二次函数的最小值为． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，利用二次函数图象上点的坐标特征，确定二次函数的极值和函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）根据的取值范围可知抛物线的顶点二次函数可取得最大值，再由二次函数的对称性和图象，即可得出找到最小值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ，解得， 该二次函数的解析式， ， 顶点坐标为； （2）解：的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为5， 根据二次函数的对称性，由图象可知： 当时，函数有最小值，最小值． 【考点题型四】二次函数的图象与各系数的关系 解题方法：1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 6）特殊点代入确定a，b，c的关系. 7）根据抛物线的顶点，判断的大小. 【例4】（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性，增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点，且， ∴抛物线开口向下，则，， ， 故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴函数的最大值为， ∴对任意实数m都有：，即，故②错误； ∵对称轴为，． ∴当时的函数值大于0，即， ∴，故③正确； ∵对称轴为，点的对称点为， ∵抛物线开口向下， ∴若，则，故④正确； 综上，正确的有③④共2个． 故选：B． 【变式4-1】（23-24九年级上·天津·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程的解为或，③；④当时，；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据题意，求得，根据二次函数的图象和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断． 【详解】①由题可知对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为，故①正确； ②因为抛物线过点， ∴方程的解为或，故②正确； ③由图可知，当时，函数值为，故③错误； ④由图可知，当时，，故④正确； ⑤由图可知，当时，随增大而减小，故⑤错误； 故选：B． 【变式4-2】（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息： ； ； ； ． 你认为其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点位置可判断出的符号，且能确定和的关系，可判断；由和时的函数值，可判断；由二次函数图象确定的符号及系数的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴的上方， ∴，， ∵对称轴为，     ∴， ∴，， ∴，故正确，错误； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴， ∴，故正确； ∴正确的有个， 故选：． 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④ 中，正确结论的序号是 .   【答案】②③④ 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象与交点的个数来判定的符号；将时，来推知的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定的符号；根据图象的对称轴来判断的正误． 【详解】解：①根据二次函数的图象知，该抛物线与轴有两个不同的交点，所以；故本选项错误； ②根据图示知，当时，，把代入， 得到，故本选项正确； ③抛物线的开口向下， ； 又该抛物线与交于正半轴， ， 而对称轴， ， ；故本选项正确； ④由③知，，故本选项正确； 故答案为：②③④． 【考点题型五】二次函数图象的综合判断 【例5】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）抛物线的对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性求二次函数的对称轴即可． 【详解】解：令，则 解得：， ∴ 抛物线的对称轴是， 故选D． 【变式5-1】（23-24九年级上·山东威海·期末）已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴点关于直线对称的点为， ∴该抛物线必然还经过点， 故选：D． 【变式5-2】（23-24九年级上·山东烟台·期中）抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表； x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，先根据表格确定抛物线的对称轴，根据对称性，求出另一个交点坐标即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为：； 故答案为： 【变式5-3】（23-24九年级上·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得抛物线的对称轴为，再利用抛物线的对称轴公式可得的值； （2）对于任意的，随的增大而减小，分类讨论和时的取值范围，当时不能满足，都有，当时可以满足对于，都有的条件，使得对称轴，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）抛物线的对称轴为，且， 对称轴为：， 即， 解得． （2）由题意可得，对于任意的，随的增大而减小， ①当时，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴的右侧都有，故不符合题意； ②当时，对于任意的，随的增大而减小， 从而， 解得：． 【点睛】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键． 【考点题型六】二次函数的对称性问题 解题技巧： 1）抛物线上两点关于直线x=对称，则 ①这两点在同一高度，即两点的纵坐标相同； ②这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 3）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y）. 【例6】（2023·山西太原·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 【变式6-1】（23-24九年级上·山东烟台·期中）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在一、三象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过一、三、四象限， 故选：C． 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和抛物线的图像特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； 故选：C． 【考点题型七】二次函数的图象变换 【例7】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将抛物线：向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线：．则下列关于抛物线的解析式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，抓住点的平移规律是解题的关键． 根据题意向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线解析式即可． 【详解】解：由题意可知：将向右平移2个单位后得，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到； 故选A． 【变式7-1】（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（22-23九年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数对称轴，二次函数的平移规律，二次函数与坐标轴的交点情况，二次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握二次函数的图像与性质． （1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）根据题干和函数的平移规律，得到、的值，即可求得抛物线的解析式； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴得到“离对称轴越远，函数值越小，”，根据点的横坐标判断其与对称轴的距离，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：直线与轴交于点， ， 抛物线经过点， ， 抛物线是由抛物线经过平移得到的， ， 抛物线的解析式为； （3）解： ，对称轴为， 离对称轴越远，函数值越小， 点，，在抛物线上， 又 ，，，且， ． 【变式7-3】（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧）． (1)当时，求线段的长． (2)请直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式． (3)若抛物线经过点，将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，求抛物线的顶点的坐标． 【答案】(1)线段的长为5 (2)抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为 (3)抛物线为或，抛物线的顶点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，抛物线与x轴的两个交点坐标，即可得到线段的长； （2）把抛物线化为顶点式，再根据关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数即可得到答案； （3）根据抛物线L经过点求出a的值，根据平移规律求出抛物线的解析式，化为顶点式，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，抛物线，即， 当时，，即， 解得， ∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， 即线段的长为5； （2）解：∵，关于原点O对称的点的横纵坐标均互为相反数， ∴抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为，即， ∴抛物线L关于原点O对称的抛物线的解析式为； （3）解：∵抛物线L经过点， ∴，即， 解得， ∴抛物线或， ∴将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度， 得到抛物线为或， ∴抛物线的顶点的坐标为或． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的平移、二次函数的顶点式、关于原点对称的点的特征等知识，熟练掌握二次函数的平移、二次函数的顶点式是解题的关键． 【考点题型八】求二次函数的最值 【例8】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值（   ） A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当时，即， 当时，二次函数有最大值为：，即， ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当， 当时，二次函数有最大值为：． ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当时，即， 当时，二次函数取最小值为． 此时①若，即， 当时，二次函数的最大值为， ． ，与有关但与无关． ②若，即， 当时，二次函数的最大值为，即． ． ，与有关但与无关． 故选：D． 【变式8-1】（20-21九年级上·四川南充·期末）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 【变式8-2】（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键． 由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最大值， ∴， 解得； 综上所述：k的值为或． 故答案为：或． 【变式8-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求，的值； (2)当时，求的最小值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)有最小值 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的图象和性质，解题的关键是待定系数法求出二次函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合得到当时，取得最小值； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ， 解得； （2）由（1）知，， ，， 当时，有最小值； （3）如图， 当时，，解得或， 当时，，解得或， ∴时，的取值范围为或． 【变式8-4】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（a为常数，且） (1)若函数图象过点，求a的值； (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入表达式求解即可； （2）分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：函数图象过点得 解得： （2）由可知对称轴为直线 ①当时，开口方向向上，当时 当时取最小值，当时取最大值 ， 解得，满足题意． ②当时，开口方向向下，当时 当时取最大值，当时取最小值 ， 解得  满足题意． 综上所述：． 【考点题型九】求抛物线与坐标轴交点个数 【例9】（22-23九年级上·山西太原·期末）抛物线与两坐标轴交点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，，即， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为和， 当时，, ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∴抛物线与坐标轴的交点个数为2个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当时，x的值时解题的关键． 【变式9-1】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）抛物线与坐标轴交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数． 【详解】解：令，则， ∵， ∴抛物线与x轴有两个点， ∵时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3个， 故选：B． 【变式9-2】（23-24九年级上·山东济宁·期中）关于二次函数 (m是常数）不管m是什么实数，该函数图象与x轴的交点个数是 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，根据根的判别式得出一元二次方程有两个不等的实数根，即可得出结果． 【详解】解：当时， ，，， ， 方程有两个不等的实数根， 该函数图象与x轴的交点个数是2， 故答案为：2． 【变式9-3】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）若抛物线， (1)求证：不论为何值，抛物线与轴必有两个交点； (2)若抛物线与轴交于、两点，求、两点距离的最小值； (3)若且为整数，随的增大而增大，求实数取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题； （1）令，即，计算，即可得证； （2）设、两点坐标分别为，则是方程的两个实数根，根据根与系数的关系式得出，设、两点距离为，进而根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据解析式可得对称轴为直线，根据题意且为整数，则当时的函数值大于的函数值，即可求解． 【详解】（1）证明：令，即， ∵ ； （2）设、两点坐标分别为， 则是方程的两个实数根， ∴ 设、两点距离为， ∴ ∴、两点距离的最小值 （3）∵抛物线的对称轴为直线， 当时， 随的增大而增大， 又∵且为整数，则当时的函数值大于时的函数值， ∴， 即． 【变式9-4】（23-24九年级上·广东江门·期中）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，根据抛物线与轴只有一个交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点， 令， ， 解得：或5， 故答案为：或5． 【考点题型十】二次函数与一次函数交点问题 【例10】（2021·贵州贵阳·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得． 【详解】对于一次函数， 当时，， 当时，， 二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： （1）当时， 若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0， 即或， 不等式可化为， 利用因式分解法解方程得：， 由二次函数的性质可知，当时，或（舍去）， 同理可得：不等式无解， 综上，此时的取值范围为； （2）当时， 若两个函数的图象没有交点，则无解， 即关于的方程无解， 则方程的根的判别式， 解得， 则此时的取值范围为； （3）当时， 当时，二次函数的函数值为， 所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点， 则此时的取值范围为； 综上，的取值范围为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数以一次函数的综合，根据一次函数的取值范围，正确分三种情况讨论是解题关键． 【变式10-1】（22-23九年级上·四川成都·期末）已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为 ，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线 有唯一公共点时的值，即可求解． 【详解】解：如图， 当时，， 解得， ，， 抛物线翻折到轴下方的部分的解析式为 ， 当直线经过时，，解得， 当直线与抛物线 有唯一公共点时，把代入 得到的方程有两个相等的实数根，整理，得， ， 解得， 当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与抛物线的交点问题，根据题意作出符合条件的图是解题的关键． 【变式10-2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）二次函数（是常数）的图象与x轴交于A，B两点． (1)若函数的图象经过点，且时，求m的最大值； (2)若一次函数（k，b是常数，），它的图象与的图象都经过x轴上同一点，且．当函数的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值． 【答案】(1)2 (2)4或 【分析】（1）将已知条件代入解析式中，得到m关于x1的函数关系式，利用二次函数的性质，配方法解答即可得出结论； （2）利用分类讨论的思想方法分别得到y关于的解析式，再利用待定系数法和已知条件解答即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，m有最大值为2． ∴m的最大值为2； （2）解：由题意：二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点， ①若两函数的图象都经过x轴上同一点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵函数的图象与x轴仅有一个交点， ∴， 即， 整理得：， ∴， ∵， ∴； ②若两函数的图象都经过x轴上同一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象与x轴仅有一个交点， ∴， 即， 整理得：， ∴， ∵， ∴． 综上，当函数的图象与x轴仅有一个交点时，k的值为4或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，数形结合法，利用待定系数法和分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 【变式10-3】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解． 下面是通过方程思想解决二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： (1)请参照文中时的分析过程，直接写出当和时的二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况； (2)若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求c的取值范围； (3)当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)时二次函数的图象与一次函数的图象无交点；时二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程判断根的关系，二次函数与坐标轴交点问题． （1）根据题意即可写出和的情况； （2）将与联立方程组，计算即可得到本题答案； （3）利用（2）中的结果取最小正整数为值，利用二次函数图象即可得到不等式阶级． 【详解】（1）解：∵当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． ∵当时，方程没有实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象无交点， ∵当时，方程有两个相等实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点； （2）解：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点， ∴时，即：，解得：； （3）解：∵当（2）中的c取最小正整数时，， ∴， ∴， ∴二次函数图象如下图所示： ， ∵，解得：， 通过图象可知的解集为：或． 【考点题型十一】图象法确定一元二次方程近似根或解一元二次不等式 【例11】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，观察表格第二行中的数字，与最接近时的范围即为所求根的范围．． 【详解】解：∵ ∴的一个近似解的范围为． 故选：C． 【变式11-1】（21-22九年级上·山东青岛·期中）根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：A． 【变式11-2】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式11-3】（23-24九年级上·湖北孝感·期中）二次函数（、、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 0 3 3 3 当时，下列结论：①；②若点，在该抛物线上，则；③；④对于任意实数，总有．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，根据已知条件求出抛物线的对称轴及c的值，可得，可判断①；根据当时，，可得，，可判断②③；求出函数的最大值，可判断④．熟练掌握二次函数的性质和图象是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当和时，， 二次函数图象的对称轴为直线，， ． ，， a与b异号， ， ，故①正确； 对称轴为直线，且当时，， 将代入，得：， 即， ， ， 抛物线开口向下， ， ，故②正确； ， ，故③错误； 当时，y有最大值， 将代入，得最大值为， 对于任意实数，总有 ，故④正确． 综上可知，正确的有①②④，共3个， 故选A． 【考点题型十二】二次函数与一元二次不等式 【例12】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数．    (1)在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并求该函数图像的顶点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)作图见解析，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）列表、描点、连线可得函数图像，然后化成顶点式求顶点坐标即可； （2）根据二次函数的图像与性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，列表格如下： 0 1 2 3 4 3 6 7 6 3 描点、连线，作图像如下： ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由题意知，对称轴为直线， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 【变式12-1】（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； … 0 1 2 3 … … …    (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【答案】(1)0，，0，图象见解析 (2)①增大，② 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）分别计算出时，时，时的函数值，再在平面直角坐标系中描点，最后用平滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图象即可解答； ②根据图象，找出抛物线位于x轴下方的图象对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：0，，0， 画出函数图形如图所示：    （2）解：①由图可知，当时，随的增大而增大； 故答案为：增大； ②由表可知，抛物线与x轴相交于， 由图可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式12-2】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围 ． (3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． （1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解； （3）根据顶点旋转可直接得出答案． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）， 抛物线开口向下，有最大值4， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． （3）抛物线，线绕其顶点旋转，得出． 【变式12-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，二次函数的图象经过、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________． (3)不等式的解集为__________； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为，进而代值求解a值即可； （2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线与二次函数图象有两个交点时的m值的取值范围即可； （3）先判断出二次函数的图象与直线的交点坐标为，，再根据图象，求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式， 将代入，得， ∴二次函数的解析式为，即； （2）解：∵， ∴当时，y有最小值， ∴当时，直线与二次函数的图象有一个交点，即方程有两个相等的实数根， 当时，直线与二次函数的图象有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：； （3）解：由图可知，二次函数的图象与直线的交点坐标为，， ∴当或时，二次函数的图象位于直线上方， 故不等式的解集为或， 故答案为：或． 【考点题型十三】二次函数与实际问题 【例13】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． (1)设降价x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，______； (2)请你测算一下，当售价为多少元时，可使日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用． （1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）解：设日销售利润为元，降价x元，由题意得： ， ， 当时，（元），此时售价为（元）； 答：每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元． 【变式13-1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米 (2)①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 【变式13-2】（23-24九年级上·江西·期末）打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． (2)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． (3)若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 【答案】(1)； (2)； (3)不能． 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． （）由题意可得抛物线的顶点坐标，再用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解； （）同理（）即可求解； （）把代入第二次飞越时抛物线的函数表达式求出的值即可判断求解； 【详解】（1）解：由题意可得，水漂第一次飞越时，该抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为，把点代入得， ， 解得， ∴第一次飞越时抛物线的函数表达式为； （2）解：∵水漂第二次飞越时最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴水漂第二次飞越时抛物线的顶点的纵坐标为， 又∵第二次飞越时抛物线与原来的抛物线形状相同， ∴可设第二次飞越时抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得（不合，舍去），， ∴第二次飞越时抛物线的函数表达式为； （3）解：把代入得， ， ∴水漂不能飞过米宽的河面． 【变式13-3】（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 【变式13-4】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x的函数表达式； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1) (2)的长是3米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）先表示出的长，再利用矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）令，求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：当时，则：， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，满足题意； ∴的长是3米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$