2024年苏科版中考数学几何模型专题七：圆中的模型（二）

编号： 10 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 圆专题2 教学内容 【模型预览】 模型1：双切线 模型2：三角形外接圆 模型3：三角形内接圆 模型4：定弦定角 模型1：双切线 “双切线”模型为中考的高频考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 “双切 线“模 型的相 关证明 与计算 圆的双切线(45次)、扇形(2次)、矩形(1次)、正方形(3次)、角(1次),图形如下: 1.在选择或填空题考查求角度、求线段长、求弧长、结论判断; 2.在解答题考查: (1)涉及的计算有:求长度、需将阴影部分面积进行求角度、求阴影部分面积等; (2)有时会结合折叠考查 1.常连接半径,根据切线的性质得到线段或角的关系,由此进行相关计算; 2.若求阴影部分面积,则转化,用直接公式法或面积和差法进行计算 【模型展现】 图示 条件 点P为⊙O外一点,PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B 结论 PA=PB 结论分析 结论:PA＝PB 证明:如图，连接OA，OB，OP， ∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∴OA＝OB，∠OAP＝∠OBP＝90°，在Rt△OAP和Rt△OBP中，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）, ∴PA＝PB. 【模型解题三步法】 例 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B.若∠OBA＝30°，PA＝3，则AB的长为 . 【题以类解】 1.如图，四边形ABCD为正方形，且边长为4，点E是BC边上一点，以AB为直径的半圆切DE于点F，则BE的长为（ ） A.2 C.1 2.如图，CA，CB为⊙O的切线，切点分别为A，B.AO与CB的延长线交于点E.AB,CO交于点M，连接OB，若sin∠，则的值为_____. 3.如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.若，，则折痕CD的长为_____. 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，点E为BC的中点，连接DE. （1）求证:DE是⊙O的切线; （2）若AC＝4，∠B＝45°，是否存在以点O， D，B，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出此时AD的长，若不存在，请说明理由. 5. 如图① ，抖空竹是一项传统体育运动，是国家级非物质文化遗产之一.小雨对抖空竹的过程进行了研究，如图② ，空竹⊙O落下时与线AB,CD分别相切于点E,F,AB与CD相交于点G，A，B，C，D，O在同一平面内.已知⊙O的半径为1，，CG＝2GF，∠A＝ ∠D,BC∥EF. （1）求证:△EFG为等边三角形; （2）若F为CD的中点，求AB的长. 模型2：三角形外接圆 “三角形外接圆”模型为中考的高频考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 “三角形外接圆”模型的相 关证明与计算 一般锐角三角形(20次)、一般钝角三角形(3次)、直角三角形(11次)、等腰三角形(4次)、等边三角形(4次),图形如下: 1.在选择或填空题考查: (1)求角度、求线段长、求 面积; (2)以结论开放形式考查; (3)结合尺规作图考查 2.在解答题涉及考查,题型多为切线的相关证明与计算 在解题时最常用的辅助线是连接半径,在解答题中涉及连接真径并构造真角三角形,在求线段时涉及作垂线,根据圆的 基本性质及垂径定理解题 【模型展现】 基础模型 图示 条件 ⊙O是△ABC的外接圆 结论 OA＝OB＝OC，O为△ABC的外心（三边垂直平分线的交点） 【模型解题三步法】 例1 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝9，，则⊙O的半径为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 例2 如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，则 △ABC的外心可能是（ ） A.点M B.点N C.点P D.点Q 【题以类解】 1.（模型迁移）如图，在平面直角坐标系中，A（0，-3），B（2，-1），C（2，3），则△ABC的外心坐标为 （ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（1，-2） D.（1，2） 2.如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为6，分别沿AB和AC折叠⊙O纸片， AB和AC都经过圆心O，则图中阴影部分的面积为（ ） D.12 3.（模型构造）如图，O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E,若∠ADC＝2∠C,DE＝2,则AC的长为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC,垂足为D. （1）尺规作图:① 作∠BAD的平分线交⊙O于点E; ② 作△ABE的外接圆圆心P（不写作法，保留作图痕迹）; （2）在（1）的条件下，若AE为⊙P的直径，AE与 BC 交于点 F. ① 求证:∠AEB＝∠AFD; ② 若AB＝10，BF＝5，求DF的长. 模型3：三角形内接圆 “三角形内切圆”模型为中考的考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 考法1 般三角形 内切圆的 相关计算 一般三角形(3次),图形如下: 1.在选择或填空题考查: (1)结论判断,阴影部分面积的计算; (2)结合尺规作图 2.在解答题考查尺规作三角形外接圆并进行相关计算 根据切线的性质结合进行相关计算,在计算阴影部分面积时需根据内切圆结论确定扇形角度,计 算半径时常用勾股定理 考法2 等边三角形内切圆的相关计算 等边三角形(2次),图形如下: 在选择题考查求面积比、求角度 根据切线的性质结合等边三角形的性质进行相关计算 考法3 直角三角形内切圆的相关计算 矩形(1次)、直角三角形(5次)、坐标系(1次),图形如下: 1.多在选择或填空题考查阴影部分面积的计算、与坐标系结合求三角形的内心坐标; 2.在解答题涉及考查 根据直角三角形内切圆的结论进行相关计算 【模型展现】 图示 条件 ⊙O是△ABC的内切圆（点O为△ABC的内心，⊙O分别与边AB，BC，AC相切于点D，E，F） 结论 1.∠BOC＝90°∠BAC，∠AOC＝90°∠ABC，∠AOB＝90°+ ∠ACB 2.S△ABC（AB+BC+AC）·OD 结论分析 结论1:∠BOC＝90°∠BAC，∠AOC＝90°∠ABC，∠AOB＝90°∠ACB 证明:∵AB，BC，AC分别是⊙O的切线，点D，E，F为切点，∴∠ODA＝∠OEB＝∠OFC＝90°， ∴∠BOC＝360°-（90°∠ABC）-（90°∠BAC）-（90°∠BAC）-（90°∠ACB） （∠ABC+∠BAC+∠BAC+∠ACB）（180°+∠BAC）＝90°∠BAC. 同理可证得∠AOC＝90°∠ABC，∠AOB＝90°∠ACB. 结论2:S△ABC（AB+BC+AC）·OD 自主证明: 【模型解题三步法】 例1 如图，⊙O内切于△ABC，若∠AOB＝100°，则∠C的度数为 . 例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，点D是△ABC的内心，则BD的长为 . 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在三角形: 作内切圆⊙D，连接DA，DE， Rt△ABC DF, DH （AB+AC-BC） 是否存在内心: 四边形AEDH是正方形 点D 【题以类解】 1.如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝10，⊙O为△ABC的内切圆，且半径为，若△ABC的面积为，则AC的长为（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 2.如图,在△ABC中,AB＝BC,过点B作BD⊥AC于点D,P是△ABC内一点,连接CP交BD于点E，且∠BPE＝108°，连接AP，若点P恰好为△ABE内心，则∠PEB的度数为（ ） A.36° B.48° C.60° D.72° 3.如图，在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,⊙O是四边形ABCD的内切圆,若AD＝3,BC＝6,则cos∠DCB的值为_____. 4.请阅读下列材料，并完成相应的任务: 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为:设a，b，c为三角形三边，S为三角形的面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一.而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则.海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式.下列是秦九韶公式→海伦公式的变形过程: 任务: （1）将上述变形过程补充完整; （2）若△ABC的三边长分别为5，12，13，求△ABC的面积; （3）请你证明下面这个公式:如图，△ABC的内切圆⊙O的半径为r，三角形的三边长为a，b，c，记，S为三角形的面积，求证:S＝pr. 模型4：定弦定角 “定弦定角”模型为中考的考查模型，总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 “定弦定角” 模型的相关 计算 角(2次)、直角三角形(2次)、一般三角形(1次)、菱形(2次)、矩形(2次)、正方形(1次),图形如下: 1.常在填空或选择题考查求最值,有时在结论判断题中涉及; 2.在解答题考查: (1)在活动探究题中涉及; (2)在二次函数综合题中涉及 找到定弦及对应的定角作圆,再根据已知条件及圆的性质解题 【模型展现】 图示 条件 在△ABC中,AB为定长,∠C=α为定角度 结论 当α<90°时,点C在优弧ACB上运动(不与点A,B),∠ACB=∠AOB 当α=90°时,点C在⊙O上运动(不与点A,B重合),弦AB为⊙O的直径 当α>90°时,点C在劣弧AB上运动(不与点A,B重),∠AOB+∠ACB=180° 推论 成等腰三角形(AC=BC),即点C为AB的中点时,点C到AB的距离最大,且此时△ABC的面积最大 结论分析 推论:构成等腰三角形（AC＝BC），即点C为AB的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大 证明:如图，⊙O为△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥AB于点D，过点C作CE⊥ AB于点E, ∵OC+OD≥CE，∴当且仅当C，O，D三点共线时，CE的值最大，此时点D与点E重合，AC＝BC，∵CE为点C到AB的距离，∴S△·CE，又∵AB为定值， ∴CE的值最大时，S△ABC最大. 【模型解题三步法】 例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是矩形内部一点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ） D.4 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在定弦:AB 以AB为直径作⊙O 是否存在动点:点E 是否存在以动点和定弦两端点构成的 定角:∠AEB 点A，B，E在⊙O上 例2 如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为△ABC内的一个动点，且∠PBC＝∠PCA，则 可得出∠BPC为定角△PBC面积的最大值为______. 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在定弦:_____ 是否存在动点:_____ 是否存在以动点和定弦两端点构成的 定角:_____ ⊙O为△BPC的外接圆 【题以类解】 1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的点（不与正方形的顶点重合），CE，DF交于点M,连接BM.若AB＝2,∠BCE＝∠CDF,则BM的最小值为_____. 2.如图，在菱形ABCD中，，∠A＝60°，点E，F分别在边AB,AD上,且AE＝DF,连接DE,BF交于点G，则∠BGD的度数为_____，四边形BCDG面积的最大值为_____. 3.如图,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠ADC＝ 90°，∠BCD＝75°，，CD＝20，点P为四边形ABCD内一点，且∠BPC＝135°，E为AD边上一点，连接PE，则PE的最小值为______. 4.问题提出 （1）如图① ，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为______; 问题探究 （2）如图② ，在△ABC中，已知∠BAC＝30°， ，求△ABC面积的最大值; 问题解决 （3）如图③ ，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB＝20米，长BC＝24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求恰好能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB＝45°.请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度;若不存在，请说明理由. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$