专题03 圆拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题03 圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的运动路径 【解惑】如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆三角形的综合运用，如图所示，连接，由垂径定理得，点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角，根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 因为P是弦的中点 ∴， ， ∴点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角， ∴点P所经过的路径长为， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长的计算．利用勾股定理、矩形的性质以及旋转变换的性质，弧长公式解决问题即可． 【详解】解：连接， ∵是矩形， ∴， ∴点B的坐标为， 由旋转可得点的坐标为， ∵， ∴点B在旋转过程中绕过的路径长为 故选A． 2．如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角、求弧长等知识，确定点的运动路径是解题关键．首先证明，结合全等三角形的性质可证明；连接，交于点，结合可知点的运动路径在以为直径的圆上，且为圆心角为的圆弧，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，即， 连接，交于点，如下图， ∵点在运动中保持， ∴点的运动路径在以为直径的圆上， 又∵当点运动到点时，点到达点， ∴此时点与点重合，即点的运动路径为圆心角为的圆弧， ∴点的运动路径长为． 3．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在整个运动过程中，点所经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质、中点性质即可求得，如图1中，连接交于点，连接，首先证明，利用勾股定理求出．由，推出点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是，求出，再利用弧长公式求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点、分别是边、的中点， ，， 连接交于点，连接，如图1， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点在为直径的上运动， 当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是， 此时，， ， ，， 平分， ， ， ， 点的运动轨迹的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 类型二、将军饮马 【解惑】如图，在中，是的直径，，，M是上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M， 此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径， 即 ∴的最小值是 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E， ∴DE=D′E， ∴CE+DE=CE+D′E=CD′， ∵∠CAB=30°， ∴∠COB=2∠CAB=60°， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°， ∴∠COD′=90°， ∵AB=2， ∴OC=OD′=1， ∴CD′=， ∴CE+DE最小值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，轴对称-最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．如图，以BC为直径作⊙O，A，D为圆周上的点，，．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为AC+CD，求出AC的长即可． 【详解】解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC， ∵AD∥BC，AB=CD=AD=2， ∴， ∴∠ABC=2∠ACB， ∵BC为直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠ACB=30°，∠ABC=60°， ∴AC=AB=， 所以阴影部分周长的最小值为AC+CD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，理解轴对称的性质是解决问题的关键． 3．如图所示，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解． 【详解】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′． 又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧的中点，即， ∴∠BAD′=∠CAB=15°． ∴∠CAD′=45°． ∴∠COD′=90°．则△COD′是等腰直角三角形． ∵OC=OD′=AB=10， ∴CD′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键． 类型三、两动一定 【解惑】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N，    ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，点E是正方形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据，得到点E在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 则线段的长即为的长度最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选A． 2．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查最短路径问题，涉及到知识点有圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．先证明得到点E在以为直径的半圆上移动，再作点D关于直线的对应点是F，即可得，求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于，交半圆O于E'，连接，则， 根据对称性有：， 则有， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为． 故答案为：． 3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案． 【详解】解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连接交与y轴于，交于，过点作轴于，连接， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由如下： 当点与点不重合，点与点不重合时， 根据轴对称的性质可知：， ， 根据“两点之间线段最短”可知：， 即：， ， ， 即：， 当点与点重合，点与点重合时，为最小． 点，， ，，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 即为最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置． 类型四、折叠圆 【解惑】如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， 由折叠可得，，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，连接与交于点O，连接证明点O是的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为，即可求出绪论． 【详解】解：连接与交于点O，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点O为的中点， 连接则与交于点O， 由折叠得， 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴G的运动轨迹为， ∴连接并延长，交于时，最大， 当共线时，即G与重合时，最大， ∴， ∵P为的中点，O为的中点， ∵， ∴, 即的最大值为， 故选：C 2．如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于 ． 【答案】 【分析】点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据折叠的性质，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据勾股定理求出，根据折叠的性质，可知，再根据线段之间的数量关系，得出，再利用勾股定理，列出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：如图所示，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小， 根据折叠的性质，， ，， 是边的中点，， ， ， ， ． 由折叠可知：， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．如图在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据矩形折叠的性质得到，确定出当点在线段上时，有最小值，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵M是的中点， ∴． ∵将沿所在直线折叠， ∴， ∴点在以点M为圆心，为半径的圆上， ∴如图，当点在线段上时，有最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和翻转折叠的知识点．利用数形结合的思想并确定当点在线段上时，有最小值是解题的关键． 类型五、直角圆 【解惑】如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为，连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线的判定与性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线，得出点G在以为直径的圆上运动，以及找到的最小值为是解题关键．延长交的延长线于M，连接，设的中点为N，过点N作，以N为圆心，为直径作圆，连接，根据，可得，再由勾股定理可得，根据，可得点G在以为直径的圆上运动，当点B，G，N三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，连接，设的中点为N，过点N作，以N为圆心，为直径作圆，连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴点G在以为直径的圆上运动，当点B，G，N三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 2．如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 点在以为直径的上， ， ， 当点、、共线时最小， ， ， ， 的最小值为16， 故答案为：16． 3．如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点，，交于点，连接． (1)若，分别是边，上的中点，则______； (2)若，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）证明，推出，得到，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）同（1）可证明，得到点在以为直径的上，当、、共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解： 正方形中，，，分别是边，上的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． （2）在正方形中，， ， ，即， ∴点在以为直径的上，如图， 当、、共线时，最小值为的长， ，， ∴DG的最小值为． 故答案为：． 类型六、切线与勾股定理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短． 【详解】连接、． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短； 又，， ， ， 的最小值． 故选B． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ， 是等边三角形，且， ， ， 是的切线， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接、，如图，根据切线的性质得，再利用勾股定理得到，利用垂线段最短，当最小时，最小，然后求出的最小值，从而得到的最小值．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 【详解】解：连接、，如图， 直线切于点， ， 在中，， 当最小时，最小， 当直线时，有最小值2， 的最小值为． 故答案为． 3．如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂线段最短、勾股定理，连接，，根据切线的性质和勾股定理推出，由于为半径是定值，则最小时，取最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，利用三角形面积求得，即可求得线段长的最小值． 【详解】解：连接，，如图所示： 为的一条切线， ， ， 为半径是定值， 当最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ，，． ， ， ，解得， ， 故答案为：． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 【答案】A 【分析】取点，连接，连接交于E，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，取点，连接，连接交于E，   是的中点，O是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， 当点P与点E重合时，最小为， 的最小值为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（ ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】连接．利用三角形的中位线定理证明，求出的最大和最小值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当点G在线段的延长线上时，的值最大，最大值， 当点G在线段上时，的值最小，最小值， ∴的最大值为3.5，的最小值为1.5， ∴DP的最大值与最小值和为． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 2．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 3．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则的最小值为 【答案】 【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质得到，，根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，取的中点，连接交于，则的长度即为的最小值，延长交于，连接根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图， 在中，，，， ， ，， 为的中点， ， ， 点在以为直径的圆上， 当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点， 取的中点，连接交于， 则的长度即为的最小值， 延长交于，连接， ∵，， ∴ ，， ， ， 即， 解得：（负值舍去）， 故的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，判断出点所在的圆是解题的关键． 类型八、其它最值 【解惑】如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可以确定A，D，P，E四点共圆，根据三角形内角和定理确定，进而确定当时，线段取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定，根据相似三角形的判定定理和性质可，设，根据等角对等边和勾股定理表示出和，根据所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中计算即可． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∴， ∴A、D、P、E四点共圆，且直径为， ∵，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小，此时， 在中， ∴是等腰直角三角形，， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 则， ∵， ∴， 过D作于M， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 则线段的最小值为 故选：D． 【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，含的直角三角形，正确确定何时取得最小值是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，在等边中，，点D，E分别在边上，且，连接交于点F，连接，则的最小值是（   ） A． B． C．-1 D．-1 【答案】A 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形等，添加辅助圆作出相应辅助线是解题关键． 根据三角形全等的判定定理和性质可得：，，利用各角之间的数量关系可得：，作的外接圆，则点F在圆上运动，连接，交劣弧于点，当点F与点重合时，的长度最小,证明，进一步即可求出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵,， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，则点F的运动轨迹为以O为圆心，为半径的圆，如图所示，连接，交劣弧于点，当点F与点重合时，的长度最小， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 2．如图，，，，为上的一段弧，且，分别在、线段和上选取点，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作点P关于的对称点M，作点P关于的对称点N，连接交于E，交于F，此时的周长，，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作点P关于的对称点M，作点P关于的对称点N，连接交于E，交于F， 此时的周长， ∴当的值最小时，的值最小， ， ， ， ∴当的值最小时，的值最小， 取的中点J，连接． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵当点P在直线上时，的值最小，最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称−最短问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由四边形是正方形，得，，证明，根据性质得出，点无论在何处，均有，即点在以中点为圆心，为直径的圆上，用点表示的中点，连接，用点表示的中点，用点表示的中点，连接，以为圆心，为半径画圆，然后证明，则，故的最小值也就是的最小值，当点三点共线时，最小，最小值为线段的长度，最后由勾股定理即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点无论在何处，均有，即点在以中点为圆心，为直径的圆上，用点表示的中点，连接，用点表示的中点，用点表示的中点，连接，以为圆心，为半径画圆，如图中的， ∵在上运动且不与重合， ∴点的轨迹就是，不与重合， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值也就是的最小值， ∵点在上， ∴当点三点共线时，最小，最小值为线段的长度， ∵点分别是正方形边的中点， ∴四边形是矩形， ∵点分别是矩形边的中点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，两点之间线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的运动路径 【解惑】如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点O逆时针旋转，则旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．如图，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之停止运动，请求出点的运动路径长为 ． 3．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在整个运动过程中，点所经过的路径长是 ． 类型二、将军饮马 【解惑】如图，在中，是的直径，，，M是上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 2．如图，以BC为直径作⊙O，A，D为圆周上的点，，．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为 ． 3．如图所示，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，的最小值为 ． 类型三、两动一定 【解惑】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，点E是正方形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 2．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ． 类型四、折叠圆 【解惑】如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 2．如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于 ． 3．如图在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，则的最小值是 ． 类型五、直角圆 【解惑】如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为 ． 3．如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点，，交于点，连接． (1)若，分别是边，上的中点，则______； (2)若，则的最小值为______． 类型六、切线与勾股定理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为 ． 3．如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 【融会贯通】 1．已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（ ） A． B． C． D．5 2．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则的最小值为 类型八、其它最值 【解惑】如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在等边中，，点D，E分别在边上，且，连接交于点F，连接，则的最小值是（   ） A． B． C．-1 D．-1 2．如图，，，，为上的一段弧，且，分别在、线段和上选取点，，，则的最小值为 ． 3．如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$