专题03 圆（中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题03 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆中的弦数 【解惑】如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦. A．2 B．3 C．4 D．5 2．过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径． 3．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 类型二、垂径定理求平行弦 【解惑】⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 【融会贯通】 1．已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 2．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 3．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 类型三、垂径定理的实际问题 【解惑】如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      3．如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 类型四、圆周角定理 【解惑】在⊙中，点在圆上，，则为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 2．如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    3．如图，为的直径，且，点C为上半圆的一点，于点E，的角平分线交于点D，弦，那么的面积是 ． 类型五、圆内接四边形 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知四边形是⊙的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，若弧的度数为，则 ． 3．如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点E，则 ．    类型六、求扇形面积与圆锥侧面积 【解惑】如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 2．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为 ． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 类型七、画圆、正多边形——尺规作图 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中作出的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)，圆心坐标为______； (2)若在x轴的正半轴上有一点D，设点D的横坐标为m，当时，则m的取值范围是 ． 【融会贯通】 1．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，是直角三角形，，以O为圆心，为半径作圆，其中，O是的平分线交于的交点． 2．在8×6的正方形网格中，正方形边长为1单位，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点均在格点上； (2)在图2中画一个以点C为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与△ABC面积相等． 3．尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 类型八、切线的证明 【解惑】如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【融会贯通】 1．如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 2．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 3．如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【一览众山小】 1．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点，，在上，，点是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．半径为9的扇形的弧长，则扇形的面积为 ．（保留π） 5．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 6．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 7．如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 8．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆中的弦数 【解惑】如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得． 【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条 故选B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 【融会贯通】 1．如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦. 故选B. 2．过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径． 【答案】 无数 一 【分析】根据弦和直径的定义求解． 【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径． 故答案为：无数，1． 【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 3．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 类型二、垂径定理求平行弦 【解惑】⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 【答案】C 【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论. 【详解】解：如图, 设E、F为AB、CD的中点， AE=AB=24=12, CF=CD=10=5, OE===5, OF===12, ①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7; ②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17. 所以距离为7或17. 故选C. 【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用. 【融会贯通】 1．已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后结合图形求出EF即可． 【详解】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD， 则由垂径定理得：AE=AB=3，CF=CD=4， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE=， 同理可求出OF=3， ∴EF=4－3=1； ②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4，OF=3， 则EF=4+3=7； 即AB与CD的距离是1或7. 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理. 2．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 3．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 类型三、垂径定理的实际问题 【解惑】如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可知，，设桥拱半径，则，，在中，根据勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意可知，且过圆心， ∴． 设桥拱半径，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴桥拱半径为． 故选B． 【融会贯通】 1．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，，     ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为 m．      【答案】1 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 3．如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 【答案】 38 39 【分析】本题考查了勾股定理的实际运用、相似三角形的性质与判定、垂径定理。解题关键是掌握相似三角形、勾股定理、垂径定理，并学会将实际问题转化为数学问题． 通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再依次连接C，F，M，作，证，根据相似三角形对应边成比例可得所对的弦的长度，再利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ，，， 延长，，则M、D、A在一条直线上，N、F、E、Q在一条直线上， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 即点E到桌面的距离为， 过点F作，垂足为P，则， ， ， ， 即， 解得， ， 如图3， 可得，， 设半径为r，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 故答案为：38，39． 类型四、圆周角定理 【解惑】在⊙中，点在圆上，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由得到平行四边形，得到，再由圆内接四边形得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形．熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解答的关键． 根据圆周角定理可得，再利用等腰三角形三线合一得到，含有直角三角形的性质求得，根据勾股定理得，即得． 【详解】解：如图，过点O作于E， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    【答案】45 【分析】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定所对的圆心角为是解题的关键． 根据正方形的性质得到所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示，   正方形内接于， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，为的直径，且，点C为上半圆的一点，于点E，的角平分线交于点D，弦，那么的面积是 ． 【答案】85 【分析】设，的交点为F，连接，证明，继而得到，利用勾股定理，三角函数，计算的长，结合，计算解答即可. 【详解】解：设，的交点为F，连接， ∵ ， ∴； ∵的角平分线交于点D， ∴； ∴； ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ . . 【点睛】本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质，活用相似和三角函数是解题的关键. 类型五、圆内接四边形 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆周角定理得到，再由圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解；∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，已知四边形是⊙的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角等知识．熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角是解题的关键． 由圆周角定理可得，由四边形是⊙的内接四边形，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是⊙的内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，四边形内接于，若弧的度数为，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理，结合圆内接四边形的对角互补可知，因而只要求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，， 弧的度数为， ， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：110． 3．如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点E，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质．先根据圆内接四边形性质得出，解直角三角形得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形，， 根据圆内接四边形对角互补，可得， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 故． 故答案为：． 类型六、求扇形面积与圆锥侧面积 【解惑】如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：A． 2．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．，其中n是圆心角的度数，R是扇形的半径． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积的计算公式：，进行计算即可． 【详解】圆锥的底面半径为，母线长为， ， 故答案为：． 类型七、画圆、正多边形——尺规作图 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图中作出的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)，圆心坐标为______； (2)若在x轴的正半轴上有一点D，设点D的横坐标为m，当时，则m的取值范围是 ． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查尺规作图—作圆，三角形的外接圆，圆周角定理： （1）分别作边的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而画出的外接圆，并写出圆心坐标即可； （2）确定的外接圆与轴的另一个交点，根据圆周角定理和三角形的外角的性质，得到点在点和点之间，即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：如图，圆即为所求； 由图可知：； 故答案为： （2）由图可知，圆与轴的另一个交点为， ∴， 当点在之间时，如图延长交圆于点，连接， 则：， ∵， ∴，满足题意， ∴． 【融会贯通】 1．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，是直角三角形，，以O为圆心，为半径作圆，其中，O是的平分线交于的交点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-角平分线及作圆．根据题意，以点A为圆心，适当长为半径作弧交、于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的为半径作弧交于一点M，过点A、M作射线，交于点O，再以点O为圆心，长为半径作作即可． 【详解】解：如图所示，为所求． 2．在8×6的正方形网格中，正方形边长为1单位，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点均在格点上； (2)在图2中画一个以点C为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与△ABC面积相等． 【答案】见解析. 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答；（2）根据△ABC的面积求得正方形的面积，然后确定边长，即可作出． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，正确求得正方形的面积，进而确定边长是关键． 3．尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 【答案】（1）见解析；（2）4 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长. 【详解】（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）连接OF，设BE与DF交于G点 ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120° ∴∠DFE=30° ∵OE=OF ∴△FOE为等边三角形 ∴EF=OE=4，∠OEF=60° ∴∠FGE=90° ∴EG=OE=2 ∴FG= ∴FD=2FG= 【点睛】此题主要考查了复杂作图及正多边形的计算，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径． 类型八、切线的证明 【解惑】如图，是的外接圆，为直径，D是上一点，且点C是优弧的中点，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)的半径的长为． 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得； （2）连接，由题意可得即可证可得则可证是的切线； （3）过点作于点，由角平分线的性质可得可证可得根据勾股定理可求的半径长． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵点C是优弧的中点， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， 且 （2）证明：连接，如图： ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：过点作于点，如图： 又∵ 在和中， 设则 在中，由勾股定理得， 解得： ∴的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识， （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，得，则，因为，，所以，有勾股定理可求得直径，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ， ， ， ， ∴， ， 于点， ， ∴， 是的半径，， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ∴， 解得（负值舍去）， ， 即的半径为2． 2．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， ∵平分交于点，， ， 与相切； （2）解：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解． 【一览众山小】 1．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，圆周角定理，先根据勾股定理解求出，进而求出，再根据圆周角定理得出，即可得出的值． 【详解】解：如图，连接，   ，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 【详解】解：由圆周角定理得： 是的切线， 故选：B． 3．如图，点，，在上，，点是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与圆心角之间的关系，先由弧与圆心角之间的关系求出的度数，再由圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．半径为9的扇形的弧长，则扇形的面积为 ．（保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形面积公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 扇形的面积为； 故答案为：． 5．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接，证明，得到，利用三角函数即可求解，由三角形全等得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 故答案为：． 7．如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 8．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$