专题03 圆（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题03 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形周长、面积与内切圆半径关系 【解惑】在中，其内切圆与边切于D，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 2．的周长为，面积为，则内切圆半径为 ． 3．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 类型二、三角形的内切圆与外接圆综合 【解惑】等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是 ； （2）内切圆的半径的最大值是 ． 3．如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 类型三、求不规则图形的面积 【解惑】如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（    ） A． B． C． D． 2．如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 类型四、圆锥侧面积展开图的最短路径 【解惑】如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【融会贯通】 1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 2．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    3．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 类型五、动圆相切求t 【解惑】【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，点从点向点运动，速度为，运动时间为秒．过点作的垂线交直线于点为的外接圆，交菱形对角线于点，连接． (1)求证：． (2)当为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时动点N从点C出发，以的速度沿向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以为直径作，连接，设运动时间为t（s）（）． (1)试用含t的代数式表示出及的长度，并直接写出t的取值范围； (2)当t为何值时，与相切？ (3)若线段与有两个交点．求t的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，矩形边，且在轴上，现将点与原点重合，然后将矩形以每秒4个单位长度的速度沿轴正方向移动；同时，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿对角线方向移动，设移动时间为秒，以为圆心，为半径作圆，交于点．当点到达点时，矩形和同时停止移动． (1)_______，_______；（用含的代数式表示） (2)如图②，运动过程中当三点共线时，求的值； (3)在移动过程中，是否存在某一时刻，与所在直线及轴同时相切？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．如图，在中，，，，点P在上，，点E、F同时从点P出发，分别沿以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也运动到点B时停止．在点E、F运动过程中，以为直径作圆．设点E运动的时间为t秒． (1)当以为直径的圆与的边相切时，求t的值； (2)当时，写出以为直径的圆与的重叠部分的面积S与t的函数表达式． 类型六、圆的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； (2)当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 【融会贯通】 1．对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 2．【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长． 3．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 类型七、圆的无刻度尺作图 【解惑】图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图中的内部画一个格点，连结，使． (2)在图中的边上画一个格点，连结，使． (3)在图中的外部画一个格点，连结，使． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，经过格点．仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，是上的一点，先在上画点，使，再画交于点． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： (1)请在图1中作出的边上的高； (2)请在图2中线段上确定一点F，使得； (3)请在图3中作出的切线． 3．如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 类型八、阿基米德折弦定理 【解惑】如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，，垂足为M．证明：．（阿基米德折弦定理）    【融会贯通】 1．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… (1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________； (3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长． 2．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即．    (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 3．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．    阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．    这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接． ∵M是的中点， ∴． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长． 【一览众山小】 1．已知是的弦，点在劣弧上（），点在优弧上，且，过作于．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 4．泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为 ．（用含的代数式表示） 5．数学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、D在上，连结为的一条直径，过点A作交于点E．设． 【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明，请你帮助小明网学完成，的证明过程． 【应用】小明同学发现，利用可以解决如下问题： ①若则_____； ②若则的长为______． 6．如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 7．【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则____________； （2）如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，，，，是上的四个点，，，则的值为____________． 8．阅读理解： (1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_____； ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为_______； (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为________； (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形周长、面积与内切圆半径关系 【解惑】在中，其内切圆与边切于D，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内切圆的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练应用切线长定理和连接合适的辅助线是解题的关键，设，根据三角形内切圆的性质得出，再作，运用锐角三角函数的定义表示出，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，中，内切圆圆心为， ， ， 设， ， ，， 作垂足为， ， ， 在中，， 即， 整理得， ， ， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，求出，根据三角形内切圆的性质可得，，且点在一条直线上，从而可得，由此即可得． 【详解】解：如图，设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，    ∵圆与圆相切，圆的半径为，圆的半径为， ， 圆内切于正三角形， ，，，平分， ， ， ∵圆与，均相切， ，， 是的角平分线， ，且点在一条直线上， ，即， 解得， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、圆与圆的位置关系，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键． 2．的周长为，面积为，则内切圆半径为 ． 【答案】/0.8 【分析】如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径． 【详解】解：如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识． 3．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 类型二、三角形的内切圆与外接圆综合 【解惑】等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形内切圆与外接圆，熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半． 设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径，即可求解． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是， ∵等腰直角三角形的内切圆半径是，外接圆半径是， ∴所以它们的比为． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，根据三角形内角和定理即可求得的度数，然后根据内心的定义即可求得然后根据三角形内角和定理即可求解，掌握内心定义是解决本题的关键. 【详解】解： ， ∵点是的内心， ， 故选：． 2．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是 ； （2）内切圆的半径的最大值是 ． 【答案】 / /0.2 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键． （1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解； （2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解 【详解】解：（1）为直角三角形， 外接圆直径为斜边的长， 当时，作为外接圆的直径最小，如图， ，，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：    （2）令，，,内切圆半径为，则 ，， ， ，， ， ，即， ∴， ，即最小时，r最大， 作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 3．如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证：，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题； 【详解】（1）是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ：：，设，， ，， ， ， ， 或舍弃， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 类型三、求不规则图形的面积 【解惑】如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，记与交于点，与交于点，作于，于，连接，记与交点为，由正六边形，可知，，，，，由正六边形内切圆的半径为，可得，设，则，由勾股定理得，，可求，则正六边形的边长为2，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记与交于点，与交于点，作于，于，连接，记与交点为， ∵正六边形， ∴，，，，， ∵正六边形内切圆的半径为， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴正六边形的边长为2， ∵过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，扇形面积等知识．明确阴影部分的面积是解题的关键． 2．如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出是等边三角形、是等边三角形，进而得；根据，可得图中阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ∴， ∴； ∵， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为： 3．如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则与相切； （2）根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：与相切， 理由：连接， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即：， ， 又是半径， 与相切； （2）解：，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 类型四、圆锥侧面积展开图的最短路径 【解惑】如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可． 【详解】解：如图: ∵， ∴设弧所对的圆心角的度数为n， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长． 【融会贯通】 1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断； 【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于： 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． AB=6， BD=3， ∴   AC=2AD=， 即这根绳子的最短长度是， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 3．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 类型五、动圆相切求t 【解惑】【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，点从点向点运动，速度为，运动时间为秒．过点作的垂线交直线于点为的外接圆，交菱形对角线于点，连接． (1)求证：． (2)当为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，与相切； (3)当或时，为等腰三角形． 【分析】（1）由四边形为菱形可得，，再根据，在中得，即可证得. （2）连接，由，所以为的直径，当与相切时，，在中，求得，在中，求得． （3）连接，交于点，连接，交于点，过点作于点，连接，设，可证得四边形为菱形，可求得同理在菱形中，由，，再分三种情况进行讨论即可. 【详解】（1）证明：四边形为菱形，如图（1）所示． ． ． ． ， ． 在中，． 都是所对的圆周角， ． ． （2）解：连接，见答图（2）． ， 为的直径． 当与相切时， 则． ． ． 在中，， ． 在中，， 解得． 当时，与相切． （3）解：如答图（3）所示，连接，交于点，连接，交于点，过点作于点，连接． 由（1）（2）可得：，设， ． 四边形为菱形． 于点． ． 同理在菱形中，． ． ． ， ， ． ①若，则， 即有． 解得或（舍去）． ②若，则， 即有． 解得（舍去）或（舍去）． ③若，则， 即有． 解得． 综上：当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数的应用，切线的性质，等腰三角形的性质，本题难度大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时动点N从点C出发，以的速度沿向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以为直径作，连接，设运动时间为t（s）（）． (1)试用含t的代数式表示出及的长度，并直接写出t的取值范围； (2)当t为何值时，与相切？ (3)若线段与有两个交点．求t的取值范围． 【答案】(1)；， (2) (3) 【分析】（1）根据路程速度时间可用含t的式子表示，，根据勾股定理求出的长，进而可表示出的长．分别计算动点M，N的最长运动时间，即可得到t的取值范围； （2）若与相切，则，即，从而，因此，代入即可求解； （3）当与相切后，线段与开始有两个交点，故；当点N恰好在上时，线段与的两个交点恰好为M，N，此后线段与只有一个交点．当点N恰好在上时，，可证得，得到 ，代入可得，故． 【详解】（1）解：由题意得，，， 在中，， ∴， ，动点M的速度为， ∴动点M的最长运动时间为， ∵，动点N的速度为， ∴动点N的最长运动时间为， ∴t的取值范围为； （2）若与相切，则，即， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， 解得， ∴当时，与相切； （3）由（2）得，当时，直线与有两个交点， 如图，当点N恰好在上时，线段与的两个交点恰好为M，N， 为的直径， ， ， ， ， 即，解得， ∴若线段与有两个交点，则t的取值范围为． 【点睛】本题考查列代数式，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，综合圆的相关知识得到相似三角形，根据相似三角形的性质求解是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，矩形边，且在轴上，现将点与原点重合，然后将矩形以每秒4个单位长度的速度沿轴正方向移动；同时，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿对角线方向移动，设移动时间为秒，以为圆心，为半径作圆，交于点．当点到达点时，矩形和同时停止移动． (1)_______，_______；（用含的代数式表示） (2)如图②，运动过程中当三点共线时，求的值； (3)在移动过程中，是否存在某一时刻，与所在直线及轴同时相切？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或16 【分析】 （1）根据题意求解即可； （2）根据，利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点P作于Q，则，当在直线的右侧时，设与直线相切于点K，连接，当在直线的左侧时，则四边形为正方形，分情况讨论，再根据正方形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得，， ∴， ∵矩形的顶点的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵矩形的顶点的坐标为，矩形边， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； （3）存在，过点P作于Q， ∴与轴同时相切， 当在直线的右侧时，如图所示，设与直线相切于点K，连接，则四边形为正方形， 则 ∴， 即， 解得； 当在直线的左侧时，如图所示， ∴ 则， 解得； 综上，t的值为或16． 【点睛】 本题考查了圆的综合题目，涉及切线的判定，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，，，，点P在上，，点E、F同时从点P出发，分别沿以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也运动到点B时停止．在点E、F运动过程中，以为直径作圆．设点E运动的时间为t秒． (1)当以为直径的圆与的边相切时，求t的值； (2)当时，写出以为直径的圆与的重叠部分的面积S与t的函数表达式． 【答案】(1)1或或4； (2) 【分析】（1）分三种情况：当时，由含的直角三角形的性质容易得出t的值； 当时，设的中点为Q，若与相切，切点为M，连接，则，先求出，再求出，即可得出t的值； 当时，设的中点为R，若与相切，切点为N，连接，则，；先证明，得出比例式求出半径，得出，即可求出t的值； （2）设与的交点为D，连接，若的半径为r，则，先证明为等边三角形，得出的面积，由扇形的面积，即可求出S与t的函数关系式． 【详解】（1）当时，如图1所示： 设与相切，切点为H，连接， 则， ， ， 即； 当时，如图2所示： 设的中点为Q， 若与相切，切点为M，连接， 则． ，， ． ∵当时，，此后E、F的距离不变， ∴的半径为2，即， ， ， ， ； 当时，如图3所示： 设的中点为R，若与相切，切点为N， 连接，则，此时； ，， ， ， ， 解得：， ， ； 综上所述：t的值为1或或4； （2）如图4所示： 设与的交点为D，连接， 若的半径为r，， 则， ，， 为等边三角形， 的面积，， ∴． 又扇形的面积， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及扇形的面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，分类讨论是解答本题的关键． 类型六、圆的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； (2)当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据新定义，对于点绕上点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，反之将上的任一点顺时针旋转回去所形成的图形就是点的所有位置，据此即可求解； ②由①可得点绕 逆时针旋转 得到点，根据定义可得点在以为圆心,半径为的上或内部，当点横坐标加半径1，即得出最大值； ③根据定义可得点在以为圆心，为半径的上或内部，且在外部，随着点的运动，则点的轨迹可以生成一个半径为与的圆环，由到距离为时，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，则 ∴点绕时针旋转后的对应点在的外部，点绕时针旋转后的对应点在的外部 ∵，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ∴     ∴ ∴点绕时针旋转后的对应点为，在内部， ∴点是点关于的“逆转点”； 故答案为：． ②由①可得点绕 逆时针旋转 得到点， ∴点在以为圆心,半径为的上或内部， ∴点横坐标最大值为 （2）点绕上任意一点顺时针旋转得到 ∴ ∴点在以为圆心，为半径的上或内部，且在外部 随着点的运动，则点的轨迹可以生成一个半径为与的圆环，如图所示， ∴点是直线上一点，记点的横坐标为， ∴当到距离为时， 解得：或， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 【融会贯通】 1．对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)、； (2)； (3)最小值是1，最大值是． 【分析】（1）根据新定义可知，，所以是的中点，连接，根据垂径定理可知，，据此判断可得出结果； （2）可推出点在以为直径的圆上运动，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，解求得，进而得出，解求得结果，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，同样的方法得出结果； （3）根据，，可求得的最小值是，此时点在点或点处，；连接，，可得出，从而，进而得到，从而得到，进一步得出结果． 【详解】（1）如图， 图中， ∵，，则应为，但此时不在圆上，故点不是点关于⊙的倍关联点， 图中， ∵，，则在圆上，故点是点关于⊙的倍关联点， 图， 连接，作于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是点关于⊙的倍关联点． 故答案为、． （2）如图， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 连接， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴的最小值是， 当点在点或点时，， 如图， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即点是的中点，最大，当，最小，此时， 此时， 综上所述，的最小值是，最大值时． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数的图像和性质等知识，解决问题的关键是根据新定义转化题意． 2．【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为______（用含的代数式表示）． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为5，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）或或或；（3）或或 【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，由题意易得，然后根据同角的余角相等可进行求解； （2）由弦切角的性质可知，然后可分，，，进而分类求解即可； （3）由题意可分①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，然后分类求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图所示： ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， 当为等腰三角形时，则可分：①当时，则， ∴由三角形内角和得：； ②当时，则； ③当时，则， ∴； ④当点E在劣弧上时，且，取优弧上任意一点F，连接，如图所示： ∴， 由弦切角定理可知：， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当为等腰三角形时，或或或； （3）由题意可分： ①当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 由弦切角的性质可知：， 由题可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点C作于点E，连接， ∴， ∴过圆心O， ∴， ∴， ∴； ②当与相切于点A，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点F，过点O作于点G，连接，如图所示， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的， ∴圆心O在上，， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ③当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 连接，交于点M，过点O作于点N，连接，如图所示， ∴， 同理①可得：，， ∴， ∴四边形是关于成轴对称图形的，， ∴圆心O在上，， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ④当与相切于点C，且平分该四边形的一组对角，如图所示： 同理可得，， ∴， 分别过点A、O作，垂足分别为点K，R，如图所示， ∴，，即过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质及垂径定理，解题的关键是注意分类讨论及辅助线的作法． 3．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①或或，② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可判断； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连结、、，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到4个， 故答案为：4． （2）解：①∵四边形是圆内接四边形，，， ，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，的度数为或或； ②连结、、． ∵四边形是圆内接四边形，， ， ∵是圆等三角形， ∴是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 类型七、圆的无刻度尺作图 【解惑】图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图中的内部画一个格点，连结，使． (2)在图中的边上画一个格点，连结，使． (3)在图中的外部画一个格点，连结，使． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）在上取格点，根据网格可知是等腰直角三角形，则点在上即可； （）根据网格可知，等腰三角形的性质可得； （）找出外接圆圆心，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上取格点， 根据网格可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点（或或）即为所求； （2）解：如图， 根据网格可知：， ∴， ∴点即为所求； （3）解：如图，由题意可得外接圆圆心， ∴， ∴点（或或）即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，网格与勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，经过格点．仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，是上的一点，先在上画点，使，再画交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等知识； （1）连接交网格于点，则点即为所求，过点作的平行线交圆于点，则点即为所求； （2）连接根据网格的特点画出点的位置，连接则为圆的直径，根据垂径定理结合网格即可找出点的位置，连接，则即为所求． 【详解】（1）如图1所示，连接交网格于点，则点即为所求，过点作的平行线交圆于点，则点即为所求； （2）如图2所示，点与即为所求． 连接根据网格的特点画出点的位置，使得，根据网格可得，连接则为圆的直径，根据垂径定理结合网格即可找出点的位置，连接，则即为所求． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： (1)请在图1中作出的边上的高； (2)请在图2中线段上确定一点F，使得； (3)请在图3中作出的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）延长交于点D，连接即可； （2）利用三角形的三条中线交于一点解决问题即可； （3）取格点E，连接即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求； （2）解：如图2中，线段即为所求； （3）解：如图3中，直线即为所求． 3．如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点； （2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求； （3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求； （4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作绕点O旋转得到； （2）如图所示，点即为所求； 由作图可知：； （3）如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴； （4）如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 类型八、阿基米德折弦定理 【解惑】如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，，垂足为M．证明：．（阿基米德折弦定理）    【答案】见解析 【分析】如图，将绕点B旋转到，使与重合，再证，可得,即可得出． 【详解】∵， ∴，又， 将绕点B旋转到，使与重合，如图，    ∴， ∴，，， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，通过旋转构建全等三角形，是解答的本题的关键． 【融会贯通】 1．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家． 阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下： 证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点，∴MA＝MC，… (1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________； (3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)8+8 【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案； （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE； （3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA=MC． 又∵BA=GC，∠A=∠C， ∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴MB=MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD=GD， ∴DC=GC+GD=AB+BD； （2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF， ∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA， ∴△DCF≌△DBA（SAS）， ∴DF=AD， 又∵DE⊥AC， ∴AE=EF， ∵CF=AB=4，AC=10， ∴AE=3； （3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD， 由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD， ∴△ABF≌ACD（SAS）， ∴AF=AD， ∵AE⊥BD， ∴FE=DE，则CD+DE=BE， ∵∠ABD=45°， ∴BE=AB=4， 则△BDC的周长=2BE+BC=8+8． 故答案为：8+8． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键． 2．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． 是的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 即．    (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ； (2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ． 【答案】(1)1 (2)；证明见解析 (3)或 【分析】（1）由“问题呈现”结论可求解； （2）在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，即， ， ， ． （2）解：． 证明：在上截取，连接、、、， 是弧的中点， ，， 又， ， ， ， 又， ， ，即． （3）解：如图，当点在下方时，过点作于点， 是圆的直径， ， ，圆的半径为5， ， ， ， ， ． 当点在上方时，，同理易得． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键． 3．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．    阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．    这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接． ∵M是的中点， ∴． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，推出，．再证，推出，等量代换可得； （2）先利用等边三角形的性质证明，进而证明，，求出，再利用（1）中结论可得，通过等量代换可得． 【详解】（1）证明：如图，，    ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，    ∵是等边三角形， ∴，． ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C是的中点． ∴由（1）的结论得，， ∴的周长是． 【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等，解题的关键是熟练运用等量代换思想． 【一览众山小】 1．已知是的弦，点在劣弧上（），点在优弧上，且，过作于．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，延长至，使得， 连接，， ，证明，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得， 连接，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 2．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 3．如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 4．泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，作交于点W，交圆于点Z，可知是直径，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】解：连接，作交于点W，交圆于点Z， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴是直径，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．数学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、D在上，连结为的一条直径，过点A作交于点E．设． 【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明，请你帮助小明网学完成，的证明过程． 【应用】小明同学发现，利用可以解决如下问题： ①若则_____； ②若则的长为______． 【答案】证明：见详解；应用：①；②10 【分析】（证明）：证明，从而证明即可； （应用）：①运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； ②先利用求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； 【详解】证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 应用：①， ， ， 中，， 故答案为：． ②∵，， ∴， 则， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 6．如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据同角的余角相等得：，由圆周角定理，即可得证； （2）作辅助线，先根据垂径定理得：，由三角形中位线定理得：，证明，则，即可得证． 【详解】（1）如图1，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，延长交于，连接、、， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中垂线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键． 7．【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则____________； （2）如图3，中，，是上一点，，垂足为．求证：点是折线段的中点； 【拓展提升】 （3）如图4，，，，是上的四个点，，，则的值为____________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了圆的综合知识，切线的性质、“折线段中点的定义”、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识． （1）由切线的性质得出，由，，得出，再根据“折线段中点的定义”即可得到答案； （2）如图，延长到使，连接、，先证明为等腰三角形，再证明为等腰三角形，继而得出，进一步即可证明结论； （3）作于点，根据（2）的结论和勾股定理表示出和的长度，进一步计算即可得出的值． 【详解】解：（1）∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是折线段的中点， ∴， 故答案为：3； （2）如图，延长到使，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点是折线段的中点； （3）如图，作于点， 由（2）可知为折线段中点，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：7． 8．阅读理解： (1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_____； ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为_______； (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为________； (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 【答案】(1)①；②2 (2)2 (3)点P的运动路径长为． 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． ∴最小值为2， 故答案为：2； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$