专题02 二次函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02 二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的全等三角形 【解惑】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．经过点A的直线与抛物线交于另一点D，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)如图1，点P是线段上一动点，过点P作轴，交该抛物线于点F，作轴，交该抛物线于另一点G ①若是等腰直角三角形，求的长； ②如图2，点P的横坐标为，点M是直线上方抛物线上的一个动点，点N是y轴负半轴上一动点．请问是否存在点M，使得以P、N、E为顶点的三角形与全等，且以同一条线段为对应边？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)① ； ②存在；或或 【分析】（1）设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，进而得出结果； （2）作轴于，设，，根据得出，从而求得的值，进一步得出结果； （3）①设，，从而表示出和，根据得出，求得的值，进一步得出结果；②分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ， ； （2）解：如图1， 作轴于， 设， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①设直线的解析式为 把，人攻，得 ，解得：， 直线的解析式为， 设，， ， 轴，轴，是等腰直角三角形， 点和关于抛物线的对称轴对称，，， ， ， ，（舍去）， ； ②当时，如图2， ∵， ∴， ，即轴， ， ， ， 当时，，过点A作于，过点W作轴于点，作交延长线于K，如图3， ∵，， ，， ， ∵ ∴ ∴， ， ， ， ，，， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ， ， 设，则，， ， 由得， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为：， 由得， ，， 或， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 【融会贯通】 1．已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 【答案】(1) (2) (3)点坐标分别为或，点的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点是，则直线与抛物线对称轴的交点就是点，即可求解； （3）将先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点对应的点落在抛物线上，根据抛物线知点的横坐标为4或，进而求解． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 又函数过点、， 则，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点关于抛物线对称轴的对称点是， 直线与抛物线对称轴的交点就是点， 抛物线的对称轴是， 把代入得，，即点； （3）解：即， 又抛物线的对称轴为， 将先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点对应的点落在抛物线上，根据抛物线知点的横坐标为4或． 在中，当时，；当时， 点坐标分别为或， 又点的纵坐标为．则的纵坐标为或， 对称轴上的点的坐标为或，， 综上所述：点坐标分别为或，点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或，或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数经过两点，并且与轴另一个交点为，已知直线表达式为，且． (1)求这个二次函数解析式并求出该二次函数顶点的坐标； (2)点是点关于该抛物线对称轴对称的点，平移该二次函数图象，使得平移后的图象经过点，并在图象上可以找到点，使得与全等，请写出平移过程并说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度或抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）分别求出、、三点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设平移后的函数解析式为，根据平移后的图象经过点，可得方程，再由与全等，可知或或，再分别求出函数经过点时对应的、值即可确定函数的平移过程． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， ， ， 当时，， ， 将、、三点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； ， ； （2）点是点关于该抛物线对称轴对称， ， 设平移后的函数解析式为， 平移后的图象经过点， ， 与全等， 点与点关于直线对称时，， 当点与点关于直线对称时，， 当点关于直线对称时，， 当时，， 联立得，，， 抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； 当时，， 联立得，，，此时与抛物线重合，不符合题意； 当时，， 联立得，，， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度； 综上所述：抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度或抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 类型二、二次函数的等腰三角形 【解惑】如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点为； (2)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据抛物线的对称性得到点的坐标为，故设抛物线为两点式方程，把点的坐标代入即可求得的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点的坐标； （2）可设出，则可分别表示出、、的长度，分、和三种情况分别可得到关于的方程，可求得点坐标． 【详解】（1）解：点关于的对称点，， 设过、的抛物线为， 该抛物线又过，则有：，解得， 即，顶点为 （2）解：设， ，， ，，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时 ②当时，则有，即，解得，此时或 ③当时，则有，即，解得或，此时或 设直线解析式为，代入、， ∴ ∴ ∴直线解析式为， 当时，则在直线上， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与 x 轴交于点 A 和点 B ，与y 轴交于点C ，且点 B的坐标为． (1)求抛物线的解析式并作出函数图象； (2)点 D 的坐标为，点P是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)，画图见解析． (2) 或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，二次函数的对称性，待定系数法求出抛物线解析式，等腰是三角形三线合一性质等知识． （1）根据抛物线的对称性得出点A的坐标为，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可，再求出点C的坐标，即可画出二次函数图像． （2）点C的坐标为，点，由等腰三角形三角形合一的性质可得出满足条件的点P的纵坐标为2，把代入函数解析式求出x的值即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴一个交点B， ∴由题意可得出点A的坐标为． 将点和点B代入， 得：， 解得： ∴抛物线的解析式． ∴抛物线和y轴交点坐标为， 函数图象如图所示：    （2）解：∵点C的坐标为，点，是以为底的等腰三角形， ∴满足条件的点P的纵坐标为2． ∴． 解得：， ∴点P的坐标为或    2．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)P点坐标为或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程， （1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论； （3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：令得，， ， ． ， ， ， ． 平行于轴，平行于轴， ，， ， ， ， ， 当的长度最大时，取最大值． 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得，， 直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，最大，此时取最大值，， ； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 由（2）可得，，，， ∴，， 当时，， ∴，即 整理得， ∵ ∴，此时； 当时，， ∵， ∴ ∴，此时； 综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或． 3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数，二次函数与特殊三角形的综合运用， （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据根据两点之间距离的计算方法可得的值，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下， 由（1）可得，， ∴，抛物线对称轴为， 当时，， ∴，且， ∴ ∴， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 同理可得，或； 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或． 类型三、二次函数的等腰直角三角形 【解惑】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 【融会贯通】 1．如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，抛物线：，抛物线：的对称轴为直线，且的图象经过点，动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)当是以为直角边的等腰直角三角形时，求的值． (3)在（2）的条件下，设抛物线与轴交于点，连接交轴于点，连接．若平面内有一点，且，是否存在这样的点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）根据对称轴为，过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，，分类讨论，当时，点与点的纵坐标相等，即；当时，点与点的纵坐标相等，即；解一元二次方程，结合题意取值即可求解； （3）如图，连接，作，使交轴于，且在上方，设交轴于，则，可得直线解析式为，在中，求出，在中，求出，可得，作点关于直线的对称点，可求出直线解析式为，分别求出直线，的解析式，直线上存在另一点，另一点，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵的对称轴为直线，且的图象经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点． ∴，， ∵是以为直角边的等腰直角三角形，， ∴或， 当时，， 解得：， 当时，，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当时，，， ∵， ∴是以为直角边的等腰直角三角形； 当时，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，是以为直角边的等腰直角三角形时，． （3）解：存在点使得， 如图，连接，作，使交轴于，且在上方，设交轴于，则， 由（2）知，， ∴， 设直线解析式为，将代入， 得， ∴， ∴直线解析式为， 令，得， ∴， 在中，令，得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据①可得符合要求，作点关于直线的对称点， 设直线解析式为， ∵， ∴， 解得，， ∴直线解析式为， ∵， ∴直线解析式为， 设， ∵点关于直线的对称， ∴， ∴， 解得（舍去），， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上存在另一点，满足， 则， 解得（舍去）或， ∴， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上存在另一点，满足， 则， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与等腰直角三角形的性质和特点的综合求线段与点坐标，二次函数与线段，角度大小关系的综合，全等三角形的判定和性质，对称的性质等知识的综合运用，图形结合思想，方程思想的运用是解题的关键． 3．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结，，． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)如图1，当点F的坐标为，求出此时面积的最大值： (3)如图2，是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在；求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当，的面积取得最大值，且最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）根据等腰直角三角形的定义，利用三角形全等的判定和性质，分类解方程解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：过点P作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则，则， ∴， ∴当，的面积取得最大值，且最大值为． （3）解；设， ①当，时， 过点P作于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且点P在第一象限， ∴，，， ∴， 解得（舍去）； ∴， ∵点在y轴的负半轴上， ∴． ②当，时， 过点P作于点M，过点P作于点E， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，且点P在第一象限， ∴，，，， ∴， 整理，得 解得（舍去）； ∴， ∴， ∴， ∵点在y轴的正半轴上， ∴． 故存在点F，使是以为腰的等腰直角三角形，且或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，构造二次函数求面积最值，解方程，等腰三角形分类计算，熟练掌握待定系数法，正确构造二次函数，活用分类思想是解题的关键． 类型四、二次函数的直角三角形 【解惑】如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)18 (3)点的坐标为或； (4)的最大值为． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式为，过N点作轴交于点G，可得，利用三角形的面积公式即可求得面积； （3）分两种情况讨论，①当时，②当时，求得直线的解析式，联立求解即可； （4）过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，则，有，可得，设，则，分别求出，的长，则有，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点、代入， 得：， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：． 直线的解析式为， 过N点作轴交于点G，如下图： ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：存在点P，使是直角三角形，理由如下： ①当时，设交轴于点D， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当时， 过点作直线的平行线，设此直线的解析式为， 则，解得， ∴此直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或； （4）解：过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，如图， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大值为， 此时． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）将将，，代入，即可求解； （2）过顶点作轴，交轴于，可知点与点关于对称，则，进而可得，再证，则为其相似比，即可求得，进而可求得答案； （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，结合题意可知抛物线是沿射线方向平移，联结，，由平移可知，可知当为直角三角形时，，，进而证明，求得，即点的坐标为，由点在上，可知原抛物线向右平移9个单位长度，利用待定系数法求得原抛物线的解析式为，得，则点平移后的对应点的横坐标为5，此时纵坐标为，即，即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得，即， ∴； （2）过顶点作轴，交轴于， ∴点与点关于对称，则， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵轴， ∴，则为其相似比， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， 即点的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵平移后的对应点在轴上， ∴抛物线是沿射线方向平移， 联结，，由平移可知， ∴， 又∵， ∴当为直角三角形时，， 即， ∴，即， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即点的坐标为， ∵点在上， ∴原抛物线向右平移9个单位长度， 将，，代入， 得：，解得， ∴原抛物线的解析式为， ∴， 则点平移后的对应点的横坐标为5， 此时纵坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，抛物线的平移等知识点，本题综合比较强，需要学生放开思维，灵活运用学过的知识点． 2．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点E是抛物线对称轴上一点，点F在抛物线上，问是否存在以A、B、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)点F的坐标为，， 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入，即可求出解析式； （2）由于轴，所以，若是直角三角形，可考虑两种情况：当点为直角顶点时，，此时点与点B重合，由此可求出点的坐标；当点A为的直角顶点时，易知，则，所以平方，此时关于x轴对称，再求出直线的函数关系式，设，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出点的坐标； （3）分三种情况讨论：当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形；当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形，设的坐标为，则，根据求出m的值，进而即可得出答案；当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， 设的坐标为，则，根据求出m的值，进而即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得 解得：， ， 即； （2）分两种情况： 当点为直角顶点时，点与点B重合， 令，得， 解得：， 点A在点B的右侧 ， ； 当点A为的直角顶点时， ， ， 当时，， 平分， 又轴， ， 关于x轴对称， 设直线的函数关系式为， 将代入关系式，得 ， 解得， ， 设， 则有， 即， 解得（舍去）， 当时，， （即为抛物线顶点）， 综上所述：，； （3）分三种情况： 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， 此时于抛物线的顶点Q重合， ； 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， ， 设的坐标为，则， ， 解得， 的纵坐标为， 即； 当是四边形的对角线时，四边形是平行四边形， ，， 设的坐标为，则， ， 解得， 的纵坐标为， 即， 综上所述：点F的坐标为，，． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大． 3．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①或②存在， 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）根据平移可得，，坐标，再根据二次函数的对称性求解即可； （3）①先求出直线的表达式，设点，则，分两种情况讨论，当时，，再列方程求解，同理再求当即可； ②连接，过Q作交的延长线与T，则，设点的横坐标为，点的横坐标均为，根据平行四边形的性质和判定可求出，再证明，解方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，解得：或， ； （2）解：由题意可知，抛物线对称轴为直线， 则点的坐标为：，点，点， ，解得：， 的横坐标为：， 当时，， ； （3）解：①设直线的表达式为， 把、代入得，， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则， ， 点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点， ， ， ， ， 轴， ， 当时， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 当时， ， ， ， 过B作于H，则， ， ， ， 或（舍）， ， 综上，点的坐标为：或； ②存在，理由如下： 连接，过Q作交的延长线与T，则， 与相互平分， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， 设点的横坐标为，点的横坐标均为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 在中，． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的对称性，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，综合运用以上知识解题是解题的关键； 类型五、二次函数的平行四边形 【解惑】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． （3）解：存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值； (3)过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围． 【答案】(1) (2)m的值为 (3)；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为，由，则，根据四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可； （3）先求出，，分点P在y轴左侧，时，当点P在直线上方，时，当点P在y轴右侧下方，时，三种情况求出，利用矩形的性质得到，求和即可得到关系式；②由画出函数图象，利用图像法结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为：，且点P是抛物线上一动点，横坐标为m，则， 点Q与点P关于抛物线的对称轴对称， ， 四边形是平行四边形，， ， 解得：； （3）解：当点P在y轴左侧 ，轴， ， 令抛物线中，则， ， 如图，当点P在y轴左侧，时， 四边形是矩形， ，， ； 如图，当点P在直线上方，时， 同理得：，， ； 如图，当点P在y轴右侧下方，时， 同理得：，， ； 综上，， ②由知， 如图， 当的取值在函数的最大值与函数的最小值之间时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应， ，且， 当时，有最大值， 在时，随的增大而增大， 当时，有最小值， 时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质，矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 2．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 【详解】（1）解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得：，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E，    设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； （3）解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为或或．    【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 3．抛物线与轴交于点， 两点，与 轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，最大值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可得：，令，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式． （2）设，则，表示出，即可得到与的二次函数解析式，通过求二次函数的最值，可得的最大值． （3）①当为平行四边形的边时，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，证得，得到，由抛物线的表达式可得对称轴，设点，则，求出的值，据此可得点的坐标，继而得到点坐标． ②当为平行四边形的对角线时，设的中点为，易得点的坐标，由点在对称轴上，可得点的横坐标为，设点的横坐标为，由中点坐标公式可得的值，据此可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，代入得： ， 解得：， ． 设直线的解析式为，将，，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． （2）解：设，则． ． 依据二次函数的性质可知，存在最大值，最大值为． （3）解：①当为平行四边形的边时，则有，且，如图3，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点． 则． 在和中， ． ． ． 点到对称轴的距离为3． 又． 抛物线对称轴为直线． 设点，则． 解得：或． 当时，代入，得：． 当时，代入，． 点N坐标为或． ． ②当为平行四边形的对角线时，如图4，设的中点为． ，． ． 点在对称轴上． 点的横坐标为． 设点N的横坐标为x，根据中点公式得：． ． 此时． ． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、灵活的将问题转化为二次函数的最值问题，并利用二次函数性质及平行四边形存在性问题求点坐标是解答本题的关键．在解题过程中，要注意思路的清晰性、方法的灵活性和计算的准确性，分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑平行四边形存在的各种可能性，才能顺利的解决此类题目． 类型六、二次函数的菱形 【解惑】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标为，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，证明，得到，，即可求解； （3）分两种情况讨论，①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解（1）∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，得， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为， 如图1，过点O作交的延长线于点H，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴当时，点M的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线的解析式为，顶点为D， ∴点D的坐标为， 分两种情况讨论： ①当为菱形的边时， 如图2， ∵，， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或； ②当为菱形的对角线时， 如图3， 设点，， ∵， ， 解得： ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，此时 (3)或或或 【分析】（1）求出当时，的值；将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）设，确定直线的解析式为，过点作垂直于轴，交于点，则点，得出，根据二次函数的最值可得结论； （3）分三种情况：①当，为邻边时；②当，为邻边时；③当，为邻边时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， 当时，得：， 当时，得：，解得：，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）设， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作垂直于轴，交于点， ∴点， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴ ∴， ， ∴当时，有最大值，此时， ∴面积的最大值为，此时； （3）设；， ∵， ∴， ， ， ∵点、、、构成的四边形为菱形， ①当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），，， ∴此时点的坐标为，； ②当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时点的坐标为； ③当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），（此时点、重合，舍去），， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点式，二次函数的最值的应用，待定系数法确定一次函数的解析式，菱形的性质，两点间的距离，一元二次方程的应用等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 3．如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），，与y轴交于点C．直线经过点B，C．    (1)求抛物线的解析式； (2)若存在点P为上方抛物线上一点，问点P的坐标为何值时，的面积最大，并求出面积最大值； (3)如图②，在（2）的条件下，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，面积最大，最大值为； (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质，菱形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出点、的坐标，由可得点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设点，过点P作x轴的垂线交直线于点H，，可得，根据二次函数的最值即可求解； （3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：直线，令，得， 令得，解得：， ，， ， ， 将，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设点， 如图，过点P作x轴的垂线交直线于点H，   ， ， ∵点P为上方抛物线上一点， ， ， ∴当时，面积的最大值为， ∴； （3）解：存在， 由（2）知时，， ， 设， ①线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图， ， ， ， 或， ∵四边形为菱形，点F的坐标可由点E向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， ∴点Q可由点S向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 或； ②线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图， ， ， ， 或， ∵四边形为菱形，点E的坐标可由点F向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴点Q可由点S向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， 或； ③线段为菱形的对角线，四边形为菱形时，如图， ， ， 设， ， 解得：， ， 解得：， ， 综上所述，存在，点Q的坐标为或或或或． 类型七、二次函数的相似 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，经过点B时得到新抛物线，在新抛物线上有一点M，过点M作轴于点N．若以B，M，N三点为顶点的三角形与相似，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，详见解析 (2)最大值为，此时P点坐标为：，详见解析 (3)点M的坐标为:, , ，详见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识点， （1）先由求出，再由求出，最后由待定系数法即可求解； （2）如图，过P点轴交y轴于点F，设，用含m的代数式表示出，再利用二次函数的性质求出最值，进而即可得解； （3）先利用平移的性质求出新的抛物线解析式，用含t的代数式表示出，，然后分和两种情况讨论以B，M，N三点为顶点的三角形与相似，即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C三点代入得， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过P点轴交y轴于点F，设， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴当时，， ∴最大值为，P点坐标为：； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移，， ∴设抛物线沿x轴正半轴方向平移个单位，则沿y轴正方向平移个单位， ∵， ∴平移后的函数解析式为， ∵新抛物线经过点B， ∴， 解得（舍）或， ∴平移后的函数解析式为， ∵在新抛物线上有一点M，过点M作轴于点N，设M的横坐标为t， ∴，， 如图， 当时，， ∴， ∴， 解方程得：，，，， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴将 ，，，，分别代入得到点M的纵坐标为：，，，，， ∵点，在x轴上， ∴与点N重合，构不成三角形，，不符合题意，舍去， ∴点M的坐标为：， ， ． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点． (1)求的长及抛物线的解析式； (2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)3， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质及二次函数的综合应用，解题时注意：折叠的性质叠种对称变换，属于对称，折叠前后图形的形和小不变，位变化，对边和对应角相等．解题时注意分类思想的运用． （1）根据折叠图形的轴对称性，、全等，首先在中求出的长，进而可得到的长；在中，、，利用勾股定理可求出的长．进一步能确定点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）由于，首先能确定的是，若以、、为顶点的三角形与相似，那么或，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的的值； 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，，． 由题意，． ，，． 由勾股定理易得． ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ． 抛物线过点，， ， 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：，， ， 由（1）可得，，． 而，， ． 当，， ， 即， 解得：． 当，， ， 即， 解得：． 当或时，以、、为顶点的三角形与相似． 2．如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)，或，或，． 【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可； （2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标； （3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点， 因此可设抛物线的解析式为 将代入得，即 抛物线的解析式为； （2）解：， 对称轴为直线， 如图2，当时，，则， 当时，， ， ∴， ， ， ∴， 因此点的坐标为或； （3）解：存在． 假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 如图3，当平行四边形是平行四边形时， 此时，的横坐标为， ∴， ∴，， 当平行四边形是平行四边形时，同理，， 如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则， 点在抛物线上， 此时，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类讨论的数学思想． 3．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，解方程即可得答案； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）， ， 点在轴上方， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ， 得（舍去）或， 当时，， 点的坐标为； （3）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴△为的锐角三角形，所以△也是锐角三角形， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 类型八、二次函数的等角、倍角 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设． ①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围； ②当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②或． 【分析】（1）把点、代入，利用待定系数法求解； （2）先证，求出点F的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程即可求出点M的坐标； （3）① 分，，，四种情况，分别求解；②分，，三种情况，令，解方程即可． 【详解】（1）解：把点、代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当时，或3， ∴D点坐标为， ∴. 又∵，， ∴， ∴， ∴F点坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得，， 即， 解方程组，得或， 即M点坐标为． （3）解：由（1）知，， ∴点C为． P点坐标为． 过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称， ∴E点坐标为（2，3），如图所示： ①（i）当点P在点B和点C之间时，即时，，，． （ii）②当点P在点C和点E之间时，即时，，，； （ⅲ）当点P在第一象限且在点E下方时，即时，，，． （iv）当点P在x轴及第四象限时，即时，，.． 综合得：． ②当时，，解得（舍去）；当时，都符合题意； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象交点问题，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，注意数形结合及分类讨论是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D． (1)求点A，B，C的坐标． (2)求直线的函数表达式． (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B，C的坐标分别为，， (2) (3)在抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或 【分析】（1）根据当时，可得，解一元二次方程即可得出点A、B的坐标，根据当时，即可得点C的坐标； （2）如图，过点D作轴于点E，先利用勾股定理的逆定理判断出，再根据轴对称的性质、平行线分线段成比例可得为的中位线，从而可得，然后利用待定系数法求解即可； （3）分点P在下方和上方两种情况，分别再根据平行线的性质、等腰三角形的三线合一分别求出与平行的直线，然后结合二次函数和一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，，解得，． ∵点B在点A的右侧， ∴点A，B的坐标分别为，； 当时，， ∴点C的坐标为． （2）解：如图，过点D作轴于点E． ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 又∵将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D， ∴A，C，D三点在一条直线上． 由轴对称的性质，得，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 设直线的函数表达式为， 则解得， ∴直线的函数表达式为． （3）解：在抛物线上存在点P，使． ①如图：当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点C，P的纵坐标相等， ∴点P的纵坐标为． 令，则，解得，（舍去）， ∴． ②如图：当点P在上方时， 由（2）可知，A，C，D三点在一条直线上，，， ∴， ∴， ∴ 设直线的函数表达式为． ∵点C的坐标为， ∴， ∴直线的函数表达式为． 当时，解得，（舍去）， ∴点P的横坐标为， ∴． 综上所述，在抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合、折叠的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的三线合一，平行线分线段成比例等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为 (2)当时，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点M的坐标； （2）分两种情况：当点在上方时，连接；当点在下方时，连接，交轴于；分别求解即可得解； （3）待定系数法求出直线的解析式为，作轴，交于，设，则，求出，证明，得出，结合，得出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：在中，当时，，则， 如图，当点在上方时，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴此时； 如图，当点在下方时，连接，交轴于， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴此时； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴； （2）①解：当时，，即， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图1， 设，则，， ∵， ∴当时，有最大值， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，      由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 如图2，作于， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得，或（舍去）， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的全等三角形 【解惑】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．经过点A的直线与抛物线交于另一点D，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)如图1，点P是线段上一动点，过点P作轴，交该抛物线于点F，作轴，交该抛物线于另一点G ①若是等腰直角三角形，求的长； ②如图2，点P的横坐标为，点M是直线上方抛物线上的一个动点，点N是y轴负半轴上一动点．请问是否存在点M，使得以P、N、E为顶点的三角形与全等，且以同一条线段为对应边？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数经过两点，并且与轴另一个交点为，已知直线表达式为，且． (1)求这个二次函数解析式并求出该二次函数顶点的坐标； (2)点是点关于该抛物线对称轴对称的点，平移该二次函数图象，使得平移后的图象经过点，并在图象上可以找到点，使得与全等，请写出平移过程并说明理由． 类型二、二次函数的等腰三角形 【解惑】如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与 x 轴交于点 A 和点 B ，与y 轴交于点C ，且点 B的坐标为． (1)求抛物线的解析式并作出函数图象； (2)点 D 的坐标为，点P是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标． 2．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、二次函数的等腰直角三角形 【解惑】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线：，抛物线：的对称轴为直线，且的图象经过点，动直线与抛物线交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)当是以为直角边的等腰直角三角形时，求的值． (3)在（2）的条件下，设抛物线与轴交于点，连接交轴于点，连接．若平面内有一点，且，是否存在这样的点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 3．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结，，． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)如图1，当点F的坐标为，求出此时面积的最大值： (3)如图2，是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在；求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、二次函数的直角三角形 【解惑】如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 2．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当是直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点E是抛物线对称轴上一点，点F在抛物线上，问是否存在以A、B、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 类型五、二次函数的平行四边形 【解惑】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值； (3)过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围． 2．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 3．抛物线与轴交于点， 两点，与 轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 类型六、二次函数的菱形 【解惑】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点M，使得，求点M的坐标； (3)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），，与y轴交于点C．直线经过点B，C．    (1)求抛物线的解析式； (2)若存在点P为上方抛物线上一点，问点P的坐标为何值时，的面积最大，并求出面积最大值； (3)如图②，在（2）的条件下，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、二次函数的相似 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，经过点B时得到新抛物线，在新抛物线上有一点M，过点M作轴于点N．若以B，M，N三点为顶点的三角形与相似，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点． (1)求的长及抛物线的解析式； (2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 2．如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已点的坐标是，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点在轴上方抛物线上，且，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与△相似，求出符合条件的点的坐标． 类型八、二次函数的等角、倍角 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设． ①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围； ②当时，直接写出m的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D． (1)求点A，B，C的坐标． (2)求直线的函数表达式． (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 3．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线上一动点． ①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值； ②若，求点P的横坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$