专题02 二次函数（中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据二次函数的定义求参 【解惑】若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．3 【融会贯通】 1．如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 2．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 3．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数求参 【解惑】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集是 ． 3．已知关于x的二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ． 类型三、根据二次函数对称性求解 【解惑】二次函数 图象上部分点的坐标对应值列表如下：则当时， 的值是（    ） … … … … A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知点，，在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 2．二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是 ． 3．二次函数，当取，时，函数值都相等，当取时，函数值为 ． 类型四、图像法解一元二次不等式 【解惑】已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【融会贯通】 1．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 2．如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是 ． 3．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 类型五、抛物线与x轴、y轴的交点坐标 【解惑】拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【融会贯通】 1．抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线经过点，则关于的一元二次方程的另一个根是 ． 3．二次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 类型六、二次函数图象的平移 【解惑】将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 ． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是 ． 类型七、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 【融会贯通】 1．小明在某景区看到一个标志性建筑物－－拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）． 2．如图，明湖公园的石拱桥的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，拱桥最高点到水面的距离为．以水面所在的直线为轴，线段的中点为原点，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)公园里有一种游船高，宽，它能通过该拱桥吗？ (3)如果该拱桥下设双行道，为了安全起见，在双行道正中间设有宽的警示浮标，则这种游船还能通过拱桥吗？ 3．如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为． (1)求城门洞最宽处的长（保留根号）； (2)现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由． 类型八、二次函数的应用——投球、喷水问题 【解惑】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【融会贯通】 1．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 2．某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 3．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处． (1)求喷头A的高度； (2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度？ 【一览众山小】 1．下列函数中，图象形状、开口方向都相同的是（   ） ①；    ②；    ③；    ④； A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 2．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知点是抛物线图象的顶点，若点和点关于原点成中心对称，则点的坐标是 ． 5．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 6．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，则关于x的一元二次方程的根是 ． 7．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 16 6 0 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的图像所对应的函数表达式________． 8．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时桥下水面的宽度为20米，这时，拱高点到的距离为4米，求出在图中坐标系抛物线的函数表达式． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据二次函数的定义求参 【解惑】若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数是解题的关键． 利用二次函数定义可得，且，计算出m的值即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且，解得：． 故答案为：． 3．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数求参 【解惑】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 2．已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时， 根据图象可知当或时，直线在抛物线的下方， ∴关于的不等式的解集是或； 如图，当时， 根据图象可知当时，直线在抛物线的下方， ∴关于的不等式的解集是， 综上，关于的不等式的解集是或或， 故答案为：或或． 3．已知关于x的二次函数与反比例函数，甲说：“二次函数图象一定过第一象限的一个定点．”乙说：“二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上．”根据甲、乙两人的描述，可确定a的值为 ． 【答案】-3 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为（1，3-a），再求得抛物线经过的定点，根据两点的坐标的积相等求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为x==1， ∴y=3-a， ∴抛物线的顶点坐标为（1，3-a）， ∵抛物线图象一定过第一象限的一个定点， ∴a（）=y-3， ∴，y-3=0， ∴x=0或x=2，y=3， ∴过点（0，3），或（2，3）， ∴过点（2，3）， ∵二次函数的顶点及这个定点都在反比例函数图象上 ∴3-a=2×3=6， 解得a= -3, 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点，反比例函数的性质，定点问题，把定点问题转化为关于ａ的一元一次方程且方程有无数解的条件计算是解题的关键． 类型三、根据二次函数对称性求解 【解惑】二次函数 图象上部分点的坐标对应值列表如下：则当时， 的值是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数的对称形，由当时，，当时，，得到二次函数的对称轴直线，解题的关键是找出二次函数的对称轴直线为． 根据表格信息可得二次函数的对称轴直线为，可得当时的函数值与时的函数值相等，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息可得，当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∵时，， ∴当时， 的值是， 故选：C ． 【融会贯通】 1．已知点，，在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性质，掌握二次函数的图象与性质是关键．确定抛物线的对称轴为直线，确定点关于对称轴的对称点为，由二次函数的性质即可确定函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴； 故选：C． 2．二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 3．二次函数，当取，时，函数值都相等，当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求出，然后代入函数解析式计算即可得解．解题的关键在于利用二次函数的对称性求出的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图像的对称轴为， ∵当取，时，函数值都相等， ∴， ∴， ∴当取时，函数值， ∴当取时，函数值为． 故答案为：． 类型四、图像法解一元二次不等式 【解惑】已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 2．如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 3．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 类型五、抛物线与x轴、y轴的交点坐标 【解惑】拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解方程等知识点，当时，计算出，则抛物线与y轴的交点坐标为，再解方程得抛物线与x轴无交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的性质是解决此题的关键． 【详解】当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点， 故选：B． 【融会贯通】 1．抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求时的函数值即可． 本题考查了抛物线与y轴的交点，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当时，， 故抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：C． 2．抛物线经过点，则关于的一元二次方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，先求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到抛物线经与轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与轴的交点问题求解即可，熟练掌握二次函数图象与轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：由抛物线可知其对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的解为， ∴另一个根是 故答案为：． 3．二次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题．把代入函数解析式得到，即可得到图象与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为： 类型六、二次函数图象的平移 【解惑】将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握抛物线的平移变化规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，平移后解析式为：， 故选：D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据二次函数图象的平移方式“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为； 故选B． 2．将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握左加右减，上加下减是解题关键．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是． 故答案是：． 类型七、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 【答案】(1) (2)能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴自变量x的取值范围为：． （2）解：当时，， 故能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆． 【融会贯通】 1．小明在某景区看到一个标志性建筑物－－拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）． 【答案】200米 【分析】本题考查了二次函数的应用，设抛物线的解析式为．待定系数法求得解析式，进而求得顶点坐标，即可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为． 抛物线对称轴为轴， ． 由题意可知．       顶点坐标是   拱门的最大高度为200米． 2．如图，明湖公园的石拱桥的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，拱桥最高点到水面的距离为．以水面所在的直线为轴，线段的中点为原点，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)公园里有一种游船高，宽，它能通过该拱桥吗？ (3)如果该拱桥下设双行道，为了安全起见，在双行道正中间设有宽的警示浮标，则这种游船还能通过拱桥吗？ 【答案】(1) (2)游船能通过该拱桥 (3)游船不能通过拱桥 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）首先写出、、三点坐标，之后设出二次函数的顶点式，将点带入计算即可得到答案； （2）将代入二次函数的解析式中得到的值并且与比大小即可得到答案； （3）当时，（1）中抛物线对应的值就是轮船可通过的最大高度，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点，，． 设抛物线的解析式为， 将，代入上式得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：能，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，． 因为，所以游轮能通过隧道． （3）不能，理由如下： 当拱桥下设双行道时，游轮只能从轴的左侧或右侧通过， 由于拱桥正中设有的警示浮标，故轴的左右两侧各有m的警示浮标，游轮的宽为， 当时，． 因为，所以游轮不能通过拱桥． 3．如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为． (1)求城门洞最宽处的长（保留根号）； (2)现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由． 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，截图的关键是： （1）令，求出A、B的坐标，即可求解； （2）把代入函数解析，求出y，然后用减去所求y的绝对值，所得的差与货车高度比较即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 即城门洞最宽处的长为； （2）解：能通过， 理由：当时，， ， ∴能通过． 类型八、二次函数的应用——投球、喷水问题 【解惑】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为分 (3)小朋友有危险，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的运用， （1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式， 令，则，整理得， 解得，， ∵点在轴的正半轴上， ∴小强掷的距离为米， ∵， ∴小强在这次训练中的成绩为分； （3）解：小朋友有危险，理由如下， 当时，， ∵， ∴小朋友有危险． 【融会贯通】 1．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． (1)第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； (2)第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 【答案】(1)①见解析；②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为；③小明第一次投篮练习成功，见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①描点，作图即可； ②根据图表，可得抛物线关于直线对称，图象开口向下，进而可求最高点距离地面的竖直高度； ③设抛物线的解析式为，将代入，求得，则，将代入得，，则小明第一次投篮练习成功； （2）将代入得，，解得，，则，当时，，求出满足要求的值即可． 【详解】（1）解：①如图所示， ②∵，， ∴抛物线关于直线对称， ∵图象开口向下， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为； ③小明第一次投篮练习成功． 理由：设抛物线的解析式为． 将代入得，．解得． ∴． 将代入得，． ∴小明第一次投篮练习成功； （2）解：将代入得，．解得． ∴． 当时，． 解得：，（不合题意，舍去）． ∴此时小明距篮筐中心的水平距离． 2．某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】(1)； (2)m． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得：， 解得：， ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：． （2）在中， 当时，（）， 答：这个装饰物的设计高度（）． 3．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，落点B距离喷水柱底端O处． (1)求喷头A的高度； (2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度，使水流落在距水柱底端处，问喷头A应该向哪个方向调整多少高度？ 【答案】(1) (2)喷头A应该向上调整 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标，经过点，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，令，进而可求解； （2）根据题意，设平移后的函数表达式为，将点代入求得h值即可求解． 【详解】（1）解：由题意，该抛物线的顶点坐标，经过点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， 故该抛物线的函数表达式为， 当时，，则， 即喷头A的高度为； （2）解：设调整后的抛物线的函数表达式为， 根据题意，将代入，得， 解得， 答：喷头A应该向上调整． 【一览众山小】 1．下列函数中，图象形状、开口方向都相同的是（   ） ①；    ②；    ③；    ④； A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次项系数相等时，两个二次函数的图象形状、开口方向都相同,判断即可． 【详解】解：∵只有二次项系数相等时，两个二次函数的图象形状、开口方向都相同， ②与 ③二次项系数都是， ∴②③图象形状、开口方向都相同， 故选：B． 2．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．根据上加下减的原则得出解析式即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线为，即， 故选：A． 3．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得出顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， 故选：D． 4．已知点是抛物线图象的顶点，若点和点关于原点成中心对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及关于原点对称的点的坐标，把解析式化成顶点式，求得点A坐标，再根据关于原点对称的点的坐标的特点得出答案． 【详解】解：， ， 点A关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 5．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得的自变量x的取值范围就是二次函数的图象落在直线下方的部分对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：根据图象可得出：当或时，， 故答案为：或． 6．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，则关于x的一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，求得抛物线与x轴的交点是解题关键．根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得的根． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的一个交点为，其对称轴为直线， 与x轴的另一个交点为，即， 关于x的一元二次方程的根是， 故答案为： 7．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 16 6 0 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的图像所对应的函数表达式________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移；准确求出解析式是关键； （1）由函数y与自变量x的部分对应值表知，当或时，函数值为0，故设解析式为交点式，再选一对对应值代入即可求得解析式； （2）把求得的解析式化为顶点式，根据左加右减，上加下减的原则即可求得平移后的解析式． 【详解】（1）解：由函数y与自变量x的部分对应值表知，当或时，函数值为0， 故设解析式为， 由表知，当时，，代入上式中得：， ∴， ∴，化为一般式为； （2）解：二次函数配方得： 则平移后的解析式为：， 即； 故答案为：． 8．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时桥下水面的宽度为20米，这时，拱高点到的距离为4米，求出在图中坐标系抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出a的值即可． 【详解】解：根据题意得：点B的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$