专题01 直角三角形的边角关系（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题01 直角三角形的边角关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、同格中的三角函数 【解惑】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【融会贯通】 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则等于（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角函数的定义，熟练掌握勾股定理逆定理和三角函数的定义是解题的关键．先分别求出的三边，利用勾股定理逆定理判定直角三角形，再求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ，， ，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 2．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形．将点与图中的格点连接，再连接，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，如图所示， 令网格的边长为， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 因为， 所以， 所以． 故答案为：3． 3．如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查锐角三角函数、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，通过平行线的性质将转化成，再构造直角三角形是解题的关键． 根据“两条直线平行，同位角相等”得出，再连接，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：由题可得，， ∴， 连接，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、同角三角函数 【解惑】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 【融会贯通】 1．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 2．为锐角，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 3．在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理．根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图：    ∵在中，，， 即， ∴设， ， ∴． 故答案为：． 类型三、解直角三角形 【解惑】如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是：（1）利用两个角对应相等的三角形相似，证出；（2）在中，通过解直角三角形求出的长． （1）利用矩形的性质可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，进而可证出； （2）利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，再在中，通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ． ，垂足为， ． ，， ． ； （2）解：， ， ． 在中，，， ， 即的长为2． 2．如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F． (1)求的三角函数值； (2)求的三角函数值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）根据矩形性质得出，，，，证明，根据勾股定理得出，根据三角函数定义求出结果即可； （2）连接，证明，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ∴， ， ． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，相关的判定和性质． 3．如图，，，，． (1)求的值； (2)求点B到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握正弦的定义，以及直角三角形的边角关系． （1）根据正弦的定义，即可解答； （2）根据同角的三角函数值，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点B作于点E， ∵， ∴， ∴． 类型四、解非直角三角形 【解惑】如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【融会贯通】 1．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 2．如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，已知． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，再根据可证AB=AF，由一组临边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）作DH⊥AC于点H，根据平行四边形的性质可得，在Rt△ADH和Rt△DCH中依次解直角三角形即可求得AH和HC，从而求得AC． 【详解】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠DAC=∠FCB， ∵∠ABF=∠FBC+∠DAC ， ∴∠ABF=∠FBC+∠FCB， ∵∠AFB=∠FBC+∠FCB， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AB=AF， ∴▱ABEF是菱形； （2）解：作DH⊥AC于点H， ∵BE∥AC， ∴∠1=∠CBE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD， ∴∠2=∠1， ∴， Rt△ADH中，设DH=x，则， 根据勾股定理， 解得（舍掉负值）， 即， ∵四边形ABEF为菱形， ∴CD=AB=BE=6, 在Rt△DCH中，根据勾股定理, 即 ，解得（舍掉负值）， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数、勾股定理等．（1）中掌握菱形的判定定理，并能结合题意灵活运用是解题关键；（2）能正确构造辅助线，构造直角三角形是解题关键． 3．如图，中，是中点，过点作直线的垂线，垂足为点． 求的值． 连接求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积相等法计算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解； （2）在中，利用勾股定理计算出DE＝，求出，再根据中点的性质得到，再利用即可求解． 【详解】在中， 而，， 是中点， ； 在中，， ， 是中点， ， 即， 在中， ； 在中，， 是中点， ， 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式． 类型五、仰角、俯角问题 【解惑】暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，路程与速度和时间的关系，是解题关键． （1）过B点作于C，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的值，结合山高即可求出的值； （2）在中，求得的长，再计算段和段所用时间和即得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C， 则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要． 【融会贯通】 1．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为．（参考数据，，，） (1)______度，______度，______米； (2)电子厂的高度为多少米？ 【答案】(1)；； (2)电子厂的高度为米． 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形、、是矩形，据此即可求得相关数据； （2）设，表示，然后在以及中，利用三角函数，用表示出和，运用线段和差关系，求出，进一步计算即可作答． 【详解】（1）解：如图：延长交于一点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理得四边形是矩形， 依题意，得，， ∴，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设，则， 在 ∴， 即， 在 ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：电子厂的高度为米． 2．图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】西安电视塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：西安电视塔的高度约为． 3．如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离（即的长度）．已知测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小张在处测得标语牌顶部点的仰角为，，且图中点在同一平面内，求的长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】解：延长交于，如图所示： 则， ， ， 由题意可得，，， 设，则， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 答：点到地面的距离的长约为． 类型六、方位角问题 【解惑】如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【答案】不会，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点P作，E是垂足．与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条路会不会穿越保护区． 【详解】解：如图，过点P作，E是垂足． 则线段的长，就是点P到直线的距离， 根据题意，，， 则在和中， ， ， 而， 即， ∴， ∵，即保护区中心到公路的距离大于半径100千米， ∴公路不会穿越保护区． 【融会贯通】 1．在一次海上救援中，专业救助船接收到基地的指示，在专业救助船的正南方向上有一艘遇险渔船需要救援，现在已知专业救助船在基地的北偏西的方向上，且相距海里，遇险渔船在基地的南偏西的方向上，若专业救助船以海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救授位置？（结果保留整数，参考数崌：，，，） 【答案】能在1小时内赶到救援位置 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 如图，过作，作于，则，，在中，，，则，，在中，，则，，由，判断作答即可． 【详解】解：如图，过作，作于， 由题可知，， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴能在1小时内赶到救援位置． 2．如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，） 【答案】(1)步道AB的长度为米； (2)小莹先到达景点A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）过点M作于M，则，证明为等腰直角三角形，得到（米），（米），即可得到答案； （2）求出路线②的路程，得到小莹到达景点A的时间，求出路线①的路程，得到小明到达景点A的时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴， 过点M作于M，则， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：步道的长度为米； （2）∵米，，， ∴（米），（米）， ∴路线②的路程为（米）， ∴小莹到达景点A的时间为（分钟）， ∵路线①的路程为（米）， ∴小明到达景点A的时间为（分钟）， ∵， ∴小莹先到达景点A． 3．舞龙俗称舞龙灯，源自古人对龙的崇拜，每逢佳节人们都会舞龙，以此方式来祈求平安和丰收，春节前夕在某广场举行了一次舞龙表演．如图，表演场地在点C处，已知小明家A在表演场地C南偏西方向上．小明有两条路线去看表演，路线①：从小明家A穿过一公园D，再沿到达表演场地C，其中点D在点A的东北方向上，点C在点D的北偏东方向上且距离点D米处；路线②：从小明家A出发沿正东方向到达十字路口B，再沿正北方向到达表演场地C． （A、B、C、D在同一平面内，参考数据：，，，，，） (1)求小明家A到公园D的距离；（结果保留根号） (2)小明和爸爸一起去看表演，他们计划出门，爸爸选择路线①步行前往，步行的平均速度，小明选择路线②骑自行车前往，骑车的平均速度是，若表演正式开始的时间是，小明和爸爸能否在表演正式开始前到达表演场地C，请通过计算说明理由．（结果保留1位小数） 【答案】(1)米； (2)爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C，理由见解析；小明能在表演正式开始前到达表演场地C，理由见解析． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过点D作于点F，作于点E，证明四边形是矩形，则，求出，米，，则米，，设，得到米，，则米，，， 解得即可； （2）分别计算出二人的路程，根据路程除以速度得到各自的时间，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：过点D作于点F，作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 设米， 在中，， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， 即小明家A到公园D的距离为米； （2）爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C，理由如下： 由（1）可知，米， ∴， 即爸爸的时间为， ∵， ∴爸爸不能在表演正式开始前到达表演场地C； 小明能在表演正式开始前到达表演场地C，理由如下： 由（1）可知， 米， ∴， 即小明的时间为， ∵， ∴小明能在表演正式开始前到达表演场地C； 类型七、坡度、坡比问题 【解惑】某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡AB的坡度得到的比值，设，则，求出的长，设，得到，的长，由列方程求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点E，过点B作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡AB的坡度； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴建筑物的高度约为． 【融会贯通】 1．如图．某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知点A的高度AB为，台阶的坡度为，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树的高度．（测倾器的高度忽略不计） 【答案】6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键． 由于，则四边形为矩形，设，在中，，在中，得到，求出，在中，求出，由即可求出x的长． 【详解】解：如图，过点A作交于点F， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，在中，， 在中， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵． ∴， 解得． 答：树的高度为6米． 2．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 3．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】(1) (2)叶片顶端C离水平地面的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用坡比可求出、的长，在或中，利用和的正切值分别求出、的长即可得答案； （2）过点作于点，于，可得四边形是矩形，根据旋转的性质得出，利用的余弦值可求出的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵垂直于水平地面， ∴， ∵坡比， ∴， 设，则， ∵坡面长， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴． 由题意得：， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵叶片绕点顺时针转动， ∴， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． ∴叶片顶端离水平地面的距离为． 类型八、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，线段和的端点都在格点上．在给定的网格中按要求画图，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中画，点E在格点上． (2)在图②中作点C关于的对称点，点在格点上． (3)在图③中作点D关于的对称点，点不在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由图可知，与水平线夹角的正切值为，由，可知与水平线夹角的正切值为，点向左2个格点，向上2个格点即为点，如图①；即为所作； （2）由题意知，，则在线段的垂直平分线上，取的中点，连接并延长，交格点于点，如图②，点即为所作； （3）如图③，延长交于，记关于的对称点为，连接，格点向下1个格点为，连接，交于，则点关于的对称点在上，证明四边形是平行四边形，则，，点即为所作． 【详解】（1）解：由图可知，与水平线夹角的正切值为， ∵， ∴与水平线夹角的正切值为， 点向左2个格点，向上2个格点即为点，如图①；即为所作； （2）解：由题意知，， ∴在线段的垂直平分线上， 取的中点，连接并延长，交格点于点，如图②，点即为所作； （3）解：如图③，延长交于，记关于的对称点为，连接，格点向下1个格点为，连接，交于， ∴关于对称，， ∴点关于的对称点在上， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点即为所作． 【点睛】本题考查了作平行线，正切，作轴对称图形，勾股定理，垂直平分线的判定，作垂线，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握作平行线，正切，作轴对称图形，勾股定理，垂直平分线的判定，作垂线，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求： (1)在图①中画，使得． (2)在图②中画，使得． (3)在图③中画，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，根据勾股定理可得，根据勾股定理逆定理可得，则，则即为所作； （2）取格点，连接，，相交一点即为点D，则由矩形得，由上可知，则，则即为所作； （3）取格点，连接，，相交一点即为点E，由得，则，同上可知，则，则即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：即为所作； （3）解：即为所作； 【点睛】本题考查作图—无刻度直尺作图，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数．利用数形结合的思想是解题关键． 2．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画出的边上的中线． (2)在图②中的边上确定一点，使． (3)在图③中的边上确定一点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． （3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 3．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．（只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹） (1)在图中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为； (2)在图中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为； (3)在图中找一格点，在线段上找一点，使为锐角三角形，且的正切值为． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）利用等腰直角三角形的性质，作出图形即可； （）构造直角三角形，使得即可； （）利用（）中结论，再根据要求作出三角形即可； 本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理及逆定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及学会利用数形结合的思想． 【详解】（1）如图， 由网格可知：，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴点即为所求； （2）如图， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； （3）如图， 由（）得， 根据网格可知：， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【一览众山小】 1．如图，矩形中，，点M为的中点，连接；点P为上一个动点，连接，点Q为的中点，则线段的最小值为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】取的中点，连接，如图所示，Q是的中点，，，在矩形中，因为F是的中点，E是的中点，所以，则四边形是平行四边形，，则三点共线，当时，取最小值，由平行线的性质，则故，再结合勾股定理得，则，解出即可作答． 【详解】解：如图：取的中点，连接，，如图所示， ∵Q是的中点，是的中点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵F是的中点，M是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，则三点共线， 当时，取最小值， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，垂线段最短，三角形的中位线定理，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的判定与性质，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理，锐角三角函数的定义是解题关键．根据题意易证，得出，即，从而可证，即得出． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选D． 3．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，矩形的两边分别在 x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握对称性质．过点作轴于点，根据点坐标为，可得，，根据三角函数可得，所以得，再根据矩形沿对角线翻折使点落在点处，可得，，所以得，进而求得点的坐标． 【详解】解：如图， 过点作轴于点， 点坐标为， ，， ， ， 矩形沿对角线翻折使点落在点处， ，， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 5．已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)延长交直线于点，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，即，然后利用，列出比例式求出的长度； （2）根据，求出的表达式；由，列出比例式求解； （3）本问分两种情形，分别作图，运用数形结合思想以及相似三角形的性质进行列式计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：由翻折性质，可知为的角平分线，且． 点为中点， ， 为的角平分线． ， ，即， ， ， 即． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即， 解得：． （2）解：由（1）知， ，即， ， ． ， ， 又，， ， ∵ ∴ 或， 此时x无解， ． （3）解：由题意知：． ①当点在线段的延长线上时，如答图1所示． ∵， ∴， ， ． ， ， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如答图2所示． ∵， ∴． 同理可得：， ， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何综合题型，主要考查了相似三角形、正方形、解直角三角形、角平分线等几何知识点．难点在于第（3）问，有两种情形，不要漏解． 6．如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 【答案】(1)与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； (2)巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． （1）作于，设海里，根据正切的概念求出，根据题意列方程，解方程即可；作于，设，用表示出，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （2）由（1）的结果，即可作出判断． 【详解】（1）解：作于， 设海里， 在中，， 在中，， ， 则， 解得，， ， ，，， 作于， 设，则， ，， ， ， 则， 解得，，则， ∵， ∴， 答：与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； （2）解：由（1）得 ∴巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 7．如图，已知中，于点D，，连接并延长交边于点F，已知， (1)求的正切值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握解直角三角形和平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）由余弦定义求出，由勾股定理得出，要做求出，由正切定义即可得出答案； （2）过D作交于点G，求出，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 过D作交于点G， ∴，， ∴， 设，则， ∴． 8．在中，，平分交于点D，于点E，交于点F         (1)如图1，求证： (2)九年一班智慧小组通过探究发现：当 时，，当 时，，由此可以猜测，当 时，   ． (3)如图1，当 时，求的值（用含的式子表达） (4)如图2，九年一班创新校区在图1的基础上，作，当 时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）由，平分得，由等角得余角相等得到，即可求证； （2）观察发现与的分母一样，分子是的两倍即可解决； （3）过点作交于，由得，可证明，则，设，则，则，故； （4）过点作于点，由角平分线性质可得，设， 由（3）知，则，角度推导证明，则，故． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴，, ∵, ∴ ∴， ∴； （2）解：当 时，， 当 时，， 由此可以猜测，当 时，， 故答案为：； （3）解：过点作交于，如图， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （4）解：过点作于点， ∵平分，， ∴，设， ∵， ∴由（3）知， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，角平分线的性质定理，三角形的外角，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线构造相似三角形或者等角的三角函数值相等解决． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直角三角形的边角关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、同格中的三角函数 【解惑】如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则等于（   ）    A．2 B． C． D． 2．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 3．如图是的网格，每个格子都为正方形．点A，B，C，D，E均为格点，线段交于点O．则 ． 类型二、同角三角函数 【解惑】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．为锐角，若，则的值为 ． 3．在中，，若，则 ． 类型三、解直角三角形 【解惑】如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F． (1)求的三角函数值； (2)求的三角函数值． 3．如图，，，，． (1)求的值； (2)求点B到直线的距离． 类型四、解非直角三角形 【解惑】如图，在中，，求和的长． 【融会贯通】 1．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 2．如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，已知． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若，，，求的长． 3．如图，中，是中点，过点作直线的垂线，垂足为点． 求的值． 连接求四边形的面积． 类型五、仰角、俯角问题 【解惑】暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 【融会贯通】 1．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为．（参考数据，，，） (1)______度，______度，______米； (2)电子厂的高度为多少米？ 2．图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 3．如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离（即的长度）．已知测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小张在处测得标语牌顶部点的仰角为，，且图中点在同一平面内，求的长．（参考数据：，，） 类型六、方位角问题 【解惑】如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【融会贯通】 1．在一次海上救援中，专业救助船接收到基地的指示，在专业救助船的正南方向上有一艘遇险渔船需要救援，现在已知专业救助船在基地的北偏西的方向上，且相距海里，遇险渔船在基地的南偏西的方向上，若专业救助船以海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救授位置？（结果保留整数，参考数崌：，，，） 2．如图，某公园中的四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，） 3．舞龙俗称舞龙灯，源自古人对龙的崇拜，每逢佳节人们都会舞龙，以此方式来祈求平安和丰收，春节前夕在某广场举行了一次舞龙表演．如图，表演场地在点C处，已知小明家A在表演场地C南偏西方向上．小明有两条路线去看表演，路线①：从小明家A穿过一公园D，再沿到达表演场地C，其中点D在点A的东北方向上，点C在点D的北偏东方向上且距离点D米处；路线②：从小明家A出发沿正东方向到达十字路口B，再沿正北方向到达表演场地C． （A、B、C、D在同一平面内，参考数据：，，，，，） (1)求小明家A到公园D的距离；（结果保留根号） (2)小明和爸爸一起去看表演，他们计划出门，爸爸选择路线①步行前往，步行的平均速度，小明选择路线②骑自行车前往，骑车的平均速度是，若表演正式开始的时间是，小明和爸爸能否在表演正式开始前到达表演场地C，请通过计算说明理由．（结果保留1位小数） 类型七、坡度、坡比问题 【解惑】某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：） 【融会贯通】 1．如图．某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知点A的高度AB为，台阶的坡度为，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树的高度．（测倾器的高度忽略不计） 2．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 3．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三点共线），坡面长，三个相同长度的风轮叶片，，可绕点转动，每两个叶片之间的夹角为；当叶片静止，与重合时，在坡底F处向前走米至点处，测得点处的仰角为，又向前走米至点处，测得点处的仰角为（点，，，在同一水平线上）． (1)求叶片的长； (2)在图2状态下，当叶片绕点顺时针转动时（如图3），求叶片顶端离水平地面的距离．（参考数据：，，，，结果保留整数） 类型八、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，线段和的端点都在格点上．在给定的网格中按要求画图，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中画，点E在格点上． (2)在图②中作点C关于的对称点，点在格点上． (3)在图③中作点D关于的对称点，点不在格点上． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图．要求： (1)在图①中画，使得． (2)在图②中画，使得． (3)在图③中画，使得． 2．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画出的边上的中线． (2)在图②中的边上确定一点，使． (3)在图③中的边上确定一点，使． 3．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．（只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹） (1)在图中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为； (2)在图中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为； (3)在图中找一格点，在线段上找一点，使为锐角三角形，且的正切值为． 【一览众山小】 1．如图，矩形中，，点M为的中点，连接；点P为上一个动点，连接，点Q为的中点，则线段的最小值为（   ） A．5 B． C． D．6 2．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 4．如图，矩形的两边分别在 x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为 ． 5．已知：正方形的边长为4，点为边的中点，点为边上一动点长，沿翻折得到，直线交边于点，交直线于点． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点在射线上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)延长交直线于点，若，求的长． 6．如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 7．如图，已知中，于点D，，连接并延长交边于点F，已知， (1)求的正切值； (2)求的值． 8．在中，，平分交于点D，于点E，交于点F         (1)如图1，求证： (2)九年一班智慧小组通过探究发现：当 时，，当 时，，由此可以猜测，当 时，   ． (3)如图1，当 时，求的值（用含的式子表达） (4)如图2，九年一班创新校区在图1的基础上，作，当 时，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$