专题01 直角三角形的边角关系（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题01 直角三角形的边角关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、正弦、余弦、正切的认识 【解惑】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    【融会贯通】 1．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 2．若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 3．如图，在中，，点在上，，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键． 类型二、求角的正弦、余弦、正切值 【解惑】在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正弦值，根据即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C 【融会贯通】 1．已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值，须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长，在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：C． 2．在中，连接AC，若，，则 ． 【答案】0.5或2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．作于E，由平行四边形的面积求出，再由勾股定理求出，得出，即可得出结果． 【详解】解∶如图1，作于E， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2，作，交的延长线于E， 同理可求，， ∴， ∴． 综上可知，的值为2或0.5． 故答案为：2或0.5． 3．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 【详解】解：设，， ∴， ∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 类型三、已知正弦、余弦、正切值求边长 【解惑】如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握正弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， 米， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，四边形中，，，E为的中点，F为上一点，且满足，则的长为  （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作于点G，过点F作于点M，在上截取，连接，证明四边形是矩形，则，得到，则,证明，则，在中，设，则，得到，则，证明，则，得到，即可求出的长. 【详解】解：过点D作于点G，过点F作于点M，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 即的长为， 故选：D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造矩形和相似三角形是解题的关键. 2．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．如图，点E为正方形对角线上一点，连接，作，交于点F，作交于点H，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过E作于M，过F作于N，则可证明，从而；设，则，；由，得，从而得，由，得， 从而求得，由即可求解． 【详解】解：如图，过E作于M，过F作于N； ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，； 设， 则，； ∵， 即， ∴； ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵于G， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正切函数，勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． 类型四、三角函数中的比较大小 【解惑】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 【融会贯通】 1．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】 解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 2．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可． 【详解】解：根据题意作图如下， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 3．若α为锐角，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围. 【详解】α是锐角，且且， 则有0＜＜1， 解得， ＜m＜ . 故答案为 ＜m＜ . 【点睛】本题考查了利用锐角三角函数的值求参数的取值范围，熟知“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”是解决本题的关键. 类型五、特殊三角形的三角函数 【解惑】的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值及实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．把的值代入计算即可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 【融会贯通】 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据角的余弦值即可求解 【详解】解：， 故选：A 2．如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，正纸片，E为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点C作的平行线交的延长线于点M，若，则的比为 ． 【答案】 【分析】延长交于点D，根据， ，得到，结合正，得到，，得到，不妨设，则，，根据折叠的性质，勾股定理，列式计算即可． 【详解】解：延长交于点D， ∵， ， ∴， ∵正， ∴，， ∴， 设， 则，， ∴， 根据折叠的性质，得，， ∴，， 由勾股定理，得， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值是解题的关键． 类型六、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【解惑】若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 【答案】A 【分析】根据非负数的性质，求出和的度数，然后可判定的形状． 【详解】解：由题意得：，， 即，， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 【融会贯通】 1．在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 2．锐角中，，则的形状是 . 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键． 3．如果，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定． 类型七、由特殊角三角函数值求角的度数 【解惑】在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案．此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【详解】解：， ，， ，， ，， 的度数是：． 故选：C． 【融会贯通】 1．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求角度，涉及非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识，先由非负数和为零的条件得到，再由特殊角的三角函数值求出，最后由三角形内角和定理即可得到答案，熟记非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在中，若， ，， ， 解得， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故选：C． 2．在中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题，绝对值和平方的非负性． 根据题意得出，进而得出，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ， 故答案为：． 3．已知，均为锐角，且，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 类型八、特殊三角函数值的混合运算 【解惑】计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算即可． （2）根据零指数幂，整数指数幂的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方再计算除法，最后进行减法计算； （2）根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，立方根和零指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值，立方根，再根据有理数四则混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【一览众山小】 1．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求余弦值，根据余弦的定义，直接进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，故B正确． 故选：B． 2．如图，在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，则， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，已知点和点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，理解正切是直角三角形的对边比邻边是解题的关键，如图，取格点由点和点得是直角三角形，，，从而根据三角函数的定义即可得解 【详解】解：如图，取格点 ∵点和点 ∴是直角三角形，，， ∴， 故选：A． 4．若是的一个内角，且有，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数问题，先由题中条件，结合特殊角的三角函数值得到，从而确定，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：是的一个内角，且有， ，则， ， 故答案为：． 5．的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见角的三角函数值成为解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 6．如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得的长． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 即需要准备的水管的长为， 故答案为： 7．计算：． 【答案】9 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解：原式=． 8．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，实数的混合运算，特殊的三角函数值， 对于（1），先将各式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算； 对于（2），根据，再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直角三角形的边角关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、正弦、余弦、正切的认识 【解惑】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则锐角 锐角（填、或）． 3．如图，在中，，点在上，，，则的值是 ． 类型二、求角的正弦、余弦、正切值 【解惑】在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．在中，连接AC，若，，则 ． 3．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 类型三、已知正弦、余弦、正切值求边长 【解惑】如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【融会贯通】 1．如图，四边形中，，，E为的中点，F为上一点，且满足，则的长为  （   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 3．如图，点E为正方形对角线上一点，连接，作，交于点F，作交于点H，垂足为，若，，则的长为 ． 类型四、三角函数中的比较大小 【解惑】若，则（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： ． 3．若α为锐角，且，则m的取值范围是 ． 类型五、特殊三角形的三角函数 【解惑】的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【融会贯通】 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 3．如图，正纸片，E为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点C作的平行线交的延长线于点M，若，则的比为 ． 类型六、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【解惑】若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 【融会贯通】 1．在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．锐角中，，则的形状是 . 3．如果，则的形状是 ． 类型七、由特殊角三角函数值求角的度数 【解惑】在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，则的度数为 ． 3．已知，均为锐角，且，则 ． 类型八、特殊三角函数值的混合运算 【解惑】计算 (1)； (2) 【融会贯通】 1．计算： (1) (2)． 2．计算： (1) (2)． 3．计算： (1)； (2)． 【一览众山小】 1．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知点和点，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若是的一个内角，且有，则等于 ． 5．的值等于 ． 6．如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为 7．计算：． 8．计算 (1) (2) 6 学科网（北京）股份有限公司 $$