专题05 相交弦定理、割线定理、切割线定理-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题05 相交弦定理、割线定理、切割线定理 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、相交弦定理 3 类型二、割线定理 4 类型三、切割线定理 5 类型四、弦切角定理 7 压轴能力测评 11 1. 相交弦定理 如图，已知弦AB,CD相交于点P,连接AC,CB,BD,DA. 结论：①△ACP∽△DBP;②△ADP∽△CBP;③AP.BP= CP. DP. 2. 割线定理 如图，已知PAB,PCD为○O上午两条割线，连接AC,BD,AD,BC. 结论：①△PAC∽△PDB;②△PAD∽△PCB;③PA.PD＝PC.PD 3. 切割线定理 如图，已知PA与○O相切与点P，PBC为○O 的割线，连接AB,AC。 结论：①△PAB∽△PCA;②PA²＝PB×PC. 4. 弦切角定理 类型一、相交弦定理 如图，已知弦AB,CD相交于点P,连接AC,CB,BD,DA. 结论：①△ACP∽△DBP;②△ADP∽△CBP;③AP.BP= CP. DP. 【例】．如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（    ） A．3 B．4或3 C．4 D．2 【变式训练1】．如图，在中，弦弦，垂足为，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，的直径与弦相交，若，则（　　） A． B． C． D． 类型二、割线定理 如图，已知PAB,PCD为○O上午两条割线，连接AC,BD,AD,BC. 结论：①△PAC∽△PDB;②△PAD∽△PCB;③PA.PD＝PC.PD 【例】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，若PA·PB=PC·PD，则PD的长是(   ) A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 【变式训练1】．如图，过点作的两条割线分别交于点、和点、，已知，，则的长是（ ） A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 【变式训练2】．如图，为的割线，且，交于点，若，则的半径的长为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4】．如图，是外一点，、都是的割线．如果，，，那么的长为(     ) A． B．2 C．3 D．4 类型三、切割线定理 如图，已知PA与○O相切与点P，PBC为○O 的割线，连接AB,AC。 结论：①△PAB∽△PCA;②PA²＝PB×PC. 【例】．如图，在中，以为直径的交于点，连接．若，，，则的长是（    ） A．8 B． C．12 D． 【变式训练1】．如图，在中，，，分别与边，相切，切点分别为E，C，则的半径是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，直线l与相切于点A，P是上的一点，过点于B，PB交于点Q，连接PA．若，，则PQ＝（    ） A．16 B．12 C．18 D．14 【变式训练3】．如图，中，，O是AB边上一点，与AC、BC都相切，若，，则的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 类型四、弦切角定理 【例】．定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角． （1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想． （2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 【变式训练1】．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，． 求证：． 证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 【变式训练2】．阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中即为弦切角．同学们研究发现：A为圆上任意一点，当弦AB经过圆心O，且DB切于点B时，易证：弦切角． 问题拓展：如图2，点A是优弧BC上任意一点，DB切于点B，求证：． 证明：连接BO并延长交于点，连接，如图2所示． ∵DB与相切于点B， ∴________ ∴． ∵是直径， ∴_____________（依据）． ∴． ∴________________（依据）． 又∵________________（依据）， ∴． (1)将上述证明过程及依据补充完整． (2)如图3，的顶点C在上，AC和相交于点D，且AB是的切线，切点为B，连接BD．若，求BC的长． 【变式训练3】．阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．   同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？ 请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    【变式训练4】．阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务： (1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 1．如图，切于，是的割线，如果，，则的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 2．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（　 　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，切于点，是的一条割线，且，，那么的长为(     ) A．2 B． C．4 D．2 4．是外一点，切于，割线交于点、，若，则的长是（       ） A． B． C． D． 5．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针方向旋转60°到OD，则PD的长为（　　） A． B． C． D．2 6．如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，是的切线，为切点，是割线，交于、两点，与直径交于点，已知，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 8．如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ） A． B． C． D． 9．如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆的割线,若PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于(      ) A．12 B．9 C．8 D．4 10．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，AD、BC相交于点E，则图中相似三角形共有 A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相交弦定理、割线定理、 切割线定理 弦切角定理 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、相交弦定理 3 类型二、割线定理 7 类型三、切割线定理 10 类型四、弦切角定理 15 压轴能力测评 24 1. 相交弦定理 如图，已知弦AB,CD相交于点P,连接AC,CB,BD,DA. 结论：①△ACP∽△DBP;②△ADP∽△CBP;③AP.BP= CP. DP. 2. 割线定理 如图，已知PAB,PCD为○O上午两条割线，连接AC,BD,AD,BC. 结论：①△PAC∽△PDB;②△PAD∽△PCB;③PA.PD＝PC.PD 3. 切割线定理 如图，已知PA与○O相切与点P，PBC为○O 的割线，连接AB,AC。 结论：①△PAB∽△PCA;②PA²＝PB×PC. 4. 弦切角定理 类型一、相交弦定理 如图，已知弦AB,CD相交于点P,连接AC,CB,BD,DA. 结论：①△ACP∽△DBP;②△ADP∽△CBP;③AP.BP= CP. DP. 【例】．如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（    ） A．3 B．4或3 C．4 D．2 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质．掌握同弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理是解题关键． 设，则，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】设，则 ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， ∴ 解得， ∴的长为4或3． 故选：B． 【变式训练1】．如图，在中，弦弦，垂足为，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】连接，，过作，，由垂径定理可得、分别为、的中点，根据圆周角定理求出，，易证，根据相似三角形的性质求出，根据垂径定理得到，，根据矩形的判定与性质可知，根据勾股定理求出，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过作于点，于点， ，， ， ， ，，， ， ， 为的中点， ， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在直角三角形中，，， 根据勾股定理得：， 则的面积． 故选：C． 【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，熟练运用垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 【变式训练2】．如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角定理 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，解题的关键是掌握圆周角定理． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得． 【详解】解：∵， ， 又， ， 故选：D． 【变式训练3】．如图，的直径与弦相交，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据的直径与弦相交得到，求出即可得到答案． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选A． 类型二、割线定理 如图，已知PAB,PCD为○O上午两条割线，连接AC,BD,AD,BC. 结论：①△PAC∽△PDB;②△PAD∽△PCB;③PA.PD＝PC.PD 【例】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，若PA·PB=PC·PD，则PD的长是(   ) A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA•PB=PC•PD即可求得PD的长． 【详解】解：∵PA=3，AB=PC=2， ∴PB=5， ∵PA•PB=PC•PD， ∴PD=7.5， 故选B． 【点睛】主要是考查了割线定理的运用，是基础知识比较简单，要识记. 【变式训练1】．如图，过点作的两条割线分别交于点、和点、，已知，，则的长是（ ） A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA•PB=PC•PD即可求得PD的长. 【详解】解：∵PA=3，AB=PC=2， ∴PB=5， ∵PA•PB=PC•PD， ∴PD=7.5， 故选B. 【点睛】主要是考查了割线定理的运用. 【变式训练2】．如图，为的割线，且，交于点，若，则的半径的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交圆于点，利用割线定理可知，求得即可求解. 【详解】延长交圆于点， 利用割线定理可知，求得， 所以，半径. 故选：. 【点睛】本题主要考查了切割线定理的推论，如何作辅助线是解题的关键. 【变式训练3】．如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(圆的综合问题) 【详解】试题解析：延长PO到E，延长线与圆O交于点E，连接EB，AC， ∵OC=3，OP=5， ∴OE=OC=3， ∴EP=OE+OP=3+5=8，CP=OP−OC=5−3=2， 设PA=AB=x，则BP=2x， ∵四边形ACEB为圆O的内接四边形， ∴∠ACP=∠E，又∠P=∠P， ∴△ACP∽△EBP， 即 解得：或 (舍去)， 则 故选B. 点睛：两组角对应相等，两三角形相似. 【变式训练4】．如图，是外一点，、都是的割线．如果，，，那么的长为(     ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】连结BC、BD，证明△PCB∽△PAD，由PA：PD＝PC：PB可得到PD的长. 【详解】如图，连结BC、BD.∵同弧所对的圆心角相等∴∠PDA＝∠PBC，又∵∠BPD是△PCB和△PAD共同的角，∴△PCB∽△PAD，∴PA：PD＝PC：PB＝PD：PA＋AB，∴PD＝4. 【点睛】本题考查了相似三角形、同弧对应的圆周角相等，灵活运用这些知识是解答此题的关键. 类型三、切割线定理 如图，已知PA与○O相切与点P，PBC为○O 的割线，连接AB,AC。 结论：①△PAB∽△PCA;②PA²＝PB×PC. 【例】．如图，在中，以为直径的交于点，连接．若，，，则的长是（    ） A．8 B． C．12 D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据，，得到计算即可，本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的性质是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选D． 【变式训练1】．如图，在中，，，分别与边，相切，切点分别为E，C，则的半径是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据切线长定理得，根据勾股定理得的长，从而得到的长，再利用得，从而可求得的长，进而得到半径的长． 【详解】解：∵分别与边，相切，，， ∴， ， ∴， ∴， 连接，则，即，    ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴圆的半径是， 故选：A． 【点睛】此题考查切线长定理、勾股定理和相似三角形的判定和性质，掌握切线长定理是关键. 【变式训练2】．如图，直线l与相切于点A，P是上的一点，过点于B，PB交于点Q，连接PA．若，，则PQ＝（    ） A．16 B．12 C．18 D．14 【答案】A 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】连接OA、OQ，作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，由，，得 ，进一步得出，则，利用勾股定理求得，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，进而求得半径，同理可得OF平分PQ，利用勾股定理求得FQ，即可求解． 【详解】解：如下图所示连接OA、OQ，作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴, 在中，，， ∴, 又∵AP是的弦，且垂直于弦的直径平分这条弦， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理OF平分PQ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的性质及判定等，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【变式训练3】．如图，中，，O是AB边上一点，与AC、BC都相切，若，，则的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OD=OE=r，易得四边形ODCE为正方形，则CD=OD=r，再证明△ADO∽△ACB，然后利用相似比得到，再根据比例的性质求出r即可． 【详解】解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，设⊙O的半径为r， ∵⊙O与AC、BC都相切， ∴OD=OE=r， 而∠C=90°， ∴四边形ODCE为正方形， ∴CD=OD=r， ∵OD∥BC， ∴△ADO∽△ACB， ∴ ∵AF=AC-r，BC=3，AC=4， 代入可得， ∴r=． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质． 类型四、弦切角定理 【例】．定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角． （1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想． （2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 【答案】（1）（2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角 【知识点】切线的性质定理、切线的性质和判定的综合应用、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接CO并延长交圆于E，连接DE，根据直径所对的圆周角是直角，可以得到∠E+∠DCE=90°；再根据AB是切线可以得到∠DCE+DCB=90°，所以∠DCB=∠E，最后根据等弧所对的圆周角相等就可以的得到所要的结论． （2）能说清弦切角与圆周角的关系即可． 【详解】（1）； 证明：∵是的直径， ∴； 又∵是的切线， ∴， ∴； 又∵， ∴． （2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角． （或弦切角的度数等于其两边所夹弧度数的一半．） 【点睛】此题综合运用了切线的性质、等角的余角相等以及圆周角定理的推论． 【变式训练1】．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，． 求证：． 证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)21 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图2，延长交于，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论； （2）如图3，连接，根据勾股定理得到，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：求证：， 证明：如图2，延长交于，连接， 是的直径， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ； 即； （2）如图3，连接， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式训练2】．阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中即为弦切角．同学们研究发现：A为圆上任意一点，当弦AB经过圆心O，且DB切于点B时，易证：弦切角． 问题拓展：如图2，点A是优弧BC上任意一点，DB切于点B，求证：． 证明：连接BO并延长交于点，连接，如图2所示． ∵DB与相切于点B， ∴________ ∴． ∵是直径， ∴_____________（依据）． ∴． ∴________________（依据）． 又∵________________（依据）， ∴． (1)将上述证明过程及依据补充完整． (2)如图3，的顶点C在上，AC和相交于点D，且AB是的切线，切点为B，连接BD．若，求BC的长． 【答案】(1)90°；直径所对的圆周角是直角；同角的余角相等；同弧所对的圆周角相等 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据切线的性质以及圆周角的性质以及同角的余角相等的性质解决问题即可；、 （2）利用第一问的结论，证明出，得到，代入数值，先求出AB的值，再求出BC的值即可． 【详解】（1）证明：连接BO并延长交于点，连接，如图2所示． ∵DB与相切于点B， ∴   90°     ∴． ∵是直径， ∴（直径所对的圆周角是直角） ∴． ∴（同角的余角相等）． 又∵（同弧所对的圆周角相等）， ∴． 故答案为：90°；直径所对的圆周角是直角；同角的余角相等；同弧所对的圆周角相等． （2）解：由题意，可知． ∵， ∴．       ∴， ∴ ∴，（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的性质，还考查了相似，同时善于运用已经证明的结论解决问题是解题的关键． 【变式训练3】．阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．   同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？ 请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    【答案】（1）成立；（2）证明见解析. 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【详解】试题分析：问题拓展：首先连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理可得∠D=∠P，又由AD是直径，AB切圆于点A，易证得∠CAB=∠CAD，继而证得结论； 知识运用：连接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分线，⊙O与BC切于点D，可得∠FDC=∠EAD，又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD，继而证得结论． 试题解析：问题拓展：成立． 如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则∠D=∠P， ∵AD是直径， ∴∠D+∠CAD=90°， 又∵AB切圆于点A， ∴∠CAB+∠CAD=90°， ∴∠CAB=∠CAD， 而∠CAD=∠P， ∴∠CAB=∠P； 知识运用：如图4，连接DF， ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠DAC， ∵⊙O与BC切于点D， ∴∠FDC=∠DAC， ∴∠FDC=∠EAD， ∵在⊙O中∠EAD=∠EFD， ∴∠FDC=∠EFD， ∴EF∥BC． 【变式训练4】．阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务： (1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)转化思想和类比思想 (4) 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，则，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，可得，即可； （3）上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； （4）接并延长，交于点，连接，则，证明，即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键． 1．如图，切于，是的割线，如果，，则的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】切线的性质定理 【分析】根据切线定理得PA2＝PBPC＝8即可求得PA的长. 【详解】∵PA2＝ PBPC＝8,PB＝2,PC＝4，∴PA＝. 【点睛】本题主要考查了切线定理的运用. 2．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（　 　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】连接AC，BC，由PC为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACP与三角形CBP相似，根据相似得比例列出关系式，将PC及PA的值代入即可求出PB的长． 【详解】连接AC，BC，如图所示： ∵PC为圆O的切线， ∴∠ACP=∠B，又∠P=∠P， ∴△ACP∽△CBP， ∴， 又∵PC=2，PA=1， ∴BP= 4. 故选B. 【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键. 3．如图，切于点，是的一条割线，且，，那么的长为(     ) A．2 B． C．4 D．2 【答案】A 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、应用切线长定理求解 【分析】设PB=x，则PC=3x，根据切割线定理得PA2=PB•PC，从而可求得PB的长． 【详解】解：设PB=x，则PC=3x， ∵PA2=PB•PC，PA=2，BC=2PB， ∴x•3x=12， ∴x=2． 故选A． 【点睛】此题考查切割线定理的运用． 4．是外一点，切于，割线交于点、，若，则的长是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】由已知可求得PC的长，根据切割线定理得PA2=PB•PC=18，即可求得PA的长． 【详解】∵PB=BC=3， ∴PC=6， ∵PA2=PB⋅PC=18， ∴ 故选:C. 【点睛】考查了切割线定理，熟练掌握切割线定理是解题的关键. 5．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针方向旋转60°到OD，则PD的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作DE⊥CB于E，根据题意先求得∠AOP=60°，∠DOC=60°．利用三角函数可求DE，EO．根据勾股定理即可求PD的值． 【详解】如图，作DE⊥CB于E． ∵OB=PB=1，∴OA=1． 又∵PA切⊙O于点A，则OA⊥AP，∴∠AOP=60°． 又∵OA绕点O逆时针方向旋转60°，∴∠DOC=60°，∴DE=1×sin60°，EO，∴PD． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形的知识及切线的性质． 6．如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线的性质定理 【分析】根据切割线定理得出PA2=PB•PC，再代入数据进行计算即可． 【详解】∵PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是⊙O的割线， ∴PA2=PB•PC， ∵PB=BC=2， ∴PC=4， ∴PA2=4×2， ∴PA=2， 故选B． 【点睛】本题考查了切割线定理，解题的关键是运用切割线定理列方程求解． 7．如图，是的切线，为切点，是割线，交于、两点，与直径交于点，已知，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相交弦定理知，TD•CD=AD•BD可求得TD的长；由勾股定理知，PT2=PD2-TD2，由切割线定理知，PT2=PB•PA=（PD-BD）（PD+AD），从而可求得PD，PB的长． 【详解】解：∵TD•CD=AD•BD，CD=2，AD=3，BD=4， ∴TD=6， ∵PT2=PD2-TD2， ∴PT2=PB•PA=（PD-BD）（PD+AD）， ∴PD=24， ∴PB=PD-BD=24-4=20． 故选D． 【点睛】本题考查相交弦定理，勾股定理，切割线定理，解题关键是熟练掌握定理． 8．如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得出OC∥BD，根据平行线分线段成比例可得到关于PC，PD的关系式，再结合切割线定理的推论，也可得出关于PC，PD的关系式，联合起来，解方程就可分别求出PC． 【详解】连接OC、OD，如图所示： ∵弧AC=弧CD， ∴∠AOC=∠COD=∠AOD； 又∵∠ABD=∠AOD， ∴∠ABD=∠AOC， ∴OC∥BD， ∴， ∴， ∴PD=; ∵PD和PB都是⊙O外同一点引出的割线， ∴PC•PD=PA•PB， ∴PC•PD=2×6=12， ∴PC=2cm． 故选D． 【点睛】利用了圆周角定理，以及平行线分线段成比例定理，切割线定理的推论等知识． 9．如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆的割线,若PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于(      ) A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切割线定理得PT2=PA•PB，PT2=PC•PD，所以PA•PB=PC•PD，从而可求得PD的长. 【详解】∵PT2=PA•PB，PT2=PC•PD， ∴PA•PB=PC•PD， ∵PA=3，PB=6，PC=2， ∴PD=9． 故选B． 10．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，AD、BC相交于点E，则图中相似三角形共有 A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】C 【详解】解：∵∠BEA=∠DEC，∠B=∠D ∴△ABE∽△CDE ∵∠B=∠D，∠P=∠P ∴△PBC∽△PDA ∴共有两对相似三角形 故选C 11．如图，、是的两条相交弦，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】圆周角定理和已知得出，证出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：，， ， 为等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 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