专题06 圆与三角形、四边形和函数问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪科版）

专题06 圆与三角形、四边形和函数问题 目录 1 类型一、圆内综合问题 1 类型二、圆与三角形问题 3 类型三、圆与四边形问题 4 类型四、圆与函数问题 6 8 类型一、圆内综合问题 【例】．如图，为的直径，，过点的直线与分别交于点、，与交于点，连接、、.    (1)求证：； (2)若为的边上的中线，，，求的长. 【变式训练1】．如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．    (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【变式训练2】．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【变式训练3】．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D． (1)求证：是的切线； (2)若，的直径为20，求的长度． 类型二、圆与三角形问题 【例】．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结． (1)求证：平分． (2)如图2，延长相交于点E， ①求证：． ②若，，求的半径． 【变式训练1】．如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． (1)求证：； (2)如果 如图2．求圆O的直径． 【变式训练2】．如图，内接于是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练3】．如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求的度数； (2)求证：与相切； (3)点F在弧上，，交于点N．若，求的长． 类型三、圆与四边形问题 【例】．如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 【变式训练1】．如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 【变式训练3】．如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 类型四、圆与函数问题 【例】．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【变式训练2】．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【变式训练3】．如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点 以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交 于点F.   (1)求直线l的函数表达式和的值； (2)如图2，连结CE，当 时，   ①求证：∽ ； ②求点E的坐标； 1．如图，直线BC与⊙A相切于点C，连接BA，延长与圆交于点E，连接CE，CD． (1)求证：； (2)若，，求的值． 2．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 3．已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M ，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若点F在弧BD上，且∠DCF=45°，CF交AB于点N． ①请补全图形； ②若DE=，求FN的长． 4．如图，点在的边上，以为直径的经过点，且交于点，交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 5．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 6．如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 7．已知，四边形内接于，点在的延长线上． (1)如图，求证：平分 (2)如图，若是的直径，平分交延长线于，交于，连接 ①求的度数 ②若，的面积等于，求的长． 8．如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的面积． 9．在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为的环绕点． (1)当半径为2时， ①在中，的环绕点是 ； ②直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围； (2)的半径为，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆与三角形、四边形和函数问题 目录 1 类型一、圆内综合问题 1 类型二、圆与三角形问题 8 类型三、圆与四边形问题 16 类型四、圆与函数问题 25 35 类型一、圆内综合问题 【例】．如图，为的直径，，过点的直线与分别交于点、，与交于点，连接、、.    (1)求证：； (2)若为的边上的中线，，，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得， 根据直角三角形两个锐角互余可得，根据等角的余角相等可得，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，即可证明； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求得，根据勾股定理求得，根据等边对等角可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，等角的余角相等，同圆中，等弧所对的圆周角相等，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式训练1】．如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．    (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】已知正弦值求边长、圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线． （2）根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示，   ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线． （2）解：连接，如图所示，    由（1）得，， ， ， ． ， ． 设则， 在中，， ． 在中，． ， ， ． ． ， ． ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度． 【变式训练2】．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，由垂径定理得出，平分，证出，即可得出是的切线； （2）由圆周角定理得出，证明，得到，变形可得结果； （3）由垂径定理得出，，由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例，由圆周角定理得出，求出，得出、、，求出的长，再由三角函数的定义即可得出结果． 【详解】（1）解：证明：连接OD，如图所示：    ∵D是的中点， ∴，平分， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵D是的中点，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵AB是的直径， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要证明三角形相似才能得出结果． 【变式训练3】．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D． (1)求证：是的切线； (2)若，的直径为20，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线； （2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形DCOF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得，从而求得x的值，由勾股定理求出AF的长，再求AB的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为半径 ∴是的切线． （2）解：过O作，垂足为F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设，∵， 则， ∵的直径为20， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵，由垂径定理知，F为的中点， ∴． 【点睛】本题考查了切线的证明，矩形的判定和性质以及勾股定理，掌握切线的定义和证明方法是解题的关键． 类型二、圆与三角形问题 【例】．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结． (1)求证：平分． (2)如图2，延长相交于点E， ①求证：． ②若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②的半径为5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明平分； （2）由是的直径，得，由，得； （3）连接，则，由，，由平行线的性质得，则，所以，而，则，所以，设的半径为r，则，，由勾股定理得，求出符合题意的r值即可． 【详解】（1）证明：点C为的中点， ， ， 平分； （2）①证明：是的直径， ， ， ， ； ②如图2，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大． 【变式训练1】．如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． (1)求证：； (2)如果 如图2．求圆O的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作直径，连接，由平行四边形的性质和点E是的中点得，得到，再证明，，可证得． （2）证平行四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是中点，可得，根据，可得P、O、C三点共线，为的直径，根据，，可得，得到，得到，即得⊙O的直径为． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H，连接，则． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∵， ∴P、O、C三点共线． ∴为的直径． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴⊙O的直径为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合．熟练掌握圆切线性质，平行四边形性质，菱形的判定和性质，三角形中位线判定和性质，圆内接四边形性质，直角三角形你斜边上中线的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 【变式训练2】．如图，内接于是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了圆中几何问题的综合计算与证明，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）利用等边对等角可得到，再根据圆周角定理可得，即可得到； （2）延长到点E，使，连接，过点B作于点F．根据圆的内接四边形的性质可得，从而得到，易证，得到，进而得到，设，在和中，由，可求出的值，代入即可得到的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：延长到点E，使，连接，过点B作于点F．如图所示： ∵四边形内接于， ， ， ， ， 设 ∵， ． 在和中， ， （舍去）， ． 【变式训练3】．如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求的度数； (2)求证：与相切； (3)点F在弧上，，交于点N．若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、利用垂径定理求值 【分析】（1）由和是的中点，得出垂直平分，再利用三角函数可以得到，进而得到是等边三角形，． （2）先通过证明，则，所以，结合，则，即可作答． （3）先得出，因为，可以证明，，由（1）可知，，再根据特殊角的三角函数值可以得到的数值． 【详解】（1）解：如图，连接，， 是的直径，， 垂直平分， 是的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ． 故答案为：60； （2）证明：，是的直径， ， 是的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ∵是半径， 与相切． （3）解：如图，连接，， 于， 是中点， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， 在中，，，， ， 在中，，，， ， 由（1）知， ， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查圆的综合运用，垂径定理、切线的判定，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，需要学生能具有较强的推理和运算能力．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类型三、圆与四边形问题 【例】．如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 【变式训练1】．如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可． （2）证明， 由相似三角形的性质可得出，进一步即可证明． （3）连接正方形的对角线，设正方形的边长为，分两种情况求解，当与重合时，或当与重合时，利用正方形的性质求解即可． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接．根据同弧所求的圆周角相等，结合正方形的性质与相似三角形的判定以及性质可得出结论． 【详解】（1）解：是的直径，在上， ． 又的半径等于， ． ， ． ． （2）证明：由（1）知， ， ． 又， ． ． ． ． 又是的半径， 直线与相切，切点为点． （3）解：若四边形是正方形，存在常数，使． 理由如下： 连接正方形的对角线，设正方形的边长为． 当与重合时，，； 当与重合时，，． 若四边形是正方形，当与重合时，或当与重合时，存在常数，使，且． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接． 四边形是正方形， ，对角线是的直径． 根据已知得，是的弧所对的圆周角， ．同理可证． 是的直径，在上， ，． ， ． ． ． ． 当既不与重合也不与重合时，． 综上所述，若四边形是正方形，存在常数，使，且． 【点睛】本题主要考查了圆与正方形的综合题，涉及到的知识有直径所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，切线的证明，正方形的性质，正切的定义，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 【变式训练2】．如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据菱形的性质即可得证； （2）连接，，连接并延长交于H，根据，得到为=的直径，根据圆周角定理求出，设的半径为r，利用勾股定理即可解答； （3）连接，，过B作于K，设，证明，列出比例式，求出，，设，则，设，则，根据，代入数值，得到①，延长交的延长线于点G，②，由①得③，由②得④，求解即可． 【详解】（1）证明：菱形， ，， ． ， ． （2）解：如图①，连结，，连结并延长交于， ， 为的直径． ，， ， ，， ， ． 设的半径为，则， 解得：． （3）解：如图②，连结，，过B作于K，设， ，． ， ． 同理可得：， ． ， ． ， ， ． 同理． 为直径， ， 而． ， ，． 设，则，设，则． ， ，① 延长交的延长线于点，则， 在中，，，，则， 即，② 由①得：，③ 由②得：，④ 得：，代入③得：， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 【变式训练3】．如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线； （2）连接，首先得出，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可； （3）连接交于点H，首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求出，得到，进而等量代换求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 又∵为的直径， ∴是的切线； （2）证明：如图1，连接， ∵，是的直径， ∴，， ∴，即． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴，； （3）解：如图2，连接交于点H， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴，解得． 在中，． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆与四边形综合题，圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定 理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型四、圆与函数问题 【例】．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、圆与函数的综合(圆的综合问题)、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【知识点】圆与函数的综合(圆的综合问题)、相似三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则，， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 【变式训练2】．定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆” 已知在中，，，． (1)如图1，点在边上，过点且与相切于点，则是的一个“切接圆”，求该圆的的半径； (2)过点的的“切接圆”中，是否存在面积的最小值，若存在请求出最小值，若不存在请说明理由； (3)如图2，把放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点落在轴正半轴上．求证：以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、由平行截线求相关线段的长或比值、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，设，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解即可； （2）当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，计算即可得出答案； （3）设抛物线上任意一点为，设到轴的距离为，证明，可得结论． 【详解】（1）解：连接， ， 设， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：存在，当是的直径时，的半径最小，最小值为，此时面积也最小，为； （3）证明：设抛物线上任意一点为， ∴， 设到轴的距离为， 由题意得：， ∴ ， ∴以抛物线上任意一点为圆心都可以作过点的的“切接圆”． 【点睛】本题考查圆与二次函数综合、勾股定理、切线的性质、 分线段成比例定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 【变式训练3】．如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点 以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交 于点F.   (1)求直线l的函数表达式和的值； (2)如图2，连结CE，当 时，   ①求证：∽ ； ②求点E的坐标； 【答案】(1) (2)①见解析，② 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、相似三角形的判定与性质综合、圆与四边形的综合(圆的综合问题)、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论； （2）①先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论； ②设出 ， ，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解： 直线l： 与x轴交于点 ，    ， ， 直线l的函数表达式 ， ， ， ， ∴在 中， ； （2）解：①如图2，连接DF， ，    ， ， ， ， 四边形CEFD是 的圆内接四边形， ， ， ， ∽ ， ②过点E作 于M， 由①知， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 由 知， ∽ ， ， ， ， ， ， 舍 或 ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、正弦的定义式、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、等弦对等弧的性质、一元二次方程的应用等是解题关键． 1．如图，直线BC与⊙A相切于点C，连接BA，延长与圆交于点E，连接CE，CD． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵在⊙A中，BC与圆相切， ∴根据弦切角定理有， 又∵， ∴， 结论得证． (2)2 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）利用弦切角定理，可知，再根据其共用的，即可求证； （2）根据已知线段长度，利用切割线定理求出BD，再根据（1）的结论，即可得，再利用角相等即可求出． 【详解】（1）证明：∵在⊙A中，BC与圆相切， ∴， 又∵， ∴． （2）∵在⊙A中AC=3， ∴AE=AC=AD=3， ∴， 又∵在⊙A中BC与圆相切， ∴， ∴，化简得：， 解得BD=2，BD=-8，（不合题意舍去）， 又∵， ∴， ∴在Rt中，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、弦切角定理、切割线定理、角的正切值以及解一元二次方程等知识．正确利用切割线定理求出BD的长度是解答本题的关键． 2．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，证明，得，由，得，则，即平分； （2）连接交于点，由得，则垂直平分，是的中位线，则，而，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）如图2，连接交于点， ， ， ，， ， ，，， ， 设的半径为，则， ， ，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M ，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若点F在弧BD上，且∠DCF=45°，CF交AB于点N． ①请补全图形； ②若DE=，求FN的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【知识点】利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线、圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）先证明△OMD≌△AMC，证明∠ODM=∠ACM，得OD∥AC，则∠ODE=180°-∠90°=90°，再根据切线的判定定理证明DE是⊙O的切线； （2）①补全图形中的字母N即可；②连接OC，作FG⊥AB于点G，先证明△AOC是等边三角形，得∠ACO=∠MOC=60°，则∠OCM=∠ACM= ∠ACO=30°，求出半径OC的长，再根据圆周角定理得∠DOF=2∠DCF=90°，OD∥AC得∠DOM=∠CAM=60°，可求得∠FOG=180°-60°-90°=30°，可求出FG和FN的长． 【详解】（1）证明：如图，在⊙O中， ∵CD⊥AB于点M， ∴DM=CM， ∵∠OMD=∠AMC=90°，OM=AM， ∴△OMD≌△AMC（SAS）， ∴∠ODM=∠ACM， ∴OD∥AC， ∵DE⊥CA， ∴∠E=90°， ∴∠ODE=180°-∠90°=90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）①补全图形如图所示． ②如图，连接OC，作FG⊥AB于点G，则∠OGF=90°， ∵CD垂直平分OA， ∴AC=OC=OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO=∠MOC=60°， ∴∠OCM=∠ACM=∠ACO=30°，   ∴DE=CD， ∵CM=CD， ∴CM=DE=， ∵∠OMC=90°， ∴OM=OC， ∵OM2+CM2=OC2， ∴， 解得OC=2或OC=-2（不符合题意，舍去），   ∴OF=OC=2， ∵∠DCF=45°， ∴∠DOF=2∠DCF=90°， ∵∠DOM=∠CAM=60°， ∴∠FOG=180°-60°-90°=30°， ∴FG=OF=1， ∵∠MNC=∠MCN=45°， ∴∠GNF=∠MNC=45°， ∴∠GFN=∠GNF=45°， ∴NG=FG=1， ∴FN=． 【点睛】此题考查圆的切线的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线． 4．如图，点在的边上，以为直径的经过点，且交于点，交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，根据三角形内角和定理及题意可得，根据是直径，可得，根据，可得，由此可得，结合切线的判定方法即可求证； （2）连接，根据圆周角定理，垂径定理可得，，根据内接四边形的性质可得，可证，由此即可求证； （3）在中，根据，设，则，运用勾股定理可得，再证，可得的值，在中，根据正切值的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， 为的直径， ， ， ， ，即， 为的切线． （2）证明：如图，连接， ，由（1）知， ， ， ， ， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ， ，且， ． （3）解：在中， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍）， ， 由（1）知， ， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握切线的证明方法，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理等知识的综合运用是解题的关键． 5．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10． 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得，再由圆周角定理及等量代换得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由等量代换确定，根据等边三角形的判定即可证明； （3）设，根据等边三角形的性质及圆周角定理，利用全等三角形的判定得出，结合图形，根据其性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ； （2）证明：如图：弧弧， ，且， ， ， 且， 为等边三角形； （3）解：如图：设， 为等边三角形， ， ， 弧弧， ， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 在上截取，且， 是等边二角形， ， ，且， ， ， ． 6．如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②或 【知识点】全等三角形综合问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据垂直，平角的性质可得，因为，可得，所以，根据三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于，连结，，可证，在中由勾股定理可得，根据，，可得，由此即可求解； （3）①根据圆周角定理可得，如图所示，连结并延长交的延长线于点，根据内接四边形的性质，三角形内角和定理可得， ，根据等角对等边可得，，由等腰直角三角形的性质可得，由此即可求解；②设，由①知，根据题意可证，可得，在中，根据勾股定理解得：或，当时，当时，由勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：，，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，延长交于，连结，， 是的直径， ， ∵， ∴， ， ， ， ，， ； （3）解：①， ， 如图所示，连结并延长交的延长线于点， 为的直径， ， ∴， 在中，， ， ，， ，即； ②设， ，， 由①知， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，整理得，， ∴， 解得：或， 当时，， ∴， ∴的半径为； 当时，， ∴， ∴的半径为； 的半径为或． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角，直径所对圆周角等于90度，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． 7．已知，四边形内接于，点在的延长线上． (1)如图，求证：平分 (2)如图，若是的直径，平分交延长线于，交于，连接 ①求的度数 ②若，的面积等于，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质可得：，再由可得，由此可证平分； （2）①连接，由外角的性质可得，从而，再由可得，从而得是等腰直角三角形，；②过点作于点，过点作于点，根据题目中条件先证，从而，即，，进一步计算得，设，，在中，则有，解得：，由等腰三角形的性质得，，根据的面积等于列方程得，解得：，从而得． 【详解】（1）解：∵四边形内接于， ， 又， ， ， 平分； （2）①如图，连接， 是的一个外角， ， 同理可得：， 由（1）可知：平分，平分， ， 即，， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； ②如图，过点作于点，过点作于点， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， 设，，则有， ， ， ， ， ， 的面积等于， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，在矩形中，，，点E为射线上一点，过点A，E，D作圆交射线于点F，连结，，且交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的面积为或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆周角定理、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，圆周角定理了，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． （1）利用矩形的性质，平行线的性质，圆周角定理解答即可； （2）利用矩形的性质和圆周角定理的推论得到为圆的直径，再利用垂径定理的推论得到，最后利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）利用等腰三角形的性质和分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，过点作于点，利用等腰三角形的性质，对顶角的性质，圆周角定理得到，利用（2）的结论求得边上的高，再利用三角形的面积公式解答即可；②当时，过点作于点，利用①的方法解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ； （2）解：四边形是矩形， ， 为圆的直径， ， ． 矩形中，，， ． ， ， ， ； （3）解：①当时，过点作于点，如图， ， ， ，， ， ， 由（2）知：， 的面积 ； ②当时，过点作于点，如图， ， ． ，， ， ． 由（2）知：， ，， ． ， ． 的面积 ． 综上，的面积为或． 9．在矩形中，已知，连接，，点O是边上的一动点，的半径为定值r． (1)如下图，当经过点C时，恰好与相切，求的半径r； (2)如下图，点M是上的一动点，求三角形面积的最大值： (3)若从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如下图所示，当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使与相切，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，，根据矩形的性质及得，进而可得，再利用解直角三角形即可求解． （2）过点作并延长，交于，交于，当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值，利用矩形的性质及三角形的面积公式即可求解． （3）分类讨论：①在的左侧时，②在的右侧侧时，利用相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图： 四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 与对角线相切于点， ， 在和中， ， ， ， ， 的半径． （2）过点作并延长，交于，交于，如图： 由（1）得：，， ， 四边形是矩形，且， ， 当点运动到点位置时，此时三角形面积有最大值， ． （3）在整个运动过程中，存在某一时刻，与相切，此时的值为或，理由： 由（1）得， ①在的左侧时，设与相切于点， 连接，，如图： 由题意得：，， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ②在的右侧侧时， 设与相切于点，连接，，如图： 由题意得： ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， ，， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， 综上所述，t的值为 或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、矩形的性质、解直角三角形、切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，过外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为的环绕点． (1)当半径为2时， ①在中，的环绕点是 ； ②直线与轴交于点，轴交于点，若线段上存在的环绕点，求的取值范围； (2)的半径为，圆心为，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，若在图形上存在的环绕点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②满足条件的的值为或； (2)． 【知识点】切线的性质定理、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）①如图，，是的两条切线，，为切点，连接，，当时，可证，以为圆心，为半径作，首先说明：当时，的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点），利用这个结论解决问题即可； ②如图中，设小圆交轴的正半轴于．求出两种特殊位置的值，结合图形根据对称性解决问题即可； （2）如图中，不妨设，则点在直线时，以，为圆心，为半径的与轴相切，作的切线，观察图象可知，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上，利用（1）中结论，画出圆环，当圆环与的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图，，是的两条切线，，为切点，连接，， 当时， 平分， ， ，， ， 、以为圆心，为半径作， 观察图象可知：当时，的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点），    如图中，以点为圆心，2和4为半径画同心圆，观察图象可知，，是的环绕点， 故答案为：，； ②如图中，设小圆交轴的正半轴于，    当直线经过点时，， 当直线与大圆相切于（在第二象限）时，连接， 由题意得，， 所以，，， ，， ，解得：， 观察图像可知，当时，线段上存在的环绕点， 根据对称性可知：当时，线段上存在的环绕点， 综上所述，满足条件的的值为或； （2）解：如图中，不妨设，则点在直线时，    ， 点在射线上运动，作轴于， ， ，， 以为圆心，为半径的与轴相切，作的切线， 观察图象可知，以为圆心，为半径的所有圆构成图形，图形即为的内部，包括射线，上． 当的圆心在轴的正半轴上时，假设以为圆心，为半径的圆与射线相切于，如图：连接， ， ， ，是的切线， ， ， ， ， 当的圆心在轴的负半轴上时，且经过点时，； 综上，当时，在图形上存在的环绕点． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用转化的思想解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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