专题02 不等式及其应用（5基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题03 不等式的性质与基本不等式 不等式的性质及其应用 1．（23-24高一上·天津·期末）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】借助不等式的性质对选项逐个分析即可得. 【详解】对A：若，则由，有，故错误； 对B：若，则有，故错误； 对C：若，则有，故错误； 对D：由，则，，故，故正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】特殊值判断A、C；特殊值判断B；利用不等式性质判断D. 【详解】若时，有，，A、C错； 若，则，B错； 由，结合不等式性质知，D对. 故选：D 简单不等式求解 1．（23-24高一上·天津·期末）若规定，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【解析】由题意化简，直接求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得或， 故选：D 2．（23-24高一上·天津·期末）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元． (1)下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式； (2)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价）） (3)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? 【答案】(1)， (2) (3)0.6元 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）由已知，列出函数关系即可得出结果； （2）由（1）得到本年度实际用电量，再乘以即可； （3）根据上年度电力部门实际收益以及本年度电力部门预收益，然后由求解即可. 【详解】（1）因为下调电价后新增用电量和实际电价元，与用户的期望电价0.4元的差成反比，且比例系数为， 所以，依题意知用电量关于的函数表达式为， （2）依题意知用电量增至， 所以，电力部门的收益为； （3）依题意有， 整理得， 解此不等式组得． 答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长． 应用基本不等式求最值、范围 1．（23-24高一上·天津·期末）若正实数、满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值 【解析】利用基本不等式化为即可． 【详解】当，为正实数时，由， ，当且仅当等号成立， 的最大值为1． 故选: A． 2．（23-24高一上·天津·期末）若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】因为，直接利用基本不等式求出其最小值． 【详解】因为，则，当且仅当 时，等号成立， 故答案为： 3．（23-24高一上·天津南开·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、条件等式求最值 【分析】由基本不等式计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以，当且仅当时，即，时等号成立. 故的最小值为. 故答案为： “配凑法”求最值 1．（23-24高一上·天津·期末）已知，且，求的最小值 . 【答案】3 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将变形为，展开，利用基本不等式解之． 【详解】解：已知，，， 则， 当且仅当时等号成立； 故答案为3 2．（23-24高一上·天津·期末）已知，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知条件可知，且，由展开利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当 即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. “1”的代换法求最值、范围 1．（23-24高一上·天津·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】24 【知识点】基本不等式求和的最小值、指数幂的运算 【解析】结合指数幂的运算性质化简得，再结合基本不等式“1”的妙用即可求解 【详解】由可得，所以， ， 当且仅当，时取等号. 故答案为：24 2．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 3．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值. 【详解】， 由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 故答案为：. 含参数“三个二次”问题 1．（23-24高一上·天津·期末）函数. (1)若的解集是或，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用已知解集求出参数，解不含参数的不等式即可. （2）分类讨论求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得的解集是或，故的解是或，由韦达定理得，，解得，，故求的解集即可，解得， （2）由得，故求的解集即可， ，开口向上，化简得， 令，解得或， 当时，，此时解集为， 当时，解得，此时令，解得， 当时，解得，此时令，解得， 综上当时，，当时，. 2．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【知识点】已知f（g（x））求解析式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【详解】（1）不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. （2）， 得，. （3），， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 基本不等式与函数交汇问题 3．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题、y=Asinx+B的图象、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由指数函数的性质，确定定点坐标，再代入三角函数，可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】函数（且）横过定点， 由题意可知，，即，， 则， 当时，即，得，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 基本不等式的实际应用问题 4．（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 【答案】1680 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】分和两种情况得到利润函数，根据二次函数性质结合基本不等式计算最值，比较得到答案． 【详解】由题意可得：当时，利润为， 当时，， 故； 若，， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，在,上单调递减， 所以当时，万元， ②若， 当且仅当时，即时，万元． 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 故答案为：1680 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式的性质与基本不等式 不等式的性质及其应用 1．（23-24高一上·天津·期末）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 简单不等式求解 1．（23-24高一上·天津·期末）若规定，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津·期末）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元． (1)下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式； (2)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价）） (3)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长? 应用基本不等式求最值、范围 1．（23-24高一上·天津·期末）若正实数、满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（23-24高一上·天津·期末）若，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·天津南开·期末）已知，且，则的最小值为 ． “配凑法”求最值 1．（23-24高一上·天津·期末）已知，且，求的最小值 . 2．（23-24高一上·天津·期末）已知，且满足，则的最小值为 ． “1”的代换法求最值、范围 1．（23-24高一上·天津·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 2．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 含参数“三个二次”问题 1．（23-24高一上·天津·期末）函数. (1)若的解集是或，求不等式的解集； (2)当时，求关于的不等式的解集. 2．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 基本不等式与函数交汇问题 3．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 基本不等式的实际应用问题 4．（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$