专题04 指数函数、对数函数（5基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题04 指数、对数函数 指数幂、对数运算 1．（23-24高一上·天津·期末）已知，则化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】利用根式的运算性质即可得出． 【详解】解：原式． 故选：B． 2．（23-24高一上·天津·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可. 【详解】解：对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误； 故选：A 3．（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 4．（23-24高一上·天津·期末）＝（　　） A．﹣38 B．﹣37 C．﹣39 D．﹣40 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】由已知结合指数幂的运算性质及对数的运算性质进行化简即可求解． 【详解】. 故选：B． 5．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，，则用，表示 . 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 6．（23-24高一上·天津·期末）已知，，则 ． 【答案】2 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先根据题意求出，再代入原式，再根据对数的运算性质，对数的换底公式即可求解． 【详解】由，则， 则 ． 故答案为：2． 7．（23-24高一上·天津·期末） . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】根据对数的运算性质和特殊角的三角函数值可求原式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 8．（23-24高一上·天津·期末）化简并求值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可； （2）根据对数的运算法则及性质求解. 【详解】（1） . （2） . 9．（23-24高一上·天津和平·期末）（1）计算：，（式中字母均为正数）； （2）求值：. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用指数运算法则，结合根式与分数指数幂的互化计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【详解】（1）. （2）. 10．（23-24高一上·天津南开·期末）计算：. 【答案】 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的概念和运算法则进行计算可得. 【详解】原式. 故答案为： 11．（23-24高一上·天津·期末）（1）已知，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）7；（2）；（3）11. 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）由即可求解； （2）根据指数幂运算即可求解； （3）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， 化简得； （2）解：原式 （3）解： ， 又，所以，原式． 12．（23-24高一上·天津河东·期末）（1）若，求x的值； （2）计算. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据给定条件，利用换底公式及指数式与对数式互化求解即得. （2）利用指数、对数运算法则计算即得. 【详解】（1）由，得，整理得， 所以. （2） . 指数函数图象和性质 1．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 2．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】由指数函数性质确定图象所过定点. 【详解】令，则，故函数恒过定点. 故选：C 3．（23-24高一上·天津·期末）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由，所以该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC， 当时，，排除选项B， 故选：D 4．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围. 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 5．（23-24高一上·天津·期末）若函数严格递增，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由分段函数两段均递增且分界处左侧不大于右侧的函数值可得． 【详解】函数单调递增， 由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且，即． 但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比较， 即，可以解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 6．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、求指数函数在区间内的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围. 【详解】由在上递增，且值域为， 由，开口向上且对称轴为， 所以，二次函数在上递减，在上递增， 要使有最小值， 当时，显然不成立； 当时，，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 7．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 8．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 9．（23-24高一上·天津·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【解析】根据偶次根式的被开方数为非负数，即，解不等式可得结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以函数的定义域是 故答案为：. 10.（23-24高一上·天津·期末）已知函数（，且）与幂函数. (1)当的图象过点时，求的值； (2)当的图象过点时，求的值； (3)在（1）、（2）的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)5；(3)最大值为3，最小值为1 【知识点】已知函数类型求解析式、利用函数单调性求最值或值域、判断指数型复合函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】（1）将点代入解析式即可求； （2）由幂函数定义及过点，列方程组即可求； （3）由（1）、（2）确定函数解析式，据函数单调性求出函数的最值. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，故. （2）因为是幂函数，且图象过点 所以，解得，故. （3）由（1）、（2）可知，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，当时，取到最大值为3；当时，取到最小值为1. 对数函数图象和性质 1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 2．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数的概念判断与求值 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求得正确答案. 【详解】由于，所以是周期为的周期函数， 依题意，是定义在上的奇函数，， 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·天津·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性 【解析】根据复合函数的单调性的判断方法，求函数的单调递增区间. 【详解】函数分成内外层函数，， 但内外层函数单调性一致时，函数单调递增，此时外层函数单调递减， 内层函数的对称轴是，且，解得：， 则内层函数的单调递减区间是，综上可知函数的单调递增区间是. 故选：A 4．（23-24高一上·天津·期末）设函数，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【详解】显然函数是偶函数，且在单调递增， 因此要使成立，只需，只需. 解得或. 故选D. 5．（23-24高一上·天津河东·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】利用给定函数有意义列出不等式组，求解不等式组即得. 【详解】函数有意义，得，解得且， 所以所求定义域为. 故答案为： 6．（23-24高一上·天津·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【解析】保证真数大于零，分母不等于0，根号下数大于等于0，即可 【详解】，得 故答案为： 7．（23-24高一上·天津·期末）函数的单调递减区间是 ． 【答案】； 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调区间求解方法可得答案. 【详解】设，则，； 因为为减函数，在区间为减函数，在区间为增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 8．（23-24高一上·天津南开·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由单位圆求三角函数值、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据根式可得，结合对数函数性质解不等式即可. 【详解】令， 注意到，可得，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 9．（23-24高一上·天津·期末）若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由对数（型）的单调性求参数、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据对数函数单调性和幂函数的单调性可直接求出实数的取值范围. 【详解】因为对数函数区间上均单调递增， 所以，解得， 又函数在区间上均单调递增， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是， 故答案为： 10．（23-24高一上·天津·期末）已知函数的定义域、值域都是，则 ． 【答案】或. 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围 【详解】分析：分类讨论a的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 详解：当时，易知函数为减函数， 由题意有，解得：，符合题意，此时； 当时，易知函数为增函数， 由题意有，解得，符合题意，此时. 综上可得：的值为或. 故答案为或. 点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． 11．（23-24高一上·天津河西·期末）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、对数的运算、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】化简的表达式，利用换元法，即令，将其化为，结合复合函数的单调性的求解，即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 又 ， 令，则即为， 该函数单调递增区间为，则， 由于在单调递增，则在上单调递增， 可得的单调递增区间为， 故答案为： 12．（23-24高一上·天津·期末）（1）已知，求函数的定义域； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求指数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式，再解指数、对数不等式即得. （2）利用对数函数单调性解不等式即得. 【详解】（1）依题意，，解得，因此或， 所以原函数的定义域为； （2）函数在上为增函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为． 比较大小问题 1．（23-24高一上·天津宁河·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用函数的单调性可以比较大小. 【详解】因为为增函数，所以, 因为为增函数，所以，所以. 故选：C 2．（23-24高一上·天津和平·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】根据给定条件，利用换底公式、指对数函数的性质，结合媒介数比较大小即得. 【详解】函数在上单调递增，，则， 于是，而， 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·天津·期末）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、特殊角的三角函数值、比较函数值的大小关系 【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可. 【详解】易知， 由于单调递增，所以， 而，所以， 综上. 故选：A 4．（23-24高一上·天津·期末）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】求出，比较大小即可． 【详解】∵，，，∴， 故选：B． 5．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】由，即. 故选：D 6．（23-24高一上·天津·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以． 故选：B 7．（23-24高一上·天津南开·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】根据对数的运算性质可得，，，再根据对数函数的单调性即可得解. 【详解】， ， ， 因为， 所以， 所以. 故选：D. 8．（23-24高一上·天津·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较大小. 【详解】由已知， ， ，即， 所以， 故选：A. 9．（23-24高一上·天津河西·期末）下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据幂函数的单调性可判断A；找中间量，结合指数函数单调性可判断B；根据对数函数的单调性可判断C；根据对数函数以及指数函数性质判断数的范围，可判断D； 【详解】对于A，由于幂函数在上单调递增， 而，故，A错误； 对于B，由于，根据在R上单调递减， 故，所以，B正确； 对于C，，而， 故，C错误； 对于D，，而，故，D错误。 故选：B 10．（23-24高一上·天津·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据对数函数和指数函数的性质确定的范围，由此比较的大小. 【详解】函数为上的减函数，又， 所以，故； 函数为上的减函数，又， 所以，故； 函数为上的增函数，又， 所以，故； 所以， 故选：B. 11．（23-24高一上·天津·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】用对数的运算性质以及换底公式，指数幂的单调性进行化简求解即可； 【详解】因为指数幂函数在上单调递减， 所以，则， ，则， 因为，所以，则. 所以. 故选：D 指数函数、对数函数的图象 1．（23-24高一上·天津·期末）已知,函数与函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据得到互为倒数，故的单调性相同，由此得出正确选项. 【详解】由于，故互为倒数，而，，故的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C. 指数函数与不等式综合问题 1．（23-24高一上·天津·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先根据题设解析式和奇函数性质，求出函数在上的解析式，再分段求解不等式，最后将各段上的函数对应的不等式解集求并集即得. 【详解】当时，，由题意，，因是定义在上的奇函数，则， 又，故的解析式为：， 当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为； 当时，显然解集为； 当时，，因时，为增函数，且，故当时必有，此时不等式解集为. 综上可得：不等式的解集为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 则当时，，. 函数和在R上都单调递增，则在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增， 由，得， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：； 3．（23-24高一上·天津宁河·期末）已知函数是指数函数，且其图象经过点，. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明： (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3)6 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数函数解析式、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）设，代入点可求的解析式； （2）利用定义法判断并证明的奇偶性； （3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设指数函数，且， 函数图象经过点，有，解得， 所以. （2）为奇函数，证明如下： ，函数定义域为R， ， 所以为奇函数. （3）不等式， 即，得， 令， 由，当且仅当，即时等号成立，得， 则有在时恒成立，得在时恒成立， ，当且仅当，即时等号成立，则有， 所以实数的最大值为6. 【点睛】关键点点睛： 不等式恒成立，即不等式恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得，利用换元得在时恒成立，结合基本不等式求解即可. 对数函数与不等式综合问题 4．（23-24高一上·天津·期末）已知是定义在上的奇函数，且在区间上的任意两个不相等的实数，总有，若满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意先判断出函数在上的单调性，再根据函数为奇函数可得不等式，即，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 因为在区间上的任意两个不相等的实数，总有， 所以函数在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数， 所以函数在上是增函数， 不等式，即， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 5．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】由二次函数、对数函数的性质判断、对应值域范围，即可得解集. 【详解】由题设，开口向下且对称轴为， 在上，在上递增，在上递减，且恒过点， 所以，上，上， 又，上，上， 综上，的解集为. 故答案为： 6．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】函数基本性质的综合应用、对数的运算性质的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，再由得出与满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为． ，有成立， ， ， ∴，∴为定义在上的奇函数． 由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减， ∴在区间上单调递减， 又∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递减. ∴由得， ∴正数，满足，即， ∴由基本不等式， ， 当且仅当，即，时等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：． 7．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求使成立的x的集合． 【答案】(1) (2)为偶函数，理由见解析 (3)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由对数复合型函数的定义域即可得解. （2）由偶函数的定义域即可得证. （3）由题意得，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）由，解得， 所以函数的定义域为． （2）因为， 所以函数为偶函数； （3）由， ①当时，由得， 又因为， 所以使成立的x的集合是且； ②当时，由得， 所以使成立的x的集合是． 8．（23-24高一上·天津·期末）已知函数（且）． (1)若，且，求的定义域； (2)若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）当且时，可得出，利用对数的真数大于零以及指数函数的单调性可求得函数的定义域； （2）分析可知，关于的方程有两个不同的解，令，可得出方程有两个不同的正根，分、两种情况讨论，结合二次函数零点分布可求得的取值范围. 【详解】（1）解：当且时，， 由题知，即，解得， 故当且时，函数的定义域为． （2）解：因为，因为内层函数在定义域内为增函数， 外层函数在定义域内为增函数，所以，函数在定义域内单调递增， 因为函数的定义域为，存在，使得在上的值域为， 故，所以，关于的方程有两个不同的解，故，即有两个不同的解． 令，若，则，， 即方程可转化为有两个不同的正数根， 令，则， 设函数的两个零点分别为、，则，不合乎题意； 若，则，， 即方程可转化为在上有两个不同的实数根， 得，解得， 故实数的取值范围为． 指数、对数函数性质的综合应用 9．（23-24高一上·天津·期末）若为奇函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间. 【详解】函数为奇函数，的定义域为， 由，∴， 函数的定义域为， 函数在定义域内单调递增， 当时，的单调递增区间为， 所以的单调递增区间为. 故选：D． 10．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小、比较余弦值的大小、比较对数式的大小 【分析】根据题意分析可知为偶函数，在内单调递增，再根据指数函数、对数函数以及余弦函数分析可知，结合单调性和偶函数分析判断. 【详解】令，解得，可知的定义域为， 且， 所以为偶函数， 当时，则在内单调递增， 且在定义域内单调递增，所以在内单调递增， 又因为， 且，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 故选：D. 11．（23-24高一上·天津·期末）已知﹐且）﹒若对、，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】. 【知识点】对数的运算、由指数（型）的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【解析】由，求得，转化为在上恒成立，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为，可得， 又由对、，使得成立， 可得在上恒成立， 又由且）一定为单调函数， 所以只需，即，其中且， 解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一上·天津·期末）已知函数（，） （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用真数大于0，即可求解定义域；（2）令，由题意可知，令，求解的取值范围，然后可求，从而求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为； （2）由题意知，（），定义域为，易知为上的增函数， 设，，设，，故，，因为单调递增，则. 因为存在使得不等式成立故：,即. 13．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数，且， (1)求函数的定义域，并在判断函数的奇偶性后加以证明： (2)当时， （i）判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （ii）解关于的不等式：. 【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析； (2)（i）减函数，证明见解析；（ii）. 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）借助对数函数定义求出定义域，再利用奇偶函数定义判断证明即得. （2）（i）判断单调性，再利用函数单调性定义推理即得；（ii）利用单调性脱去法则，再解指数不等式即得. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 显然， 所以函数是奇函数. （2）（i）当时，在上单调递减， ，， 因为，则，， 因此，，即， 所以函数是上的减函数. （ii）由（1）知，， 而函数是上的减函数，则，即， 解，即，得，解，即，得， 解，即，得，因此， 所以原不等式的解集为. 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则. 14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数. (1)若在区间为单调增函数，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)设函数，若对任意，都存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据二次函数的最值或值域求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解； （2）根据二次函数的性质，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解； （3）根据题意，转化为，结合指数函数与对数函数的单调性和二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象开口向上，且对称轴为， 若函数在区间为单调增函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：当时，即时，在区间上单调递增， 此时； 当时，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，此时； 当时，即时，在区间上单调递减， 此时， 综上可得. （3）解：由函数， 对任意，都存在使不等式成立，即， 因为函数在为单调递减函数， 所以， 当时，即时，， 令，解得，此时，解集为空集； 当时，即时，， 令，解得，此时，解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 15．（23-24高一上·天津·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、根据对数函数的值域求参数值或范围、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】（1）由奇函数定义计算即可得； （2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式； （3）计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立， 整理得，故； （2）解法一：由（Ⅰ）知， 所以函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 所以，解得； 所以此时不等式的解集为； 解法二：因为， 令，则可化简为， 即，即， 解得，即． 所以此时不等式的解集为． （3）由（Ⅰ）得在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得． 16．（23-24高一上·天津宁河·期末）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，，求，的值（结果用含a，b的代数式表示）； (3)若函数求不等式的解集. 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】运用换底公式化简计算、求对数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据真数大于零列不等式，可求的定义域； （2）求出，利用对数的运算法则，结合换底公式可求，的值； （3）根据分段函数的解析式，分两种情况讨论，结合指数函数与对数函数的性质分别解不等式组即可. 【详解】（1）要使函数有意义， 则， 即的定义域为； （2）因为，，所以 则， ， （3）等价于 ①或②， 由①可得； 由②可得， 综上，不等式的解集为. 17．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求对数函数在区间上的值域、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 18.（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由函数奇偶性，构造方程组即可求解； （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得； （3）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可. 【详解】（1），分别为定义在上的偶函数和奇函数 所以， ①， ②， 由①②可知，， （2）取， 因为，所以，，， 所以，即， 得证； （3）由已知 由(2)得在上单调递增， ， 设， 令 ，， 而函数，在上递减，在递增 ①当时，，，显然成立 即 ②当时，，， 即 综上所述，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数、对数函数 指数幂、对数运算 1．（23-24高一上·天津·期末）已知，则化为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 4．（23-24高一上·天津·期末）＝（　　） A．﹣38 B．﹣37 C．﹣39 D．﹣40 5．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，，则用，表示 . 6．（23-24高一上·天津·期末）已知，，则 ． 7．（23-24高一上·天津·期末） . 8．（23-24高一上·天津·期末）化简并求值： （1）； （2）. 9．（23-24高一上·天津和平·期末）（1）计算：，（式中字母均为正数）； （2）求值：. 10．（23-24高一上·天津南开·期末）计算：. 11．（23-24高一上·天津·期末）（1）已知，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 12．（23-24高一上·天津河东·期末）（1）若，求x的值； （2）计算. 指数函数图象和性质 1．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 2．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·期末）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   4．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津·期末）若函数严格递增，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C． D． 6．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·天津和平·期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 9．（23-24高一上·天津·期末）函数的定义域是 . 10.（23-24高一上·天津·期末）已知函数（，且）与幂函数. (1)当的图象过点时，求的值； (2)当的图象过点时，求的值； (3)在（1）、（2）的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值. 对数函数图象和性质 1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高一上·天津·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·期末）设函数，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津河东·期末）函数的定义域为 . 6．（23-24高一上·天津·期末）函数的定义域为 ． 7．（23-24高一上·天津·期末）函数的单调递减区间是 ． 8．（23-24高一上·天津南开·期末）函数的定义域是 ． 9．（23-24高一上·天津·期末）若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是 . 10．（23-24高一上·天津·期末）已知函数的定义域、值域都是，则 ． 11．（23-24高一上·天津河西·期末）函数的单调递增区间是 ． 12．（23-24高一上·天津·期末）（1）已知，求函数的定义域； （2）解不等式：． 比较大小问题 1．（23-24高一上·天津宁河·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津和平·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·期末）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·期末）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·天津·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·天津南开·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·天津·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·天津河西·期末）下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·天津·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·天津·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 指数函数、对数函数的图象 1．（23-24高一上·天津·期末）已知,函数与函数的图象可能是 A． B． C． D． 指数函数与不等式综合问题 1．（23-24高一上·天津·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ． 2．（23-24高一上·天津宁河·期末）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·天津宁河·期末）已知函数是指数函数，且其图象经过点，. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明： (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 对数函数与不等式综合问题 4．（23-24高一上·天津·期末）已知是定义在上的奇函数，且在区间上的任意两个不相等的实数，总有，若满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 6．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为 ． 7．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求使成立的x的集合． 8．（23-24高一上·天津·期末）已知函数（且）． (1)若，且，求的定义域； (2)若，函数的定义域为，存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围． 指数、对数函数性质的综合应用 9．（23-24高一上·天津·期末）若为奇函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·天津·期末）已知﹐且）﹒若对、，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·天津·期末）已知函数（，） （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 13．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数，且， (1)求函数的定义域，并在判断函数的奇偶性后加以证明： (2)当时， （i）判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明； （ii）解关于的不等式：. 14．（23-24高一上·天津·期末）已知函数. (1)若在区间为单调增函数，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)设函数，若对任意，都存在使不等式成立，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·天津·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 16．（23-24高一上·天津宁河·期末）已知函数 (1)求的定义域； (2)若，，求，的值（结果用含a，b的代数式表示）； (3)若函数求不等式的解集. 17．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 18.（23-24高一上·天津·期末）已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)利用函数单调性的定义证明在区间上是增函数； (3)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$