专题01 空间向量与立体几何（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题01 空间向量与立体几何 空间直角坐标系 1．（（23-24高二上·天津·期末）在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是 A． B． C． D． 2．（（23-24高二上·天津·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·天津·期末）平行六面体中，化简（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期末）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 . 空间向量的坐标运算 1．（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（     ） A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1） 3．（23-24高二上·天津·期末）已知正方体的棱长等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则 . 空间向量的平行、垂直问题 1．（23-24高二上·天津·期末）若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．10 2．（23-24高二上·天津·期末）设，，向量，，且，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期末）向量，，若 ，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l与m垂直 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，向量是平面的法向量，则 空间角的计算 1．（23-24高二上·天津·期末）在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津西青·期末）在正方体中，点E为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 4．（23-24高二上·天津河北·期中）如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为 ；点到直线的距离为 .    空间距离的计算 1．（23-24高二上·天津·期末）在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离为 . 3．（23-24高二上·天津·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 . 4．（23-24高二上·天津·期末）在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为 ； 5．（23-24高二上·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为 . 6．（23-24高二上·天津·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离 ． 线面角的综合问题 1．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（23-24高二上·天津·期末）正四棱柱中，为中点，为下底面正方形的中心．求：    (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)直线与平面成角； (3)点到平面的距离． 二面角的综合问题 3．（23-24高二上·天津和平·期末）三棱台 中，若面，，，， 是中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 4．（23-24高二上·天津和平·期末）如图，在直三棱柱中，，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 5．（23-24高二上·天津·期末）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 6．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D、M是线段BC、的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面BCM的距离； (3)求直线与平面BCM所成角. 7．（23-24高二上·天津·期末）如图所示，在四棱锥中，底面，，，，点E为棱的中点. （1）证明：； （2）若点F为棱上一点，且，求二面角的余弦值. 8．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 9．（23-24高二上·天津·期末2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 10．（23-24高二上·天津·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且.    (1)求证: 平面; (2)求平面与平面 夹角的余弦值； (3)求点D到平面的距离. 11．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，,，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 12．（23-24高二上·天津宁河·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面的夹角的余弦值. 立体几何存在性探索问题 13．（23-24高二上·天津·期末）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点． （1）求平面与平面的夹角的大小； （2）线段上是否存在一个动点（与线段的端点不重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 空间直角坐标系 1．（（23-24高二上·天津·期末）在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【详解】试题分析：点关于轴对称的点坐标不变，坐标与分别互为相反数.故对称点为. 2．（（23-24高二上·天津·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】利用空间直角坐标系的概念求解. 【详解】点关于平面的对称点是． 故选:B. 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·天津·期末）平行六面体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】   如图所示，. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得. 故选：D. 3．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 ， 故选：C 4．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 5．（23-24高二上·天津·期末）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】利用基底的概念及空间向量的共面定理一一分析即可. 【详解】易知：，则与共面， 同理，， 即、均与共面， 所以A、B、D三项均不能和构成空间的另一个基底，故A、B、D错误； 设，显然无法成立，即与不共面，故C正确. 故选：C 6．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 . 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可. 【详解】. 故答案为： 空间向量的坐标运算 1．（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解. 【详解】由题意空间向量，， 则. 故选：A. 2．（23-24高二上·天津·期末）在空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（     ） A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1） 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解. 【详解】如图，取中点，连接, 如图， 则, , 而, 故选：B 3．（23-24高二上·天津·期末）已知正方体的棱长等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，写出，，点的坐标，利用空间向量坐标运算得到和，直接利用空间向量数量积公式即可得出结果. 【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，， 所以． 故选：B.        4．（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则 . 【答案】9 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意知，. 故答案为：9 空间向量的平行、垂直问题 1．（23-24高二上·天津·期末）若直线l的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式求解即得. 【详解】由直线l的方向向量，平面的一个法向量，， 得，则，解得， 所以实数. 故选：A 2．（23-24高二上·天津·期末）设，，向量，，且，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据向量共线列出方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 所以解得，，， 所以， 故选：D 3．（23-24高二上·天津·期末）向量，，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线定理结合线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以存在唯一实数，使得， 即， 所以，解得. 故选：B. 4．（23-24高二上·天津·期末）以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l与m垂直 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，向量是平面的法向量，则 【答案】C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，求解即可判断A、B；由已知推得，即可根据法向量的关系，得出平面位置关系；根据已知得出，求出向量的坐标代入求解，得出，即可判断D. 【详解】对于A项，因为， 所以不垂直，所以l与m不垂直，故A错误； 对于B项，因为， 所以，所以或不垂直，故B错误； 对于C项，因为， 所以，所以，故C正确； 对于D项，因为，，向量是平面的法向量， 所以，，即，解得，故D错误. 故选：C. 空间角的计算 1．（23-24高二上·天津·期末）在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】设正三棱柱的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，的中点，连接，则 ∥，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， 所以， 设直线与所成角为，则 ， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：D 2．（23-24高二上·天津西青·期末）在正方体中，点E为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面面角的向量求法 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再结合法向量夹角的余弦的绝对值公式即可求解. 【详解】由题意以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设棱长为1，点E为的中点， 所以， 显然平面，所以可取平面的一个法向量为， 不妨设平面的法向量为， 所以，令，解得， 即取平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则. 故选：B. 3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 【答案】/ 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角. 【详解】直三棱柱，且， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设直线与成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·天津河北·期中）如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为 ；点到直线的距离为 .    【答案】 【知识点】线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，      则,0,,,1,,,1,,,1,,,,, ，， 设平面的法向量为， 则，，， 取，则，，是平面的一个法向量， 又， 设与平面所成角为，则， 取，， 则，， 故点到直线的距离为； 故答案为： 空间距离的计算 1．（23-24高二上·天津·期末）在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果. 【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ,,,,,, 设平面的法向量为， ,即，取， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 2．（23-24高二上·天津·期末）已知空间三点，，，则点到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离. 【详解】因为，，， 所以， 与同向的单位方向向量， 则点到直线的距离为. 故答案为： 3．（23-24高二上·天津·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】由点的坐标可得， 则点到直线的距离为. 故答案为： 4．（23-24高二上·天津·期末）在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为 ； 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，再利用点到面的距离公式求解即可. 【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设面的一个法向量为， 则，当，面的一个法向量为， 则到平面的距离. 故答案为： 5．（23-24高二上·天津·期末）如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】求二次函数的值域或最值、点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线距离的函数关系，再求其最小值作答. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因点P在线段上，则，， ，向量在向量上投影长为， 而，则点Р到直线的距离 ，当且仅当时取“=”， 所以点Р到直线的距离的最小值为. 故答案为： 6．（23-24高二上·天津·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离 ． 【答案】/ 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】先证，通过等面积法求点线距离即可. 【详解】正方体中，平面，平面，则， 又因为， 所以到直线的距离为. 故答案为：.    线面角的综合问题 1．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形是平行四边形，得到，故证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【详解】（1）证明：在四棱柱中，，故四边形是平行四边形 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以， 故两两垂直，以A为坐标原点，分别以为轴，轴,轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 即  令，则， 设直线与平面所成角为， . 所以直线与平面所成角的正弦值是. 2．（23-24高二上·天津·期末）正四棱柱中，为中点，为下底面正方形的中心．求：    (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)直线与平面成角； (3)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成角即可； （2）用向量法求线面角即可； （3）用向量法求点面距即可. 【详解】（1）    在正四棱柱中，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 因为，，为中点，为下底面正方形的中心， 所以，，，，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1），，，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ，设直线与平面所成角为，则 ，又， ， 所以直线与平面所成角为. （3）由（2）可得，，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 二面角的综合问题 3．（23-24高二上·天津和平·期末）三棱台 中，若面，，，， 是中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值； （2）向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，得 ， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成夹角为，， ，所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为； （2）， 点到平面的距离， 点到平面的距离为. 4．（23-24高二上·天津和平·期末）如图，在直三棱柱中，，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）由题意建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，只需证明，即就可以了. （2）分别求出两平面的法向量，由法向量夹角的余弦的绝对值即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又面，面， 所以，即两两垂直， 依题意，以为原点，分别以、、方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示， 因为，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． 则，，，，， ，，，． 所以，易知平面的一个法向量为， 因为，所以，又平面，所以平面． （2）设平面的法向量为，，， ，取，有， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 5．（23-24高二上·天津·期末）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】面面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出，结合向量夹角余弦公式即可得解. （2）要证明平面，只需证明，即只需证明. （3）由（2）得平面的一个法向量为，故只需求出平面的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解. 【详解】（1）由题意侧棱平面， 又因为平面， 所以， 因为，所以， 所以两两互相垂直， 所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别是，，的中点. 所以， ， 所以， 设直线与所成角为， 所以. （2）由（1）， 所以， 所以， 又因为平面， 所以平面. （3）由（2）可知平面，即可取平面的一个法向量为， 由（1）可知， 不妨设平面的法向量为， 则，不妨令，解得， 即可取平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则. 6．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D、M是线段BC、的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面BCM的距离； (3)求直线与平面BCM所成角. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）连接交于，连接，根据已知得为正方形，则是中点，进而有，由线面平行的判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，向量法求点面距离； （3）由（2）求点的坐标，向量法求线面角的大小. 【详解】（1）连接交于，连接， 又平面ABC，平面ABC，则， 又，易知为正方形，故是中点， 由D是线段BC的中点，则，面，面， 所以平面； （2）由题设，可构建如下图空间直角坐标系，则， 所以，， 若是面BCM的的一个法向量，则，取， 故， 所以点到平面BCM的距离. （3）由（2），可得， 所以直线与平面BCM所成角正弦值为， 又线面角范围为，故直线与平面BCM所成角为. 7．（23-24高二上·天津·期末）如图所示，在四棱锥中，底面，，，，点E为棱的中点. （1）证明：； （2）若点F为棱上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】由底面，，故很方便的能够建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决这两问（1）建系完成后，写出，，证明即可；（2）先求坐标，在求两个平面的法向量即可解决. 【详解】解：（1）证明：∵底面，. ∴以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 由题意得：，，，，，， ∴，， ∴，即. （2）∵，，，，由点F在棱上，设，（）， ∴， ∵，∴， 解得：，∴. 设平面的法向量为，则 ，不妨令，可得为平面的一个法向量，取平面的一个法向量， 则， 易知，二面角是锐角，所以其余弦值为. 8．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、求点面距离、证明线面平行 【分析】（1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. 【详解】（1）连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; （2）根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. . 9．（23-24高二上·天津·期末2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 10．（23-24高二上·天津·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且.    (1)求证: 平面; (2)求平面与平面 夹角的余弦值； (3)求点D到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可. 【详解】（1）   根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 显然，又平面， 所以 平面； （2）由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则； （3）由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 11．（23-24高二上·天津·期末）如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，,，为棱上的点，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据已知证明两两垂直，构建空间直角坐标系，应用向量法证明线面垂直； （2）（3）向量法求面面角正弦值、点面距离即可； 【详解】（1）由平面，平面，则，又， 所以两两垂直，构建如下空间直角坐标系， 则， 故，，， 令是面的一个法向量，则，取，则， 显然，故平面； （2）由（1），，， 若是面的一个法向量，则，取，则， 所以，则平面与平面所成夹角的正弦值为. （3）由（1），，则点到平面的距离. 12．（23-24高二上·天津宁河·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】面面角的向量求法、线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法证明线面平行即可； （2）（3）求出相关直线方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角、面面角. 【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以， 若是平面的一个法向量，则， 取，则， 所以，即，又平面， 所以平面. （2）由（1）知，设直线与平面所成角为， 则. （3）由上可知，设是平面的一个法向量，则， 取，则， 故平面和平面的夹角的余弦值为. 立体几何存在性探索问题 13．（23-24高二上·天津·期末）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点． （1）求平面与平面的夹角的大小； （2）线段上是否存在一个动点（与线段的端点不重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在这样的，且. 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果， （2）先假设存在，根据（1）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断. 【详解】（1）取中点，连接，∵， ，∴， 如图以点为原点分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ∴， ，， , 设平面的法向量为，，， 取，∴， 又平面的法向量为，设平面与平面所成的二面角为，由图示得为锐角， ∴， ∴平面与平面所成二面角为. （3）设， ， ∴， ∴， 即，因为，所以，∴存在这样的，且. 【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$