专题06 抛物线（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题06 抛物线 抛物线定义及标准方程 1．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是 ． 3．（23-24高二上·天津·期末2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 4．（23-24高二上·天津和平·期末）设点F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线C上，点，若，则 ． 5．（23-24高二上·天津河北·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 . 6．（22-23高二上·天津·期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 根据抛物线方程求焦点 1．（23-24高二上·天津河东·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点是 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线，则抛物线焦点坐标为 . 根据抛物线方程求准线 1．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 抛物线及其几何性质的实际应用 1．（23-24高二上·天津·期末）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 2．（23-24高二上·天津·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后得到的光线必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，到达抛物线上的点B，则 . 抛物线与椭圆综合问题 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 抛物线与双曲线综合问题 1．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期末）已知离心率为的双曲线C：（）的左焦点与抛物线的焦点重合，则实数 . 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）有下列命题： ①抛物线的准线方程为； ②已知直线过两点，，则此直线的斜率是； ③若方程表示双曲线，则实数的取值范围是. 其中正确命题的序号为 （把正确的答案都填上）. 5．（23-24高二上·天津河北·期末）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为 ；双曲线的渐近线方程为 . 由三角形特征求参数范围 1．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点.若是钝角三角形，则点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 直线、抛物线与圆综合问题 1．（23-24高二上·天津·期末）过原点的一条直线与圆：相切，交焦点为F的拋物线（）于点，若，则的值为 . 2．（23-24高二上·天津西青·期末）已知抛物线C：焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两点，. ①若直线l的斜率为1，则弦长； ②以AB为直径的圆交准线于点D，则； ③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，则直线轴且点A的横坐标为1； ④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为，则、、成等比数列. 以上结论中正确的序号为 . 3．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，若直线与圆交于C，D两点，且，则直线的一个斜率为 . 直线、抛物线、圆与双曲线综合问题 4．（23-24高二上·天津·期末）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为 . 直线与抛物线位置关系最值问题 5．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 抛物线 抛物线定义及标准方程 1．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】设出抛物线方程，结合抛物线的焦半径公式计算求解即可. 【详解】依题意，设抛物线方程为，则，所以，即抛物线方程为. 故选D. 【点睛】在处理抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，但要注意抛物线的方程是那种标准方程，如：抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为. 2．（23-24高二上·天津·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是 ． 【答案】 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【详解】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且，所以抛物线的标准方程是． 3．（23-24高二上·天津·期末2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·天津和平·期末）设点F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线C上，点，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线定义的理解 【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】因为抛物线C：的焦点为，所以， 由抛物线的定义知（不妨设A在第一象限）， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·天津河北·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线焦点得出，即可得解. 【详解】因为抛物线的顶点是坐标原点，焦点是， 所以，解得， 所以抛物线方程为. 故答案为： 6．（22-23高二上·天津·期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 根据抛物线方程求焦点 1．（23-24高二上·天津河东·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线的标准方程求解即可. 【详解】抛物线的焦点在x的正半轴上，，所以焦点坐标为. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【解析】根据抛物线焦点在轴上，焦点坐标为即可求解. 【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，所以， 故焦点坐标为：， 故选：D 3．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标. 【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D. 【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标. 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线定义可得，写出抛物线方程，进而可得焦点坐标. 【详解】由抛物线定义，知，故，则焦点为. 故选：B 5．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线，则抛物线焦点坐标为 . 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线方程确定开口方向和的值即可写出焦点坐标. 【详解】根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且，即， 焦点坐标为. 故答案为：. 根据抛物线方程求准线 1．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线. 【详解】由得，故抛物线的准线方程为. 故选：D 抛物线及其几何性质的实际应用 1．（23-24高二上·天津·期末）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案. 【详解】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米. 故选：A. 2．（23-24高二上·天津·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后得到的光线必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，到达抛物线上的点B，则 . 【答案】25 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的焦半径公式、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题意求出A点坐标，根据过焦点得直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，根据抛物线焦点弦的弦长公式求解即可. 【详解】将代入，得，即， 由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点， 所以直线AB的斜率为，直线AB的方程为， 代入并消去y得，解得，， 故. 故答案为：25 抛物线与椭圆综合问题 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线方程有准线为，由题意可得、，进而写出椭圆方程. 【详解】由抛物线的准线为，故椭圆的一个焦点为，则， 由椭圆定义知，故， 所以椭圆方程为. 故选：C 抛物线与双曲线综合问题 1．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，利用双曲线方程求出渐近线方程，再由点到直线距离求解. 【详解】由抛物线可知焦点， 双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到直线的距离， 故选：A 2．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据离心率求双曲线的标准方程、已知直线垂直求参数 【解析】先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程. 【详解】因为到其焦点的距离为5，故，故， 故抛物线的方程为，故. 因为离心率为，故，故， 根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则， 则与渐近线垂直，故，故，故， 故双曲线方程为：. 故选：D. 【点睛】方法点睛：（1）上一点到其焦点的距离为，解题中注意利用这个结论. （2）如果直线与直线垂直，那么. 3．（23-24高二上·天津·期末）已知离心率为的双曲线C：（）的左焦点与抛物线的焦点重合，则实数 . 【答案】 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】先由双曲线的离心率求出，由此得到双曲线的左焦点，再求出抛物线的焦点坐标，利用它们重合，从而求出实数． 【详解】由双曲线C：（）的离心率为， 所以，解得， 所以， 所以抛物线的焦点为， 易得抛物线开口向左，故，即. 故答案为：. 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）有下列命题： ①抛物线的准线方程为； ②已知直线过两点，，则此直线的斜率是； ③若方程表示双曲线，则实数的取值范围是. 其中正确命题的序号为 （把正确的答案都填上）. 【答案】①② 【知识点】已知两点求斜率、根据方程表示双曲线求参数的范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程写出准线判断①，利用两点式求直线斜率判断②，由方程表示双曲线有求参数范围判断③. 【详解】①抛物线中，故准线方程为，对； ②已知直线过两点，，此直线的斜率是，对； ③若方程表示双曲线，则或，错. 正确命题有①②. 故答案为：①② 5．（23-24高二上·天津河北·期末）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 或 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据抛物线定义求出P点坐标，代入双曲线方程结合求出可得渐近线方程. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设双曲线的方程为，故， 设， 则，解得， 代入抛物线方程可得，解得， 所以的坐标为； 因为，解得，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：或； 由三角形特征求参数范围 1．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点.若是钝角三角形，则点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线中的参数范围问题 【分析】设点坐标，由平面向量的数量积求解 【详解】由题意得，，设，则， ，， 若是钝角三角形，则是为钝角，， 又，得． 故选：A 直线、抛物线与圆综合问题 1．（23-24高二上·天津·期末）过原点的一条直线与圆：相切，交焦点为F的拋物线（）于点，若，则的值为 . 【答案】2 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线关于轴对称， 不妨设切线方程为，， 所以，解得：， 由解得：或，即， 由于， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：2. 2．（23-24高二上·天津西青·期末）已知抛物线C：焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两点，. ①若直线l的斜率为1，则弦长； ②以AB为直径的圆交准线于点D，则； ③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，则直线轴且点A的横坐标为1； ④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为，则、、成等比数列. 以上结论中正确的序号为 . 【答案】②④ 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】令联立抛物线并应用韦达定理，结合弦长公式求得，由判断①；根据圆的性质判断②；根据题设得到，求得，结合有，即可得判断③；由得，若且确定坐标，即可判断④. 【详解】由题设，令，联立抛物线可得， 所以，，可得， ①若直线l的斜率为1，则，可得，错； ②以AB为直径的圆交准线于点D，由圆的性质知，即，对； ③过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点C，如下图，则， 令，则，故，，即， 而，故，可得，即轴，但A的横坐标不一定为1，错； ④若直线l垂直于对称轴，过抛物线上任一点P作垂直于对称轴的直线，垂足为， 由题设，则，若且，则不妨设， 所以、，故，对. 故答案为：②④ 3．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，若直线与圆交于C，D两点，且，则直线的一个斜率为 . 【答案】（或，答案不唯一） 【知识点】圆的弦长与中点弦、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】设的方程为，，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得，由圆的方程可知，直线过其圆心，，由列出方程求解即可. 【详解】由题意知，的斜率存在，且不为，设的方程为，， 联立，得， 易知，则， 所以， 圆的圆心，半径，且直线过圆心， 所以，由得，， 故答案为：（或，答案不唯一）. . 直线、抛物线、圆与双曲线综合问题 4．（23-24高二上·天津·期末）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为 . 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，为的中点，又可得为的中点，所以为的中位线，得到，再设，过点作轴的垂线，由勾股定理得出关于和的关系式，最后求得离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为，则的坐标为， 抛物线为，为抛物线的焦点，为的中点， ，为的中点，， ，， 切圆于，，， ，， 过点作轴的垂线，即抛物线的准线， 根据抛物线的定义知，点到的距离为， 设，则，， 在中，， 即，， ，，. 故答案为：. 直线与抛物线位置关系最值问题 5．（23-24高二上·天津·期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的参数范围问题、基本（均值）不等式的应用、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值. 【详解】设， 因为，所以， 过点分别作准线于点，， 由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知，    因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 故， 故，的最小值为. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$