专题05 双曲线（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题07 双曲线 求双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）若双曲线经过椭圆的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 双曲线的实轴、虚轴 1．（23-24高二上·天津河东·期末）双曲线的实半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 2．（23-24高二上·天津·期末2011·安徽·高考真题）双曲线的实轴长是( ) A．2 B． C．4 D．4 双曲线的定义及焦距问题 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 2．（23-24高二上·天津西青·期末）已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则 . 求双曲线的离心率 1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3．（23-24高二上·天津·期末）以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是. A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与C的渐近线交于A、B两点（均异于点）.若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高二上·天津·期末2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 求双曲线的渐近线方程 1.（23-24高二上·天津·期末）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）双曲线的渐近线方程是 . 双曲线的顶点、焦点到渐近线的距离 1．（23-24高二上·天津·期末）双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·天津·期末）双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为 ． 双曲线方程、几何性质的综合应用 1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·天津和平·期末）双曲线的左、右焦点分别为点，，过点作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ． 双曲线、椭圆综合问题 1．（23-24高二上·天津西青·期末）方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．② 直线与双曲线位置关系 2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津和平·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为 6．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线（，），焦点，（），若过左焦点的直线和圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则直线的斜率是 ，双曲线的离心率是 . 双曲线中的弦长问题 7．（23-24高二上·天津·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 双曲线 求双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·天津·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，由此可得结果. 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，，即， 则双曲线方程可化为：，由双曲线过点， ，解得：，，双曲线方程为：. 故选：C. 2．（23-24高二上·天津·期末）若双曲线经过椭圆的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得，利用渐近线方程可得，进而可得答案. 【详解】椭圆的焦点坐标为， 而双曲线过，所以，得， 由双曲线的一条渐近线方程为可得，则， 于是，即. 所以双曲线的标准标准为. 故选：D. 双曲线的实轴、虚轴 1．（23-24高二上·天津河东·期末）双曲线的实半轴长为（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据题意，化简双曲线的方程为标准方程，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得，即， 所以双曲线的实半轴长为. 故选：C. 2．（23-24高二上·天津·期末2011·安徽·高考真题）双曲线的实轴长是( ) A．2 B． C．4 D．4 【答案】C 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴 【详解】试题分析：双曲线方程变形为，所以，实轴长为 双曲线的定义及焦距问题 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）双曲线的焦距为是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【知识点】求双曲线的焦距 【分析】由双曲线方程确定焦距即可. 【详解】由题设，则焦距为. 故选：D 2．（23-24高二上·天津西青·期末）已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则 . 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】由双曲线方程及焦距确定双曲线参数，再由双曲线定义求. 【详解】由题设，又且， 所以，而，则或， 其中，故. 故答案为： 求双曲线的离心率 1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线的对称性 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，， 由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形为矩形， 可设，则， 在直角三角形中，可得， 即为， 解得， 又在直角三角形中，， 即为， 即为， 即有， 故选：B． 2．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理建立关于的方程，化简即可求出双曲线离心率. 【详解】如图，    由双曲线定义可得，又， 所以，又渐近线方程为， 因为渐近线，所以，所以， 所以， 即，化简可得， 平方可得，即， 解得或（舍去）， 故选：A 3．（23-24高二上·天津·期末）以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先确定点M的坐标，然后利用几何关系得到a,b,c的齐次方程，最后由离心率的方程可得双曲线的离心率. 【详解】不妨设点M位于第一象限，由双曲线的性质可得， 由圆的弦长公式可得：， 结合可得， 整理变形可得：，即， 双曲线中，故. 故选B. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与C的渐近线交于A、B两点（均异于点）.若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出图形，分析可知，四边形为正方形，可得出，求出的值，进而可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】 连接，设，由对称性可知为的中点，， 因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，故为的中点， 又因为，且互相垂直且平分，所以，四边形为正方形，则， 所以，故双曲线的离心率为. 故选：A. 5．（23-24高二上·天津·期末2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 求双曲线的渐近线方程 1.（23-24高二上·天津·期末）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的值，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程. 【详解】已知，椭圆的方程为，则的离心率为， 双曲线的方程为，则的离心率为， ∵与的离心率之积为，∴，∴， 则的渐近线方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津·期末）双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线. 【详解】双曲线的渐近线为，所以双曲线的渐近线方程是. 故答案为 双曲线的顶点、焦点到渐近线的距离 1．（23-24高二上·天津·期末）双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的顶点坐标 【分析】根据双曲线的标准方程，写出顶点坐标与渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【详解】因为双曲线的上顶点为，渐近线方程为， 所以双曲线的上顶点到其一条渐近线的距离为. 故选：A. 2．（23-24高二上·天津·期末）双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为 ． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离. 【详解】双曲线的离心率为2，由得，则， 右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为. 故答案为：． 双曲线方程、几何性质的综合应用 1．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， ，，则左焦点， 由双曲线的定义得， 因为，即当，，三点共线时最大， 所以， 最大值为. 故选：D. 2.（23-24高二上·天津和平·期末）双曲线的左、右焦点分别为点，，过点作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】先根据双曲线的方程求出和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式可求出，在中，由余弦定理求得，即可得解. 【详解】由，得，渐近线方程为， 所以， 所以，， 由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等， 不妨取渐近线，则， 在直角中，，， 故， 在中，由余弦定理得，， 所以， 所以. 故答案为：. 双曲线、椭圆综合问题 1．（23-24高二上·天津西青·期末）方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．② 【答案】A 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用角的范围可求得的符号，再依据椭圆以及双曲线的标准方程即可出结论. 【详解】若，将可整理成， 当时，可知，则，即； 由椭圆标准方程可知， 即当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；所以①正确，②错误； 当时，，； 由双曲线标准方程可得的实轴在y轴上， 所以当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即③正确，④错误； 即①③正确. 故选：A 直线与双曲线位置关系 2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 3．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线定义的理解 【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案. 【详解】解：设，则， 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 连接，则有，， 由于在以为直径的圆周上， ∴， ∵为平行四边形， ∥， ∴， 在直角三角形中，， 即， 解得， 所以，； 在直角三角形中，， 即，得， 又因为， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选:D. 4．（23-24高二上·天津·期末2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求点到直线的距离、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．（23-24高二上·天津和平·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设直线与圆相切于点，利用可得点坐标，代入双曲线方程再求出离心率即可. 【详解】不妨设直线与圆C相切于点A，如图所示， ，∽，， ，，， ，， 在第四象限，， 将的坐标代入，可得， ，， 离心率. 故答案为：. 6．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线（，），焦点，（），若过左焦点的直线和圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则直线的斜率是 ，双曲线的离心率是 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】第一空，利用直线和圆相切的性质得到，从而利用求得答案；第二空，求得，利用可得a,b,c的齐次式，求得离心率. 【详解】如图， 设圆的圆心为B，则圆心坐标，半径为， 则， 设过左焦点的直线和圆相切于点C，连接， 则，所以 ， 得，所以直线的斜率是； 又轴，将代入得 ，则， 所以，化简得， 求解得， 故答案为：； 双曲线中的弦长问题 7．（23-24高二上·天津·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求 【答案】 【知识点】求双曲线中的弦长、求双曲线的焦点坐标、直线的点斜式方程及辨析 【分析】由双曲线方程求出的坐标，进而可得直线的方程，直线方程与双曲线方程联立消去，可得、，再由弦长公式即可求弦长. 【详解】由得，，，所以即， 所以右焦点， 因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点， 所以直线的方程为， 由可得：， 所以，， 所以 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$