专题05 函数与方程及函数模型（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题05 函数与方程及函数模型 判断零点所在的区间 1．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在区间是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用 【分析】根据函数零点存在性定理进行判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴函数在区间(2,3)上存在零点． 故选C． 【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件． 2．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定. 【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由， 根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是. 故选：A. 3．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断. 【详解】函数是定义域上的增函数，又，，所以， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）设函数，则函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】利用函数的单调性和零点存在原理进行判断即可. 【详解】因为， 所以， 又因为函数是实数集上的增函数， 所以函数的零点所在区间是， 故选：B 5．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间 【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间. 【详解】由于均为增函数， 所以为定义域上的增函数， , 根据零点存在定理, 零点在区间内. 故选：C 6．（23-24高一上·天津南开·期末）定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数函数单调性的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据已知得为定值，且，进而求得，将问题化为求的解的范围，利用对应函数的单调性，结合各项区间端点出函数值大小确定解的范围. 【详解】由题设为定值，且， 所以，则，易知，故， 由，则，显然在第一象限有一个交点， 又在上分别单调递增，单调递减， 由，，，故方程解在上. 故选：C 判断零点个数 1．（23-24高一上·天津·期末）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据奇偶性和周期性画出的图象，再结合的图象来求得正确答案. 【详解】依题意，，所以是周期为的周期函数， 由于是偶函数，且当时，， 由此画出与的图象如下图所示，时，， 由图可知，两个函数有个交点， 所以函数的零点个数是. 故选：B 比较零点大小 1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与方程的综合应用、比较零点的大小关系 【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断. 【详解】解：由得，， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象， 由图象知，，. 故选：B 根据零点的有无求参数范围 1．（23-24高一上·天津·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】对数函数单调性的应用、零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案. 【详解】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 二分法及其应用 1．（23-24高一上·天津·期末）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】由题可知函数为增函数，结合零点存在定理知在区间上必有根． 故选：C． 2．（23-24高一上·天津·期末）已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求函数零点的过程 【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答. 【详解】因为在上均单调递增， 则函数在R上单调递增， 由数表知：， 由零点存在性定义知，函数的零点在区间内， 所以函数的一个零点的近似值为. 故选：B 指数、对数函数模型 1．（23-24高一上·天津·期末）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万？(，)（    ） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】C 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【解析】根据指数函数的性质列出函数解析式，然后解相应的不等式即可得． 【详解】设为天后感染的总人数，则， 由已知得，两边取对数化简得， 所以. 因为取正整数，所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·天津·期末）某市共享电动车2017年投放量为400万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的投放量都比上一年提高，那么该市到哪一年共享电动车的投放量才能达到1200万辆（参考数据：，）（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设该市经过年，可达到.根据已知列出关系式，化简根据指对互化，求出，即可得出答案. 【详解】设该市经过年，共享电动车的投放量才能达到1200万辆， 则由已知可得，，即有， 则有. 所以，经过年，共享电动车的投放量才能达到1200万辆，即到2023年，可达到. 故选：B. 3．（23-24高一上·天津和平·期末）西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 . 【答案】 【知识点】对数的运算、对数函数模型的应用（2） 【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解. 【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得， 将代入，得， 所以它的游速为. 故答案为： 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为. （ⅰ）当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为 ； （ⅱ）若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的.若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 . （所有结果保留整数，参考数据：，） 【答案】 4400 22 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】（ⅰ）根据给定公式求甲型火箭的最大速度即可； （ⅱ）由题设有原甲型火箭的最大速度为，材料更新和技术改进后，甲型火箭的最大速度为，解不等式即可求最值. 【详解】（ⅰ）由题设，甲型火箭的最大速度为； （ⅱ）由题意，，原甲型火箭的最大速度为， 材料更新和技术改进后，甲型火箭的最大速度为， 所以，即，可得. 故答案为：， 根据零点个数求参数范围 1．（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】作出函数和的图像，得的图像，由题意，直线与的图像与有三个交点，结合图像判断实数的取值范围. 【详解】由，解得或， 函数和的图像相交于点和， 在平面直角坐标系内作出函数和的图像， 由，得的图像，如图所示， 方程恰有三个不相等的实数根，则的图像与直线有三个交点， 由图像可知实数的取值范围为. 故选：B 2．（22-23高一上·北京房山·期末）已知函数，其中且．若关于x的方程的解集有3个元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、函数图象的应用 【分析】由题可得当，且时，不合题意，时，利用数形结合可得，进而即得. 【详解】当时，，则有无数解，不合题意； 当且时，，，方程至多有一解，不合题意； 当时，作出函数的大致图象， 要使关于x的方程的解集有3个元素， 则，解得， 所以a的取值范围为. 故选：C. 3．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知，函数，关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解. 【详解】因为关于的方程恰有两个互异的实数解，则有： 有两个不同的实根，且无实根， 或与各有一个实根， 或无实根，且有两个不同的实根， 当时，， 令，则为增函数， 所以在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立， 当函数在上有一个零点时，必有，即， 此时，， 因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根， 当，时，， 设函数， 而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点， 因此，方程必有一个实根， 于是得当时，与各有一个实根， 若方程无实根，必有， 此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点， 当且仅当，解得， 于是得当时，有两个不同的实根，且无实根， 综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 4．（23-24高一上·天津·期末）若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】等价变形给定方程，再分类讨论去绝对值符号，并借助函数的单调性求解即得. 【详解】方程或， （1）当时，原方程等价于或，令函数， 函数在上递增，函数值集合为R，在上递增，函数值集合为R， ①当时，在上递增，，而， 显然，则与各有一个实根， ②当时，或在上各有一个实根， ③当时，在，上递增，显然与在上各有一个实根， 当时，，而，当且仅当时取等号， 当时，，在上方程有一个实根，无实根， 当且时，，在上方程与均无实根， 因此当，时，方程与各有一个实根， 当，时，方程有两个实根，有一个实根， （2）当时，原方程等价于，解方程得或， 显然当时，原方程在上无实根，当时，原方程在上有一个实根， 当时，原方程在上有两个实根和1， 综上，当时，原方程只有两个实根，当时，原方程有3个实根，当时，原方程有4个实根， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 5．（21-22高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求零点的和、根据函数零点的个数求参数范围、对数函数单调性的应用、分段函数的性质及应用 【分析】将问题转化为与图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围. 【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点， ，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为； 的图象如下： 所以时，与的图象有四个交点，不妨假设， 由图及函数性质知：，易知：，， 所以. 故选：C 6.（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 确定零点关系式的值（范围） 7.（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 【答案】 【知识点】求零点的和 【分析】画出的大致图象，根据对称性以及对数运算等知识求得正确答案. 【详解】画出的大致图象如下图所示， 当时，，对称轴为， 所以. 当时，， 由，得， ， . 故答案为：    【点睛】对于二次函数，它的对称轴为直线，在求解对称问题的过程中尤为重要.对于含有绝对值的对数函数，要注意绝对值的位置，如与的图象有很大的区别. 8．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的解，，其中，则 ，的取值范围为 . 【答案】 2 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】分析函数性质，作出图象，结合函数零点的意义及二次函数性质求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为， 当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程有4个不同的解，即直线与函数的图象有4个公共点， 观察图象知，，由，得， 即，所以； 显然，即，因此， 而，则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：2； 9．（22-23高一上·北京西城·期末）函数，其中． (1)若，求的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围、求函数的零点 【分析】（1）令，即可求解零点， （2）令得，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）当时，，令，则，故， 所以的零点为. （2）令，则，，故， 由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故， 所以的取值范围为 函数、方程、不等式综合问题 10．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由，的周期为6，及函数的单调性分析判断. 【详解】①：对于任意，都有成立， 令，则，解得， 又因为是R上的偶函数，所以， 所以，所以函数的周期为6， 所以， 又由，故；故①正确； ②：由（1）知的周期为6， 又因为是R上的偶函数，所以， 而的周期为6，所以，， 所以：， 所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确； ③：当，且时，都有． 所以函数在上为严格增函数， 因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数， 而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确； ④：，的周期为6，所以， 又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点， 所以在和上各有一个零点， 所以函数在上有四个零点．故④正确； 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题. 11．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 【答案】(1)，， (2) (3)0，4. 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、根据零点求函数解析式中的参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据零点和奇函数的定义，联立方程组，解得的值，得到解析式，验证的奇偶性，即可得解； （2）依题意利用偶函数和单调性可得满足的条件，进而可求解的取值范围； （3）求出的解析式，依题意求出，进而可得的其他零点. 【详解】（1）因为函数的一个零点是1，所以， 是奇函数，所以， 所以，，解得， ，定义域为. ，都有， 所以，是奇函数，满足题意，故，， （2）函数满足，所以是偶函数且在单调递减 因为不等式恒成立 所以， 所以 （3）， 因为函数的一个零点为2，所以，解得. 所以， 令，得或，解得. 所以函数的其余零点为0，4. 12．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或， (3). 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数的性质列不等式即可求解， （2）将问题转化为有且仅有一正根.即可利用二次型函数的性质分类求解， （3）利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）时， 所以得， 所以函数的定义域为. （2）方程，即，即. ∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正根. （1）若，化为，解得，符合题意； （2）若，此时. ①令，得，解得，符合题意； ②当，即时，方程有两个解，设为，. 则，. 当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意. 当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意. 综上，实数的取值范围为或， （3）. 当时，. 因为，，所以. 所以，所以， 所以. 所以在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，. 即：， 即：，因为，， 整理得：，令. 因为时，存在， 故只需. 因为，对称轴方程，所以在上单调递增， 所以，故，得. 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 13．（23-24高一上·天津·期末）已知是函数的零点，. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)． 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次方程根的分布问题 【分析】Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可． 【详解】Ⅰ是函数的零点， ，得； Ⅱ，， 则不等式在上恒成立， 等价为， ， 同时除以，得， 令，则， ，， 故的最小值为0， 则，即实数k的取值范围； Ⅲ原方程等价为， ， 两边同乘以得， 此方程有三个不同的实数解， 令，则， 则， 得或， 当时，，得， 当，要使方程有三个不同的实数解， 则必须有有两个解， 则，得． 【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数与方程及函数模型 判断零点所在的区间 1．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在区间是　　 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）设函数，则函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·天津南开·期末）定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（    ） A． B． C． D． 判断零点个数 1．（23-24高一上·天津·期末）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 比较零点大小 1．（23-24高一上·天津·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 根据零点的有无求参数范围 1．（23-24高一上·天津·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 二分法及其应用 1．（23-24高一上·天津·期末）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则下列必有方程的根的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24高一上·天津·期末）已知函数的部分函数值如下表所示： 1 0.625 0.5625 0.632 0.2776 0.0897 那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（    ） A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70 指数、对数函数模型 1．（23-24高一上·天津·期末）新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万？(，)（    ） A．43 B．45 C．47 D．49 2．（23-24高一上·天津·期末）某市共享电动车2017年投放量为400万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的投放量都比上一年提高，那么该市到哪一年共享电动车的投放量才能达到1200万辆（参考数据：，）（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 3．（23-24高一上·天津和平·期末）西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 . 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为. （ⅰ）当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为 ； （ⅱ）若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的.若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 . （所有结果保留整数，参考数据：，） 根据零点个数求参数范围 1．（23-24高一上·天津宁河·期末）给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京房山·期末）已知函数，其中且．若关于x的方程的解集有3个元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知，函数，关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·天津·期末）若关于的方程恰有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高一上·天津·期末）已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 确定零点关系式的值（范围） 7.（23-24高一上·天津·期末）已知函数，若方程有4个解，分别记为，，，，且，则 . 8．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的解，，其中，则 ，的取值范围为 . 9．（22-23高一上·北京西城·期末）函数，其中． (1)若，求的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 函数、方程、不等式综合问题 10．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24高一上·天津·期末）已知函数是奇函数，且一个零点为1. (1)求，的值及解析式； (2)已知函数在单调递减，在满足，当时，，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点. 12．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 13．（23-24高一上·天津·期末）已知是函数的零点，. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$