北京市多校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024一2025学年度第一学期期中测试卷 ?在一次聚会上，每再个人之间花互相喷送了一卧至物。若一共这出了0函礼急，赠参如紫公的人机】 A.9人 且.10人 C人 n.1t2人 九年级数学 &如园。在4ABC中，上C=90,AC=5,8C=10.动点M,N分从A,C两点网时出发，点时从点A开始超动 一法挥画（本大骚共8小题，每小原2分，共6分） C向点以每1个限位长度的递度移为。点N从点C弄始始C百向点B以每心2个单位长度的速夏移味，没通动时国 【数学世界查#无穷。我中曲能是装分几同的可究对景之一，下列数导能旺禁对称密悉，又是中心对陈图形的 为t,点M,C之同的距高大，△MCN的面积为5，则)与，5与浙足的厨数关暴分别以) () 人正比例函数关系。一次网斯关系 B.至比例函数关原，二次函数关系 C一太通数关系。正比到函数美系 D,一次通题关系。二发函数关系 二，填空显（本大题共年小原。0空2分，共分） 工二次西数y■红+护一2的预点坐标) 9在平国直角空标系x叼中，裁抛物线y=3红向上平移1个单B。得到的附物线表达式为一， A(-12) 且1，-2) c〔120 0(-L-20 如围，点A。B,C在O0上，LAAG■5，则OC你变章为 3着-3为.(-2，，C3为二次通数y一红+1P图象上的三点，h为，为的大小党果) A为<为≤n 我为<片<为 C为<为<为 D月<为<为 4如图，在△AC中，Bm8,EC=65,蒋△AC提点A是时针烧转得现AA旷C者Ar落 在AC上时，2AC的皮数氛) A.65 1儿己红关于的一元二次方程x2一2议一a一有再个相等的实数根。则：的懂是 B.7 12写出一个二衣高草，使其满是：开和向下具过点0，一0，数个二次的数的解折式可以是（写出一个面） C.B B.己配a3-3数+1=0，对代数式a-3+a或a+莉的值为一 D.5 14.知度，特物战y=@x2卡与直灯=x+n相交手点A-3-6),暴L一)，则关子的方程e2◆虹=x+ 三如湘。A8为O0直径点C,D在⊙0上，侧是LC-7,即么2D的应数从) n的样为 A.2g 1,30 C15 D.70 6.州配方法解方程x3一4x+1一0，下配方正确的是以】 A年-2■5 80区+27=5 C(-2y-3 D.红+2=3 第目夏，共5到 5.“背山绿水。医序生活”，人打量常将圆住卷竹角隆墙成生活用具，但1所录是个竹简水容器，图2为读竹同 衣容g的监压。已期线正的华径为10m.开口A8实为12，这个水靠要所角装水的最大深瘦最m, 因2 1低共企生有AB再策工相啊罩材料的生产复。在一天内。A生产线共如工响原材料，如工时榈为（和十1小时： 在一天内，B生产线共加工确原材料。加工时问为2沙+3)小时。第一天，黄金业粥5吨原材料分配到风，B再条坐产 线。再第生产线器在一天内完成了加工，且加工时阗相民则分配到A生产线的鸭数与分晨到后生产驾的吨数的比 为第二天开工前。该企业按第一天的分配情果分昆了5单材料后。又给4生产规分配了m吨单材料，给8座 产经分配了响臣材刺.若雨桑生产线重直一天内加工克各自分配到的所有厚材料，且加工时间相属。测二的值 为一 三、解茶数（发大共2小显，典86分】 19〔本小正期分) 17.本国7 如陈，P是等过三角形ABC内一点，将线段AD整点时针靠精0'，周到线及AE,走接CD:BE. 解方程x2一4= (1)求E+A5B题+ADC: 2)连授OE,若LADC=96,求LD的度数 1煤本小图5分) 知图，在干面直角垒标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为(44)：B2,习.C50 (1)①以点为藏转中心：通由有△AC技粮时针方向暖转9香跨△A:8C: ②以蒙点0为能转中心，通出精AABC被逆时针方向展转18后的△A,品C: (2)在()的条件下，△A:马可以由△向C烧蒸点接潮时甘方向震转得到。则该点坐标为一·曲转角的度数 为 (3)△A8C前外接函华径长一 想2项：共5厘 2板本小里6分) 水法（面田） 作法二(N) 已期二☆隔一2-江-王 推OP,作J员0P到直平分L,交0P于九A:心连整OP,交OO手点M,登点W内Op的雀腹Mw,② 园似点A为因心.以4D的长为率径作O:OA交从点0大圆：以OP的长为径作五.交直线时W于点 (呢蓝二汝漏数的顶点坐标 ⊙0于点B:国作直线P8,则直线P8是Q0的切 2:①速楼0Q,交于点：①作宜线PB,解江程PB是的 (2)在平膏直角量标系0中，面出二农而藏■子一2x一3的图象： (3站会西图象。直接写出当一1<x<2明，y的收世负层 图1 证明：知图L技0B,PO⊙直径，本 P0=r.()aP810n,Y0t是⊙0的 E明：m 伴整，A直线PB是OO的切性 造仟饪阅候并完成相应的任务 “这一”中的“能据”是暂 (请马出“作法二”的证璃过整. 五（本小2分） 2L.(本小图们 在平面直角色际系x0y中，站物线一+b证+经试A(0)和B(L,)两山 已知：图图，日0及白0外一点P. (门)常该琳物规的解折式： 求作，直线P容，便P好与⊙O相切于点B. 〔)求该附物线的对移的有项点坐标 李华得学经过深常，！出了代州作法.具体如下（已知海是直线P上方一句： 宽3，共5到 其本小①6分) 已知关干的一元二次方程+《4-m壮+3一国=0， 1)求或方程总有再个实数层： (2)着该方程给有一个实数根为本负数，术的：的家围： 可」题25678 图1 图2 解决具愿 (1)在给出的平面直角坐标暴中（图配）补全感数为的唇象： 24.木小8分) (2四地合海数后豪。解破问思：当4AP中有一个角30时，P的长变的为m 某校·所·活动小组在一次晋外实战时，发发一种植物的主平长出若平数日的支干，每个支干又长出同样数日的 小分支，主干、支干刺小分支的总数是43，求这种胜卷每个支干长出的小分支个数 26(本小恩6分) 在平面直角烧标系x0中，点(-Lm),仔n)在抛物线y一a缸2十x十c(a<的上，设抛微生的对救轴为■ ()当■，m■n时。求抛物线与精交点的坐标及的蓝： 25.(本小感8分) 知图1.曳段A后及一逾点C,P是线极AB上一动点，作直线CP,过点A作AQ上CP于点Q。已知48一7am.靓AP两 2)点（化）0丝+3)在抛物线上。若m《n<6,求r的取城草周及的家值藏围 点可的距高为xm。AQ丙点间的距离为%m,PQ再点国的距岗为m小明招季习隔敏的能装。分刻对腾数 为为随自变成x们麦化而变化的聚体退行了招究，下香是小明的探凳过程 第一步：桉餐下表中白变循x的值过行取点，离。测戴，分别骨列了乃，方与x的几组对应恒 /m5035852BA567 h/m021748736平7平77 前二多，在同一平雨直角坐标系x0y中。着出表中各阻数值所萄店的点在为山（化为》，耕西出西数为的图巢 效4氧，先5项 27.(体小目B分) 2送.（本小0B分） 己。如图，在+A8C中，乙C8=0'.LAC=S。点D在8C的居长提上。点8在C积悔馬长线上，DC一后E 克义：直于面直角坠际系中，有一桌庄线x一m,对于任意一个汤数。作该函数白变且大干m的厚分关于直线x一 连推AE,过C作CP⊥A于F,GCF突A后于G:连指DG. 别的触时将彻形，与服百数中自变量大于干核亨干细的算分其月构成一个新的所数图象，这个看最盘可量原函数关 于直线：一的“位西函煮”列如，0是数y一x+的图象，财它关于直规：=的“视西话数”的御像如器 =+红20 ⑦所示，且它的“段百函数”的解所折式为y= -￥+红< ,电可以哥成y=纠+艺 D ()求话EB-LACF 2)用峰式表弟CG,0G机AE韵业食关系。并延明， 送 (1)在国中香出必数)。一2x+1关于直悦x=1的“提置西数”的图象 )西数y■2一2红+2关于直g=一1的“镜五通敢”与直线y■一x十有三个公共点。.直接写色的丝。 葛系，川5夏 2024—2025学年度第一学期期中测试卷 九年级数学答案和解析 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. 答案不唯一  13.   14. ，  15.   16. ：   17. 解：   或   18.      19. 证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ． 解：，， 为等边三角形． ， ， ． ．   20. 解：， 该二次函数的顶点坐标为． 把代入，得： ，解得：，， 该二次函数图象与轴的交点坐标为或， 把代入得：， 该二次函数图象与轴的交点坐标为； 画出函数图象如图所示： 由图得：当时，．  21. 解：由题意得：“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 证明：由作法可得，，， ， 在和中 ， ， ， 是的半径， 直线是的切线．   22. 解：抛物线经过和两点， 解得： 解析式为：； 解：， 对称轴为直线，顶点为．   23. 证明：， 此方程总有两个实数根． 解：， ， ，， 该方程恰有一个实数根为非负数， ， ．  24. 解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 依题意得：， 整理得：， 解得：不合题意，舍去，． 答：这种植物每个支干长出的小分支个数为．  25. 解：函数图象如下： 解：当时，，即，由函数图象可得； 当时，，即，由函数图象可得； 综上所述，的长度约为或． 故答案为：或．   26. 解：当时，抛物线为， 当时，， 抛物线与轴交点的坐标为， ， 点与关于抛物线的对称轴对称， ； ， ， 解得， ，而， ，即， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 的取值范围为．  27. 证明：， ， ，， ； 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接，，，延长，交于点，交于点，连接， ，， ，， ， 由，，， ，， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ．   28. 解：如图，即为函数的“镜面函数”的图像．    解：如图，    对于，当时，， 函数与轴的交点坐标为； 当直线经过点时，； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得，， 此时，， 解得， 综上，的值为或．   【解析】 1. 【分析】 本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【解答】 解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：． 2. 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：． 3. 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ， 点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ． 故选：． 4. 解：由旋转的性质可得出， ， ， ， ， 故选：． 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 本题主要考查了旋转的性质，掌握三角形内角和定理，由旋转的性质可得是解题的关键． 5. 【分析】本题主要考查圆周角定理的应用．欲求的度数，需先求出同弧所对的的度数；在中，已知的度数，即可求得，由此得解． 【详解】解：是的直径， ， ； ． 故选：． 6. 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行作答即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 7. 解：设参加聚会的同学有人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 参加聚会的同学有人． 故选：． 设参加聚会的同学有人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了份礼物，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出与，与满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可． 【详解】解：由题意，，，则， 则，， 与满足一次函数关系，与满足二次函数关系， 故选：． 9. 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线表达式为， 故答案为：． 10. 解：， ， 故答案为：． 直接由圆周角定理求解即可． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 11. 解：根据题意得，解得． 故答案为． 利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 12. 【分析】本题考查构造二次函数．根据开口向上，得到，与轴交于点，得到，进行构造即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 抛物线的开口向下，与轴交于点， ，， 二次函数可以为：； 故答案为：答案不唯一 13. 【分析】本考查了整式的化简求值．熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，根据，代值求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 【分析】 本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数与一元二次方程的有关知识． 关于的方程的解为抛物线与直线交点的横坐标． 【解答】解：抛物线与直线相交于点， ， 方程的解就是抛物线与直线交点的横坐标， 关于的方程的解为，． 故答案为：，． 15. 【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ， ， 由题意得：， 在中， ， ， 即水的最大深度为， 故答案为：． 16. 解：设分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，依题意可得： ， 解得：， 分配到生产线的吨数为吨， 分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为：； 第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料， 加工时间相同， ， 解得：， ， 故答案为：：；． 设分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案． 本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键． 17. 【分析】用因式分解法求解即可． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 18. 解：如图，即为所求． 如图，即为所求． 连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则可以由绕点按顺时针方向旋转得到， 该点坐标为，旋转角的度数为． 故答案为：；． 由勾股定理得，，，， ， ， 为的外接圆直径， 的外接圆半径长为． 故答案为：． 根据旋转的性质作图即可． 根据旋转的性质作图即可． 连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则可以由绕点按顺时针方向旋转得到，即可得出答案． 由勾股定理以及勾股定理的逆定理可得，则为的外接圆直径，进而可得答案． 本题考查作图旋转变换、勾股定理、勾股定理的逆定理、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质三角形全等的判定方法是解题的关键． 由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； 由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 20. 将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答； 分别将，，代入二次函数表达式，即可求出与轴、轴的交点坐标，即可画出二次函数的图象； 根据图象即可进行解答． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，关键是掌握二次函数顶点式坐标的求法． 21. 【分析】根据圆周角定理可得答案； 由作法可得，，，证明，得，根据切线的判定方法即可求证． 【点睛】本题考查了作图一作垂线、作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用待定系数法求解即可； 配方成即可求解． 23. 根据根的判别式，即可得证； 利用因式分解法求得方程的解，根据题意得到，解不等式即可求出的去值． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程以及解不等式． 24. 设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 【分析】本题考查函数图象的画法，根据函数图象获取信息，直角三角形的性质； 根据表格数据描点，再连线即可绘制函数图象； 当中有一个角为时，或，画出直线，根据函数图象找到与函数图象交点即可． 26. 由题意可知点，关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可求对称轴，把代入抛物线解析式可求抛物线与轴的交点坐标及的值； 根据可确定出对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 27. 【分析】由，则，从而有，，再根据同角的余角相等即可求证； 在上截取，连接，，，延长，交于点，交于点，连接，证明，得，，证明，得出，通过性质证明，则，然后证明垂直平分，最后由垂直平分线的性质和线段和差即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 28. 【分析】根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可； 分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$