北京市多校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024 -2025学年度第一学期期中测试卷 6. 已如二次函数y“ax”+hr+c的部分图象如图所示,使图涵数y大子2的自变是x的淑值可以是) 八年级数学 一.选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分) 1.2023年月23日,第十九登到运结会在新江省抗州市降重琴行,下到选取的图标是按输对称图那没计的是() A._4 8.-2 C.0 p.2 7.已知y”+my+9是完全平方式,则为) _6 86 C.2 P17 2.如图是2x2的正方题网格,将的交点为格点,以略点为项点的三角题为格点三角形,图中的AA8C为点 三角形,则正方形网格字与AAaC成轴对称的整点三角形的个数数) 2. 下列图形中,既是中心对称图胀,又是抽对称图形的是() ##### A.6个 B.5 C. 3.如图,盖房子时,在惊重未安袭之前,木工好海常常先在宴上斜钉一报木条,使其不变形,这种题法的报据是 D. ) 二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分) 9.三角形三边长分别为3、5、.则x的数值限是. 10.加图,将·ADC绕点A遍时针流封90得到·ADE.点C和点是对应点,若ABV3.8D的长为 #7# A.商点之间,段最 8.三角的 C.长方那的园个难趣是直 D.园过性 11.-3..2.1ns.__. 4.著分式2为.则x的提%) c2 D.- 12.如图,一个直角三角板的一条直角达是过乙A0的项点0,一把直尺经过三角板的 A.-t 宣角项点E并且与这条直角边看直,直尺与乙A0的两边分别交于C、D.当CE-DE 5.若a+1)(a-1)-35.a的植为() 时:乙A0与△A0登失系为,__. C.6 A.16 D.3 第1,共要 13.图.点..C点在开-条直线上.乙A-6。cC.50。cD-2. # 17.体4 __度. 如图。在AARC中(AaaC)。AC-2BC.BC上的中线AD范AAaC的图长分成6040两分.ACAB 。 14.点0是正无次形AC2的中心,分则以各边为直段向正五边形的外部作来朋,组成了一题关题的段案(如阻)过 个稻提点0至少转“眉能与来的图案互意含 15.如图,在既边形ARCD中.A=AD.切一个件使得AABC△ADC.可如的条件是 1(小) 下面是小亮没计的“过圆上一点作己知图的切线”的超作图过程 16.如图:在等边△AC中.点P、0在BC上.共且选是PCO.连APA0.点V为AC上一动点。连排PW _. (1)当PW0短时.是CV:(1cm) 2知.如图,A在0上 (2)A一4.则在点运动到C的过段中,Pr最近时,CV. :直线PA和0相词 :①选A0。A为题心。A0为本段作死,与O2的一个交点%(点在点A点 ②许奖a0,以为圆心,80长为是作 ③oa的oP: ④p. 所直线PA就是所求伤的00的线 据小亮读计的尺规称图过程 三.答题(大题共12小题.共限分 门用座是和显,作法各全阻提留称图控 (2完成下的 8可.共5页 面:A8。 25.(小) 04-0B.A0- AB 如,&.C.在一条线上,-C。AAC(n证。·AaC·DEF 20.A. 点A上. -P直 .0一①②)(境思的劳 .61AP. -4008 .PA是O(切③)(理动) 19.(小) 把下列各试分回记 (1-12+1x 21.(4题6) (2-p{-. 程---1. =3.共5{ 2.() 24.(小5分) 如配。三形AC。A一C。乙AC一作CD上A于点D,线段心着点造时针转一得 如险1.小长方形的长和宽分别为a和b,将泪块这样跨长方形拨如阻2所位置规放 B.注AE. (1)图2中的因边形字为正方形,其过长为__. (2规用图2中的图形关系来证的等式是:_- (3一y-3.y-4.求x+的 (1)2r度数 (2若B-1.A0-2.CD长 期2 25.(本小题6分) 231.(体4-题8分) 用“家”定文一种新运算,对于任意有理数a阳,规定a说一a-4ab4b 己知一个等三角形的两边长分别为3cm和cm,它的用长 (1-2 (2A=4n,:=m改-1)(其中a是有跟数),比较A.B的大小 第4舅共5 26.(本4) 28.(本小题10分) 在平面直角x中,已如A,.Bx)是清物线y=ax?-2ar+(a>)上的两个点 在平面直角标系xy中,已知点(a.. (】)求选物对称块 对于点产恰高如下定义:先格点户向右(a②)成向左(a<平格对个单位长度,再关于直线y三对称,得到点 (2若对于-<<-1.2<3有】<:3+0 P,则称点P为点P的“关题点” (3)若对干x。--4.m<x1.有→求的强围 (1)如图1.点坐为3.1] ①点见是标为-1.2)时,则点P的“R关题点”P的座标为, ②点0(4.-30为点P的“R关联点”,则p的坐标为: 2)如2,点A-2的、C(01。点与点A于y对称点在△AC道上。点毫际为(5D①当点所 美点”: ②这关联点成的面形形状是:___. (③如图,点一)。P-n6-、.在正方形EF上。MA。075。 线段财上在点P(3.0的“R关联点”,直接写出n的踪征图 27.(本小) 如。在·ABC中。乙AC音=90。AC=BC,D为射线aC上一点(不与点&。C重合).注接AD并延长到点,慢 # d-AD.连接,过点B作器E的看线交直规AC子点F # 鹏2 (1)如图.点D在线晚C上.且D<cD __ ①补全图形, ②判CD,D,CF之阅的数是关系,证明 (2)如图2.若点D在规段DC的是长线上.请出陵形,直接写出CD.D8.CF之属的数量关系 复5页,共页 2024—2025学年度第一学期期中测试卷 八年级数学答案和解析 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15. 或或答案不唯一．  16.     17. 解：由题意知，，， ，为中点， ， ， 即， 则，， 则． 且符合题意．  18. 解：补全图形，如图所示；        证明：连接． ， ． 点在上． 是的直径， 直径所对的圆周角是直角． ． 是半径， 是的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．   19. 解：原式 ； 原式 ．  20. 证明：， ， 即． ， ． ， ． 在和中， ≌．  21. 解：， 方程两边都乘，得， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以分式方程的解是．  22. 解：线段绕点逆时针旋转角得到线段，   ，， ， ， ， 在与中          ，   ； 解：， ， ， ， ， ．   23. 解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，， ， 此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长分别为，，， ， 此时能构成三角形，符合题意， 该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为．   24.       25. 解：由定义可知： ； 由定义可知： ；， ， ， ．  26. 解：抛物线的对称轴； 证明：设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴，， 点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ， ， ，， 当时，， 把代入解析式得； 解：， 对称轴右侧，随的增大而增大；对称轴左侧，随的增大而减小， ， 点在直线左侧，其对称点为， ，， ， ， 点在直线左侧，其对称点为， 当点在直线右侧时，如图， ， 解得：； 当点在直线左侧时，如图， ， 解得， 综上：或．   27. 解：补全图形如图所示： ， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ；   28.     等腰三角形  【解析】 1. 解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 根据轴对称图形的概念解答即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．轴对称图形是找对称轴，沿对称轴折叠能完全重合． 【详解】解：是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：． 3. 【分析】根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键． 4. 解：由题意得：，且， 解得：， 故选：． 根据分式值为零的条件可得，再解方程即可． 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 5. 解：， ， ， ， 故选：． 利用平方差公式进行计算，即可解答． 本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 6. 解：抛物线的对称轴为：直线， 点关于直线的对称点为， 当时，， 即当函数值时，自变量的取值范围是． 故选：． 利用抛物线的对称性确定抛物线与的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． 7. 【分析】 本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征列式求出的值即可． 【解答】 解：是完全平方式， ． 故选：． 8. 解：与成轴对称的格点三角形如图所示， ， 在图中最多能画出个不同的格点三角形与成轴对称． 故选：． 根据轴对称图形的概念，画出图形即可． 本题考查轴对称图形，考查学生的动手能力，解题的关键是理解轴对称图形的概念，本题主要属于基础题． 9. 解：三角形的两边长分别为和， 第三边长的取值范围是：， 即：． 故答案为：． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键． 10. 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ， ． 故答案为： 11. 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则变形，然后把，代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12. 解：，， 是的垂直平分线， ， ， 故答案为：． 根据已知易得：是的垂直平分线，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 13. 解：是的外角，， ． 根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得． 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，比较简单． 14. 【分析】 此题主要考查了旋转图形，正确求出中心角的度数是解题关键． 直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角． 【解答】 解：五边形为正五边形， 中心角为：． 则这个图形至少旋转才能与原图象重合， 故答案为：． 15. 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法即、、、和是解题的关键．由已知条件：及公共边，要使，可添加或或，根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：若添加条件为：，证明如下： 在和中， ； 若添加条件为：，证明如下： 在和中， 若添加条件为：，证明如下： ， 和为直角三角形， 在和中， ． 故答案为：或或答案不唯一． 16. 解：作点关于直线的对称点，连接，交于点，此时最短，则测量； 故答案为：． 连接，， 在等边中，，， ， ≌， 点关于直线的对称点， ，， ， ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 要使最短，则、、三点共线，此时， ，即最小， 过点作于点，此时最小， 为等边三角形， ， ， 此时、重合， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 最短时，， 故答案为：． 作点关于直线的对称点，连接，交于点，根据“两点之间线段最短”可知，此时最短，测量出即可； 连接，，根据题意证明≌，结合点关于直线的对称点，证明≌，因此，，进而证明是等边三角形，根据“两点之间线段最短”可知，要使最短，则、、三点共线，此时，又因为，即最小，过点作于点，此时最小，由，是等边三角形，得，再结合，，即可求出答案 本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的外角，两点之间线段最短问题． 17. 由题意可得，，由中线的性质得，故可求得，即可求得． 本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段． 18. 【分析】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理推论，正确作出图形并对作图证明，是解题的关键． 根据题意作出图形即可； 根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论． 19. 先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； 利用平方差公式因式分解即可． 本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 20. 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、解此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先证明，，，进而利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等． 21. 方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 22. 【分析】根据旋转的性质可证、，根据可证，根据全等三角形对应角相等可得； 根据全等三角形对应边相等可知，所以可以得到，利用勾股定理求出的长度． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据旋转的性质找到相等的角和边，证明三角形全等，根据全等三角形对应边相等找到线段的长度，再利用勾股定理求出边的长度． 23. 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和两种情况，根据构成三角形的条件先验证是否能构成三角形，再根据三角形周长计算公式求解即可． 24. 解：图中的四边形为正方形，其边长为， 故答案为：； 图从“整体”看是边长为的正方形，因此面积为，图中“中间小正方形”的边长为，因此面积为，图中阴影部分的面积和未，由图形中面积之间的关系可得， 故答案为：； 由可得， ，， ， 或． 根据“拼图”中各个部分之间的关系即可得出答案； 由图形中面积之间的和差关系进行计算即可； 由的结论，代入求出，再根据平方根的定义进行计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 25. 根据题目规定的运算方法，直接代入计算即可； 根据题目规定的运算方法求出，的值，再进一步作差比较即可． 本题主要考查了新定义运算，根据题目所规定的运算方法，列出代数式是解题的关键． 26. 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； 设点关于对称轴的对称点为，由抛物线的对称轴，，得，由点，在对称轴左侧，，且，根据二次函数性质，时，随的增大而减小，则，则当时，，代入即可求解； 由，则对称轴右侧，随的增大而增大；对称轴左侧，随的增大而减小，故点在直线左侧，其对称点为，然后分当点在直线右侧时，当点在直线左侧时两种情况分析即可． 27. 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； 根据题意画出图形即可；作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 28. 解：和如图所示． 根据“关联点”的定义，将点向左平移个单位长度，再作其关于直线的对称点，得到点． ；． ，． 点坐标为． 故答案为：． 点坐标为，点坐标为． 由可得，． 点为点的“关联点”，点相当于这里的点． ，． 坐标为． 故答案为：． 当、、三点作为点时，设点的“关联点”分别为、、． 由可知，． 将、、三点分别与点坐标代入可得： 、、． 连接、、三点，则点的所有的“关联点”形成的图形为的三条边． 如图，，这些所有的关联点组成的图形形状为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 根据，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的四个“关联点”坐标：、、、． 如图所示，矩形四条边即点的“关联点”的轨迹． 、，并且线段上存在点的“关联点”． 线段需与矩形四条边有交点． 当线段与有交点时： ，解得． 当线段与有交点时： ，无解，则没有交点． 当线段与有交点时： 或， 解得，． 因为线段和线段分别在轴下方和上方，不可能有交点． 故的取值范围为：或． 根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系，然后代入、两点坐标即可； 把点看作，然后根据、、三点之间的坐标关系求出点坐标即可． 根据、、三点之间的坐标关系求出点关于、、三点对应的“关联点”的坐标，然后连接这三个对应点，三条边即为点所有“关联点”组成的图形； 同理求出点关于、、、四点对应的“关联点”的坐标，连接四个对应点得到一个矩形，再分别讨论线段和矩形四条边有交点，根据不等式组求出的范围． 本题考查了平面直角坐标系中的新定义问题，涉及到平移和轴对称的性质，“主从运动”模型，解不等式组，分类讨论等知识技能．根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系是解答本题的关键． 第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$