八年级数学第三次月考测试卷【浙教版，测试范围：八上全册】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形的初步知识~一次函数（浙教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如果a是任意实数，则点P（a﹣4，a﹣2）一定不在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．（3分）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（3分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 5．（3分）下列语句不是命题的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不平行的两条直线有一个交点 C．x与y的和等于0吗 D．对顶角不相等 6．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣2，7），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0） B．将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 C．若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＜y2 D．该函数的图象经过第一、二、四象限 7．（3分）已知一次函数y＝（3a﹣1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＜y2，并且图象不经过第三象限，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（　　） A．α B．2α﹣β C．α D．3α﹣β 9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），将点O沿直线yx+b对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O'处，则b的值为（　　） A． B． C． D． 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）三角形ABC中，AB＝5，AC＝13，BC＝12，D为AC的中点，则BD＝　 　． 12．（3分）写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：　 　． 13．（3分）商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款：若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有32元钱，最多可以购买该商品 　 　件． 14．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（﹣2，0），则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为 　 　． 15．（3分）图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多挡位可调节靠椅，挡位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝10分米．挡位为Ⅰ挡时，OD∥AB．挡位为Ⅱ挡时，OD'⊥AC．当靠椅由Ⅰ挡调节为Ⅱ挡时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为 　 　分米． 16．（3分）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）解一元一次不等式（组）． （1）； （2）． 18．（6分）如图，有三个点A（﹣3，2）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）． （1）写出点A1、B1、C1的坐标． （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 　 　；写出B点关于y轴对称的点的坐标 　 　． （3）求三角形ABC的面积． 19．（8分）如图，已知∠AOB和线段MN，点M，N在射线OA，OB上． （1）尺规作图：作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，交于点P，保留作图痕迹，不写作图步骤； （2）连接MP、NP，过P作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C和点D，求证：MC＝ND，请补全下列证明． 证明：∵P在线段MN的垂直平分线上， ∴MP＝NP，（ 　 　） ∵P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD，（ 　 　） 请补全后续证明． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形． （2）若，BE＝2，求线段DB的长． 21．（10分）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1． （1）若点在y1的图象上，求a的值； （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最小值﹣5，求y1的函数表达式； （3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围． 22．（10分）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发匀速运动到B地，先到B地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离y（km）与乙离开A地的时间x（h）之间的函数关系如图所示． （1）乙比甲先出发 　 　小时，甲开轿车的速度是 　 　，第一次相遇的时间在乙出发 　 　小时； （2）求线段PQ对应的函数表达式； （3）当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，求此时乙行驶的时间． 23．（12分）污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 （1）经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元，求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 24．（12分）已知△BAC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，且A，D，E三点在同一条直线上． （1）当△ABC与△BDE在如图1所示位置时，连接CE，求证：∠EBC＝∠EAC； （2）在（1）的条件下，判断AE，CE，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）当△ABC与△BDE在如图2所示的位置时，连接CE，若BE平分∠ABC，AD＝1，求△BCE的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形的初步知识~一次函数（浙教版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，不符合题意； C．图形是轴对称图形，符合题意； D．图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2．（3分）如果a是任意实数，则点P（a﹣4，a﹣2）一定不在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据点P的横坐标小于纵坐标即可得到答案． 【解答】解：∵a﹣4＜a﹣2恒成立， ∴点P的横坐标一定小于点P的纵坐标， 又∵在第一、二、三象限内总有点满足横坐标小于纵坐标，但是在第四象限，横坐标一定大于纵坐标， ∴点P（a﹣4，a﹣2）一定不在第四象限． 故选：D． 3．（3分）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【解答】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6． 则该三角形的周长是14． 故选：C． 4．（3分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（3分）下列语句不是命题的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．不平行的两条直线有一个交点 C．x与y的和等于0吗 D．对顶角不相等 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：“两点之间，直线最短”是命题，故A不符合题意； “不平行的两条直线有一个交点“是命题，故B不符合题意； “x与y的和等于0吗”不是命题，故C符合题意； “对顶角不相等”是命题，故D不符合题意． 故选：C． 6．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣2，7），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0） B．将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 C．若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＜y2 D．该函数的图象经过第一、二、四象限 【分析】由表格数据可求得函数解析式为y＝﹣x+5，与x轴交点应为（5，0），所以A选项错误；函数图象向上平移4个单位长度得到的应该是y＝﹣x+9的图象，所以B选项错误；若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，由函数增减性可知，y1＞y2，所以C选项错误；由解析式可知函数经过一、二、四象限，所以D正确． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5， A、∵当y＝0时，x＝5，∴该函数的图象与x轴的交点坐标是（5，0），原说法错误，不符合题意； B、将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣x+1的图象，原说法错误，不符合题意； C、∵﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，∴若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＞y2，原说法错误，不符合题意； D、∵﹣1＜0，5＞0，∴该函数的图象经过第一、二、四象限，正确，符合题意． 故选：D． 7．（3分）已知一次函数y＝（3a﹣1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＜y2，并且图象不经过第三象限，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数x和y的变化规律得到一次函数的k＜0，图象不经过第三象限，得到一次函数的b＞0或b＝0，建立不等式组求出结果即可． 【解答】解：∵x1＞x2时，有y1＜y2， ∴3a﹣1＜0； 又∵图象不经过第三象限， ∴a≥0， ∴， 解得0≤a 故选：D． 8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（　　） A．α B．2α﹣β C．α D．3α﹣β 【分析】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数． 【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE， ∵CA＝CE，∠ACB＝β， ∴， 在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD ＝180° ＝90°， ∵BA＝BD， ∴， 在△BAD中， ＝2α﹣β． 故选：B． 9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝8，CF＝5，则EF的长度为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】延长AD，使DG＝AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC＝DG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G，由等腰三角形的性质可得BE＝BG＝8，即可求EF的长． 【解答】解：如图，延长AD，使DG＝AD，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 又∵DG＝AD，∠ADC＝∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G， ∵EF＝AF， ∴∠DAC＝∠AEF， ∴∠G＝∠AEF＝∠BEG， ∴BE＝BG＝8， ∴5+AF＝BG＝8， ∴AF＝3＝EF 故选：D． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），将点O沿直线yx+b对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O'处，则b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，设AE是△AOB的角平分线，过点E作EH⊥AB于H，过点O作OT⊥AB于T，交直线yx+b于J．由题意直线yx+b平行AB，想办法求出点J的坐标即可解决问题． 【解答】解：如图，设AE是△AOB的角平分线，过点E作EH⊥AB于H，过点O作OT⊥AB于T，交直线yx+b于J． ∵A（0，3），B（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB5，直线AB的解析式为yx+3， ∵AE平分∠OAB，EO⊥OA，EH⊥AB， ∴OE＝EH，设OE＝EH＝a，则BE＝4﹣a，OA＝AH＝3，BH＝2， 在Rt△BHE中，则有a2+22＝（4﹣a）2， 解得a， ∴E（，0）， ∴直线AE的解析式为y＝﹣2x+3， ∵将点O沿直线yx+b对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O'处， ∴这条直线平行AB，点O′在直线OT上， ∵直线OT的解析式为tx， 由，解得， ∴O′（，）， ∵OJ＝JO′， ∴J（，）， 则有b， 解得b． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）三角形ABC中，AB＝5，AC＝13，BC＝12，D为AC的中点，则BD＝　6.5　． 【分析】由△ABC的三边长，利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，且AC为斜边，再由D为斜边上的中点，得到BD为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出BD的长． 【解答】解：∵AB＝5，BC＝12，AC＝13， ∴AB2+BC2＝25+144＝169，AC2＝132＝169，即AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为以AC为斜边的直角三角形， 又∵D为AC的中点，即BD为斜边上的中线， ∴BDAC＝6.5． 故答案为：6.5． 12．（3分）写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：　内错角相等，两直线平行　． 【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题． 【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等 ∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行． 13．（3分）商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款：若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有32元钱，最多可以购买该商品 　12　件． 【分析】利用不等关系式：5件按原价付款数+超过5件的总钱数≤32，列出不等式解答即可． 【解答】解：设可以购买x件该商品． 3×5+（x﹣5）×3×0.8≤32． 解得x≤12， 因为x是整数， 所以x＝12． 即最多可以购买该商品12件． 故答案为：12． 14．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2），与x轴交于点B（﹣2，0），则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为 　﹣2＜x＜﹣1　． 【分析】写出直线y＝kx+b在x轴上方和直线y＝mx下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当x＞﹣2时，kx+b＞0，当x＜﹣1时，kx+b＜mx， 所以关于x的不等式0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1． 故答案为：﹣2＜x＜﹣1． 15．（3分）图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多挡位可调节靠椅，挡位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝10分米．挡位为Ⅰ挡时，OD∥AB．挡位为Ⅱ挡时，OD'⊥AC．当靠椅由Ⅰ挡调节为Ⅱ挡时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为 　2　分米． 【分析】过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，再次证明全等：△ABG≌△DON，△ACG≌△OD'M，便可解决问题． 【解答】解：过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，如图所示， 则OM＝HF，ON＝HE， ∵AB＝AC＝10，BC＝12 ∴BG＝CGBC＝6， ∴AG， ∵AB∥CD，BC∥OM， ∴∠ABG＝∠DON， 在△ABG和△DON中， ， ∴△ABG≌△DON（AAS）， ∴BG＝ON＝HE＝6， ∵OD'⊥AC． ∴∠D'OM+∠MOC＝90°， ∵OM∥BC， ∴∠MOC＝∠ACG， ∵∠ACG+∠CAG＝90°， ∴∠CAG＝∠D'OM， 在△ACG和△OD'M中， ， ∴△ACG≌△OD'M（AAS）， ∴AG＝OM＝HF＝8， ∴EF＝HF﹣HE＝8﹣6＝2（dm）， 故答案为：2． 16．（3分）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　64　． 【分析】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可． 【解答】解：如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFDAD•DF12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解一元一次不等式（组）． （1）； （2）． 【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，求出不等式的解集即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组的解集的口诀“大小小大中间找”进行判断即可． 【解答】解：（1）， 4（1﹣x）≤12﹣3（2x﹣1）， 4﹣4x≤12﹣6x+3， 4﹣4x≤15﹣6x， ﹣4x+6x≤15﹣4， 2x≤11， x≤5.5； （2）． 由①得：3x+2≤7﹣1+x， 3x+2≤6+x， 3x﹣x≤6﹣2， 2x≤4， x≤2， 由②得：6﹣3（x﹣1）＞2（x+2）﹣6x， 6﹣3x+3＞2x+4﹣6x， 9﹣3x＞4﹣4x， 4x﹣3x＞4﹣9， x＞﹣5， ∴不等式组的解集为：﹣5＜x≤2． 18．（6分）如图，有三个点A（﹣3，2）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）． （1）写出点A1、B1、C1的坐标． （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 　（﹣3，﹣2）　；写出B点关于y轴对称的点的坐标 　（5，1）　． （3）求三角形ABC的面积． 【分析】（1）由平移之后点P的对应点为P1的坐标即可知平移的方式，即可得出点A1、B1、C1的坐标； （2）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可解答； （3）利用矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由平移之后点P的对应点为P1的坐标即可知， △ABC先向右平移5个单位，又向上平移2个单位， ∴A1（2，4），B1 （0，3），C1（3，2）； （2）A点关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），B点关于y轴对称的点的坐标为（5，1）， 故答案为：（﹣3，﹣2），（5，1）； （3）由题意得： △ABC的面积＝3×21×21×21×3， ∴△ABC的面积为． 19．（8分）如图，已知∠AOB和线段MN，点M，N在射线OA，OB上． （1）尺规作图：作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，交于点P，保留作图痕迹，不写作图步骤； （2）连接MP、NP，过P作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C和点D，求证：MC＝ND，请补全下列证明． 证明：∵P在线段MN的垂直平分线上， ∴MP＝NP，（ 　线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等　） ∵P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD，（ 　角平分线上的点到角的两边距离相等　） 请补全后续证明． 【分析】（1）根据垂直平分线和角平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据HL证明Rt△PCM≌Rt△PDN即可． 【解答】解：（1）∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，如图所示． （2）证明：∵P在线段MN的垂直平分线上， ∴MP＝NP，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD，（角平分线上的点到角的两边距离相等）， ∵△PCM和△PDN为直角三角形， ∴Rt△PCM≌Rt△PDN（HL）， ∴MC＝ND． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到角的两边距离相等． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F． （1）求证：△ADF是等腰三角形． （2）若，BE＝2，求线段DB的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D＝∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论； （2）过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH＝FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，在Rt△BEF中，根据勾股定理求出EF，即可求出DE，最后利用勾股定理可得答案． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BFE， ∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠D＝∠DFA， ∴AD＝AF， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：过A作AH⊥DE于H， ∵DE⊥BC， ∴∠AHF＝∠BEF＝90°， 由（1）知，AD＝AF， ∴DH＝FH， 在△AFH和△BFE中， ， ∴△AFH≌△BFE（AAS）， ∴FH＝EF， ∴DH＝FH＝EF， 在Rt△BEF中， ∵BF，BE＝2， ∴EF3， ∴DE＝3EF＝9， ∴BD． 21．（10分）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1． （1）若点在y1的图象上，求a的值； （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最小值﹣5，求y1的函数表达式； （3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围． 【分析】（1）把（1，）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中可求出a的值； （2）讨论：当a﹣1＞0，即a＞1时，根据一次函数的性质得到x＝﹣2时，y＝﹣5，然后把（﹣2，﹣5）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；当a﹣1＜0，即a＜1时，利用一次函数的性质得到x＝3时，y＝﹣5，然后把（3，﹣5）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式； （3）先整理得到y2＝（m+1）x+m+1，再对一切实数x，y1＜y2都成立，则直线y1与y2平行，且y2在y1的上方，所以a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，从而得到a，m需满足的数量关系及a的取值范围． 【解答】解：（1）把（1，）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得a﹣1﹣2a+1， ∴a； （2）当a﹣1＞0，即a＞1时，则x＝﹣2时，y＝﹣5， 把（﹣2，﹣5）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得﹣2（a﹣1）﹣2a+1＝﹣5， 解得a＝2， 此时一次函数解析式为y1＝x﹣3； 当a﹣1＜0，即a＜1时，则x＝3时，y＝﹣5， 把（3，﹣5）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得3（a﹣1）﹣2a+1＝﹣5， 解得a＝﹣3， 此时一次函数解析式为y1＝﹣4x﹣5； （3）y2＝（m+1）（x﹣1）+2＝（m+1）x﹣m+1， ∵对一切实数x，y1＜y2都成立， ∴a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1， ∴a＝m+2且a＞﹣2且a≠1． 22．（10分）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发匀速运动到B地，先到B地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离y（km）与乙离开A地的时间x（h）之间的函数关系如图所示． （1）乙比甲先出发 　1　小时，甲开轿车的速度是 　60　，第一次相遇的时间在乙出发 　1.8　小时； （2）求线段PQ对应的函数表达式； （3）当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，求此时乙行驶的时间． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据题意，当甲、乙两人只有一人在行驶时，实际上就是乙一个人在行驶，故分甲没有出发时和甲到达B地时两种情况，列方程求出x的值． 【解答】解：（1）由图象可知，乙比甲先出发1小时； 由图象知，甲2小时到达B地， ∴甲开轿车的速度为60（千米/小时）； 由图象知，乙的速度为千米/小时， 设第一次相遇的时间在乙出发x小时， 根据题意得：60（x﹣1）x， 解得x＝1.8， ∴第一次相遇的时间在乙出发1.8小时． 故答案为：1；60；1.8； （2）根据题意，n＝34.5， ∴Q（4.5，0）， 设线段PQ对应的函数表达式为y＝kx+b， 把P，Q坐标代入解析式得：， 解得， ∴线段PQ对应的函数表达式为yx+120； （3）①甲没有出发时， 根据题意得：x＝30， 解得x1， 不合题意； ②甲到达B地时， 根据题意得：120x＝30， 解得x． 综上所述，当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，乙行驶的时间为小时． 23．（12分）污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 （1）经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元，求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【分析】（1）根据等量关系列出方程组求解即可求解． （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，根据不等关系列出不等式，并不等式，根据x取正整数，进而可求解； （3）根据不等关系列出不等式，根据x取正整数，进而可求解； 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（12﹣x）台，根据题意得， 6x+3（12﹣x）≤50， ∴， ∵x取正整数， ∴x＝1、2、3、4， ∴12﹣x＝11、10、9、8， ∴有四种购买方案： ①A型设备1台，B型设备11台； ②A型设备2台，B型设备10台； ③A型设备3台，B型设备9台； ④A型设备4台，B型设备8台． （3）由题意：220x+180（12﹣x）≥2260， ∴x≥2.5， 又∵， ∴， ∵x取正整数， ∴x为3，4． 当x＝3时，购买资金为3×6+9×3＝45（万元）， 当x＝4时，购买资金为4×6+8×3＝48（万元）， 45＜48， ∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台． 24．（12分）已知△BAC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，且A，D，E三点在同一条直线上． （1）当△ABC与△BDE在如图1所示位置时，连接CE，求证：∠EBC＝∠EAC； （2）在（1）的条件下，判断AE，CE，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）当△ABC与△BDE在如图2所示的位置时，连接CE，若BE平分∠ABC，AD＝1，求△BCE的面积． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得∠BEA＝∠BCA＝45°，再根据三角形内角和定理得和对顶角性质即可得出结论； （2）过点C作CF⊥AE于点F．证明△ABD≌△CAF（AAS），得BD＝AF，AD＝CF．再根据等腰直角△BDE，得BD＝DE，从而得出AF＝DE，继而得到AD＝EF，EF＝CF，得到△CFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，最后由即可求解． （3）过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F．证明△ABD≌△CAF（AAS），得出BD＝AF，AD＝CF．进而证明AE＝CE．从而求得，，．最后由求解即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形， ∴∠BEA＝∠BCA＝45°． 如图1.1，记BC与AE相交于点O， 则∠BOE＝∠AOC， 在△BEO和△ACO中，∠OBE+∠BOE+∠OEB＝180°，∠OAC+∠AOC+∠OCA＝180°， ∵∠BOE＝∠AOC， ∴∠OBE＝∠OAC， 即∠EBC＝∠EAC； （2）解：．理由如下： 如图1.2，过点C作CF⊥AE于点F． ∵∠ABD+∠DBC＝∠DBC+∠EBC＝45°， ∴∠ABD＝∠EBC． 由（1）知，∠EBC＝∠EAC， ∴∠ABD＝∠EAC， 即∠ABD＝∠CAF． 在△ABD和△CAF中， ， ∴△ABD≌△CAF（AAS）， ∴BD＝AF，AD＝CF． 在等腰直角△BDE中，BD＝DE， ∴AF＝DE， ∴AD+DF＝DF+EF， ∴AD＝EF， ∴EF＝CF， ∴△CFE是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即． （3）解：如图2，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F． ∵∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠CAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAF． 在△ABD和△CAF中， ， ∴△ABD≌△CAF（AAS）， ∴BD＝AF，AD＝CF． 又∵BD＝DE， ∴DE＝AF， ∴AD+AE＝AE+EF， ∴AD＝EF， ∴EF＝CF， ∴△CFE是等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， ∴∠BEC＝180°﹣∠BED﹣∠CEF＝90°． ∵BE平分∠ABC，而在等腰直角△BAC中，∠ABC＝45°， ∴∠CBE＝∠ABE＝22.5°， ∴∠ABD＝∠DBE﹣∠ABE＝22.5°， ∴∠CAF＝22.5°， ∴∠ACE＝∠CEF﹣∠CAF＝22.5°， ∴∠ACE＝∠CAF， ∴AE＝CE． ∵AD＝1， ∴， ∴． 在Rt△BDE中，． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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