高频考点1 全等三角形的判定与性质(浙江期末精选，共43题)-2024-2025学年八年级上学期数学期末高频考点复习卷（浙教版，浙江专用）

高频考点1 全等三角形的判定与性质(浙江期末精选，共43题) 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•鄞州区期末）如图，是△的中线，，分别在，上，且，则与的大小关系判断正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 2．（2023秋•鄞州区期末）如图，△与△中，，，，与交于点，，△的面积为32，则的长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2023秋•婺城区期末）如图，在边长为8的等边中，是的中点，是直线上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结．在点运动过程中，线段的最小值为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•海曙区期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交轴于点．下列结论正确的有　　个： （1）； （2）点的位置不随着点位置的变化而变化，点的坐标是； （3）的度数随着点位置的变化而改变； （4）当点的坐标为，时，四边形的面积与的函数关系式为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋•义乌市期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是　　 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：． A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 二．填空题（共11小题） 6．（2023秋•鄞州区期末）如图，是△外一点，，，，若，则取最小值时，　　． 7．（2023秋•江北区期末）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，连接，，，．若，，则的长为 　　． 8．（2023秋•浦江县期末）在中，，，是斜边上的两点，且．现将绕点旋转后得到，连，有下面结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是 　　． 9．（2023秋•台州期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则　　度． 10．（2023秋•义乌市期末）如图，在△中，，，，点是边上的一点，且，点是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边△，连接． （1）当点与点重合时， 　　． （2）在点运动过程中，线段的最小值为 　　． 11．（2023秋•南浔区期末）如图，已知是边长为2的等边三角形，点为高上的动点．连结，将线段绕点顺时针旋转得到．连结，，，则的最小值是 　　． 12．（2023秋•上虞区期末）如图，已知等边的边长为4，过边上一点作于点，是延长线上一点，且，连结交于点，则的长为 　　． 13．（2023秋•东阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则　　． 14．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 　　． 15．（2023秋•衢江区期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 　　；若，的面积为4，则的面积是 　　． 16．（2023秋•路桥区期末）如图，在中，，为的中点，已知点在直线上运动，连接，以为边向右侧作等腰直角三角形． （1）若，当点落在边上时，则的度数为 　　； （2）若，，连接，则的最小值是 　　． 三．解答题（共27小题） 17．（2023秋•宽城区期末）如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，． （1）求证：△△． （2）若，求的度数． 18．（2023秋•婺城区期末）如图，在中，，是高和高的交点． （1）求证：． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 19．（2023秋•婺城区期末）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点在△的边上，给出下列三个条件：①平分；②；③．由哪两个条件可以判定？（用序号写出所有成立的情形） 【推理论证】请选择上述情形中的一种情况，给出证明． 【应用内化】如图2，在△中，，，是角平分线，过点作的垂线交、分别于点、．若，则　　；　　．（结果用含，的代数式表示）． 20．（2023秋•浦江县期末）如图，在四边形中，，点，分别在，上，，，求证：． 21．（2023秋•台州期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 22．（2023秋•舟山期末）如何仅用刻度尺平分一个角？ 【提出问题】仅用一把刻度尺，平分． 【设计方案】如图，已知，用刻度尺分别在，上取，，连结，相交于点，过点，作射线，则射线平分． 【解决问题】在和中， ①， 　　②， ， ，， ， ，，， ， ， ，，， ， 　　　　③， 即射线平分． ★请同学们在①、②、③处补全缺失的证明过程． 23．（2023秋•舟山期末）如图，于点，于点，与交于点，，，并连接． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 24．（2023秋•义乌市期末）如图，在等腰中，，分别过点，作，，使，连接，，． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）若，，求的长． 25．（2023秋•嵊州市期末）已知，如图，点，，在同一条直线上，，，．连接，交于点，并分别交，于点，．求证： （1）． （2）． 26．（2023秋•嵊州市期末）如图，在中，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 27．（2023•浙江模拟）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． （1）证明：； （2）当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心向下滑动的距离是多少？ 28．（2023秋•松阳县期末）如图，在四边形中，，，求证：． 29．（2023秋•松阳县期末）已知：如图，在中，于点，是上一点，连结交点于点，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． 30．（2023秋•上虞区期末）如图，已知，平分．求证：． 31．（2024春•鄄城县期末）【阅读材料】学完“全等三角形”和“图形的轴对称”等内容后，小敏做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点，分别在，上，且．连结，交于点．求证：． 小敏完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】填空：的度数为 　　； 【拓展探究】做完该题后，小敏又进行了如下思考： 在上题中，若点，分别在，的延长线上，的延长线与交于点，其他条件不变． （1）是否仍成立？ （2）的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并说明理由． 32．（2023秋•莲都区期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 33．（2023秋•开化县期末）如图，已知点，分别在和上，，，求证：． 34．（2023秋•新昌县期末）如图，，连结交于点，． （1）求证：． （2）求证：． 35．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，是的中点，，，点，分别为垂足，求证：． 针对这道题，三位同学进行了如下讨论 小温：“需要利用全等证明．” 小州：“要证垂线段相等，我想到了角平分线．” 小市：“我觉得你们都对，但还有别的方法．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 36．（2023•浙江模拟）如图，点、在上，，，．求证：． 37．（2023秋•路桥区期末）如图，是的外角的平分线上一点，． （1）求证：； （2）若是等腰直角三角形，，，与交于点，求证：． 38．（2023秋•武义县期末）如图，已知平分，，，延长至点使得，连结． （1）若，求的度数． （2）若，，求的周长． 39．（2023秋•武义县期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）设，交于点，求的长． 40．（2023秋•衢州期末）如图，点在的边上，交于点，，． （1）求证：． （2）若，． ①求的度数（用含的代数式表示）． ②当，时，求的长． 41．（2023•浙江模拟）如图，在△和△中，点、、、在同一条直线上，已知，以及可以选择的条件①；②；③． （1）选择 　　条件（选一个，填序号）使得△△，并给出证明． （2）若边与交于点，，，求的长． 42．（2023•浙江模拟）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 43．（2023秋•玉环市期末）如图，于，于，若、． （1）求证： （2）求证：平分； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高频考点1 全等三角形的判定与性质(浙江期末精选，共43题) 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•鄞州区期末）如图，是△的中线，，分别在，上，且，则与的大小关系判断正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】可延长至，使，连接，连接，将转化为，转化为，进而在△中即可得出结论． 【解答】解：延长至，使，连接，， 是△的中线， ， 在△和△中， ， △△， ， ，， ， 在△中，． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形三边关系，解答本题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 2．（2023秋•鄞州区期末）如图，△与△中，，，，与交于点，，△的面积为32，则的长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】 【分析】连接，证明△△，得到，证明，可证明△△，再利用面积的转换，即可解答． 【解答】解：如图，连接， ，，， ， ， ， ， ， 即， 在△和△中， ， △△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故可得， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2023秋•婺城区期末）如图，在边长为8的等边中，是的中点，是直线上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连结．在点运动过程中，线段的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，在的延长线上取点，使得，根据全等三角形的性质可得出点的运动轨迹，据此可解决问题． 【解答】解：连接并延长，在的延长线上取点，使得，连接， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ， 则点在与夹角为的直线上运动． 过点作的垂线，垂足为， 当点在点时，取得最小值． 延长与的延长线交于点， ，， ． 在中， ， ， ． 在中， ， ， 即的最小值为． 故选：． 【点评】本题考点旋转的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短，能通过全等三角形的性质得出点的运动轨迹是解题的关键． 4．（2023秋•海曙区期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交轴于点．下列结论正确的有　　个： （1）； （2）点的位置不随着点位置的变化而变化，点的坐标是； （3）的度数随着点位置的变化而改变； （4）当点的坐标为，时，四边形的面积与的函数关系式为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】（1）易证，即可证明，即可解题； （2）根据（1）容易得到，然后在中根据直角三角形，所对的直角边等于斜边的一半可以得到，从而得到的坐标是固定的． （3）根据可得，可得的度数不会随着点位置的变化而改变；即可证明该结论错误； （4）根据，可得四边形的面积，即可解题． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，， 又是等边三角形 ，， ， 即， 在和中， ， ；（1）正确； （2）， ， 又， ， 中， ， ， ， ， 点的位置不会发生变化，的坐标为；（2）正确； （3）， ， 的度数不会随着点位置的变化而改变；（3）错误； （4）， 四边形的面积 ，故（4）正确； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证是解题的关键． 5．（2023秋•义乌市期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是　　 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：． A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】 【分析】根据尺规作图痕迹可知，为的角平分线，为的垂线，可得，可判断结论Ⅱ，再由，，可得结论Ⅰ正确． 【解答】解：由尺规作图痕迹可知， 为的角平分线，为的垂线， ，为直角三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 故结论Ⅱ正确； ， ， ， 故结论Ⅰ正确， 故选：． 【点评】本题考查角平分线和垂线段的画法以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 二．填空题（共11小题） 6．（2023秋•鄞州区期末）如图，是△外一点，，，，若，则取最小值时，　　． 【答案】． 【分析】延长，交于点，得到，再通过线段的转换得到，过点作的垂线段，且使，证明△△，根据两点之间线段最短得到，，三点共线时，取得最小值，以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，过点，作轴的垂线段，交轴于点，，求得点坐标，即可计算的值，即可解答． 【解答】解：如图，延长，交于点， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 过点作的垂线段，且使， ，， △△， ， ， 取最小值时，取最小值，即，，三点共线时，取得最小值， 以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，过点，作轴的垂线段，交轴于点，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， ，， ， 设，则， 根据勾股定理可得，可得， 解得， ， 设的解析式为， 把代入可得， 解得， 的解析式为， 联立方程组， 解得， ， ， 根据勾股定理可得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求一次函数及其交点坐标，坐标与图形，作出正确的辅助线，利用建立直角坐标系的方法求得的长，是解题的关键． 7．（2023秋•江北区期末）如图，在正方形中，为对角线，的交点，，分别为边，上一点，连接，，，．若，，则的长为 　2　． 【答案】2． 【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点作，解三角形即可得出的长，进而可求出的长． 【解答】解：在正方形中，和为对角线， ，，， ， ； ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 过点作于，如图， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系等相关知识，解题关键是得出是等腰直角三角形． 8．（2023秋•浦江县期末）在中，，，是斜边上的两点，且．现将绕点旋转后得到，连，有下面结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是 　①②④　． 【答案】①②④． 【分析】①根据旋转的性质知，，由，，可求出，即可求出，由此即可证明； ②证明，即可判断； ③由旋转可知，由三角形三边关系得到．又由，即可判断． ④由，在中，，又有，即可判断． 【解答】解：根据旋转的性质知，， ，， ． ， 在和中， ， ； 故①正确； 在中，， ，， 由可知，，，， ， 故②正确； 由旋转可知， ． ， ． 故③错误； ， 在中，， ； ， ， 故④正确， 综上，正确的为①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了作图旋转变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 9．（2023秋•台州期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则　25　度． 【答案】25． 【分析】过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质得到，然后得到，得到，然后根据等边对等角得到的度数即可解题． 【解答】解：如图，过点作于点，作于点， 点是平分线上的一点， ，， 又，， ， ， ， 又，， ， ， ， 故答案为：25． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，作出适当辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 10．（2023秋•义乌市期末）如图，在△中，，，，点是边上的一点，且，点是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边△，连接． （1）当点与点重合时， 　　． （2）在点运动过程中，线段的最小值为 　　． 【分析】（1）当点与点重合时，过点作于点，根据等边三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，即可； （2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，证明△△，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点与点重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【解答】解：（1）当点与点重合时，过点作于点，如图所示： △为等边三角形，，， ，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，如图所示： △和△为等边三角形， ，，， ， 即， △△， ， 当最小时，最小， 垂线段最短， 最小， 当点与点重合时，最小，即最小， ，， ， ， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 11．（2023秋•南浔区期末）如图，已知是边长为2的等边三角形，点为高上的动点．连结，将线段绕点顺时针旋转得到．连结，，，则的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，当时，取得最小值，根据直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：为高上的动点，是边长为2的等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 点在射线上运动， 当时，取得最小值， 此时，的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质是解题的关键． 12．（2023秋•上虞区期末）如图，已知等边的边长为4，过边上一点作于点，是延长线上一点，且，连结交于点，则的长为 　2　． 【答案】2． 【分析】过作交于，得出等边三角形，进而得，再由等腰三角形性质得，然后证明证，得，进而证明，即可得出结论． 【解答】解：如图，过作交于， ，等边的边长为4， ，，，，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 13．（2023秋•东阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则　　． 【答案】． 【分析】如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【解答】解：如图， 由图可知：，，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【分析】作轴于点，轴于点，则，所以，即可证明，得，，所以，则． 【解答】解：作轴于点，轴于点，则， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 点的坐标是， 故答案为：． 【点评】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 15．（2023秋•衢江区期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 　3　；若，的面积为4，则的面积是 　　． 【答案】（1）3； （2）． 【分析】依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【解答】解：且 由外角定理可得， 又， ， 在和中， ． ， ， ， 的面积为4， ， ， 的面积是 故答案为：3，． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（2023秋•路桥区期末）如图，在中，，为的中点，已知点在直线上运动，连接，以为边向右侧作等腰直角三角形． （1）若，当点落在边上时，则的度数为 　36　； （2）若，，连接，则的最小值是 　　． 【答案】（1）36； （2）． 【分析】（1）根据题意得，，即可求出的度数； （2）过点作，交于点，过点作，交于点，连接，，用勾股定理求出，由为的中点，得到，，由，得当点，，三点共线时，即点，重合时，有最小值，有最小值，证明利，得到，由即可得出结果． 【解答】解：（1）在中，，， ， 点落在边上时，是等腰直角三角形，， ， ， 故答案为：36； （2）如图，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，， 在中，，，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 当点，，三点共线时，即点，重合时，有最小值，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质、直角三角形的特征，轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 三．解答题（共27小题） 17．（2023秋•宽城区期末）如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，． （1）求证：△△． （2）若，求的度数． 【分析】（1）由“”可证△△； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 【解答】（1）证明：， ， ； 在△和△中， ， △△； （2）解：由（1）可知：△△， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18．（2023秋•婺城区期末）如图，在中，，是高和高的交点． （1）求证：． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据同角的余角相等解答即可； （2）根据证明三角形全等即可． 【解答】（1）证明：是高和高的交点， ， ； （2）解：，， ， 在与中， ， ． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据证明三角形全等解答． 19．（2023秋•婺城区期末）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点在△的边上，给出下列三个条件：①平分；②；③．由哪两个条件可以判定？（用序号写出所有成立的情形） 【推理论证】请选择上述情形中的一种情况，给出证明． 【应用内化】如图2，在△中，，，是角平分线，过点作的垂线交、分别于点、．若，则　　；　　．（结果用含，的代数式表示）． 【答案】（1）①②或②③或①③， 证明见解析； （2），． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，求得，得到．于是得到结论． 【解答】解：（1）①②或②③或①③， 证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）是角平分线， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ，，， ， ， ， ， ． ． 故答案为：，． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． 20．（2023秋•浦江县期末）如图，在四边形中，，点，分别在，上，，，求证：． 【分析】连接，先利用证明，可得，再利用证明即可得结论． 【解答】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 21．（2023秋•台州期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得，然后根据线段的和差得到． 【解答】解：， ，即， 又， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，然后证明是解题的关键． 22．（2023秋•舟山期末）如何仅用刻度尺平分一个角？ 【提出问题】仅用一把刻度尺，平分． 【设计方案】如图，已知，用刻度尺分别在，上取，，连结，相交于点，过点，作射线，则射线平分． 【解决问题】在和中， ①， 　　②， ， ，， ， ，，， ， ， ，，， ， 　　　　③， 即射线平分． ★请同学们在①、②、③处补全缺失的证明过程． 【答案】；；；；． 【分析】首先利用证得，保护层出，进而利用推导出，得到，最后推导出，进而得证． 【解答】证明：在和中， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ，，， ， ， 即射线平分， 故答案为：；；；；． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是先证得，再证、． 23．（2023秋•舟山期末）如图，于点，于点，与交于点，，，并连接． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）10． 【分析】（1）证得，根据可得是等腰三角形，再由“三线合一”可得平分； （2）证得，根据即可求解． 【解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ， ，是等腰三角形， 点是两条高，的交点， 根据“三线合一”可得平分； （2）解：平分， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 24．（2023秋•义乌市期末）如图，在等腰中，，分别过点，作，，使，连接，，． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）证明，得出，，证明，即可证明结论； （2）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出． 【解答】（1）证明：，， ， 在等腰中，， 又， ， ，， ， 即， 是等腰直角三角形． （2）解：， 根据勾股定理得：， ， ， 解得：，负值舍去， ， ， ， 根据勾股定理得：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和勾股定理． 25．（2023秋•嵊州市期末）已知，如图，点，，在同一条直线上，，，．连接，交于点，并分别交，于点，．求证： （1）． （2）． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【分析】（1）由根据等式的性质就可以得出，再由就可以得出； （2）由，就可以得证明：出，再根据三角形内角和定理就可以得出结论． 【解答】证明：（1）， ， ． 在和中， ， ； （2）， ， ，，， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形内角和定理，解答时证明三角形全等是关键． 26．（2023秋•嵊州市期末）如图，在中，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据证明得即可证明； （2）由等腰三角形的性质得，求出，利用含30度角的性质得，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：，， ． ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 27．（2023•浙江模拟）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． （1）证明：； （2）当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心向下滑动的距离是多少？ 【答案】（1）证明见解答过程； （2）发射中心向下滑动的距离是． 【分析】（1）根据可证明，即可得出结论； （2）先求出的长，再根据的直角三角形的性质求出的长，最后由线段的差可得结论． 【解答】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ， ； （2）解：是等边三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 答：发射中心向下滑动的距离是． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，含的直角三角形的性质和等边三角形，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键． 28．（2023秋•松阳县期末）如图，在四边形中，，，求证：． 【分析】连接，利用证得，得出答案即可． 【解答】证明：如图， 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定的基本方法是解决问题的关键． 29．（2023秋•松阳县期末）已知：如图，在中，于点，是上一点，连结交点于点，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）利用证明△，即可； （2）利用，得，从而证得，即可得出结论； （3）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， △． （2）证明：， ， ， ， ． （3）解：△， ， ，， ，， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握三角形的面积，勾股定理是解题的关键． 30．（2023秋•上虞区期末）如图，已知，平分．求证：． 【答案】证明见解答过程． 【分析】由平分，得出，利用证明，由全等三角形的性质即可证明． 【解答】证明平分， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 31．（2024春•鄄城县期末）【阅读材料】学完“全等三角形”和“图形的轴对称”等内容后，小敏做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点，分别在，上，且．连结，交于点．求证：． 小敏完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】填空：的度数为 　　； 【拓展探究】做完该题后，小敏又进行了如下思考： 在上题中，若点，分别在，的延长线上，的延长线与交于点，其他条件不变． （1）是否仍成立？ （2）的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并说明理由． 【分析】【阅读材料】由等边三角形的性质得，，再由证明即可； 【解决问题】由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质即可得出结论 【拓展探究】（1）由等边三角形的性质得，，，再由证明即可； （2）由等边三角形的性质得，再由，，即可得出结论． 【解答】【阅读材料】证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ； 【解决问题】解：， ， ， 故答案为：； 【拓展探究】解：（1）仍成立．理由如下： 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ； （2）的度数仍为定值．理由如下： 由（1）可知，， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 32．（2023秋•莲都区期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）先证得，再利用即可证得和全等； （2）根据已知先求出的度数，再根据三角形外角的性质得出，即可求解． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是的一个外角， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 33．（2023秋•开化县期末）如图，已知点，分别在和上，，，求证：． 【分析】由，，，根据“”证明△△，得． 【解答】证明：在△和△中， ， △△， ． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△△是解题的关键． 34．（2023秋•新昌县期末）如图，，连结交于点，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）详见解析； （2）详见解析． 【分析】（1）根据等角对等角证明，进而证明． （2）根据全等三角形的性质可证，结合，根据等腰三角形三线合一即可证明． 【解答】证明：（1）． ． 又，， ． （2）． ． 为的角平分线． ， ，即． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是关键． 35．（2023秋•柯桥区期末）如图，在中，，是的中点，，，点，分别为垂足，求证：． 针对这道题，三位同学进行了如下讨论 小温：“需要利用全等证明．” 小州：“要证垂线段相等，我想到了角平分线．” 小市：“我觉得你们都对，但还有别的方法．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】证明过程见解答． 【分析】小温的方法：由得，由，，点，分别为垂足得，又因为，所以可以通过证明证明； 小州的方法：连结，根据等腰三角形的“三线合一”性质证明平分，再根据解平分线的性质证明； 小市的方法：连结，根据列等式，证明． 【解答】小温的证明方法：如图，， ， ，，点，分别为垂足， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ． 小州的证明方法：如图，连结， ，是的中点， ， ，，点，分别为垂足， ． 小市的证明方法：如图，连结， ，是的中点， ， ， ， ，，点，分别为垂足， ，， ， ． 【点评】此题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、利用面积等式解题等知识与方法，此题综合性较强，解题方法较多． 36．（2023•浙江模拟）如图，点、在上，，，．求证：． 【分析】可通过证，来得出的结论． 【解答】证明：， ， 即； 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 37．（2023秋•路桥区期末）如图，是的外角的平分线上一点，． （1）求证：； （2）若是等腰直角三角形，，，与交于点，求证：． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【分析】（1）过点作于点，作于点，首先根据角平分线的性质定理证明，再利用“”证明，即可证明结论； （2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，再证明，结合三角形外角的性质即可证明，进而证明结论． 【解答】证明：（1）如图，过点作于点，作于点， ， 平分，，， ， 又， ， ； （2）， ， ，， ， ， 又平分， ， ， ， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 38．（2023秋•武义县期末）如图，已知平分，，，延长至点使得，连结． （1）若，求的度数． （2）若，，求的周长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据角平分线定义求出，再根据三线合一得出答案； （2）证明，可得，，根据三线合一求出，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：（1），平分， ， ，， ； （2）解：平分， ， ，， ， 又， ， ，， ，， ， 在中，， 的周长． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是关键． 39．（2023秋•武义县期末）如图是小明爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．请利用你所学的数学知识解决下列问题． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）设，交于点，求的长． 【答案】（1），理由见详解； （2）． 【分析】（1）根据勾股定理直接证明相等，结合边边边判定得到即可得到证明垂直； （2）根据面积列等式求解即可得到答案． 【解答】解：（1），理由如下， 连接，由图可得， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）得， ， ， ． 【点评】本题考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，等面积法求线段长，正确记忆相关知识点是解题关键． 40．（2023秋•衢州期末）如图，点在的边上，交于点，，． （1）求证：． （2）若，． ①求的度数（用含的代数式表示）． ②当，时，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）①；②． 【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据全等三角形的判定定理证明，得； （2）①设，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，根据求出结果即可； ②过点作于点，根据等腰三角形性质求出，根据勾股定理求出，最后求出即可得出答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ． （2）解：①设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②过点作于点，如图所示： ，， ， ， ，， ， ，， ， ． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论等知识，证明是解题的关键． 41．（2023•浙江模拟）如图，在△和△中，点、、、在同一条直线上，已知，以及可以选择的条件①；②；③． （1）选择 　③（答案不唯一）　条件（选一个，填序号）使得△△，并给出证明． （2）若边与交于点，，，求的长． 【答案】（1）③（答案不唯一），证明见解析； （2）． 【分析】（1）选择③（答案不唯一），由证得△△即可； （2）由△△，得出，则，即可得出答案． 【解答】解：（1）选择③（答案不唯一），证明如下： 在△和△中， ， △△， 故答案为：③（答案不唯一）； （2）△△， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 42．（2023•浙江模拟）如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 【分析】由，得到，继而求出，可证明，所以可得出结论． 【解答】证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查三角形全等的性质和判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 43．（2023秋•玉环市期末）如图，于，于，若、． （1）求证： （2）求证：平分； 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出； （2）根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的判定定理得出即可得解． 【解答】证明：（1），， ， 在和中， ， ， （2），， 平分； 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$