周末小金卷14-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·21　 · 周末小金卷十四 (考试范围:2. 4~ 2. 5) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 如图,线段 AB= 10 cm,点 P 在线段 AB 上(不与点 A,B 重合),以 AP 为边作正方形 APCD. 设 AP = x cm,BP = y cm,正方形 APCD 的面积为 S cm2,则 y 与 x,S 与 x 满 足的函数关系分别为 (　 　 ) A. 一次函数关系,二次函数关系 B. 反比例函数关系,二次函数关系 C. 一次函数关系,反比例函数关系 D. 反比例函数关系,一次函数关系 2. 二次函数 y= x2 +x-3 的图象与 x 轴的交点有 (　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3. 小强在一次训练中,掷出的实心球飞行高度 y(米)与水平距离 x(米)之间的关系 大致满足二次函数 y= - 1 3 x2 + 8 3 x+3,则小强此次成绩为 (　 　 ) A. 8 米 B. 9 米 C. 10 米 D. 12 米 4. 下表是一组二次函数 y= x2 +3x-5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值: x 1 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 y -1 -0. 49 a 0. 59 1. 16 那么方程 x2 +3x-5 = 0 的一个近似根的取值范围为 (　 　 ) A. 1<x<1. 1 B. 1. 1<x<1. 2 C. 1. 2<x<1. 3 D. 1. 3<x<1. 4 5. 将进货单价为 30 元的某种商品按零售价 100 元 1 件卖出时,每天能卖出 20 件. 若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元,其日销售量就增加 1 件,为了获 得最大的利润,则应降价 (　 　 ) A. 5 元 B. 15 元 C. 25 元 D. 35 元 6. 抛物线 y= (x-a)(x-b) +2(a<b)与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m 和 n,且 m<n. 下列结论正确的是 (　 　 ) A. a<m<n<b B. a<m<b<n C. m<a<b<n D. m<a<n<b 7. 若抛物线 y= (x-1) 2 +t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 4,则 t 的值是 (　 　 ) A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 8. (新素养·应用意识)如图,小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 y = -0. 2x2 +3. 5 的一部分,若命中篮圈中心,则他与篮圈 底的距离 l 是 (　 　 ) A. 3 m B. 3. 5 m C. 4 m D. 4. 5 m 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. 用一段长 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为 18 m,设这个矩形 的宽为 x m,则矩形面积 S 随 x 变化的函数表达式为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 14 题图 10. 若方程 ax2 +bx+c= 0(a>0)的两个根分别是-3 和 1,则对于二次函数 y=ax2 +bx+c, 当 y>0 时,x 的取值范围是　 　 　 　 . 11. 若抛物线 y= x2 +2x+m 与 x 轴有两个交点,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 12.已知某商品的进价为每件 40 元.现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件. 市场调查反映:如调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件. 定价为　 　 　 元才能使利润最大. 13. (教改题)一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面的宽度是 4 m 时,拱顶距离水 面是 2 m. 当水面下降 1 m 后,水面宽度是　 　 　 　 m. (结果保留根号) 14. 如图,抛物线 y= x2 -4x+3 与 x 轴分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,在其对称轴上有一动点 M,连接 MA,MC,AC,则△MAC 周长的最小 值是　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、解答题(共 44 分) 15. (10 分)已知抛物线 y= -x2 -bx+c 与 x 轴交于点 A( -3,0)和点 C,与 y 轴交于点 B(0,3) . (1)求抛物线的表达式; (2)在第二象限的抛物线上,是否存在一点 Q,使得△ABQ 的面积最大? 若存 在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 16. (11 分)如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴的交点分别为 A,B,与 y 轴的正 半轴交于点 C. 已知抛物线的顶点坐标为(1,4),点 B 的坐标为(3,0) . (1)求该抛物线的表达式; (2)在该抛物线上能否找到一点 P,使 PO=PC? 若能,请求出点 P 的坐标;若不 能,请说明理由. 17. 如图,某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池,喷水池的正中心有一个竖直 的立柱,从立柱的顶端向外喷水,喷出的水恰好落在喷水池的边缘处,已知喷出 的水柱为相同的抛物线,且在距离水池中心 3 米处达到最大高度为 5 米,以水 池直径所在的直线为 x 轴,立柱所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 　 (1)求水柱所在抛物线的函数表达式; (2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高 1. 8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内? 请说明理由. 18. (12 分)(新素养·推理能力)如图 1 是某条公路的一个具有两条车道的隧道的 横断面. 经测量,两侧墙 AD 和 BC 与路面 AB 垂直,隧道内侧宽 AB = 8 米. 为了 确保隧道的安全通行,工程人员在路面 AB 上取点 E,测量点 E 到墙面 AD 的距 离 AE,点 E 到隧道顶面的距离 EF. 设 AE= x 米,EF= y 米. 通过取点、测量,工程 人员得到了 x 与 y 的几组值,如表: x /米 0 2 4 6 8 y /米 4. 0 5. 5 6. 0 5. 5 4. 0 (1)根据上述数据,直接写出隧道顶面到路面 AB 的最大距离为　 　 　 　 米,并 求出 y 与 x 满足的函数表达式; (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系,描出以表中各对对应值为坐标的 点,在图 2 中画出可以表示隧道顶面的函数的图象; (3)若如图 3 的汽车在隧道内正常通过时,汽车的任何部位需到左侧墙及右侧 墙的距离不小于 1 米且到隧道顶面的距离不小于 0. 35 米. 按照这个要求, 隧道需标注的限高应为多少米? (结果精确到 0. 1 米) 图 1 　 图 2 　 图 3 ·22·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册 14. m≤1　 【解析】∵ 抛物线 y= -(x-m) 2 -1 中, a= -1<0,∴ 抛物线开口向下. ∴ 在对称轴的右侧,y 的值随 x 值的增大而减小. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=m, ∴ 当 x≥m 时,y 的值随 x 值的增大而减小. ∵ 当 x≥1 时,y 的值随 x 值的增大而减小, ∴ m≤1. 15.解:(1)∵ y= 2x2 -4x+3 = 2(x-1) 2 +1, ∴ 抛物线 C1 的顶点坐标为(1,1) . ∵ y= 3x2 -6x+4 = 3(x-1) 2 +1, ∴ 该抛物线的顶点坐标为(1,1) . ∵ y= -2x2 -4x+3 = -2(x+1) 2 +5, ∴ 该抛物线的顶点坐标为( -1,5) . 又∵ 抛物线 y= 2x2 的顶点坐标为(0,0), ∴ 与 C1 是同位抛物线的是 A. 故答案为 A. (2)∵ y= x2 -2x+c= (x-1) 2 +c-1, ∴ 抛物线 C2 的顶点坐标为(1,c-1) . 又∵ 抛物线 C2 与 C1 是同位抛物线, ∴ c-1 = 1. ∴ c= 2. 16.解:(1)∵ 点 A(1,1)在抛物线 y=ax2 上, ∴ a= 1. ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 . (2)如图,设直线 AB 与 y 轴交于点 C. 当 x= 0 时,y= 0+2 = 2, ∴ 点 C 的坐标为(0,2) . 直线 y= -x+2 与抛物线 y=ax2 的交点坐标是 方程组 y= x2, y= -x+2{ 的解. 解得 x1 = 1, y1 = 1{ 或 x2 = -2, y2 = 4.{ ∴ 点 A 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(-2,4). ∴ S△AOB =S△AOC+S△BOC = 1 2 ×2×1+ 1 2 ×2×2=3. 17.解:(1)在平行四边形 ABCD 中, CD∥AB 且 CD=AB= 4. ∵ 点 D 的坐标为(0,8), ∴ 点 C 的坐标为(4,8) . 令抛物线的表达式为 y=a(x-4) 2 +8. 如图,设抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 H, 则 AH=BH= 1 2 AB= 2. ∵ CD∥AB, ∴ 四边形 DCHO 是矩形. ∴ CD=OH= 4. ∴ OA=OH-AH= 2. ∴ 点 A 的坐标为(2,0). 代入 y=a(x-4) 2 +8 中, 得 a= -2. ∴ 抛物线的表达式为 y = -2(x-4) 2 +8. (2)把 x= 3 代入 y= -2(x-4) 2 +8 中,得 y= 6. ∴ 点 P(3,6)在此抛物线上. 18.解:(1)∵ 抛物线 y=ax2 +bx+4 经过 A(-3,0), B(4,0)两点, ∴ 9a-3b+4 = 0,16a+4b+4 = 0.{ 解得 a= - 1 3 , b= 1 3 . ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 3 x2 + 1 3 x+4. (2)存在点 Q,使得以 A,C,Q 为顶点的三角 形是等腰三角形. 令 x= 0,则 y= 4,∴ 点 C(0,4) . ∵ 点 A( -3,0),C(0,4), ∴ AC= 32 +42 = 5. 设直线 BC 的表达式为 y= kx+b(k≠0) . ∴ 4k+b= 0,b= 4.{ 解得 k= -1, b= 4.{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -x+4. 设点 M(m,0),则点 Q(m,-m+4) . 如图,过点 Q 作 QE⊥y 轴于点 E,连接 AQ. ∴ 点 E(0,-m+4) . ①当 AC=AQ 时,∵ CE2 +EQ2 =CQ2, 即[4-( -m+4)] 2 +m2 = 25, 解得 m= ±5 2 2 (舍去负值) . ∴ 点 Q 5 2 2 ,8 -5 2 2( ) ; ②当 AC=AQ 时,则 AQ=AC= 5. 在 Rt△AMQ 中,由勾股定理,得 AM2 +QM2 = AQ2,即[m-( -3)] 2 +( -m+4) 2 = 25, 解得 m= 1 或 m= 0(舍去) . ∴ 点 Q(1,3) . ③当 CQ=AQ 时,则 CQ2 =AQ2,即 m2 +[4-( -m+4)] 2 = [m-( -3)] 2 +( -m+4) 2, 解得 m= 25 2 (舍去) . 综上,点 Q 的坐标为 5 2 2 ,8 -5 2 2( ) 或(1,3) . 周末小金卷十四 1. A　 2. C　 3. B　 4. B　 5. C　 6. A　 7. A　 8. C 9. S= -2x2 +30x　 10. x<-3 或 x>1　 11. m<1 12. 65　 13. 2 6 14. 10 + 3 2 　 【解析】 如 图,点 A 关于抛物线对称 轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于 点 M,则点 M 为所求点, 此时 MA =MB,△MAC 的 周长=AC+MA+MC = AC+ MB+MC=AC+BC 最小. 令 y= x2 -4x+3 = 0,解得 x= 1 或 3,令 x = 0,则 y= 3, ∴ 点 A,B,C 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3). ∴ AC= 12 +32 = 10 ,BC= 32 +32 = 3 2 . ∴ 此时△MAC 的周长=AC+BC= 10 +3 2 . ∴ △MAC 周长的最小值是 10 +3 2 . 15.解:(1)∵ 抛物线 y=-x2 -bx+c 经过点 A(-3,0) 和点 B(0,3), ∴ -9+3b+c= 0,c= 3.{ 解得 b= 2, c= 3.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 -2x+3. (2)存在. 如图,过点 Q 作 QD⊥x 轴交直线 AB 于点 E, 交 x 轴于点 D. 设直线 AB 的表达式为 y= kx+b(k≠0) . ∵ 直线 AB 经过点 A( -3,0),B(0,3) . 所以 0 = -3k+b, 3 = b.{ 解得 k= 1. b= 3.{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= x+3. 设点 Q 的坐标为(x,-x2 -2x+3), 则点 E 的坐标为(x,x+3), ∴ QE= -x2 -2x+3-(x+3)= -x2 -3x. ∵ 点 A( -3,0),∴ OA= 3. ∴ S△ABQ =S△BQE+S△AQE = 1 2 QE·OA = - 3 2 (x2 +3x)= - 3 2 x+ 3 2( ) 2 +27 8 . ∴ 当 x= - 3 2 时,S△ABQ 取得最大值. ∵ 当 x= - 3 2 时,y= -x2 -2x+3 = 15 4 , ∴ 在第二象限的抛物线上,存在一点 Q,使得 △ABQ 的面积最大,面积最大时点 Q 的坐标 为 - 3 2 ,15 4( ) . 16.解:(1)∵ 抛物线的顶点坐标为(1,4), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2 +4. ∵ 抛物线过点 B(3,0), ∴ 0 =a(3-1) 2 +4,解得 a= -1. ∴ 抛物线的表达式为 y= -(x-1) 2 +4, 即 y= -x2 +2x+3. (2)能. ∵ PO=PC, ∴ 点 P 在线段 OC 的垂直平分线上. 在 y= -x2 +2x+3 中,令 x= 0 可得 y= 3, ∴ 点 C(0,3),∴ 点 P 的纵坐标为 3 2 . 在 y=-x2+2x+3 中,令 y= 3 2 可得 3 2 =-x2+2x+3. 解得 x= 1± 10 2 . ∴ 点 P 的坐标为 1+ 10 2 , 3 2( ) 或 1- 10 2 , 3 2( ) . 17.解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分) 的函数表达式为 y=a(x-3) 2 +5(a≠0) . 将点(8,0)代入 y=a(x-3) 2 +5 中, 得 25a+5 = 0,解得 a= - 1 5 . ∴ 水柱所在抛物线(第一象限部分) 的函数 表达式为 y= - 1 5 (x-3) 2 +5(0<x<8) . 根据对称性质可知,水柱所在抛物线(第二象 限部分)的函数表达式为 y = - 1 5 (x+ 3)2 + 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·33　 · (-8<x<0) . 综上所述,水柱所在抛物线的函数表达式为 y= - 1 5 (x-3) 2 +5(0<x<8)或 y = - 1 5 (x+3) 2 + 5( -8<x<0) . (2)为了不被淋湿,身高 1. 8 米的王师傅站立 时必须在离水池中心 7 米以内. 理由如下: 当 y= 1. 8 时,有- 1 5 (x-3) 2 +5 = 1. 8. 解得 x1 = -1(不合题意,舍去),x2 = 7. ∴ 为了不被淋湿,身高 1. 8 米的王师傅站立 时必须在离水池中心 7 米以内. 18.解:(1)根据二次函数图象的对称性可知,当 x= 4 时,y 有最大值 6. 0. 故答案为 6. 0. 设函数表达式为 y=a(x-4) 2 +6(a≠0) . 把 x= 0,y= 4 代入,得 16a+6 = 4, 解得 a= - 1 8 . ∴ y 与 x 满足的函数表达式为 y= - 1 8 (x-4) 2 +6. (2)根据题意,以点 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴建立平面直角坐标系,画出图象如图 所示. (3)当 x= 1 时,y= - 1 8 (1-4) 2 +6 = 4. 875, ∴ 4. 875-0. 35 = 4. 525≈4. 5(米) . ∴ 隧道需标注的限高应为 4. 5 米. 周末小金卷十五 1. D　 2. C　 3. B　 4. D　 5. A　 6. C　 7. A 8. A　 【解析】如图,连接 OM,ON,OA,OP. ∵ ☉O 的直径为 26, ∴ OA=OP= 13. ∵ 点 M,N 分别是弦 AB, PQ 的中点, AB= 24,PQ= 10, ∴ OM⊥AB,ON⊥PQ,AM= 1 2 AB= 12,PN= 1 2 PQ= 5. ∴ OM= 132 -122 = 5,ON= 132 -52 = 12. 当 AB∥PQ 时,M,O,N 三点共线, 当 AB,PQ 位于点 O 的同侧时,线段 MN 的长 度最短=ON-OM= 12-5 = 7; 当 AB,PQ 位于点 O 的两侧时,线段 MN 的长 度最长=OM+ON= 5+12 = 17, ∴ 线段 MN 的长度的取值范围是 7≤MN≤17. 故选 A. 9. 60°　 10. 3　 11. 50°　 12. 26　 13. (2,1) 14. 2 2 　 【解析】如图,作点 D 关于 AB 的对称点 E,连接 CE 交 AB 于 点 P′, 连 接 OC, OE, OD,DP′, ∴ DP′ = EP′. 根据垂径 定理得点 E 在☉O 上, 点 P 在点 P′处时,PD+ PC = P′D +P′C = P′E + P′C = CE,PD+PC 的最 小值为 CE 的长. ∵ 点 C 是半圆上的一个三等分点, ∴ ∠AOC= 1 3 ×180° = 60°. ∵ D 是 AC ( 的中点,∴ AD ( =CD ( , 又∵ AD ( =AE ( ,∴ CD ( =AE ( . ∴ ∠AOE= ∠DOC= 1 2 ∠AOC= 30°. ∴ ∠COE= ∠AOE+∠AOC= 90°. ∵ OC=OE,∴ CE= 2OC = 2 2 ,即 PC+PD 的 最小值为 2 2 . 15. (1)证明:如图,连接 AE,OE,OF. 由题意,得 OB=OE=OA,AE=AB. ∴ ∠EAO= ∠AEO,∠BAO= ∠ABO,AE ( =AB ( . ∴ ∠AOE= ∠AOB. 又∵ ∠AOE= 180°-2∠EAO, ∠AOB= 180°-2∠BAO, ∴ ∠EAO= ∠BAO. (2)解:如图,连接 BF. ∵ OE=OF,OE=EF, ∴ OE=OF=EF. ∴ △DEF 是等边三角形. ∴ ∠EOF= 60°. ∵ AE=BF=AB. ∴ AE ( =BF ( =AB ( . ∴ ∠AOE= ∠BOF= ∠AOB. ∴ ∠POQ= 1 3 ∠EOF= 20°. 16.解:(1)如图,连接 OB. ∵ OC⊥AB,∴ D 是 AB 的中点. ∵ AB= 7. 2 m,∴ BD= 1 2 AB= 3. 6 m. 又∵ CD= 2. 4 m, 设 OB=OC= r m,则 OD= ( r-2. 4)m. 在 Rt△BOD 中, 根据勾股定理,得 r2 = ( r-2. 4) 2 +3. 62, 解得 r= 3. 9. ∴ 拱桥的半径为 3. 9 m. (2)如图,连接 OF. ∵ OC⊥EF,∴ G 是 EF 的中点. ∵ EF= 3 m,∴ GF= 1 2 EF= 1. 5 m. 又∵ OF= 3. 9 m, 在 Rt△OFG 中,OG2 =OF2 -GF2 = 3. 92 -1. 52 = 12. 96, ∴ OG= 12. 96 = 3. 6 m. ∴ CG=OC-OG= 3. 9-3. 6 = 0. 3(m) . ∵ 0. 3 m<1 m, ∴ 要禁止通行. 17.解:(1)如图 1,连接 AC. 图 1 ∵ AB=BE,∴ B 是 AE 的中点. ∵ F 是 CE 的中点, ∴ BF 是△EAC 的中位线. ∴ BF= 1 2 AC. ∵ AD ( =BC ( ,∴ BD ( =AC ( . ∴ BD=AC. ∴ BF= 1 2 BD= 5 2 . (2)存在. 如图 2,过点 B 作 AE 的垂线,与☉O 的交点 即为所求的点 P, G 是 BD 的中点, 连接 PF,PG. 图 2 ∵ BF 是△EAC 的中位线, ∴ BF∥AC. ∴ ∠FBE= ∠CAE. ∵ AD ( =BC ( , ∴ ∠CAB= ∠DBA. ∴ ∠FBE= ∠DBA. 由作法可知 BP⊥AE, ∴ ∠ABP= ∠EBP= 90°. ∴ ∠ABP-∠DBA= ∠EBP-∠FBE, 即∠PBG= ∠PBF. ∵ G 是 BD 的中点, ∴ BG= 1 2 BD. 由(1)知,AC=BD,BF= 1 2 AC, ∴ BG=BF. 在△PBG 和△PBF 中, BG=BF, ∠PBG= ∠PBF, BP=BP, { ∴ △PBG≌△PBF(SAS) . ∴ PG=PF. 18. (1)证明:∵ AE 平分∠BAD, ∴ ∠BAF= ∠DAF. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠DAF+∠AFD= 90°. ∵ AE 是☉O 的直径, ∴ ∠ABE= 90°. ∴ ∠AEB+∠BAF= 90°. ∴ ∠AEB= ∠AFD. (2)解:如图,过点 B 作 BH⊥AE 于点 H. ∵ ∠AFD= ∠BFE,∠AFD= ∠AEB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋