周末小金卷12-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·31　 · 18.解:(1)如图,过点 C 作 CH⊥BG,垂足为 H. 由题意知,DG⊥EG,即∠G= 90°. ∴ CD∥EG,∴ ∠DCH= ∠CHG= 90°. ∴ 四边形 CDGH 为矩形. ∴ CH=DG= 4 米. ∵ 新坡面 AC 的坡度为 1 ∶ 3 , ∴ tan∠CAH= 1 3 = 3 3 . ∴ ∠CAH= 30°,即新坡面 AC 的坡角为 30°. ∴ AC= 2CH= 8 米. (2)新的设计方案能通过. 理由如下: ∵ 坡面 BC 的坡度为 1 ∶ 1, ∴ BH=CH= 4 米. ∵ tan∠CAH= 3 3 , ∴ AH= 3CH= 4 3米. ∴ AB=AH-BH= (4 3 -4)米. ∴ AE=EB-AB= 10-(4 3 -4) = 14-4 3 ≈7. 08(米) . ∵ 7. 08>7. ∴ 新的设计方案能通过. 周末小金卷十二 1. A　 2. C　 3. C　 4. B　 5. C　 6. C　 7. B 8. C　 【解析】如图,过点 B, D 分别作 BE⊥AC 于点 E, DF ⊥ AC 于 点 F, 则 ∠BEO= ∠DFO= 90°. 在 Rt△BOE 中,∠BOE = ∠AOD= 60°, ∴ BE = OB· sin ∠BOE = OB·sin 60° = 3 2 OB. 在 Rt△DOF 中,∠AOD= 60°, ∴ DF=OD·sin∠AOD=OD·sin 60° = 3 2 OD. ∵ AC=BD=2,∴ S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC = 1 2 AC· BE+ 1 2 AC·DF = 1 2 ×2× 3 2 OB+ 1 2 ×2× 3 2 OD = 3 2 OB+ 3 2 OD= 3 2 (OB+OD)= 3 2 BD = 3 2 ×2 = 3 . 故选 C. 9. 4　 10. m(cos α-sin α) 11. (5 +3 2 7 ,6 3 +5 6 7 )或 ( 5-3 2 7 ,6 3 -5 6 7 ) 12. 2+ 3 13. 7 3 2 　 【解析】∵ ∠ACB= 90°,cos A= 1 2 , ∴ ∠A= 60°,∠ABC= 30°. ∵ AC= 4, ∴ BC= AC tan 30° = 4 3 3 = 4 3 . ∵ Rt △ABC 沿 着 CB 方 向 向 右 平 移 到 达 △DEF 的位置,∴ △ACB≌△DEF. ∴ ∠GEB= ∠ACB= 90°. ∵ GE= 3,∠GEB= 90°, ∴ BE= GE tan 30° = 3 3 3 = 3 3 . ∴ CE=BC-BE= 3 . ∴ 阴影部分的面积为 (GE+AC)·CE 2 =(3+4)× 3 2 = 7 3 2 . 14. 2 +1 15.解:(1)如图,过点 M 作 MP⊥ON,垂足为 P. ∴ ∠MPO= ∠MPN= 90°. 在 Rt△MOP 中,由 sin∠MON = 3 5 ,OM = 10, 得 MP 10 = 3 5 ,即 MP= 6. 由勾股定理,得 OP= 102 -62 = 8. ∴ 点 M 的坐标是(8,6) . (2)∵ 点 N 的坐标为(20,0), ∴ ON= 20. 由(1)知 MP= 6,PN=ON-OP= 20-8 = 12, ∴ MN= 62 +122 = 6 5 . ∴ cos∠MNO= PN MN = 12 6 5 = 2 5 5 . 16.解:选择方案一. 由题意,得∠BAD= 90°,∠ACB= 37°, ∠ADB= 45°, ∴ △ABD 是等腰直角三角形. ∴ AB=AD. 设 AB= x m,则 AD=AB= x m, AC=AD+CD= (x+4)m. 在 Rt △ABC 中, tan ∠ACB = AB AC = tan 37° ≈ 0. 75,∴ x x+4 ≈0. 75. 解得 x= 12. ∴ 学校旗杆的高度 AB 是 12 m. 选择方案二. 如图,过点 D 作 DM⊥ AB 交 AB 于点 M,交 EF 于点 N. 则四边形 CDNE 和四边 形 AMNE 都是矩形. ∴ DN=CE= 1 m,MN=AE= 20 m, NE=AM=CD= 1. 5 m. ∴ FN=FE-EN= 2-1. 5 = 0. 5(m), DM=DN+MN= 1+20 = 21(m) . ∵ ∠DNF= ∠DMB= 90°,∠FDN= ∠BDM, ∴ △DFN∽△DBM. ∴ FN BM = DN DM ,即0. 5 BM = 1 21 . ∴ BM= 10. 5 m. ∴ AB=AM+BM= 1. 5+10. 5 = 12(m) . ∴ 学校旗杆的高度 AB 是 12 m. 17.解:(1)如图,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. ∵ AB=AC,∴ BH=CH= 1 2 BC. 在 Rt△ABH 中,∠ABC= 47°,AB= 50 cm, ∴ BH= AB×cos B = 50 ×cos 47° ≈50 × 0. 68 = 34(cm) . ∴ BC= 2BH= 68 cm. ∴ 车位锁的底盒长 BC 为 68 cm. (2)在 Rt△ABH 中, ∴ AH = AB·sin B = 50×sin 47°≈50×0. 73 = 36. 5(cm) . ∵ 36. 5 cm>35 cm, ∴ 当车位锁上锁时,这辆汽车不能进入该 车位. 18.解:(1)根据题意,得 AB= 16×5 = 80(米), ∠CEA= 90°. 设 CE= x 米, 在 Rt△CEB 中,∠CBE= 45°, ∴ BE= CE tan 45° = x(米) . ∴ AE=BE+AB= (80+x)米. 在 Rt△CEA 中,∠CAE= 30°, ∴ tan 30° =CE AE = x x+80 = 3 3 . 解得 x= 40 3 +40. 经检验,x= 40 3 +40 是原方程的根. ∴ CE= (40 3 +40)米. ∴ 观景山 CE 的高度为(40 3 +40)米. (2)根据题意,得∠DGE= 84. 3°. 在 Rt△DGE 中,DE= 201 米, ∴ GE= DE tan 84. 3° ≈201 10 = 20. 1(米) . 由(1)得 BE=CE= 40 3 +40≈109. 2(米) . ∵ BF= 3 米, ∴ GF=GE+BE-BF=20. 1+109. 2-3≈126(米). ∴ 观景山的宽度 GF 的长约为 126 米. 周末小金卷十三 1. B　 2. A　 3. C　 4. A　 5. D　 6. B　 7. B 8. B　 【解析】∵ 图象开口向下,与 y 轴的交点在 x 轴的上方,∴ a<0,c>0. ∵ 对称轴为直线 x= 1,∴ - b 2a = 1. ∴ b= -2a>0. ∴ abc<0. 故①错误; ∵ 当 x= -1 时,y<0,∴ a-b+c<0. ∴ a+c<b. 故②错误; ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点在-1 和 0 之间, 对称轴为直线 x= 1, ∴ 另一个交点在 2 和 3 之间. ∴ 当 x= 2 时,y>0. ∴ 4a+2b+c>0. 故③正确; ∵ b= -2a,∴ a= - 1 2 b,且 a-b+c<0. ∴ - 1 2 b-b+c<0,即- 3 2 b+c<0. ∴ 2c<3b. 故④正确; ∵ 图象开口向下,∴ 当 x= 1 时,y 有最大值. ∴ a+b+c≥am2 +bm+c. ∴ a+b≥m(am+b) . 故⑤错误. 综上所述正确的结论有 2 个. 故选 B. 9. - 3 　 10. <　 11. >　 12. -1<a≤1 13. y= (x-2) 2 -3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·17　 · 周末小金卷十二 (考试范围:1. 4~ 1. 6) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 如图,已知 A 处位于 B 处的右上方,若从 B 处观察 A 处的仰角为 40°,则从 A 处观 察 B 处的俯角为 (　 　 ) A. 40° B. 50° C. 130° D. 140° 第 1 题图 　 第 3 题图 　 第 5 题图 　 第 6 题图 2. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB= 9,cos B= 2 3 ,则 AC 的长为 (　 　 ) A. 6 B. 2 5 C. 3 5 D. 9 5 3. 如图,在坡角为 α 的斜坡上要栽两棵树,要求它们之间的水平距离 AC 为 6 m, tan α= 1 3 ,则这两棵树之间的坡面 AB 的长为 (　 　 ) A. 1 m B. 9 m C. 2 10 m D. 2 5 m 4. 已知在△ABC 中,∠A= 60°,AB= 1+ 3 ,AC= 2,则∠C 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 75° C. 90° D. 105° 5. 如图,沿 AB 方向架桥 BD,从桥两端 B,D 出发,修公路 BC 和 CD,测得∠ABC = 150°,BC= 1 800 m,∠BCD= 105°,则公路 CD 的长为 (　 　 ) A. 900 m B. 900 3 m C. 900 2 m D. 1 800 m 6. 如图,热气球的探测器显示,从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30°,看这 栋楼底部 C 处的俯角为 60°,热气球 A 处与楼的水平距离为 150 m,则这栋楼的高 度为 (　 　 ) A. 50 3 m B. 150 3 m C. 200 3 m D. 300 m 7. 如图,某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度,在河的南岸 点 A 处,测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45°方向,然后向西走 80 米到达点 C, 测得点 B 在点 C 的北偏东 60°方向,则这段河的宽度为 (　 　 ) A. 80( 3 +1)米 B. 40( 3 +1)米 C. (120-40 3 )米 D. 40( 3 -1)米 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,∠AOD = 60°,AC =BD = 2,则这 个四边形的面积是 (　 　 ) A. 3 4 B. 3 2 C. 3 D. 2 3 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. 如图,太阳光线与地面成 30°的角,照射在小木棒 AB 上,小木棒在地面上的投影 CD 的长是 8 cm,则小木棒 AB 的长是　 　 　 　 cm. 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 10. 如图,坡角为 α 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 AB,当太阳光线与水平线 成 45°角沿斜坡照下时,在斜坡上的树影 BC 长为 m,则大树 AB 的高为　 　 　 　 . (请用含 m,α 的式子表示) 11. 如图,分别经过点 A( -1,0)和点 B(1,0)的动直线 l1,l2 交于点 C,在线段 AC 上 取点 D,连接 BD. 若∠ACB= 30°,且AD CD = 1 2 ,则当 tan∠ABD 的值最大时,点 C 的 坐标为 . 12. (易错题)要求 tan 30°,我们可以通过构造直角三角形进行计算:在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB= 2,AC= 1,利用三角函数定义可求出 tan 30°的值,请在此基础 上计算 tan 75° = 　 　 　 　 (结果保留根号) . 13. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,cos A= 1 2 ,将Rt△ABC 沿着 CB 方向向右平移到达△DEF 的位置,AB 与 DE 交 于点 G, 若 AC = 4, GE = 3, 则 阴 影 部 分 的 面 积 为 . 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14. 规定 cot α= 1 tan α ,如图,图中提供了一种求 cot 15°的方法.作 Rt△ABC,使∠C=90°,∠ABC=30°,再延长 CB 到点 D,使 BD =BA,连接 AD,即可得∠D=15°.若设AC=t,则CD=(2+ 3)t,cot 15°=cot D=CD AC =2+ 3. 用以上方法可求得 cot 22. 5° = 　 　 　 　 . 三、解答题(共 44 分) 15. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 N 的坐标为(20,0),点 M 在第一象限内,且 OM= 10,sin∠MON= 3 5 . (1)求点 M 的坐标; (2)求 cos∠MNO 的值. 16. (11 分)(新情境·项目式学习)某校项目式学习小组开展项目活动,过程如下: 项目主题:测量学校旗杆高度. 问题驱动:能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度? 组内探究:由于旗杆较高,需要借助一些工具来测量,比如标杆、镜子、测角 仪……,确定方法后,先画出测量示意图,然后实地进行测量,并得到具体数据, 从而计算旗杆的高度. 成果展示:下面是同学们进行交流展示时的其中两种测量方案: 方案一 方案二 测量工具 测量角度的仪器、皮尺 皮尺、标杆 测量方案 示意图 　 　 说明 点 C,D,A 在同一条直线上,AB⊥AC A,E,C 三点共线,D,F,B 三点共 线,CD,EF,AB 均垂直于 AC 测量数据 ∠ACB= 37°,∠ADB= 45°,CD= 4 m 标杆 EF = 2 m,小明的身高 CD = 1. 5 m,CE= 1 m,AE= 20 m 参考数据 sin 37°≈0. 60,cos 37°≈0. 80,tan 37°≈0. 75 任务解决:请选择其中一个方案及其数据计算学校旗杆的高度 AB. 17. (11 分)图 1 是一种三角车位锁,图 2 是其示意图,经测量,钢条 AB = AC = 50 cm,∠ABC= 47°. (1)求车位锁的底盒长 BC; (2)若一辆汽车的底盘高度为 35 cm,当车位锁上锁时,问这辆汽车能否进入该车位? 通过计算说明理由. (参考数据:sin 47°≈0. 73,cos 47°≈0. 68,tan 47°≈1. 07) 图 1 　 图 2 18. (12 分)(新素养·应用意识)如图,一座大厦 DE 的高度为 201 米.在大厦 DE 右侧 有一观景山,一游客乘坐游船驶向大厦,在点 A 处测得大厦顶端 D 的仰角为 49°,测 得观景山顶端 C 的仰角为 30°,游船以每分钟 5 米的速度匀速行驶了 16 分钟到达 点 B 处,在此处测得观景山顶端 C 的仰角为 45°(点 A,B,E 在同一直线上) . (1)试求观景山 CE 的高度; (2)若大厦的底部与湖面在同一水平线上,在顶端 D 处测得观景山底端 G 的俯 角为 84. 3°,BF= 3 米,求观景山的宽度 GF 的长. (结果精确到 1 米,参考数 据: 3 ≈1. 73,sin 49°≈0. 755,cos 49°≈0. 656,tan 49°≈1. 15,sin 84. 3°≈ 0. 995,cos 84. 3°≈0. 099,tan 84. 3°≈10. 0) ·18·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册