周末小金卷8-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·13　 · 周末小金卷八 (考试范围:4. 6~ 4. 8) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 如图所示是△ABC 位似图形的几种画法,其中正确的个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图,△ABO 与△CDO 是以点 O 为位似中心的位似图形. 若 AB= 4,AO= 8,CO= 2, 则线段 CD 的长度为 (　 　 ) A. 3 4 B. 1 C. 1 2 D. 2 第 2 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 6 题图 3. 如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE= 2,BC= 5,则 S△ADE ∶ S△ABC 的值是 (　 　 ) A. 3 25 B. 4 25 C. 2 5 D. 3 5 4. 如图,已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 是位似图形,位似中心是点 O. 若四边形 ABCD 的面积是 18,四边形 EFGH 的面积是 8,则 EF ∶ AB 等于 (　 　 ) A. 2 ∶ 3 B. 4 ∶ 9 C. 3 ∶ 2 D. 9 ∶ 4 5. △ABC 的三边长分别为 2,3,4,另有一个与它相似的三角形 DEF,其最长边是 12,则△DEF 的周长是 (　 　 ) A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 6. 如图,小明为了测量大楼 MN 的高度,在离点 N 30 米的 A 处放了一个平面镜,小 明沿 NA 方向后退 1. 5 米到点 C,此时从镜子中恰好看到楼顶的点 M,已知小明 的眼睛(点 B)到地面的高度 BC 是 1. 6 米,则大楼 MN 的高度是 (　 　 ) A. 32 米 B. 255 8 米 C. 36 米 D. 245 8 米 7. 如图,以点 O 为位似中心,把△ABC 放大到原来的 2 倍得到△A′B′C′,以下说法 中错误的是 (　 　 ) A. △ABC∽△A′B′C′ B. 点 A,O,A′三点在同一条直线上 C. AO ∶ AA′= 1 ∶ 2 D. AB ∶ A′B′= 1 ∶ 2 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,某同学在平地上利用标杆测量一棵大树的高度,移动标杆,使标杆、大树顶 端的影子恰好落在地面的同一点 A,标杆 CE 的高是 2 m,此时测得 BC= 3 m,AC= 1 m,那么树 BD 的高度是 (　 　 ) A. 32 m B. 8 m C. 6 m D. 0. 125 m 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. 若△AED∽△ABC,AD= 6 cm,AC= 12 cm,则△AED 与△ABC 的相似比为　 　 　 　 . 10. 利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图 像,如图是一个微距拍摄成像的示意图. 若拍摄 60 mm 远的物体 AB,其在底片 上的图像 A′B′的宽是 36 mm,焦距是 90 mm,则物体 AB 的宽是 mm. 第 10 题图 　 第 11 题图 　 第 12 题图 11. 如图,正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形,点 O 为位似中心,相似比为 2 ∶ 3,点 A 的坐标为(0,2),则点 E 的坐标为　 　 　 　 . 12. (新素材·传统文化)土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子,通过观察 杆子的日影长度确定季节的变化. 古代的人们发现,夏至时日影最短,冬至时日 影最长,这样通过日影的长度得到夏至和冬至,确定了四季. 如图,利用土圭之 法记录了两个时刻杆的影长,发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC 和第二时刻 光线与地面的夹角∠ADB 相等,测得第一时刻的影长为 1. 6 尺,则第二时刻的 影长为 尺. 13. 如图, 点 D,E 分别在 △ABC 的边 AC, AB 上, △ADE ∽ △ABC,M,N 分别是 DE,BC 的中点. 若AM AN = 1 2 ,则 S△ADE S△ABC = 　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14. (易错题)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点,边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标 是(4,2) . 如果以点 O 为位似中心,将矩形 OABC 缩小为原来 的 1 2 ,那么点 B 的对应点 B′的坐标是　 　 　 　 . 三、解答题(共 44 分) 15. (11 分)在如图所示的方格中,△O1A1B1 与△OAB 是关于点 P 为位似中心的位 似图形. (1)在图中标出位似中心 P 的位置,并写出点 P 的坐标及△O1A1B1 与△OAB 的 相似比; (2)以原点 O 为位似中心,在 y 轴的右侧画出△OAB 的另一个位似△OA2B2,使 它与△OAB 的位似比为 2 ∶ 1,并写出点 B 的对应点 B2 的坐标. 16. (10 分)如图,为了估算河面的宽度,即 EP 的长,在离河岸 D 点 2 米远的 B 点,立 一根长为 1 米的标杆 AB,在河对岸的岸边有一块高为 2. 5 米的安全警示牌 MF, 警示牌的顶端M 在河里的倒影为点N,即 PM=PN,两岸均高出水平面 1. 25 米,即 DE=FP= 1. 25 米,经测量此时 A,D,N 三点在同一直线上,并且点 M,F,P,N 共 线,点 B,D,F 共线. 若 AB,DE,MF 均垂直于河面 EP,则河宽 EP 是多少米? 17. (11 分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高. 如图所 示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物 OB 的影长 OC 为 16 米,OA 的影长 OD 为 20 米,小明的影长 FG 为 2. 4 米,其中 O,C,D,F,G 五点在同一直 线上,A,B,O 三点在同一直线上,且 AO⊥OD,EF⊥FG. 已知小明的身高 EF 为 1. 8 米,求旗杆的高 AB. 18. (12 分)(核心素养·模型观念)如图 1,△ABC 是等边三角形,△ADE 是△ABC 的位似图形,相似比为 k ∶ 1,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上. (1)求证:DE∥BC; (2)将△ADE 绕点 A 旋转 α 至△AMN 的位置,如图 2,当 AM⊥BC 时,请你判断 AC 与 MN 的位置关系,并说明理由. 图 1 　 图 2 ·14·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册 (2)能. ∵ AB=BC,∴ ∠A= ∠C. 分两种情况: ①当△APQ∽△CQB 时,有AP CQ =AQ CB , 即 4x 3x = 30-3x 20 ,解得 x= 10 9 . ∴ AP= 4x= 40 9 cm; ②当△APQ∽△CBQ 时,有AP CB = AQ CQ , 即 4x 20 = 30-3x 3x . 解得 x= 5 或 x= -10(舍去) . ∴ AP= 4x= 20 cm. 综上所述,当 AP = 40 9 cm 或 20 cm 时,△APQ 与以 C,Q,B 三点为顶点的三角形相似. 周末小金卷八 1. D　 2. B　 3. B　 4. A　 5. C　 6. A　 7. C 8. B　 【解析】∵ CE⊥AB,BD⊥AB, ∴ CE∥BD,∠ACE= ∠ABD= 90°. 又∵ ∠A= ∠A,∴ Rt△ACE∽Rt△ABD. ∴ CE BD = AC AC+BC ,即 2 BD = 1 1+3 . 解得 BD= 8m. 故选 B. 9. 1 ∶ 2　 10. 24　 11. (3,3)　 12. 40　 13. 1 4 14. (2,1)或( -2,-1) 15.解:(1)如图,点 P 即为所求作,点 P 的坐标 为( -5,-1) . ∵ PA1 ∶ PA= 6 ∶ 3 = 2 ∶ 1, ∴ △O1A1B1 与△OAB 的相似比为 2 ∶ 1. (2)如图,△OA2B2 即为所求作, 点 B2 的坐标为(2,6) . 16.解:如图,延长 AB 交 EP 的反向延长线于点 H,则四边形 BDEH 是矩形. ∴ BH=DE= 1. 25 米,BD=HE= 2 米, BD∥EH. ∴ AH=AB+BH=AB+DE= 1+1. 25= 2. 25(米) . ∵ BD∥OH,∴ △ABD∽△AHO. ∴ BD HO = AB AH . ∴ 2 HO = 1 2. 25 . ∴ HO= 4. 5 米. ∵ MF= 2. 5 米,FP= 1. 25 米, ∴ PN=PM=MF+FP= 2. 5+1. 25 = 3. 75(米) . ∵ AH⊥EP,PN⊥EP, ∴ AH∥PN. ∴ △AHO∽△NPO. ∴ AH NP =HO PO . ∴ 2. 25 3. 75 = 4. 5 PO . ∴ PO= 7. 5 米. ∴ PE=PO+OE= 7. 5+(4. 5-2)= 10(米) . ∴ 河宽 EP 是 10 米. 17.解:解法一:∵ AD∥EG, ∴ ∠ADO= ∠EGF. ∵ ∠AOD= ∠EFG= 90°, ∴ △AOD∽△EFG. ∴ AO EF =OD FG ,即AO 1. 8 = 20 2. 4 . ∴ AO= 15 米. 同理可得△BOC∽△AOD. ∴ BO AO =OC OD ,即BO 15 = 16 20 . ∴ BO= 12 米. ∴ AB=AO-BO= 15-12 = 3(米) . 解法二:如图,过点 C 作 CM⊥OD 于点 C,交 AD 于点 M. ∴ ∠DCM= ∠GFE= 90°,AB∥CM. 又∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABCM 为平行四边形. ∴ AB=CM. ∵ AD∥EG,∴ ∠ADO= ∠EGF. ∴ △EGF∽△MDC. ∴ EF MC =FG CD ,即1. 8 MC = 2. 4 20-16 . ∴ MC= 3 米,即 AB=MC= 3 米. ∴ 旗杆的高 AB 是 3 米. 18. (1)证明:∵ △ADE 是△ABC 的位似图形, ∴ △ADE∽△ABC. ∴ ∠ADE= ∠B. ∴ DE∥BC. (2)解:AC⊥MN. 理由如下, 如图,延长 AM 交 BC 于点 D. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC,∠BAC= ∠B= 60°. ∵ AM⊥BC,∴ ∠DAC= 90°-∠BAC= 30°. 由(1)知,DE∥BC,∴ ∠ADE= ∠B= 60°. ∵ 将△ADE 绕点 A 旋转 α 至△AMN 的位置, ∴ △AMN≌△ADE. ∴ ∠AMN= ∠ADE= 60°. ∴ ∠AFM= 180°-∠AMN-∠DAC= 90°, 即 AC⊥MN. 下册 周末小金卷十一 1. C　 2. C　 3. B　 4. C　 5. B　 6. C　 7. A　 8. C 9. 9 2 　 10. 15°　 11. 49. 5°　 12. 9　 13. 10 m 14. 3 4 或 1 3 　 【解析】①当 4 cm 为腰长时,则 AB =AC= 4 cm,BC= 6 cm. 如图,作 AD⊥BC 于点 D. ∴ BD=CD= 3 cm. ∴ cos B=BD AB = 3 4 ; ②当 4 cm 为底边时,则 AB = AC = 6 cm,BC = 4 cm. 同理可得 BD=CD= 2 cm, ∴ cos B=BD AB = 2 6 = 1 3 . 综上所述,底角的余弦值为 3 4 或 1 3 15.解:∵ BC= 2,BA= 6,∠C= 90°, ∴ AC= = AB2 -BC2 = 4 2 . ∴ sin A=BC AB = 1 3 , cos A=AC AB = 2 2 3 ,tan A=BC AC = 2 4 2 = 2 4 . 16.解:(1)在 Rt△BPE 中, sin∠EBP=PE PB = sin 40°,∴ PE=PB·sin 40°. 在 Rt△BPF 中, sin∠FBP=PF PB = sin 20°, 又∵ sin 40°>sin 20°,∴ PF=PB·sin 20°. ∴ PE>PF. (2)PE>PF. 证明如下: 根据(1)得 sin∠EBP=PE PB = sin α, sin∠FBP=PF PB = sin β, ∴ PE=PB·sin α,PF=PB·sin β. 又∵ α>β,∴ sin α>sin β. ∴ PE>PF. 17.解:(1)如图,过点 D 作 DH⊥AB,垂足为 H, 设 DC= x. ∵ BD 平分∠ABC,∠C= 90°, ∴ DH=DC= x,则 AD= 3-x. ∵ ∠C= 90°,AC= 3,BC= 4, ∴ AB= AC2 + BC2 = 5. ∵ sin∠BAC=DH AD =BC AB , ∴ x 3-x = 4 5 . ∴ x= 4 3 ,即 CD= 4 3 . (2)由①知,DH=CD= 4 3 , ∴ S△ABD = 1 2 AB·DH= 1 2 ×5× 4 3 = 10 3 . ∵ BD= 2DE, ∴ S△ABD S△ADE =BD DE =2. ∴ S△ADE = 1 2 S△ABD = 10 3 × 1 2 = 5 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·30·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册