周末小金卷3-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 · 5　 · 周末小金卷三 (考试范围:2. 1~ 2. 4) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 方程 x(x-3)= 0 的根是 (　 　 ) A. x= 3 B. x= 0 C. x1 = 3,x2 = 0 D. x1 = 3,x2 = 1 2. 一元二次方程 3(x2 -3)= 5x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 (　 　 ) A. 3,-5,9 B. 3,-5,-9 C. 3,5,9 D. 3,5,-9 3. 若关于 x 的一元二次方程 x2 +6x+c= 0 有两个相等的实数根,则 c 的值是 (　 　 ) A. 36 B. 9 C. 6 D. -9 4. 若 a 是 x2 -3x-2 025 = 0 的一个根,则 a2 -3a+1 的值是 (　 　 ) A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026 5. 用配方法解一元二次方程 3x2 +6x-1 = 0 时,将它化为(x+a) 2 = b 的形式,则 a+b 的值是 (　 　 ) A. 10 3 B. 7 3 C. 2 D. 4 3 6. 用因式分解法解方程 x2 -px-6 = 0,将左边分解后有一个因式是 x+3,则 p 的值是 (　 　 ) A. 5 B. -5 C. -1 D. 1 7. 若代数式 x2 -6x+5 的值是 12,则 x 的值是 (　 　 ) A. 7 或-1 B. 1 或-5 C. -1 或-5 D. 不能确定 8. 若三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是一元二次方程 x2 -16x+60 = 0 的 一个实数根,则该三角形的面积是 (　 　 ) A. 24 B. 24 或 8 5 C. 48 或 16 5 D. 8 5 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. 请你写出一个一元二次方程 ,使它的一个根是 x= -3. 10. 一元二次方程(x-2)(x+7)= 0 的根是　 　 　 　 . 11. (易错题)若(a-1)x | a+1 | -3x+4 = 0(其中 a 是常数)是关于 x 的一元二次方程,则 a 的值为　 　 　 　 . 12. 已知有理数 a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,p 是最大的负整数,则方程(a+b)x2 + 3cdx-8p= 0 的解为 x= . 13. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -ax+1 = 0 的唯一实数根也是关于 x 的一元二次方 程(a-2)x2 +bx+1 = 0 的根,则关于 x 的方程(a-2)x2 +bx+1 = 0 的根为 . 14. 若一元二次方程 x2 -5x+6 = 0 的两根是直角三角形的两直角边长,则这个直角 三角形的斜边长是　 　 　 　 . 三、解答题(共 44 分) 15. (10 分)用适当的方法解下列一元二次方程: (1)x2 -2x-1 = 0; (2)5x(x-3)= 6-2x; (3)2x2 = 3(2x+1); (4)(x-4) 2 = 4x(4-x) . 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16. (11 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(k+3)x+2k+2 = 0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根小于 1,求 k 的取值范围. 17. (11 分)我们知道几个非负数的和等于 0,只有这几个数同时等于 0 才成立,如 | x-2 | +(y+3) 2 = 0,因为 | x-2 | ,(y+3) 2 都是非负数,所以 x-2 = 0,y+3 = 0,即可 求得 x= 2,y= -3. 应用知识解决下列各题: (1)若(x+4) 2 +(y-3) 2 = 0,则 x= 　 　 　 　 ,y= 　 　 　 　 ; (2)若 x2 +y2 -2x+4y= -5,则 xy = 　 　 　 　 ; (3)若 x2 +3y2 +4x-6y= -7,求(x+y) 2 026 的值. 18. (12 分)(新考法·拓展探究)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其 实配方法还有其他重要应用,例如:试求二次三项式 x2 +4x+5 的最小值. 解:x2 +4x+5 = x2 +4x+4+1 = (x+2) 2 +1. ∵ (x+2) 2≥0,∴ (x+2) 2 +1≥1. ∴ x2 +4x+5≥1,即 x2 +4x+5 的最小值是 1. 试利用“配方法”解决问题: (1)已知 y= x2 -6x+12,求 y 的最小值; (2)比较代数式 3x2 -x+2 与 2x2 +3x-6 的大小,并说明理由; 知识迁移: (3)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 4 cm,BC = 3 cm,点 P 在边 AC 上以 2 cm / s 的速度从点 A 向点 C 移动,点 Q 在边 CB 上以 1 cm / s 的速度从点 C 向点 B 移动. 若点 P,Q 同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停 止. 设四边形 APQB 的面积为 S cm2,运动时间为 t 秒,求 S 的最小值. ·6·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册 即 82 +(8-x) 2 = 42 +x2,解得 x= 7. ∴ BG=BC-CG= 8-7 = 1. 14. 2　 【解析】如图,分别以 BA 和 BC 为对称轴 在△ABC 的外部作△BDA 和△BDC 的对称 图形△BEA 和△BFC,EA 与 FC 的延长线交 于点 G. 由题意,得△ABD≌△ABE,△CBD≌△CBF, ∴ ∠ABD= ∠ABE, ∠CBD= ∠CBF, BE=BD,BF=BD. ∴ BE=BF. ∵ ∠ABC= ∠ABD+ ∠CBD= 45°, ∴ ∠EBF = 2(∠ABD+ ∠CBD)= 2∠ABC= 90°. ∵ BD⊥AC, ∴ ∠E= ∠ADB= 90°,∠F= ∠BDC= 90°. ∴ ∠E= ∠EBF= ∠F= 90° ∴ 四边形 BEGF 是正方形. ∴ BD=BE=BF=EG=FG= 6, AE=AD= 3,CF=CD= x. ∴ AG=EG-AE= 3,CG=FG-CF= 6-x, AC=AD+CD= 3+x. 在 Rt△AGC 中,AG2 +CG2 =AC2, 即 32 +(6-x) 2 =(3+x) 2 . 解得 x= 2,即 CD= 2. 15.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵ BE=DF,∴ OB-BE=OD-DF,即 OE=OF. ∴ 四边形 AECF 是菱形. ∵ OE=OA, ∴ OE=OF=OA=OC,即 EF=AC. ∴ 菱形 AECF 是正方形. 16. (1)证明:∵ 四边形 BEDF 是正方形, ∴ DF=BE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB. ∴ CD-DF=AB-BE. ∴ CF=AE. (2)解:∵ ▱ABCD 的面积为 20, AB= 5,四边形 BEDF 是正方形, ∴ AB·DE= 5DE= 20. ∴ DE=BE= 4. ∴ AE=AB-BE= 5-4 = 1. 由(1)知 CF=AE,∴ CF= 1. 17. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ CD=AB,∠ABE= ∠CDF= 45°. 又∵ BE=DF, ∴ △ABE≌△CDF(SAS) . (2)解:如图,连接 AC,交 BD 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OD=OB, ∠ABC= 90°. 又∵ BE=DF,∴ OE=OF. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵ AC⊥EF, ∴ 四边形 AECF 是菱形. ∵ AB= 3 2 ,BC=AB= 3 2 . 在 Rt△ABC 中,AC= AB2 +BC2 = 6. ∴ BD=AC= 6. ∵ BE=DF= 2,∴ EF= 6-2-2 = 2. ∴ 四边形 AECF 的面积 = 1 2 AC·EF = 1 2 ×6× 2=6. 18. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,四边形 HEFG 是菱形, ∴ AD=CD,ED=GD,∠A= ∠C= 90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDG 中, ED =GD, AD=CD,{ ∴ Rt△ADE≌Rt△CDG(HL) . (2)解:如图,过点 E 作 EQ⊥DF 于点 Q, 则∠EQB= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠A= 90°,AD=AB=AE+BE= 2+2 = 4, ∠EBQ= ∠CBD= 45°. ∴ ∠QEB= 45° = ∠EBQ. ∴ EQ=BQ. ∵ BE= 2,∴ 2EQ2 = 22 . ∴ EQ = BQ = 2 (负数 已舍去) . 在 Rt△DAE 中,由勾股定理, 得 DE= AD2 +AE2 = 42 +22 = 2 5 . ∵ 四边形 EFGH 是菱形,∴ EF=DE= 2 5 . ∴ FQ= EF2 -EQ2 = (2 5 ) 2 -( 2 ) 2 = 3 2 . ∴ BF=FQ-BQ= 3 2 - 2 = 2 2 . 周末小金卷三 1. C　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. C　 7. A　 8. B 9. x2 -x-12 = 0(答案不唯一,合理即可) 10. x1 = 2,x2 = -7　 11. -3　 12. - 8 3 13. x1 = -1,x2 = 1 4 14. 13 　 【解析】x2 -5x+6 = 0,(x-3)(x-2)= 0, 解得 x1 = 3,x2 = 2, ∴ 直角三角形的两直角边长分别是 3 和 2. ∴ 斜边长是 22 +32 = 13 . 15.解:(1)移项,得 x2 -2x= 1. 配方,得 x2 -2x+1 = 1+1, 即(x-1) 2 = 2. ∴ x-1 = ± 2 . 解得 x1 = 1+ 2 ,x2 = 1- 2 . (2)移项,得 5x(x-3) +2(x-3)= 0. 提取公因式,得(5x+2)(x-3)= 0. ∴ 5x+2 = 0,或 x-3 = 0. 解得 x1 = - 2 5 ,x2 = 3. (3)2x2 = 3(2x+1),即 2x2 -6x-3 = 0. ∴ a= 2,b= -6,c= -3. ∵ b2 -4ac = ( -6) 2 -4×2×( -3)= 60>0, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 6± 60 4 = 3± 15 2 . ∴ x1 = 3+ 15 2 ,x2 = 3- 15 2 . (4)移项,得(x-4) 2 +4x(x-4)= 0. 提取公因式,得(x-4)(x-4+4x)= 0, 即(x-4)(5x-4)= 0. ∴ 5x-4 = 0,或 x-4 = 0. 解得 x1 = 4 5 ,x2 = 4. 16. (1)证明:∵ 在方程 x2 -(k+3)x+2k+2 = 0 中, a= 1,b= -(k+3),c= 2k+2, ∴ b2 -4ac = [ -(k+3)] 2 -4×1×(2k+2) = k2 - 2k+1 = (k-1) 2≥0. ∴ 方程总有两个实数根. (2)解:∵ x2 -(k+3)x+2k+2 = (x-2)(x-k-1) = 0,∴ x1 = 2,x2 = k+1. ∵ 方程有一个根小于 1, ∴ k+1<1,解得 k<0. ∴ k 的取值范围为 k<0. 17.解:(1)由题意,得 x+4 = 0,y-3 = 0, 解得 x= -4,y= 3. 故答案为-4,3. (2)∵ x2 +y2 -2x+4y= -5, ∴ x2 +y2 -2x+4y+5 = 0. ∴ x2 -2x+1+y2 +4y+4 = 0. ∴ (x-1) 2 +(y+2) 2 = 0. ∴ x-1 = 0,y+2 = 0. ∴ x= 1,y= -2,∴ xy = 1. 故答案为 1. (3)∵ x2 +3y2 +4x-6y= -7, ∴ x2 +3y2 +4x-6y+7 = 0. ∴ x2 +4x+4+3(y2 -2y+1)= 0. ∴ (x+2) 2 +3(y-1) 2 = 0. ∴ x+2 = 0,y-1 = 0. ∴ x= -2,y= 1. ∴ (x+y) 2 026 = ( -2+1) 2 026 = 1. 18.解:(1)y= x2 -6x+12 = (x-3) 2 +3, ∵ (x-3) 2≥0,∴ (x-3) 2 +3≥3. ∴ x2 -6x+12≥3 ∴ y 的最小值是 3. (2)3x2 -x+2>2x2 +3x-6. 理由如下: 3x2 -x+2-(2x2 +3x-6) = 3x2 -x+2-2x2 -3x+6 = x2 -4x+8 = (x-2) 2 +4. ∵ (x-2) 2 +4>0, ∴ 3x2 -x+2>2x2 +3x-6. (3)由题意,得 AP= 2t cm,CQ= t cm, 则 PC= (4-2t)cm. ∴ S=S△ABC-S△PQC = 1 2 ×4×3- 1 2 (4-2t) t = 6-2t+t2 = ( t-1) 2 +5. ∵ ( t-1) 2≥0,∴ ( t-1) 2 +5≥5. ∴ S 的最小值是 5. 周末小金卷四 1. C　 2. A　 3. B　 4. A　 5. A　 6. B　 7. C 8. D　 【解析】∵ 关于 x 的方程 ax2 +2(a-b) x+ (b-a)= 0 有两个相等的实数根, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·28·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册