周末小金卷2-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·27　 · 参 考 答 案 及 解 析 (部分答案不唯一) 上册 周末小金卷一 1. C　 2. C　 3. D　 4. B　 5. D　 6. B　 7. C　 8. C 9. 40°　 10. 60　 11. 20　 12. AB=AD(答案不唯一) 13. 25　 【解析】如图,标注点 E,F,G,H. 由题意,得矩形 BFDE 和矩形 BHDG 全等. ∴ ∠G=90°,DG=DE=6,BG∥DH,BE∥DF,BG=8. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ S▱ABCD =AD·DG=CD·DE, ∴ AD=CD. ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形. ∴ CD=BC=AB=AD. 设 CD=BC= x,则 CG= 8-x. 在 Rt△CDG 中, 由勾股定理,得 62 +(8-x) 2 = x2 . 解得 x= 25 4 . ∴ CD= 25 4 . ∴ 菱形 ABCD 的周长= 4CD= 25, 即重叠部分的四边形的周长是 25. 14. 32　 【解析】∵ 四边形 BCDE 是矩形, ∴ BC=DE,BE=CD. 由题意可知,BE=CD=AH= 4,DG=HG, EF=HF, ∴ DG+EF=HG+HF=FG= 4. ∴ BC=DE=DG+EF+FG= 4+4 = 8. ∴ S△ABC =S矩形BCDE =BC·BE= 8×4 = 32. 15.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ DA=DC. ∴ ∠DAC= ∠DCA. ∵ ∠ADF= ∠CDE, ∴ ∠ADF-∠EDF= ∠CDE-∠EDF. ∴ ∠ADE= ∠CDF. 在△DAE 和△DCF 中, ∠DAE=∠DCF, DA=DC, ∠ADE=∠CDF, { ∴ △DAE≌△DCF(ASA) . ∴ AE=CF. 16. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ BC∥AD. ∴ ∠FCG= ∠EDG. ∵ G 是 CD 的中点, ∴ CG=DG. 在△CFG 和△DEG 中, ∠FCG= ∠EDG, CG=DG, ∠CGF= ∠DGE, { ∴ △CFG≌△DEG(ASA) . ∴ FG=EG. 又∵ CG=DG, ∴ 四边形 CEDF 是平行四边形. (2)解:①当 AE= 4 cm 时,四边形 CEDF 是菱 形. 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC= 10 cm,CD=AB= 6 cm, ∠CDE= ∠B= 60°. ∵ AE= 4 cm, ∴ DE=AD-AE= 6 cm. ∴ DE=CD. ∴ △CDE 是等边三角形. ∴ CE=DE. ∵ 四边形 CEDF 是平行四边形, ∴ 平行四边形 CEDF 是菱形. 故答案为 4. ②当 AE = 7 cm 时,平行四边形 CEDF 是矩 形. 理由如下: 如图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M, ∴ ∠AMB= 90°. ∵ ∠B= 60°,AB= 6 cm, ∴ ∠BAM= 90-∠B= 30°. ∴ BM= 1 2 AB= 3 cm. ∵ AE= 7 cm, ∴ DE=AD-AE= 3 cm =BM. 在△MBA 和△EDC 中, BM=DE, ∠B= ∠CDA, AB=CD, { ∴ △MBA≌△EDC(SAS) . ∴ ∠CED= ∠AMB= 90°. ∵ 四边形 CEDF 是平行四边形, ∴ 平行四边形 CEDF 是矩形. 故答案为 7. 17. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB=BC=CD=AD,∠B= ∠D. ∵ AE⊥BC,AF⊥CD, ∴ ∠AEB= ∠AFD= 90°. 在 △ABE 和△ADF 中, ∠AEB= ∠AFD, ∠B= ∠D, AB=AD, { ∴ △ABE≌△ADF(AAS) . (2)解:设菱形的边长为 x. ∵ AB=CD= x,CF= 2, ∴ DF= x-2. ∵ △ABE≌△ADF, ∴ BE=DF= x-2. 在 Rt△ABE 中,根据勾股定理,得 AE2 +BE2 =AB2,即 42 +(x-2) 2 = x2 . 解得 x= 5. ∴ 菱形的边长为 5. 18. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OB=OD,OA=OC. ∵ E,F 分别是 OA,OC 的中点, ∴ OE= 1 2 OA,OF= 1 2 OC. ∴ OE=OF. ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. ∴ BE=DF. (2)解:当 k= 2 时,四边形 DEBF 是矩形. 理由如下: 当 BD=EF 时,四边形 DEBF 是矩形, ∴ 当 OD=OE 时,四边形 DEBF 是矩形. ∵ AE=OE, ∴ 2OE=OA. 又∵ 2OA=AC, ∴ 4OE=AC. ∵ 2OD=BD,OD=OE, ∴ AC= 2BD,即AC BD = 2. ∴ 当 k= 2 时,四边形 DEBF 是矩形. 周末小金卷二 1. C　 2. C　 3. A　 4. D　 5. C　 6. C　 7. C 8. C　 【解析】如图,连接 AE,AC. ∵ 四边形 DEFG 是正方形, ∴ ∠EDG= 90°,EF=DE=DG=d1 . ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=AD=CD= 2,∠ADC= 90°. ∴ ∠ADC-∠CDE= ∠EDG-∠CDE, 即∠ADE= ∠CDG. ∴ △ADE≌△CDG(SAS) . ∴ AE=CG=d3 . ∴ d1 +d2 +d3 =EF+CF+AE. ∴ 点 A,E,F,C 在同一条线上时,EF+CF+AE 最小,即 d1 +d2 +d3 最小. ∴ d1 +d2 +d3 的最小值为 AC. 在 Rt△ABC 中,AC= AB2 +BC2 = 2 2 , ∴ d1 +d2 +d3 的最小值为 2 2 . 故选 C. 9. 150　 10. 15° 11. 有一组邻边相等的矩形是正方形　 12. 4 13. 1　 【解析】如图,连接 AG,EG. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=CD=AD= 8,∠B= ∠C= 90°. ∵ E 是 CD 的中点, ∴ DE=CE= 1 2 CD= 4. 设 CG= x,则 BG= 8-x. ∵ HG 垂直平分 AE, ∴ AG=EG. 在 Rt△ABG 和 Rt△GCE 中,根据勾股定理, 得 AB2 +BG2 =CE2 +CG2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 即 82 +(8-x) 2 = 42 +x2,解得 x= 7. ∴ BG=BC-CG= 8-7 = 1. 14. 2　 【解析】如图,分别以 BA 和 BC 为对称轴 在△ABC 的外部作△BDA 和△BDC 的对称 图形△BEA 和△BFC,EA 与 FC 的延长线交 于点 G. 由题意,得△ABD≌△ABE,△CBD≌△CBF, ∴ ∠ABD= ∠ABE, ∠CBD= ∠CBF, BE=BD,BF=BD. ∴ BE=BF. ∵ ∠ABC= ∠ABD+ ∠CBD= 45°, ∴ ∠EBF = 2(∠ABD+ ∠CBD)= 2∠ABC= 90°. ∵ BD⊥AC, ∴ ∠E= ∠ADB= 90°,∠F= ∠BDC= 90°. ∴ ∠E= ∠EBF= ∠F= 90° ∴ 四边形 BEGF 是正方形. ∴ BD=BE=BF=EG=FG= 6, AE=AD= 3,CF=CD= x. ∴ AG=EG-AE= 3,CG=FG-CF= 6-x, AC=AD+CD= 3+x. 在 Rt△AGC 中,AG2 +CG2 =AC2, 即 32 +(6-x) 2 =(3+x) 2 . 解得 x= 2,即 CD= 2. 15.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵ BE=DF,∴ OB-BE=OD-DF,即 OE=OF. ∴ 四边形 AECF 是菱形. ∵ OE=OA, ∴ OE=OF=OA=OC,即 EF=AC. ∴ 菱形 AECF 是正方形. 16. (1)证明:∵ 四边形 BEDF 是正方形, ∴ DF=BE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB. ∴ CD-DF=AB-BE. ∴ CF=AE. (2)解:∵ ▱ABCD 的面积为 20, AB= 5,四边形 BEDF 是正方形, ∴ AB·DE= 5DE= 20. ∴ DE=BE= 4. ∴ AE=AB-BE= 5-4 = 1. 由(1)知 CF=AE,∴ CF= 1. 17. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ CD=AB,∠ABE= ∠CDF= 45°. 又∵ BE=DF, ∴ △ABE≌△CDF(SAS) . (2)解:如图,连接 AC,交 BD 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OD=OB, ∠ABC= 90°. 又∵ BE=DF,∴ OE=OF. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵ AC⊥EF, ∴ 四边形 AECF 是菱形. ∵ AB= 3 2 ,BC=AB= 3 2 . 在 Rt△ABC 中,AC= AB2 +BC2 = 6. ∴ BD=AC= 6. ∵ BE=DF= 2,∴ EF= 6-2-2 = 2. ∴ 四边形 AECF 的面积 = 1 2 AC·EF = 1 2 ×6× 2=6. 18. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,四边形 HEFG 是菱形, ∴ AD=CD,ED=GD,∠A= ∠C= 90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDG 中, ED =GD, AD=CD,{ ∴ Rt△ADE≌Rt△CDG(HL) . (2)解:如图,过点 E 作 EQ⊥DF 于点 Q, 则∠EQB= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠A= 90°,AD=AB=AE+BE= 2+2 = 4, ∠EBQ= ∠CBD= 45°. ∴ ∠QEB= 45° = ∠EBQ. ∴ EQ=BQ. ∵ BE= 2,∴ 2EQ2 = 22 . ∴ EQ = BQ = 2 (负数 已舍去) . 在 Rt△DAE 中,由勾股定理, 得 DE= AD2 +AE2 = 42 +22 = 2 5 . ∵ 四边形 EFGH 是菱形,∴ EF=DE= 2 5 . ∴ FQ= EF2 -EQ2 = (2 5 ) 2 -( 2 ) 2 = 3 2 . ∴ BF=FQ-BQ= 3 2 - 2 = 2 2 . 周末小金卷三 1. C　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. C　 7. A　 8. B 9. x2 -x-12 = 0(答案不唯一,合理即可) 10. x1 = 2,x2 = -7　 11. -3　 12. - 8 3 13. x1 = -1,x2 = 1 4 14. 13 　 【解析】x2 -5x+6 = 0,(x-3)(x-2)= 0, 解得 x1 = 3,x2 = 2, ∴ 直角三角形的两直角边长分别是 3 和 2. ∴ 斜边长是 22 +32 = 13 . 15.解:(1)移项,得 x2 -2x= 1. 配方,得 x2 -2x+1 = 1+1, 即(x-1) 2 = 2. ∴ x-1 = ± 2 . 解得 x1 = 1+ 2 ,x2 = 1- 2 . (2)移项,得 5x(x-3) +2(x-3)= 0. 提取公因式,得(5x+2)(x-3)= 0. ∴ 5x+2 = 0,或 x-3 = 0. 解得 x1 = - 2 5 ,x2 = 3. (3)2x2 = 3(2x+1),即 2x2 -6x-3 = 0. ∴ a= 2,b= -6,c= -3. ∵ b2 -4ac = ( -6) 2 -4×2×( -3)= 60>0, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 6± 60 4 = 3± 15 2 . ∴ x1 = 3+ 15 2 ,x2 = 3- 15 2 . (4)移项,得(x-4) 2 +4x(x-4)= 0. 提取公因式,得(x-4)(x-4+4x)= 0, 即(x-4)(5x-4)= 0. ∴ 5x-4 = 0,或 x-4 = 0. 解得 x1 = 4 5 ,x2 = 4. 16. (1)证明:∵ 在方程 x2 -(k+3)x+2k+2 = 0 中, a= 1,b= -(k+3),c= 2k+2, ∴ b2 -4ac = [ -(k+3)] 2 -4×1×(2k+2) = k2 - 2k+1 = (k-1) 2≥0. ∴ 方程总有两个实数根. (2)解:∵ x2 -(k+3)x+2k+2 = (x-2)(x-k-1) = 0,∴ x1 = 2,x2 = k+1. ∵ 方程有一个根小于 1, ∴ k+1<1,解得 k<0. ∴ k 的取值范围为 k<0. 17.解:(1)由题意,得 x+4 = 0,y-3 = 0, 解得 x= -4,y= 3. 故答案为-4,3. (2)∵ x2 +y2 -2x+4y= -5, ∴ x2 +y2 -2x+4y+5 = 0. ∴ x2 -2x+1+y2 +4y+4 = 0. ∴ (x-1) 2 +(y+2) 2 = 0. ∴ x-1 = 0,y+2 = 0. ∴ x= 1,y= -2,∴ xy = 1. 故答案为 1. (3)∵ x2 +3y2 +4x-6y= -7, ∴ x2 +3y2 +4x-6y+7 = 0. ∴ x2 +4x+4+3(y2 -2y+1)= 0. ∴ (x+2) 2 +3(y-1) 2 = 0. ∴ x+2 = 0,y-1 = 0. ∴ x= -2,y= 1. ∴ (x+y) 2 026 = ( -2+1) 2 026 = 1. 18.解:(1)y= x2 -6x+12 = (x-3) 2 +3, ∵ (x-3) 2≥0,∴ (x-3) 2 +3≥3. ∴ x2 -6x+12≥3 ∴ y 的最小值是 3. (2)3x2 -x+2>2x2 +3x-6. 理由如下: 3x2 -x+2-(2x2 +3x-6) = 3x2 -x+2-2x2 -3x+6 = x2 -4x+8 = (x-2) 2 +4. ∵ (x-2) 2 +4>0, ∴ 3x2 -x+2>2x2 +3x-6. (3)由题意,得 AP= 2t cm,CQ= t cm, 则 PC= (4-2t)cm. ∴ S=S△ABC-S△PQC = 1 2 ×4×3- 1 2 (4-2t) t = 6-2t+t2 = ( t-1) 2 +5. ∵ ( t-1) 2≥0,∴ ( t-1) 2 +5≥5. ∴ S 的最小值是 5. 周末小金卷四 1. C　 2. A　 3. B　 4. A　 5. A　 6. B　 7. C 8. D　 【解析】∵ 关于 x 的方程 ax2 +2(a-b) x+ (b-a)= 0 有两个相等的实数根, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·28·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 · 3　 · 周末小金卷二 (考试范围:1. 3) 　 (时间:45 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1. 下列性质中,平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是 (　 　 ) A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分内角 2. (易错题)如图,以 A,B 为其中两个顶点作位置不同的正方形,一共可以作 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 2 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 3. 关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③它是一 个矩形. 下列推理过程正确的是 (　 　 ) A. 由②推出③,由③推出① B. 由①推出②,由②推出③ C. 由③推出①,由①推出② D. 由①推出③,由③推出② 4. 如图,正方形 OABC 的边长为 2 ,将正方形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 45°,则点 B 的对应点 B1 的坐标为 (　 　 ) A. (2,0) B. ( 2 ,0) C. (0, 2 ) D. (0,2) 5. 如图,正方形 ABCD 的边 AD 上有一点 E,连接 CE 交对角线 BD 于点 F,连接 AF. 若∠AFC= 140°,则∠DEC 的度数为 (　 　 ) A. 80° B. 75° C. 65° D. 70° 6. 如图,在四边形 ABCD 中,AD=DC,∠ADC= ∠ABC= 90°,DE⊥AB. 若四边形 ABCD 的面积为 16,则 DE 的长为 (　 　 ) A. 3 B. 2 C. 4 D. 8 7. 如图,在正方形 ABCD 中,E,H 分别为 CD,AD 边上的一点,BC = 6,CE = 2,连接 BE 和 CH,使得 BE⊥CH 交于点 F,G 是线段 CH 上的一个动点,连接 BG,EG. 当 四边形 GECB 的面积是 8 时,线段 HG 的长度为 (　 　 ) A. 10 5 B. 4 10 5 C. 6 10 5 D. 8 10 5 第 7 题图 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为与点 D 不重合的动点,以 DE 为一边作正方 形 DEFG. 设 DE=d1,点 F,G 与点 C 的距离分别为 d2,d3,则 d1 +d2 +d3 的最小值为 (　 　 ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9. 如图,已知 P 是正方形 ABCD 内部一点,且△PAB 是正三角形,则∠CPD = 　 　 　 　 度. 第 9 题图 　 　 第 10 题图 　 　 第 11 题图 　 　 第 12 题图 10. 如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 CDE,则∠AED 的度数为　 　 　 　 . 11. 如图,将矩形纸片折叠,使点 A 落在 BC 上的点 F 处,折痕为 BE. 若沿 EF 剪下, 则折叠部分是一个正方形,其数学原理是 　 . 12. 如图,将边长为 3 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 平移,使点 A 的对应点 A′满足 AA′= 1 3 AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13. 如图,正方形 ABCD 的边长为 8,E 是 CD 的中点,HG 垂直平分 AE 且分别交 AE, BC 于点 H,G,则 BG= 　 　 　 　 . 14. (新素养·推理能力)在△ABC 中,已知∠ABC= 45°,BD⊥AC 于点 D,AD= 3,BD = 6,则 CD 的长为　 　 　 　 . 三、解答题(共 44 分) 15. (10 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在对角线 BD 上,且 BE=DF,OE=OA. 求证:四边形 AECF 是正方形. 16. (11 分)如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,CD 上,且四边形 BEDF 是正 方形. (1)求证:CF=AE; (2)已知▱ABCD 的面积为 20,AB= 5,求 CF 的长. 17. (11 分)如图,E,F 分别是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点,且 BE=DF. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若 AB= 3 2 ,BE= 2,求四边形 AECF 的面积. 18. (12 分)(新素养·几何直观)将正方形 ABCD 和菱形 EFGH 按照如图所示摆 放,顶点 D 与顶点 H 重合,菱形 EFGH 的对角线 HF 经过点 B,点 E,G 分别在 AB,BC 上. (1)求证:△ADE≌△CDG; (2)若 AE=BE= 2,求 BF 的长. ·4·　 　 　 周末小金卷·数学·BS·九年级全一册