专项突破4 解直角三角形常见的数学模型-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·49　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　专项突破四　 解直角三角形常见的数学模型 类型一　 “A”字型 1. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B= ∠D= 90°,AB= 3,BC= 2,tan A= 4 3 ,求四边形 ABCD 的面积. 类型二　 “母子”模型 2. 如图,在△ABC 中,∠B= 30°,∠BCA= 45°,AC= 4,求 AB 的长. (参考数据:sin 75° = 6 + 2 4 ,cos 75° = 6 - 2 4 ) 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,D 是边 BC 的中点,CD= 2,tan B= 3 4 . (1)求 AD 和 AB 的长; (2)求 sin B,cos A 的值. 4. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠C= 90°,延长边 CA 到点 D,使 AD=AB,连接 BD. (1)求∠BDC 的度数; (2)求 tan∠BDC 的值. 类型三　 “背靠背”模型 5. 如图,已知在△ABC 中,∠A= 45°,∠B= 60°,AB= 8,求△ABC 的面积. 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 5,sin∠ABC= 2 5 . (1)求 BC 的长; (2)BE 是边 AC 上的高,请你补全图形,并求 BE 的长. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 5,BC= 6. (1)求 tan B 的值; (2)延长 BC 到点 D,连接 AD,如果∠ADB= 30°,求 CD 的长. 类型四　 “X”字型 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,D 是边 AB 的中点,连接 CD,过点 B 作 CD 的垂线,交 CD 的延长线 于点 E. 已知 AC= 30,cos A= 3 5 . (1)求线段 CD 的长; (2)求 sin∠DBE 的值. 9. 如图,在△ABC 中,CD⊥AB,垂足为 D,AD= 2,BD= 6,tan B= 2 3 ,E 是边 BC 的中点. (1)求边 AC 的长; (2)求 sin∠EAB 的值. 10. 如图,在△ABC 中,CD 是边 AB 上的高,AE 是边 BC 上的中线,已知 AD= 8,BD= 4,cos∠ABC= 4 5 . (1)求高 CD 的长; (2)求 tan∠EAB 的值. 类型五　 “一线三等角”模型 11. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B= ∠DCB= 90°,AB= 6,CD= 2,△ABP≌△PCD. (1)求 AD 的长; (2)求 tan∠DAC 的值. · 50·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·83　 · 解方程组 y= 5 7 x-16 7 , y= 12 x , ì î í ï ï ï ï 得 x= -14 5 , y= -30 7 ì î í ï ï ï ï 或 x= 6, y= 2.{ ∴ 点 F -14 5 ,-30 7( ) . 综上所述,点 F 的坐标为 10 7 ,42 5( ) 或 - 14 5 ,-30 7( ) . 专项突破四　 解直角三角形常见的数学模型 1.解:如图,延长 BC,AD 相交于点 E. 在 Rt△ABE 中, ∵ tan A= 4 3 =BE AB ,AB= 3,BC= 2,∴ BE= 4. ∵ CE+BC=BE,∴ CE= 2. ∵ ∠B= ∠ADC= 90°,∴ ∠A+∠DCB= 180°. ∵ ∠DCE+∠DCB= 180°,∴ ∠DCE= ∠A. 在 Rt△CDE 中, ∵ tan∠DCE= 4 3 =DE DC ,∴ 设 DE= 4k,CD= 3k, 则 (4k) 2 +(3k) 2 = 2. ∴ k= 2 5 ,DE= 8 5 ,CD= 6 5 . ∴ S四边形ABCD =S△ABE-S△CDE = 1 2 AB·BE- 1 2 CD·DE = 1 2 ×3×4- 1 2 × 6 5 × 8 5 = 6-24 25 = 126 25 . 2.解:如图,过点 C 作 CD⊥AB 交 BA 的延长线于点 D. ∵ ∠B= 30°,∠BCA= 45°,∴ ∠CAD= ∠B+∠BCA= 75°. 在 Rt△ACD 中,AC= 4,∠CAD= 75°, ∴ AD=AC·cos∠CAD= 4cos 75° = 4× 6 - 2 4 = 6 - 2 , CD=AC·sin∠CAD= 4sin 75° = 4× 6 + 2 4 = 6 + 2 . 在 Rt△BCD 中,∠B= 30°, ∴ BD= CD tan B = 6 + 2 tan 30° = 3 2 + 6 . ∴ AB=BD-AD= 3 2 + 6 - 6 + 2 = 4 2 . 3.解:∵ D 是边 BC 的中点,CD= 2, ∴ BC= 4. 在 Rt△ABC 中,∵ tan B= AC BC = 3 4 ,∴ AC= 3. (1)根据勾股定理, 得 AD= AC2 +CD2 = 32 +22 = 13 , AB= AC2 +BC2 = 32 +42 = 5. (2)在 Rt△ABC 中, sin B=AC AB = 3 5 ,cos B=BC AB = 4 5 . 4.解:(1)∵ △ABC 是等腰直角三角形,∠C= 90°, ∴ ∠BAC= 45°. ∵ AD=AB,∴ ∠D= ∠ABD. ∵ ∠BAC= ∠D+∠ABD,∴ ∠BDC= 1 2 ∠BAC= 22. 5°. (2)令 BC= 1,则 AC= 1,AB= 2BC= 2 . ∴ AD=AB= 2 . ∴ CD=AD+AC= 2 +1. ∴ tan∠BDC=BC CD = 1 2 +1 = 2 -1. 5.解:如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D, 则∠ADC= ∠BDC= 90°. ∵ ∠B= 60°,∠CAD= 45°, ∴ ∠BCD= 30°,∠ACD= 45°. ∴ AD=CD. 设 BD= x,则 CD= 3 x. ∵ AB= 8,∴ AD= 8-x. ∴ CD= 8-x. ∴ 3 x= 8-x. 解得 x= 4 3 -4. ∴ CD= 12-4 3 . ∴ S△ABC = 1 2 AB·CD= 1 2 ×8×(12-4 3 )= 48-16 3 . 6.解:(1)如图 1,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D. 图 1 ∵ AB=AC= 5,AD⊥BC,∴ BC= 2BD. 在 Rt△ABD 中,∵ sin∠ABC= 2 5 , ∴ AD=AB·sin∠ABC= 5× 2 5 = 2. ∴ BD= AB2 -AD2 = 52 -22 = 21 . ∴ BC= 2BD= 2 21 . ∴ BC 的长为 2 21 . (2)补全图形如图 2 所示. 图 2 ∵ ∠ABC= ∠ACB,∴ sin∠ABC= sin∠ACB= 2 5 . 在 Rt△BEC 中,BC= 2 21 , ∴ BE=BC·sin∠ACB= 2 21 × 2 5 = 4 21 5 . ∴ BE 的长为4 21 5 . 7.解:(1)如图,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E. ∵ AB=AC= 5,BC= 6,∴ BE=CE= 1 2 BC= 3. 在 Rt△ABE 中, ∵ AE= AB2 -BE2 = 52 -32 = 4,∴ tan B= AE BE = 4 3 . (2)∵ ∠ADB= 30°,AE= 4,tan∠ADB= AE DE , ∴ DE= AE tan∠ADB = 4 tan 30° = 4 3 3 = 4 3 . ∴ CD=DE-CE= 4 3 -3. 8.解:(1)在 Rt△ABC 中, ∵ ∠ACB= 90°,AC= 30,cos A=AC AB = 3 5 , ∴ AB= 50. ∵ D 是边 AB 的中点,∴ CD= 1 2 AB= 25. (2)如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F. 在 Rt△ABC 中,∵ ∠ACB= 90°,AC= 30,AB= 50, ∴ BC= 40. ∴ CF=AC·BC AB = 24. ∴ DF= CD2 -CF2 = 252 -242 = 7. ∴ sin∠DCF=DF CD = 7 25 . ∵ ∠DCF+∠CDF=∠DBE+∠BDE= 90°,∠CDF=∠BDE, ∴ ∠DBE= ∠DCF. ∴ sin∠DBE= sin∠DCF= 7 25 . 9.解:(1)∵ CD⊥AB,∴ △ACD,△BCD 均是直角三角形. 在 Rt△CDB 中, ∵ BD= 6,tan B=CD BD = 2 3 ,∴ CD= 4. 在 Rt△CDA 中,AC= CD2 +AD2 = 42 +22 = 2 5 . (2)如图,过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. ∵ CD⊥AB,EF⊥AB, ∴ CD∥EF. 又∵ E 是边 BC 的中点, ∴ EF 是△BCD 的中位线. ∴ DF=BF= 3,EF= 1 2 CD= 2. ∴ AF=AD+DF= 5. 在 Rt△AEF 中,AE= AF2 +EF2 = 52 +22 = 29 . ∴ sin∠EAB=EF AE = 2 29 = 2 29 29 . 10.解:(1)在 Rt△BCD 中, ∵ cos∠ABC=BD BC = 4 5 , ∴ 4 BC = 4 5 . ∴ BC= 5. ∴ CD= BC2 -BD2 = 52 -42 = 3. (2)如图,过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. ∵ EF⊥BD, ∴ CD∥EF. ∵ AE 是边 BC 上的中线, ∴ EF 是△BCD 的中位线. ∴ EF= 1 2 CD= 1 2 ×3 = 3 2 ,DF= 1 2 BD= 1 2 ×4 = 2. ∴ AF=AD+DF= 8+2 = 10. 在 Rt△AEF 中,tan∠EAB=EF AF = 3 2 10 = 3 20 . 11.解:(1)∵ △ABP≌△PCD, ∴ AB=CP= 6,BP=CD= 2,AP=DP,∠APB= ∠CDP. ∵ ∠PCD= 90°,∴ ∠CPD+∠CDP= 90°. ∴ ∠APB+∠CPD= 90°. ∴ ∠APD= 90°. ∵ DP= CP2 +CD2 = 62 +22 = 2 10 , ∴ AD= AP2 +DP2 = 4 5 . (2)如图,过点 D 作 DH⊥AC 于点 H. 在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 6,BC= 8, ∴ AC= AB2 +BC2 = 62 +82 = 10. ∵ ∠B= ∠DCB= 90°, ∴ AB∥CD. ∴ ∠CAB= ∠DCH. ∵ ∠B= ∠CHD= 90°, ∴ △ABC∽△CHD. ∴ AB CH = BC HD = AC CD . ∴ 6 CH = 8 HD = 10 2 . ∴ CH= 6 5 ,HD= 8 5 . ∴ AH=AC-CH= 10- 6 5 = 44 5 . ∴ tan∠DAC=HD AH = 8 5 44 5 = 2 11 . 专项突破五　 二次函数的动点问题 1.解:(1)当 x= 0 时,y= 5 2 ,∴ 点 C 0, 5 2( ) . 当 y= 0 时,- 1 2 x2 +2x+ 5 2 = 0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋