专项突破3 反比例函数的综合应用-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·47　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　专项突破三　 反比例函数的综合应用 类型一　 反比例函数与线段最值问题 1. 如图,一次函数 y= x+1 与反比例函数 y= k x 的图象交于点 A(2,3)和点 B,BC⊥x 轴. (1)求反比例函数的表达式; (2)y 轴上是否存在一点 D,使得 BD+CD 的值最小? 若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明 理由. 2. 如图,一次函数 y=x-1 与反比例函数 y= k x (x>0)的图象交于点 B(3,a),与 x 轴交于点 A. 点 C 在反比 例函数 y= k x (x>0)的图象上,CD⊥x 轴,垂足为 D,CD 与 AB 交于点 E,OA=AD. (1)求 a,k 的值; (2)若 P 为 x 轴上的一点,当 PB+PC 最小时,求点 P 的坐标. 3. 如图,直线 AB:y=ax+b 与反比例函数 y= k x 的图象交于点 A(2,n)和点 B( -4,-2) . (1)求直线 AB:y=ax+b 和反比例函数 y= k x 的表达式; (2)在 x 轴上找一点 P,使 |PA-PB |的值最大,请直接写出满足条件的点 P 的坐标. 4. 如图,在矩形 ABCO 中,AB= 2,BC= 4,D 是边 AB 的中点,反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 D,交 BC 于点 E. (1)求 k 的值及直线 DE 的表达式; (2)在 x 轴上找一点 P,使△PDE 的周长最小,求此时点 P 的坐标. 类型二　 反比例函数与特殊多边形存在性问题 5. 如图,一次函数 y1 = k1x+4 与反比例函数 y2 = k2 x 的图象交于点 A(2,m)和 B( -6,-2),与 y 轴交于 点 C. (1)k1 = 　 　 　 　 ,k2 = 　 　 　 　 ; (2)M 是坐标轴上的一个动点,N 是平面内的任意一点,当四边形 ABMN 是矩形时,求出点 M 的 坐标. 6. 如图,直线 AD:y= 3x+3 与坐标轴交于 A,D 两点,以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ABCD,过点 C 作 CG⊥y 轴于点 G,过点 C 的反比例函数 y= k x (k≠0)的图象与直线 AD 交于 E,F 两点. (1)求反比例函数 y= k x (k≠0)的表达式; (2)在 x 轴上是否存在一点 Q,使△CBQ 为等腰三角形? 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明 理由. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. 如图,一次函数 y= kx+b 与反比例函数 y= s x (x>0)的图象交于点 A(1,6),B(3,t)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)连接 OA,OB,求△AOB 的面积; (3)直线 a 经过点(0,1)且平行于 x 轴,点 M 在直线 a 上,点 N 在 y 轴上,以 A,B,M,N 为顶点的四边 形可以是平行四边形吗? 如果可以,直接写出点 M,N 的坐标;如果不可以,说明理由. 8. 如图,A 是反比例函数 y= k x (k<0)位于第二象限的图象上的一个动点,过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C. M 是线段 AC 的中点,过点 M 作 AC 的垂线,与反比例函数的图象及 y 轴分别交于 B,D 两点,顺次连接 点 A,B,C,D. 设点 A 的横坐标为 t. (1)求点 B 的坐标;(用含有 k,t 的代数式表示) (2)求证:四边形 ABCD 是菱形; (3)若△ABM 的面积为 8,当四边形 ABCD 是正方形时,直接写出直线 AB 的表达式. 类型三　 反比例函数与角度问题 9. 如图 1,一次函数 y= -2x+4 的图象交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,与反比例函数 y= 2 x (x>0)的图象交 于点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)如图 2,过点 B 作 BM⊥OB 交反比例函数 y= 2 x (x>0)的图象于点M,N 为反比例函数 y= 2 x (x>0) 的图象上一点,∠ABM= ∠BAN,请直接写出点 N 的坐标. 图 1 　 　 图 2 10. 如图 1,在平面直角坐标系中,矩形 OCBA 的顶点 C,A 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,反比例函数 y = k x 的图象与 AB,BC 分别交于点 D,E,且顶点 B 的坐标为(6,3),BD= 2. (1)求反比例函数 y= k x 的表达式及点 E 的坐标; (2)如图 2,连接 DE,AC,试判断 DE 与 AC 的数量和位置关系,并说明理由; (3)如图 3,连接 AE,在反比例函数 y = k x 的图象上是否存在点 F,使得∠AEF = 45°,若存在,直接写 出点 F 的坐标. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 · 48·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·81　 · 9. (1)证明:∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD= ∠CAD. ∵ BE=BD,∴ ∠BED= ∠BDE. ∴ ∠AEB= ∠ADC. ∴ △ABE∽△ACD. (2)解:∵ △ABE∽△ACD,∴ AE AD =BE CD . ∵ BE=BD= 1,BC= 3,∴ CD= 2. ∴ AE AD = 1 2 . 10. (1)证明:∵ BD⊥MN 于点 D,CE⊥MN 于点 E, ∴ ∠ADB= ∠CEA= 90°. ∵ ∠BAC= 90°, ∴ ∠B= ∠EAC= 90°-∠BAD. ∴ △ADB∽△CEA. (2)解:∵ ∠ADB= 90°,AB= 5 ,AD=AE= 2, ∴ BD= AB2 -AD2 = ( 5 ) 2 -22 = 1. ∵ △ADB∽△CEA,∴ BD AE =AD CE . ∴ CE=AD·AE BD = 2×2 1 = 4. ∴ CE 的长是 4. 11. (1)证明:∵ ∠BAP+∠B+∠APB= 180° = ∠APB+ ∠APM+∠CPM,∠APM= ∠B, ∴ ∠BAP= ∠CPM. ∴ △ABP∽△PCM. (2)解:∵ △ABP∽△PCM,△PCM 为直角三角形, ∴ △ABP 为直角三角形. ①当∠APB= 90°时,如图 1 所示. ∵ AB=AC,∴ BP=CP= 1 2 BC= 4 cm. 图 1 　 　 图 2 ②当∠BAP= 90°时,如图 2 所示. ∵ BD=CD= 1 2 BC= 4 cm,AB= 5 cm, ∴ cos∠ABP= AB BP =BD AB = 4 5 . ∴ 5 BP = 4 5 . ∴ BP= 25 4 . 综上所述,当△PCM 为直角三角形时,线段 BP 的长度 为 4 cm 或25 4 cm. 12. (1)证明:∵ 在等腰三角形 ABC 中,∠BAC= 120°, ∴ ∠ABD= ∠ACB= 30°. ∴ ∠ABD= ∠ADE= 30°. ∵ ∠ADC= ∠ADE+∠EDC= ∠ABD+∠DAB, ∴ ∠EDC= ∠DAB. ∴ △ABD∽△DCE. (2)解:如图 1,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F, 则∠AFB= 90°. 　 图 1 ∵ AB= 2,∠ABF= 30°, ∴ AF= 1 2 AB= 1. ∴ BF= 3 . ∴ BC= 2BF= 2 3 . ∵ 设 BD= x,AE= y, ∴ DC= 2 3 -x,CE= 2-y. ∵ △ABD∽△DCE, ∴ AB BD =DC CE ,即 2 x = 2 3 -x 2-y . ∴ y= 1 2 x2 - 3 x+2(0<x<2 3 ) . ∵ y= 1 2 x2 - 3 x+2 = 1 2 (x- 3 ) 2 + 1 2 , ∴ 当 x= 3时,y 有最小值 1 2 . (3)解:如图 2,当 AD=DE 时, 由(1)知,△ABD∽△DCE, ∴ AB=DC,即 2 = 2 3 -x. ∴ x= 2 3 -2. 代入 y= 1 2 x2 - 3 x+2 中,得 y= 4-2 3 , 即 AE= 4-2 3 . 图 2 　 　 图 3 如图 3,当 AE=ED 时, ∵ ∠EAD= ∠EDA= 30°,∠AED= 120°, ∴ ∠DEC= 60°,∠EDC= 90°. ∴ ED= 1 2 EC,即 y= 1 2 (2-y) . 解得 y= 2 3 ,即 AE= 2 3 . 当 AD=AE 时,∠AED= ∠EDA= 30°,∠EAD= 120°, 此时点 D 与点 B 重合,不符合题意,此情况不存在. 综上,当△ADE 是等腰三角形时,AE 的长为 4 - 2 3 或 2 3 . 专项突破三　 反比例函数的综合应用 1.解:(1)∵ 反比例函数 y= k x 的图象过点 A(2,3), ∴ k= 2×3 = 6. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x . (2)存在. 如图,作点 C 关于 y 轴的对称点 C′,连接 BC′交 y 轴于 点 D,连接 CD,此时 BD+CD 的值最小. ∵ 一次函数 y = x + 1 与反比例函数 y = 6 x 的图象交于 点 A,B, ∴ 令 x+1 = 6 x ,得 x= -3 或 2. ∴ 点 B( -3,-2) . ∵ BC⊥x 轴,∴ 点 C( -3,0) . ∴ 点 C′(3,0) . 设直线 BC′的表达式为 y=mx+n. 将点 B( -3,-2),C′(3,0)代入, 得 -3m+n= -2, 3m+n= 0.{ 解得 m= 1 3 , n= -1. { ∴ 直线 BC′的表达式为 y= 1 3 x-1. 当 x= 0 时,y= -1,∴ 点 D 的坐标为(0,-1) . 2.解:(1)∵ 一次函数 y= x-1 与反比例函数 y= k x (x>0)的 图象交于点 B(3,a), ∴ a= 3-1. ∴ a= 2. ∴ 点 B(3,2) . ∴ k= 3×2 = 6. (2)令 y= 0,则 x-1 = 0. ∴ x= 1. ∴ 点 A(1,0) . ∴ OA= 1. ∵ OA=AD,∴ AD= 1. ∴ OD= 2. ∴ 点 C 的横坐标为 2. 由(1),知 k= 6, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x . ∴ 当 x= 2 时,y= 6 2 = 3. ∴ 点 C(2,3) . 如图,作点 C 关于 x 轴的对称点 C′(2,-3),连接 BC′交 x 轴于点 P,此时 PB+PC 最小. 设直线 BC′的表达式为 y= kx+b(k≠0) . 将点 C′,B 的坐标代入, 得 2k+b= -3, 3k+b= 2.{ 解得 k= 5, b= -13.{ ∴ 直线 BC′的表达式为 y= 5x-13. 令 y= 0,则 5x-13 = 0. ∴ x= 13 5 . ∴ 点 P 13 5 ,0( ) . 3.解:(1)∵ 反比例函数 y= k x 的图象过点 B( -4,-2), ∴ k= -4×( -2)= 8. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 8 x . 将点 A(2,n)代入上式,解得 n= 4. ∴ 点 A(2,4) . 将点 A,B 的坐标代入 y=ax+b 中, 得 2a+b= 4, -4a+b= -2.{ 解得 a= 1, b= 2.{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= x+2. (2)如图,作点 B 关于 x 轴的对称点 B′( -4,2),作直线 AB′交 x 轴于点 P,此时 | PA-PB | = | PA-PB′ | = AB′的值 最大. 设直线 AB′的表达式为 y=mx+n(m≠0) . 将点 A,B′的坐标代入, 得 2m+n= 4, -4m+n= 2.{ 解得 m= 1 3 , n= 10 3 . ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AB′的表达式为 y= 1 3 x+10 3 . 令 y= 0,则 x= -10. ∴ 点 P 的坐标为( -10,0) . 4.解:(1)∵ 在矩形 ABCO 中,AB= 2,BC= 4, ∴ 点 B(4,2) . ∵ D 是边 AB 的中点,∴ 点 D(4,1) . ∵ 反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 D, ∴ k= 4×1 = 4. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x . 当 y= 2 时,2 = 4 x . 解得 x= 2. ∴ 点 E(2,2) . 设直线 DE 的表达式为 y=mx+b(m≠0) . ∴ 2m +b= 2, 4m+b= 1.{ 解得 m= - 1 2 , b= 3. { ∴ 直线 DE 的表达式为 y= - 1 2 x+3. (2)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′(4,-1), 作直线 ED′交 x 轴于点 P,连接 PD,此时△PDE 的周长 最小. 设直线 ED′的表达式为 y=ax+c(a≠0) . ∴ 2a +c= 2, 4a+c= -1.{ 解得 a= - 3 2 , c= 5. { ∴ 直线ED′的表达式为 y=- 3 2 x+5. 当 y= 0 时,即- 3 2 x+5 = 0, 解得 x= 10 3 . ∴ 当△PDE 的周长最小时,点 P 的坐标为 10 3 ,0( ) . 5.解:(1)将点 B( -6,-2)代入 y1 = k1x+4 中, 得-2 = -6k1 +4. 解得 k1 = 1. 将点 B( -6,-2)代入 y2 = k2 x 中,得-2 = k2 -6 . 解得 k2 = 12. (2)如图,设直线 AB 交 x 轴于点 T. ∵ 直线 AC 的表达式为 y= x+4, ∴ 点 T( -4,0),C(0,4) . ∴ OT=OC= 4. ∴ ∠OTC= ∠OCT= 45°. ∵ 四边形 ABMN 是矩形, ∴ ∠MBC= 90°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ ∠BMC= ∠BCM= 45°. ∵ 点 B( -6,-2), ∴ 点 M(0,-8) . 当四边形 ABM1N1 是矩形时,同法可得 M1( -8,0) . 综上所述,点 M 的坐标为(0,-8)或( -8,0) . 6.解:(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=CD,∠ADC= 90°. ∴ ∠ADO+∠CDG= 90°. ∵ CG⊥y 轴,∴ ∠CGD= 90°. ∴ ∠CDG+∠DCG= 90°. ∴ ∠ADO= ∠DCG. 在△AOD 和△DGC 中, ∠AOD= ∠DGC, ∠ADO= ∠DCG, AD=CD, { ∴ △AOD≌△DGC(AAS) . 对于直线 AD:y= 3x+3, 令 x= 0,则 y= 3. ∴ 点 D(0,3) . ∴ OD= 3. 令 y= 0,则 3x+3 = 0. ∴ x= -1. ∴ 点 A( -1,0) . ∴ OA= 1. ∵ △AOD≌△DGC,∴ CG=OD= 3,DG=OA= 1. ∴ 点 C(3,2) . 将点 C 的坐标代入 y= k x (k≠0)中,得 k= 2×3 = 6. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x . (2)存在. 如图,过点 B 作 BM⊥x 轴于点 M. 同法可证△DAO≌ABM, ∴ OA=BM= 1,AM=OD= 3. ∴ OM= 2. ∴ 点 B(2,-1) . 设点 Q(a,0) . ∴ BC= 10,CQ= (3-a)2+22 ,BQ= (a-2)2+(0+1)2 . ①当△CBQ 为等腰三角形,BC=CQ 时,BC2 =CQ2, ∴ ( 10 ) 2 = (3-a) 2 +22 . 解得 a= 3± 6 . 此时点 Q1(3+ 6 ,0),Q2(3- 6 ,0); ②当△CBQ 为等腰三角形,BC=BQ 时,BC2 =BQ2, ∴ ( 10 ) 2 = (a-2) 2 +(0+1) 2 . 解得 a1 = -1,a2 = 5. 此时点 Q3( -1,0),Q4(5,0); ③当△CBQ 为等腰三角形,CQ=BQ 时,CQ2 =BQ2, ∴ (3-a) 2 +22 = (a-2) 2 +(0+1) 2 . 解得 a= 4. 此时点 Q5(4,0) . 综上,点 Q 的坐标为(3 + 6 ,0),(3 - 6 ,0),( - 1,0), (5,0)和(4,0) . 7.解:(1)将点 A(1,6) 的坐标代入反比例函数的表达式 中,得 6 = s 1 . 解得 s= 6. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x . 当 x= 3 时,y= 6 x = 2,即点 B(3,2) . 设一次函数的表达式为 y= kx+b(k≠0) . 将点 B,A 的坐标代入,得 2 = 3k+b, 6 = k+b.{ 解得 k= -2, b= 8.{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -2x+8. (2)如图,设直线 AB 交 x 轴于点 H. 令 y= -2x+8 = 0,解得 x= 4,即 OH= 4. ∴ S△AOB =S△AOH-S△BOH = 1 2 ×4×6- 1 2 ×4×2 = 8. (3)设点 M,N 的坐标分别为(m,1),(0,n) . 当 AB 是对角线时,由中点坐标公式, 得 1+3 =m, 6+2 =n+1.{ 解得 m= 4, n= 7,{ 即点 M,N 的坐标分别为(4,1),(0,7) . 当 AM 是对角线时,由中点坐标公式, 得 1+m= 3, 6+1 = 2+n.{ 解得 m= 2, n= 5,{ 即点 M,N 的坐标分别为(2,1),(0,5) . 当 AN 是对角线时,由中点坐标公式, 得 1 = 3+m, 6+n= 2+1.{ 解得 m= -2, n= -3,{ 即点 M,N 的坐标分别为( -2,1),(0,-3) . 综上所述, 点 M, N 的坐标分别为 ( 4, 1), ( 0, 7) 或 (2,1),(0,5)或( -2,1),(0,-3) . 8. (1)解:当 x= t 时,y= k t ,∴ 点 A t, k t( ) . 由题意知,BD 是 AC 的中垂线, ∴ 点 B 的纵坐标为 k 2t . ∴ 把 y= k 2t 代入 y= k x 中,得 x= 2t. ∴ 点 B 2t, k 2t( ) . (2)证明:∵ BD⊥AC,AC⊥x 轴,∴ BD⊥y 轴. 由(1)知,点 B 2t, k 2t( ) ,A t, k t( ) , ∴ 点 D 0, k 2t( ) ,M t, k 2t( ) . ∴ BM=DM= -t. ∵ AC⊥x 轴,∴ 点 C( t,0) . ∴ AM=CM. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ BD⊥AC,∴ ▱ABCD 是菱形. (3)解:当四边形 ABCD 是正方形时,△ABM 是等腰直角 三角形,此时 AM=BM. ∵ △ABM 的面积为 8,∴ S△ABM = 1 2 AM2 = 8. ∴ AM=BM= 4. ∵ M 是线段 AC 的中点, ∴ AC= 2AM= 8,BD= 2BM= 8. ∴ 2t= -8, k t = 8. ∴ 点 A( -4,8),B( -8,4) . 设直线 AB 的表达式为 y= k′x+b(k′≠0) . ∴ -4k′+b= 8, -8k′+b= 4.{ 解得 k′= 1, b= 12.{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= x+12. 9.解:(1)解方程组 y= -2x+4, y= 2 x ,{ 得 x= 1,y= 2.{ ∴ 点 C 的坐标为(1,2) . (2)∵ 点 A(2,0),B(0,4),C(1,2), ∴ C 是 AB 的中点,OA= 2,OB= 4. ∴ AB= OA2 +OB2 = 22 +42 = 2 5 . ∴ BC= 5 . 如图,延长 BM 交 AN 的延长线于点 H. ∵ ∠ABM= ∠BAN, ∴ BH=AH. 连接 HC,则 CH⊥AB. ∵ BM⊥OB,∴ BM∥OA. ∴ ∠HBA= ∠BAO. 又∵ ∠HCB= ∠BOA= 90°, ∴ △HBC∽△BAO. ∴ BH BC = AB AO ,即BH 5 = 2 5 2 . ∴ BH= 5. ∴ 点 H(5,4) . 设直线 AN 的表达式为 y=mx+b. ∵ 直线 AN 过点 A(2,0),H(5,4), ∴ 2m +b= 0, 5m+b= 4.{ 解得 m= 4 3 , b= - 8 3 . ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AN 的表达式为 y= 4 3 x- 8 3 . 解方程组 y= 4 3 x- 8 3 , y= 2 x , ì î í ï ï ï ï 得 x= 2 + 10 2 , y= 2 10 -4 3 . ì î í ï ïï ï ï ∴ 点 N 2+ 10 2 ,2 10 -4 3( ) . 10.解:(1)∵ 点 B(6,3),BD= 2,∴ 点 D(4,3) . ∵ y= k x 的图象过点 D(4,3),∴ k= 4×3 = 12. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 12 x . 由点 B(6,3),设点 E(6,n) . 将点 E 的坐标代入 y= 12 x 中,得 n= 2. ∴ 点 E(6,2) . (2)DE∥AC,DE= 1 3 AC. 理由如下: ∵ 点 B(6,3),D(4,3),E(6,2), ∴ BD= 2,AB= 6,BE= 1,BC= 3. ∴ BD AB =BE BC . ∵ ∠DBE= ∠ABC,∴ △BDE∽△BAC. ∴ DE AC =BD AB = 1 3 ,∠BDE= ∠BAC. ∴ DE∥AC,DE= 1 3 AC. (3) 10 7 ,42 5( ) 或 - 14 5 ,-30 7( ) . 如图 1,当点 F 在直线 AE 上方时,过点 A 作 AG⊥AE 交 EF 的延长线于点 G,设点 G(x,y),过点 G 作 GM⊥y 轴 交 y 轴于点 M,过点 E 作 EN⊥y 轴交 y 轴于点 N. ∵ 点 B(6,3),E(6,2),G(x,y), ∴ GM= x,AM= y-3,AN= 1,EN= 6. ∵ ∠AEF= 45°,∠EAG= 90°, ∴ ∠AEG= ∠AGE= 45°. ∴ AG=AE. ∵ ∠MGA+∠MAG= 90°,∠MAG+∠NAE= 90°, ∴ ∠MGA= ∠NAE. 在△MGA 和△NAE 中, ∠AMG= ∠ENA, ∠MGA= ∠NAE, AG=AE, { ∴ △MGA≌△NAE(AAS) . ∴ GM=AN= 1,AM=EN. ∴ x = 1, y-3 = 6.{ 解得 x= 1, y= 9.{ ∴ 点 G(1,9) . ∵ 点 E(6,2),∴ 直线 EF 的表达式为 y= - 7 5 x+52 5 . 解方程组 y= - 7 5 x+52 5 , y= 12 x , ì î í ï ï ï ï 得 x= 10 7 , y= 42 5 ì î í ï ï ï ï 或 x= 6, y= 2.{ ∴ 点 F 10 7 ,42 5( ) . 图 1 　 　 图 2 如图 2,当点 F 在直线 AE 下方时,过点 A 作 AT⊥AE 交 EF 于点 T,过点 T 作 TK⊥AB 交 BA 的延长线于点 K. 同理可得 AK=BE= 1,KT=AB= 6,∴ 点 T( -1,-3) . ∵ 点 E(6,2),∴ 直线 ET 的表达式为 y= 5 7 x-16 7 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 82·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·83　 · 解方程组 y= 5 7 x-16 7 , y= 12 x , ì î í ï ï ï ï 得 x= -14 5 , y= -30 7 ì î í ï ï ï ï 或 x= 6, y= 2.{ ∴ 点 F -14 5 ,-30 7( ) . 综上所述,点 F 的坐标为 10 7 ,42 5( ) 或 - 14 5 ,-30 7( ) . 专项突破四　 解直角三角形常见的数学模型 1.解:如图,延长 BC,AD 相交于点 E. 在 Rt△ABE 中, ∵ tan A= 4 3 =BE AB ,AB= 3,BC= 2,∴ BE= 4. ∵ CE+BC=BE,∴ CE= 2. ∵ ∠B= ∠ADC= 90°,∴ ∠A+∠DCB= 180°. ∵ ∠DCE+∠DCB= 180°,∴ ∠DCE= ∠A. 在 Rt△CDE 中, ∵ tan∠DCE= 4 3 =DE DC ,∴ 设 DE= 4k,CD= 3k, 则 (4k) 2 +(3k) 2 = 2. ∴ k= 2 5 ,DE= 8 5 ,CD= 6 5 . ∴ S四边形ABCD =S△ABE-S△CDE = 1 2 AB·BE- 1 2 CD·DE = 1 2 ×3×4- 1 2 × 6 5 × 8 5 = 6-24 25 = 126 25 . 2.解:如图,过点 C 作 CD⊥AB 交 BA 的延长线于点 D. ∵ ∠B= 30°,∠BCA= 45°,∴ ∠CAD= ∠B+∠BCA= 75°. 在 Rt△ACD 中,AC= 4,∠CAD= 75°, ∴ AD=AC·cos∠CAD= 4cos 75° = 4× 6 - 2 4 = 6 - 2 , CD=AC·sin∠CAD= 4sin 75° = 4× 6 + 2 4 = 6 + 2 . 在 Rt△BCD 中,∠B= 30°, ∴ BD= CD tan B = 6 + 2 tan 30° = 3 2 + 6 . ∴ AB=BD-AD= 3 2 + 6 - 6 + 2 = 4 2 . 3.解:∵ D 是边 BC 的中点,CD= 2, ∴ BC= 4. 在 Rt△ABC 中,∵ tan B= AC BC = 3 4 ,∴ AC= 3. (1)根据勾股定理, 得 AD= AC2 +CD2 = 32 +22 = 13 , AB= AC2 +BC2 = 32 +42 = 5. (2)在 Rt△ABC 中, sin B=AC AB = 3 5 ,cos B=BC AB = 4 5 . 4.解:(1)∵ △ABC 是等腰直角三角形,∠C= 90°, ∴ ∠BAC= 45°. ∵ AD=AB,∴ ∠D= ∠ABD. ∵ ∠BAC= ∠D+∠ABD,∴ ∠BDC= 1 2 ∠BAC= 22. 5°. (2)令 BC= 1,则 AC= 1,AB= 2BC= 2 . ∴ AD=AB= 2 . ∴ CD=AD+AC= 2 +1. ∴ tan∠BDC=BC CD = 1 2 +1 = 2 -1. 5.解:如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D, 则∠ADC= ∠BDC= 90°. ∵ ∠B= 60°,∠CAD= 45°, ∴ ∠BCD= 30°,∠ACD= 45°. ∴ AD=CD. 设 BD= x,则 CD= 3 x. ∵ AB= 8,∴ AD= 8-x. ∴ CD= 8-x. ∴ 3 x= 8-x. 解得 x= 4 3 -4. ∴ CD= 12-4 3 . ∴ S△ABC = 1 2 AB·CD= 1 2 ×8×(12-4 3 )= 48-16 3 . 6.解:(1)如图 1,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D. 图 1 ∵ AB=AC= 5,AD⊥BC,∴ BC= 2BD. 在 Rt△ABD 中,∵ sin∠ABC= 2 5 , ∴ AD=AB·sin∠ABC= 5× 2 5 = 2. ∴ BD= AB2 -AD2 = 52 -22 = 21 . ∴ BC= 2BD= 2 21 . ∴ BC 的长为 2 21 . (2)补全图形如图 2 所示. 图 2 ∵ ∠ABC= ∠ACB,∴ sin∠ABC= sin∠ACB= 2 5 . 在 Rt△BEC 中,BC= 2 21 , ∴ BE=BC·sin∠ACB= 2 21 × 2 5 = 4 21 5 . ∴ BE 的长为4 21 5 . 7.解:(1)如图,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E. ∵ AB=AC= 5,BC= 6,∴ BE=CE= 1 2 BC= 3. 在 Rt△ABE 中, ∵ AE= AB2 -BE2 = 52 -32 = 4,∴ tan B= AE BE = 4 3 . (2)∵ ∠ADB= 30°,AE= 4,tan∠ADB= AE DE , ∴ DE= AE tan∠ADB = 4 tan 30° = 4 3 3 = 4 3 . ∴ CD=DE-CE= 4 3 -3. 8.解:(1)在 Rt△ABC 中, ∵ ∠ACB= 90°,AC= 30,cos A=AC AB = 3 5 , ∴ AB= 50. ∵ D 是边 AB 的中点,∴ CD= 1 2 AB= 25. (2)如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F. 在 Rt△ABC 中,∵ ∠ACB= 90°,AC= 30,AB= 50, ∴ BC= 40. ∴ CF=AC·BC AB = 24. ∴ DF= CD2 -CF2 = 252 -242 = 7. ∴ sin∠DCF=DF CD = 7 25 . ∵ ∠DCF+∠CDF=∠DBE+∠BDE= 90°,∠CDF=∠BDE, ∴ ∠DBE= ∠DCF. ∴ sin∠DBE= sin∠DCF= 7 25 . 9.解:(1)∵ CD⊥AB,∴ △ACD,△BCD 均是直角三角形. 在 Rt△CDB 中, ∵ BD= 6,tan B=CD BD = 2 3 ,∴ CD= 4. 在 Rt△CDA 中,AC= CD2 +AD2 = 42 +22 = 2 5 . (2)如图,过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. ∵ CD⊥AB,EF⊥AB, ∴ CD∥EF. 又∵ E 是边 BC 的中点, ∴ EF 是△BCD 的中位线. ∴ DF=BF= 3,EF= 1 2 CD= 2. ∴ AF=AD+DF= 5. 在 Rt△AEF 中,AE= AF2 +EF2 = 52 +22 = 29 . ∴ sin∠EAB=EF AE = 2 29 = 2 29 29 . 10.解:(1)在 Rt△BCD 中, ∵ cos∠ABC=BD BC = 4 5 , ∴ 4 BC = 4 5 . ∴ BC= 5. ∴ CD= BC2 -BD2 = 52 -42 = 3. (2)如图,过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. ∵ EF⊥BD, ∴ CD∥EF. ∵ AE 是边 BC 上的中线, ∴ EF 是△BCD 的中位线. ∴ EF= 1 2 CD= 1 2 ×3 = 3 2 ,DF= 1 2 BD= 1 2 ×4 = 2. ∴ AF=AD+DF= 8+2 = 10. 在 Rt△AEF 中,tan∠EAB=EF AF = 3 2 10 = 3 20 . 11.解:(1)∵ △ABP≌△PCD, ∴ AB=CP= 6,BP=CD= 2,AP=DP,∠APB= ∠CDP. ∵ ∠PCD= 90°,∴ ∠CPD+∠CDP= 90°. ∴ ∠APB+∠CPD= 90°. ∴ ∠APD= 90°. ∵ DP= CP2 +CD2 = 62 +22 = 2 10 , ∴ AD= AP2 +DP2 = 4 5 . (2)如图,过点 D 作 DH⊥AC 于点 H. 在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 6,BC= 8, ∴ AC= AB2 +BC2 = 62 +82 = 10. ∵ ∠B= ∠DCB= 90°, ∴ AB∥CD. ∴ ∠CAB= ∠DCH. ∵ ∠B= ∠CHD= 90°, ∴ △ABC∽△CHD. ∴ AB CH = BC HD = AC CD . ∴ 6 CH = 8 HD = 10 2 . ∴ CH= 6 5 ,HD= 8 5 . ∴ AH=AC-CH= 10- 6 5 = 44 5 . ∴ tan∠DAC=HD AH = 8 5 44 5 = 2 11 . 专项突破五　 二次函数的动点问题 1.解:(1)当 x= 0 时,y= 5 2 ,∴ 点 C 0, 5 2( ) . 当 y= 0 时,- 1 2 x2 +2x+ 5 2 = 0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋