专项突破2 相假三角形的基本模型-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

∵ 将点 A 翻折到 EF 上的点 A′处, ∴ AB=A′B. ∴ A′B=BC. ∴ A′B=BC=A′C. ∴ △A′BC 是等边三角形. (2)由(1)知,△A′BC 是等边三角形, ∴ A′B=BC= 2,BF= 1 2 BC= 1. ∴ A′F2 =A′B2 -BF2 = 22 -12 = 3. 3. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=AD,∠B= ∠D= 90°. 由折叠,得 AF=AD,∠AFE= ∠D= 90°. ∴ AB=AF,∠AFG= 180°-∠AFE= 90°. 在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中, AG =AG, AB=AF,{ ∴ Rt△ABG≌Rt△AFG(HL) . (2)解:∵ Rt△ABG≌Rt△AFG, ∴ BG=FG. 设 BG=FG= x. ∵ 四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形,E 是边 CD 的 中点, ∴ ∠C= 90°,CG= 6-x,FE=DE=CE= 1 2 CD= 1 2 ×6 = 3. ∴ EG= 3+x. ∵ 在 Rt△GCE 中,CG2 +CE2 =EG2, ∴ (6-x) 2 +32 = (3+x) 2 . 解得 x= 2. ∴ BG 的长是 2. 4.解:(1)在矩形纸片 ABCD 中, ∵ AB= 4,BC= 3,∴ AC= 5. 由折叠知,FC=BC= 3,∠EFC= ∠B= 90°,BE=FE, ∴ AF=AC-FC= 5-3 = 2. 设 AE= x,则 FE=BE= 4-x. 在 Rt△AFE 中,22 +(4-x) 2 = x2, 解得 x= 5 2 . ∴ AE= 5 2 . (2)如图,连接 DF. ∵ DC∥AB,∴ ∠DCE= ∠BEC. 由折叠知,∠BEC= ∠FEC. ∴ ∠DCE= ∠FEC. ∴ DC=DE. 又∵ 点 D,F,E 在同一条直线上,∠EFC= ∠B, ∴ ∠DFC= 90°. ∴ ∠DFC= ∠DAE= 90°. ∵ CF=CB=DA, 在 Rt△CDF 和 Rt△DEA 中, CD =DE, CF=DA.{ ∴ Rt△CDF≌Rt△DEA(HL) . ∴ AE=DF= 2. 5. (1)证明:∵ E 是边 BC 的中点,∴ BE=CE. ∵ B′E=BE,∴ B′E=CE. ∴ ∠CB′E= ∠B′CE. 由题意,得∠BEA= ∠B′EA. ∵ ∠BEB′= ∠EB′C+∠B′CE, ∴ ∠BEA= ∠B′CE. ∴ AE∥B′C. (2)解:如图,连接 BB′交 AE 于点 H. ∵ ∠ABE= 90°,AB= 8,BC= 12,E 是边 BC 的中点, ∴ AE= AB2 +BE2 = 10. ∵ 将△ABE 沿直线 AE 折叠,点 B 落在点 B′处, ∴ BB′⊥AE,即 BH 是△ABE 的高. ∴ BH=B′H=AB·BE AE = 4. 8. ∴ BB′=BH+B′H= 9. 6. ∵ BE=B′E=CE, ∴ ∠EBB′= ∠EB′B,∠EB′C= ∠ECB′. ∵ ∠EBB′+∠EB′B+∠EB′C+∠ECB′= 180°, ∴ 2∠EB′B+2∠EB′C= 180°. ∴ ∠EB′B+∠EB′C= 90°,即∠BB′C= 90°. ∴ B′C= BC2 -BB′2 = 122 -9. 62 = 7. 2. 6.解:在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠B= 45°,AE⊥BC, ∴ AE= 2 2 . 由折叠的性质可知,△ABF 是等腰直角三角形, ∴ S△ABF = 1 2 AB·AF= 8,S△ABE = 4. ∵ BF= 2AB= 4 2 , ∴ CF=BF-BC= 4 2 -4. ∵ AB∥CD,∴ ∠GCF= ∠B= 45°. 又由折叠的性质可知,∠F= ∠B= 45°, ∴ GC=GF= 4-2 2 . ∴ S△CGF = 1 2 GC·GF= 12-8 2 . ∴ 重叠部分(阴影部分)的面积是 8-4-(12-8 2)= 8 2 -8. 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DEF= ∠BFE. ∵ 将矩形 ABCD 沿 EF 对折,点 B 与点 D 恰好重合, ∴ DE=BE,DF=BF,∠DEF= ∠BEF. ∴ ∠BFE= ∠BEF. ∴ BE=BF. ∴ DE=BE=BF=DF. ∴ 四边形 BEDF 是菱形. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC= 8,∠A= 90°. 设菱形 BEDF 边长是 x, 则 AE=AD-DE= 8-x. 在 Rt△ABE 中,AE2 +AB2 =BE2, ∴ (8-x) 2 +62 = x2 . 解得 x= 25 4 . ∴ BF= 25 4 . ∴ 菱形 BEDF 的面积是 BF·AB= 25 4 ×6 = 75 2 . 8.解:(1)∵ 四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片, ∴ BC= 9,∠C= 90°. 设 CN=a,则 BN=B′N= 9-a. ∵ 在 Rt△B′CN 中,CN2 +B′C2 =B′N2, ∴ a2 +32 = (9-a) 2 . 解得 a= 4. ∴ CN= 4. (2)如图,连接 BM,B′M,设 AM= x. 在 Rt△ABM 中,AB2 +AM2 =BM2, 在 Rt△MDB′中,DM2 +B′D2 =B′M2 . ∵ BM=B′M, ∴ AB2 +AM2 =DM2 +B′D2, 即 92 +x2 = (9-x) 2 +(9-3) 2 . 解得 x= 2,即 AM= 2. ∴ DM=AD-AM= 7. ∴ △B′DM 的面积= 1 2 ×DM·B′D= 1 2 ×7×6 = 21. 9.解:(1)由折叠知,AF=AD=BC= 10,DE=EF, 在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 BF= 6. ∴ CF= 4. 设 DE=EF= x,则 CE= 8-x. 在 Rt△ECF 中,由勾股定理,得 42 +(8-x) 2 = x2 . 解得 x= 5. ∴ 线段 DE 的长度为 5. (2)由折叠知,点 D 与点 F 关于 AE 对称,则 DP=FP, ∴ 线段 BP+FP 的最小值是 BD 的长. 在 Rt△BCD 中,由勾股定理,得 BD= 82 +102 = 2 41 . ∴ 线段 BP+FP 的最小值是 2 41 . 故答案为 2 41 . 10.解:(1)当点 A′在最左端位置时,点Q与点D重合,如图 1. ∵ 四边形 ABCD 是矩形纸片,AB= 3,AD= 5, ∴ DC=AB= 3,BC=AD= 5,∠C= 90°. 由折叠知,A′D=AD= 5. 在 Rt△A′CD 中,由勾股定理,得 A′C2 +DC2 =A′D2 . ∴ A′C2 =A′D2 -DC2 = 52 -32 = 16. ∵ A′C>0,∴ A′C= 4. 图 1 　 　 图 2 当点 A′在最右端位置时,点 P 与点 B 重合,如图 2, 此时,由折叠知,A′B=AB= 3,∴ A′C= 5-3 = 2. ∴ 点 A′在边 BC 上可移动的最大距离是 4-2 = 2. (2)当点 Q 与点 D 重合时,如图 1, 设 A′P=AP= x,则 BP= 3-x. ∵ A′C= 4,∴ A′B=BC-A′C= 1. 在 Rt△A′BP 中,A′B2 +BP2 =A′P2, ∴ 12 +(3-x) 2 = x2 . 解得 x= 5 3 . ∴ S△APQ = 1 2 AP·AD= 25 6 . 专项突破二　 相似三角形的基本模型 1. (1)证明:∵ AD DB = AE EC ,∴ AD AD+DB = AE AE+EC ,即AD AB =AE AC . ∴ △ADE∽△ABC. ∴ ∠ADE= ∠ABC. ∴ DE∥BC. ∴ DB AB =EC AC . (2)解:∵ AD DB = AE EC ,且 DB=AB-AD= 12-AD, ∴ AD 12-AD = 6 4 . 解得 AD= 7. 2. 2. (1)证明:∵ DE∥AC,∴ ∠DEB= ∠FCE. ∵ EF∥AB,∴ ∠DBE= ∠FEC. ∴ △BDE∽△EFC. (2)解:∵ EF∥AB,∴ BE EC = AF FC = 1 2 . ∵ BC= 12,∴ EC= 12× 2 3 = 8. 3.解:∵ AB∥CD,∴ △AOB∽△DOC, ∴ OA OD = AB DC . ∴ AB=OA·DC OD = 2×5 3 = 10 3 . 4.解:(1)如图所示,设 AB 与 CF 相交于点 G. ∵ AC=CF= 2,CG=FD= 1,∠ACG= ∠CFD= 90°, ∴ △ACG≌△CFD(SAS) . ∴ ∠CAG= ∠FCD. ∵ ∠CAG+∠CGA= 90°, ∴ ∠FCD+∠CGA= 90°. ∴ ∠GEC= 90°. ∴ 线段 AB 与 CD 垂直. (2)AB= 22 +42 = 2 5 . ∵ AC∥BD,∴ △ACE∽△BDE. ∴ AC BD =CE DE = AE BE = 2 3 . ∴ AE AB = 2 5 . ∴ AE= 4 5 5 . 5.证明:∵ ∠BAE= ∠CAD, ∴ ∠BAE+∠EAC= ∠CAD+∠EAC,即∠BAC= ∠EAD. ∵ AB= 18,AC= 48,AE= 15,AD= 40, ∴ AB AE = AC AD = 6 5 . ∴ △ABC∽△AED. 6.证明:(1)∵ AB·AE=AC·AD,∴ AB AD =AC AE . 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠2+∠BAE= ∠1+∠BAE, 即∠BAC= ∠DAE. ∴ △ABC∽△ADE. (2)∵ △ABC∽△ADE,∴ ∠B= ∠D. ∵ ∠B+∠DEB= ∠D+∠1,∴ ∠DEB= ∠1. 7. (1)证明:∵ ∠ABC= ∠ACD,∠A= ∠A, ∴ △ABC∽△ACD. (2)解:∵ △ABC∽△ACD, ∴ AC AD =AB AC ,即AC 4 = 9 AC . ∴ AC= 6. 8. (1)证明:∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC= 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ADC= ∠ACB. 又∵ ∠A= ∠A,∴ △ACD∽△ABC. (2)解:∵ ∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4, ∴ AB= AC2 +BC2 = 5. ∵ S△ABC = 1 2 AC·BC= 1 2 AB·CD, ∴ AC·BC=AB·CD. ∴ CD=AC·BC AB = 12 5 . ∵ CD⊥AB,∴ BD= BC2 -CD2 = 42 - 12 5( ) 2 = 16 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 80·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·81　 · 9. (1)证明:∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD= ∠CAD. ∵ BE=BD,∴ ∠BED= ∠BDE. ∴ ∠AEB= ∠ADC. ∴ △ABE∽△ACD. (2)解:∵ △ABE∽△ACD,∴ AE AD =BE CD . ∵ BE=BD= 1,BC= 3,∴ CD= 2. ∴ AE AD = 1 2 . 10. (1)证明:∵ BD⊥MN 于点 D,CE⊥MN 于点 E, ∴ ∠ADB= ∠CEA= 90°. ∵ ∠BAC= 90°, ∴ ∠B= ∠EAC= 90°-∠BAD. ∴ △ADB∽△CEA. (2)解:∵ ∠ADB= 90°,AB= 5 ,AD=AE= 2, ∴ BD= AB2 -AD2 = ( 5 ) 2 -22 = 1. ∵ △ADB∽△CEA,∴ BD AE =AD CE . ∴ CE=AD·AE BD = 2×2 1 = 4. ∴ CE 的长是 4. 11. (1)证明:∵ ∠BAP+∠B+∠APB= 180° = ∠APB+ ∠APM+∠CPM,∠APM= ∠B, ∴ ∠BAP= ∠CPM. ∴ △ABP∽△PCM. (2)解:∵ △ABP∽△PCM,△PCM 为直角三角形, ∴ △ABP 为直角三角形. ①当∠APB= 90°时,如图 1 所示. ∵ AB=AC,∴ BP=CP= 1 2 BC= 4 cm. 图 1 　 　 图 2 ②当∠BAP= 90°时,如图 2 所示. ∵ BD=CD= 1 2 BC= 4 cm,AB= 5 cm, ∴ cos∠ABP= AB BP =BD AB = 4 5 . ∴ 5 BP = 4 5 . ∴ BP= 25 4 . 综上所述,当△PCM 为直角三角形时,线段 BP 的长度 为 4 cm 或25 4 cm. 12. (1)证明:∵ 在等腰三角形 ABC 中,∠BAC= 120°, ∴ ∠ABD= ∠ACB= 30°. ∴ ∠ABD= ∠ADE= 30°. ∵ ∠ADC= ∠ADE+∠EDC= ∠ABD+∠DAB, ∴ ∠EDC= ∠DAB. ∴ △ABD∽△DCE. (2)解:如图 1,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F, 则∠AFB= 90°. 　 图 1 ∵ AB= 2,∠ABF= 30°, ∴ AF= 1 2 AB= 1. ∴ BF= 3 . ∴ BC= 2BF= 2 3 . ∵ 设 BD= x,AE= y, ∴ DC= 2 3 -x,CE= 2-y. ∵ △ABD∽△DCE, ∴ AB BD =DC CE ,即 2 x = 2 3 -x 2-y . ∴ y= 1 2 x2 - 3 x+2(0<x<2 3 ) . ∵ y= 1 2 x2 - 3 x+2 = 1 2 (x- 3 ) 2 + 1 2 , ∴ 当 x= 3时,y 有最小值 1 2 . (3)解:如图 2,当 AD=DE 时, 由(1)知,△ABD∽△DCE, ∴ AB=DC,即 2 = 2 3 -x. ∴ x= 2 3 -2. 代入 y= 1 2 x2 - 3 x+2 中,得 y= 4-2 3 , 即 AE= 4-2 3 . 图 2 　 　 图 3 如图 3,当 AE=ED 时, ∵ ∠EAD= ∠EDA= 30°,∠AED= 120°, ∴ ∠DEC= 60°,∠EDC= 90°. ∴ ED= 1 2 EC,即 y= 1 2 (2-y) . 解得 y= 2 3 ,即 AE= 2 3 . 当 AD=AE 时,∠AED= ∠EDA= 30°,∠EAD= 120°, 此时点 D 与点 B 重合,不符合题意,此情况不存在. 综上,当△ADE 是等腰三角形时,AE 的长为 4 - 2 3 或 2 3 . 专项突破三　 反比例函数的综合应用 1.解:(1)∵ 反比例函数 y= k x 的图象过点 A(2,3), ∴ k= 2×3 = 6. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x . (2)存在. 如图,作点 C 关于 y 轴的对称点 C′,连接 BC′交 y 轴于 点 D,连接 CD,此时 BD+CD 的值最小. ∵ 一次函数 y = x + 1 与反比例函数 y = 6 x 的图象交于 点 A,B, ∴ 令 x+1 = 6 x ,得 x= -3 或 2. ∴ 点 B( -3,-2) . ∵ BC⊥x 轴,∴ 点 C( -3,0) . ∴ 点 C′(3,0) . 设直线 BC′的表达式为 y=mx+n. 将点 B( -3,-2),C′(3,0)代入, 得 -3m+n= -2, 3m+n= 0.{ 解得 m= 1 3 , n= -1. { ∴ 直线 BC′的表达式为 y= 1 3 x-1. 当 x= 0 时,y= -1,∴ 点 D 的坐标为(0,-1) . 2.解:(1)∵ 一次函数 y= x-1 与反比例函数 y= k x (x>0)的 图象交于点 B(3,a), ∴ a= 3-1. ∴ a= 2. ∴ 点 B(3,2) . ∴ k= 3×2 = 6. (2)令 y= 0,则 x-1 = 0. ∴ x= 1. ∴ 点 A(1,0) . ∴ OA= 1. ∵ OA=AD,∴ AD= 1. ∴ OD= 2. ∴ 点 C 的横坐标为 2. 由(1),知 k= 6, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x . ∴ 当 x= 2 时,y= 6 2 = 3. ∴ 点 C(2,3) . 如图,作点 C 关于 x 轴的对称点 C′(2,-3),连接 BC′交 x 轴于点 P,此时 PB+PC 最小. 设直线 BC′的表达式为 y= kx+b(k≠0) . 将点 C′,B 的坐标代入, 得 2k+b= -3, 3k+b= 2.{ 解得 k= 5, b= -13.{ ∴ 直线 BC′的表达式为 y= 5x-13. 令 y= 0,则 5x-13 = 0. ∴ x= 13 5 . ∴ 点 P 13 5 ,0( ) . 3.解:(1)∵ 反比例函数 y= k x 的图象过点 B( -4,-2), ∴ k= -4×( -2)= 8. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 8 x . 将点 A(2,n)代入上式,解得 n= 4. ∴ 点 A(2,4) . 将点 A,B 的坐标代入 y=ax+b 中, 得 2a+b= 4, -4a+b= -2.{ 解得 a= 1, b= 2.{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= x+2. (2)如图,作点 B 关于 x 轴的对称点 B′( -4,2),作直线 AB′交 x 轴于点 P,此时 | PA-PB | = | PA-PB′ | = AB′的值 最大. 设直线 AB′的表达式为 y=mx+n(m≠0) . 将点 A,B′的坐标代入, 得 2m+n= 4, -4m+n= 2.{ 解得 m= 1 3 , n= 10 3 . ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AB′的表达式为 y= 1 3 x+10 3 . 令 y= 0,则 x= -10. ∴ 点 P 的坐标为( -10,0) . 4.解:(1)∵ 在矩形 ABCO 中,AB= 2,BC= 4, ∴ 点 B(4,2) . ∵ D 是边 AB 的中点,∴ 点 D(4,1) . ∵ 反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 D, ∴ k= 4×1 = 4. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 4 x . 当 y= 2 时,2 = 4 x . 解得 x= 2. ∴ 点 E(2,2) . 设直线 DE 的表达式为 y=mx+b(m≠0) . ∴ 2m +b= 2, 4m+b= 1.{ 解得 m= - 1 2 , b= 3. { ∴ 直线 DE 的表达式为 y= - 1 2 x+3. (2)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D′(4,-1), 作直线 ED′交 x 轴于点 P,连接 PD,此时△PDE 的周长 最小. 设直线 ED′的表达式为 y=ax+c(a≠0) . ∴ 2a +c= 2, 4a+c= -1.{ 解得 a= - 3 2 , c= 5. { ∴ 直线ED′的表达式为 y=- 3 2 x+5. 当 y= 0 时,即- 3 2 x+5 = 0, 解得 x= 10 3 . ∴ 当△PDE 的周长最小时,点 P 的坐标为 10 3 ,0( ) . 5.解:(1)将点 B( -6,-2)代入 y1 = k1x+4 中, 得-2 = -6k1 +4. 解得 k1 = 1. 将点 B( -6,-2)代入 y2 = k2 x 中,得-2 = k2 -6 . 解得 k2 = 12. (2)如图,设直线 AB 交 x 轴于点 T. ∵ 直线 AC 的表达式为 y= x+4, ∴ 点 T( -4,0),C(0,4) . ∴ OT=OC= 4. ∴ ∠OTC= ∠OCT= 45°. ∵ 四边形 ABMN 是矩形, ∴ ∠MBC= 90°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·45　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　专项突破二　 相似三角形的基本模型 类型一　 A 字型 1. 如图,在△ABC 中,AD DB = AE EC . (1)求证:DB AB =EC AC ; (2)若 AB= 12,AE= 6,EC= 4,求 AD 的长. 2. 如图,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,AC 上,DE∥AC,EF∥AB. (1)求证:△BDE∽△EFC; (2)若AF FC = 1 2 ,BC= 12,求 EC 的长. 类型二　 8 字型 3. 已知 AB∥CD,AD,BC 交于点 O. 若 OA= 2,OD= 3,CD= 5,求 AB 的长. 4. 如图是边长为 1 个单位长度的正方形网格,A,B,C,D 是正方形的格点(单位正方形的顶点),AB 与 CD 相交于点 E. (1)线段 AB 与 CD 是否垂直? 　 　 　 　 (填“是”或“否”); (2)求线段 AE 的长. 类型三　 手拉手模型 5. 如图,已知∠BAE= ∠CAD,AB= 18,AC= 48,AE= 15,AD= 40. 求证:△ABC∽△AED. 6. 如图,AB·AE=AD·AC,且∠1 = ∠2. 求证:(1)△ABC∽△ADE; (2)∠DEB= ∠1. 类型四　 母子模型 7. 如图,在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,∠ABC= ∠ACD. (1)求证:△ABC∽△ACD; (2)若 AD= 4,AB= 9,求 AC 的长. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD 是边 AB 上的高. (1)求证:△ACD∽△ABC; (2)若 AC= 3,BC= 4,求 BD 的长. 9. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,E 是 AD 上一点,且 BE=BD. (1)求证:△ABE∽△ACD; (2)若 BD= 1,BC= 3,求AE AD 的值. 类型五　 一线三等角模型 10. 如图,A 是直线 MN 上一点,∠BAC= 90°,过点 B 作 BD⊥MN 于点 D,过点 C 作 CE⊥MN 于点 E. (1)求证:△ADB∽△CEA; (2)若 AB= 5 ,AD=AE= 2,求 CE 的长. 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 5 cm,BC= 8 cm,P 是边 BC 上一动点(不与点 B,C 重合),过点 P 作射 线 PM 交 AC 于点 M,使∠APM= ∠B. (1)求证:△ABP∽△PCM; (2)当△PCM 为直角三角形时,求线段 BP 的长度. 12. 如图,在等腰三角形 ABC 中,∠BAC = 120°,AB = AC = 2,D 是边 BC 上的一个动点(不与点 B,C 重 合),在 AC 上取一点 E,使∠ADE= 30°. (1)求证:△ABD∽△DCE; (2)设 BD= x,AE= y,求 y 关于 x 的函数关系式,写出自变量 x 的取值范围;当 x 为何值时,y 有最小 值? 并求出最小值; (3)当△ADE 是等腰三角形时,求 AE 的长. 　 　 备用图 · 46·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册