专项突破1 特殊平行四边形中的折叠问题-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·43　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　专项突破一　 特殊平行四边形中的折叠问题 类型一　 折叠后的角度、线段问题 1. 如图,将一个长和宽分别为 4,8 的长方形纸片 ABCD 折叠,使点 C 与点 A 重合. (1)求证:AE=AF; (2)求 DF 的长. 2. 在数学活动《折纸与证明》中,有这样的一段活动材料: ①如图 1,把正方形纸片 ABCD 对折后再展开,折痕为 EF; ②如图 2,将点 A 翻折到 EF 上点 A′处,且使折痕过点 B; ③如图 3,沿 A′C 折叠,得△A′BC(如图 4) . 回答下列问题: (1)△A′BC 的形状为　 　 　 　 　 　 ,并说明你的理由; (2)若正方形纸片的边长为 2,求 A′F2 的值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 图 2　 　 　 　 　 图 3　 　 　 　 　 图 4 3. 如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 中,E 是边 CD 的中点,将△ADE 沿 AE 对折至△AFE,延长 EF 交 BC 于点 G,连接 AG. (1)求证:△ABG≌△AFG; (2)求 BG 的长. 4. 如图,有一张矩形纸片 ABCD,点 E 在边 AB 上,将△BCE 沿直线 CE 对折,点 B 落在对角线 AC 上,记 为点 F. (1)若 AB= 4,BC= 3,求 AE 的长; (2)连接 DF,若点 D,F,E 在同一条直线上,且 DF= 2,求 AE 的长. 5. 如图,已知矩形 ABCD,E 是边 BC 的中点,将△ABE 沿直线 AE 折叠,点 B 落在点 B′处,连接 B′C. (1)求证:AE∥B′C; (2)若 AB= 8,BC= 12,求线段 B′C 的长. 类型二　 折叠后的面积问题 6. 如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,将△ABE 沿 AE 所在直线翻折得△AEF,若 AB= 4,∠B= 45°, 求△AEF 与菱形 ABCD 重叠部分(阴影部分)的面积. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. 如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E,F 分别在边 AD,BC 上,将矩形 ABCD 沿 EF 对折,点 B 与点 D 恰好 重合. (1)求证:四边形 BEDF 是菱形; (2)若 AB= 6,BC= 8,求菱形 BEDF 的面积. 8. 如图,四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片,将其沿 MN 折叠,使点 B 落在边 CD 上的点 B′处,点 A 的对应点为点 A′,且 B′C= 3. (1)求 CN 的长; (2)求△B′DM 的面积. 类型三　 折叠后的最值问题 9. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB = 8,BC = 10,折叠纸片的一边 AD,使点 D 落在边 BC 上的点 F 处,AE 为折痕. 请回答下列问题: (1)求线段 DE 的长度; (2)若 P 为线段 AE 上的一个动点,连接 BP 和 FP,则线段 BP+FP 的最小值是　 　 　 　 . 10. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB= 3,AD= 5,折叠纸片,使点 A 落在边 BC 上的 A′处,折痕为 PQ,当点 A′在边 BC 上移动时,折痕的端点 P,Q 也随之移动. 若限定点 P,Q 分别在边 AB,AD 上移动. (1)求点 A′在边 BC 上可移动的最大距离; (2)当点 Q 与点 D 重合时,求△APQ 的面积. · 44·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·79　 · 九年级下册学业水平测试 1. B　 2. A　 3. D　 4. B　 5. D　 6. A　 7. B 8. A　 【解析】如图,连接 BD,OC. ∵ 四边形 BCDE 为平行四边形, ∴ ∠E= ∠BCD. ∵ ∠E+∠BCD= 180°, ∴ ∠E= ∠BCD= 90°. ∴ BD 为☉O 的直径. ∴ BD= 4. ∵ △ABC 为☉O 的内接等边三角形, ∴ ∠A= 60°. ∴ ∠BOC= 2∠A= 120°. 又∵ OB=OC,∴ ∠CBD= 30°. 在 Rt△BCD 中,CD= 1 2 BD= 2,BC= 3CD= 2 3 , ∴ ▱BCDE 的面积为 BC·CD= 4 3 . 故选 A. 9. A　 【解析】∵ cos A=AC AB = 4 5 ,AC= 16,∴ AB= 20. ∵ △ACB 是直角三角形, ∴ BC= AB2 -AC2 = 202 -162 = 12. ∵ D 是 AB 的中点,∴ AD= 1 2 AB= 10. ∵ ∠BAC= ∠DAE,∠C= ∠ADE= 90°, ∴ △ADE∽△ACB. ∴ DE CB =AD AC ·DE 12 = 10 16 . ∴ DE= 15 2 . 故选 A. 10. A　 【解析】如图,取 AB 的中点 K,以 AB 为直径作☉K. ∵ AF⊥BE,∴ ∠AFB= 90°. ∵ AK=BK,∴ KF=AK=BK. ∵ 正方形 ABCD 的外接圆的半径为 2 , ∴ AB=BC= 2 × 2 = 2. ∴ KF=AK=BK= 1. ∵ ∠CBK= 90°,∴ CK= BK2 +BC2 = 12 +22 = 5 . ∵ CF≥CK-KF,∴ CF≥ 5 -1. ∴ CF 长的最小值为 5 -1. 故选 A. 11. 5π 2 　 12. y= x2 +4(答案不唯一) 13. 2 10 　 14. 3 3 15. 2π 3 -1( ) 　 【解析】如图,连接 BC,OC,AB,AC,过点 C 作 CH⊥OA 于点 H. ∵ ∠AOB= 90°,BC ( = 2AC ( ,∴ ∠BOC= 60°,∠COA= 30°. ∴ CH= 1 2 OC= 1 cm. 观察图象可知,当点 E 与点 A 重合 时,阴影部分的面积最小,此时 S阴影部分 = S△ACB +S弓形BC = S△BOC+S△AOC-S△AOB+S扇形OBC-S△BOC = 1 2 ×2×1- 1 2 ×2×2+ 60π×22 360 = 2π 3 -1( ) cm2 . 16. ②④　 【解析】∵ ax21 +bx1 =ax22 +bx2, ∴ a(x21 -x22)+b(x1 -x2)= 0. ∵ x1≠x2, ∴ a(x1 +x2)+b= 0. ∴ x1 +x2 = - b a . ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2a = 1,∴ - b a = 2. ∴ x1 +x2 = 2. 故①错误,不符合题意; ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2a = 1, ∴ b= -2a. ∴ 2a+b= 0. 故②正确,符合题意; 设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1,x2, 且 x1 >x2,由图可以看出 x1 -1 = 1-x2 . ∵ 点(3,0)在抛物线的外部, ∴ x1 -1<3-1,即 x1 -1<2. ∴ 1-x2 <2. 解得 x2 >-1. ∴ 点(-1,0)在抛物线的外部. ∴ 当 x= -1 时, y=a-b+c<0. 故③错误,不符合题意; 由图可以看出抛物线的最高点的横坐标为 1, ∴ 当 x= 1 时,y 有最大值,y最大值 =a+b+c. 当 x=m,且 m≠1 时,y=am2 +bm+c, ∴ a+b+c>am2 +bm+c,即 a+b>am2 +bm. 故④正确,符合题意. 综上所述,正确的结论有②④. 17.解:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB= ∠ADC= 90°. ∵ 在 Rt△ADB 中,∠B= 45°,AB= 2 , ∴ AD= 1,BD= 1. ∵ 在 Rt△ADC 中,tan C= 1 2 ,AD= 1, ∴ CD= 1 tan C = 2. ∴ AC= AD2 +CD2 = 12 +22 = 5 . 18.解:如图,连接 AD,BD. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°. ∵ ∠ACD= 30°, ∴ ∠ABD= ∠ACD= 30°. ∴ AD= 1 2 AB= 5. ∴ A,D 两点的距离为 5. 19.解:如图,延长 EF 交 CH 于点 N,则 EF = AB = 6 m, ∠CNF= 90°. ∵ ∠CFN= 45°, ∴ CN=FN. 设 DN= x m. ∵ CD= 0. 3 m,∴ FN=CN=DN+CD= (x+0. 3)m. ∴ EN=EF+FN= 6+(x+0. 3)= (x+6. 3)m. 在 Rt△DNE 中,∠DEN= 22°, ∴ DN= tan 22°·EN≈0. 4(x+6. 3) . ∴ 0. 4(x+6. 3)= x. 解得 x= 4. 2. ∴ DN= 4. 2 m. ∴ DH=DN+NH= 4. 2+1. 5 = 5. 7(m) . 答:点 D 到地面的距离 DH 的长约为 5. 7 m. 20.解:(1)根据题意,得 c = -1, 2+2b+c= -3.{ 解得 b= -2, c= -1.{ ∴ 这个函数的表达式为 y= 1 2 x2 -2x-1. (2)∵ y= 1 2 x2 -2x-1= 1 2 (x2 -4x+4-4)-1= 1 2 (x-2)2 -3, ∴ 抛物线的顶点坐标为(2,-3) . 21.解:(1)如图,由垂径定理可知,圆心是 AB,BC 中垂线 的交点. 由网格可得点 M 的坐标为( -2,0) . (2)如图,连接 CM,AM. ∵ 扇形的半径 r= 22 +42 = 2 5 ,∠AMC= 90°, ∴ S扇形AMC 的面积为 90π(2 5 ) 2 360 = 5π. 22.解:(1)根据题意,得(x-40) 100+60 -x 2 ×20( ) = 2 210. 整理,得 x2 -110x+3 021 = 0. 解得 x= 53 或 57. ∴ 当每件童装售价定为 53 元或 57 元时,该店一星期 可获得 2 210 元的利润. (2)设每星期的销售利润为 w 元. 根据题意,得 w= (x-40) 100+60 -x 2 ×20( ) = -10(x-55) 2 +2 250. ∵ -10<0,∴ 当 x= 55 时,w 取最大值,最大值为 2 250. ∴ 当每件童装售价定为 55 元时,每星期的销售利润最 大,最大利润是 2 250 元. 23.证明:(1)∵ AB 是直径, ∴ ∠ACB= 90°. ∴ ∠CAB+∠ABC= 90°. 又∵ ∠MAC= ∠ABC, ∴ ∠MAC+∠CAB= 90°,即∠MAB= 90°. ∴ MA⊥AB. ∴ MN 是半圆的切线. (2)如图,∵ AB 是直径, ∴ ∠ACB= 90°. ∵ DE⊥AB,∴ ∠DEB= 90°. ∴ ∠1+∠5=90°,∠3+∠4=90°. ∵ D 是 AC ( 的中点,即 CD ( =DA ( , ∴ ∠3 = ∠5. ∴ ∠1 = ∠4. ∵ ∠2 = ∠4,∴ ∠1 = ∠2. ∴ FD=FG. 24.解:(1)将点 B(1,0),C( -2,-3)的坐标代入抛物线的 表达式, 可得 1+b+c= 0, 4-2b+c= -3.{ 解得 b= 2, c= -3,{ 即抛物线的表达式为 y= x2 +2x-3. 设直线 l 的表达式为 y= kx+m. 将点 B(1,0),C( -2,-3)的坐标代入直线 l 的表达式, 可得 k+m= 0, -2k+m= -3.{ 解得 k= 1, m= -1,{ 即直线 l 的表达式为 y= x-1. (2)根据题意,得抛物线 y = x2 + 2x- 3 的对称轴为直 线 x= -1, 顶点 D 的坐标为( -1,-4),则点 E 的坐标为( -1,-2) . ∴ DE= 2. ∵ 点 P 的横坐标为 t,∴ 点 P 的坐标为( t,t-1),点 F 的 坐标为( t,t2 +2t-3),-2<t<1. 如图,连接 DF. ∵ 四边形 PEDF 是平行四边形, ∴ DE=PF= 2,即 t-1-( t2 +2t-3)= 2. 化简,得 t2 +t= 0. 解得 t1 = 0,t2 = -1(不符合题意,舍去) . ∴ 当 t 为 0 时,四边形 PEDF 是平行四边形. (3)如图,连接 CF,BF. 根据题意,得 S= 1 2 ×PF×[1-( -2)] = 3 2 PF, PF= t-1-( t2 +2t-3)= -t2 -t+2. ∴ S= - 3 2 t2 - 3 2 t+3 = - 3 2 ( t+ 1 2 ) 2 +27 8 . ∵ - 3 2 <0,∴ 当 t= - 1 2 时,S 最大,最大值为27 8 . 专项突破一　 特殊平行四边形中的折叠问题 1. (1)证明:∵ EF 是折痕, ∴ AE=CE,∠AEF= ∠CEF. 又∵ AD∥BC,∴ ∠CEF= ∠AFE. ∴ ∠AEF= ∠AFE. ∴ AE=AF. (2)解:设 DF=D′F= x,则 AF= 8-x. 在 Rt△AD′F 中,AF2 =AD′2 +D′F2,即(8-x) 2 = 42 +x2 . 解得 x= 3. ∴ DF 的长是 3. 2.解:(1)△A′BC 是等边三角形. 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=BC. ∵ 正方形纸片 ABCD 对折后再展开,折痕为 EF, ∴ EF 垂直平分 BC. ∴ A′C=A′B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∵ 将点 A 翻折到 EF 上的点 A′处, ∴ AB=A′B. ∴ A′B=BC. ∴ A′B=BC=A′C. ∴ △A′BC 是等边三角形. (2)由(1)知,△A′BC 是等边三角形, ∴ A′B=BC= 2,BF= 1 2 BC= 1. ∴ A′F2 =A′B2 -BF2 = 22 -12 = 3. 3. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=AD,∠B= ∠D= 90°. 由折叠,得 AF=AD,∠AFE= ∠D= 90°. ∴ AB=AF,∠AFG= 180°-∠AFE= 90°. 在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中, AG =AG, AB=AF,{ ∴ Rt△ABG≌Rt△AFG(HL) . (2)解:∵ Rt△ABG≌Rt△AFG, ∴ BG=FG. 设 BG=FG= x. ∵ 四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形,E 是边 CD 的 中点, ∴ ∠C= 90°,CG= 6-x,FE=DE=CE= 1 2 CD= 1 2 ×6 = 3. ∴ EG= 3+x. ∵ 在 Rt△GCE 中,CG2 +CE2 =EG2, ∴ (6-x) 2 +32 = (3+x) 2 . 解得 x= 2. ∴ BG 的长是 2. 4.解:(1)在矩形纸片 ABCD 中, ∵ AB= 4,BC= 3,∴ AC= 5. 由折叠知,FC=BC= 3,∠EFC= ∠B= 90°,BE=FE, ∴ AF=AC-FC= 5-3 = 2. 设 AE= x,则 FE=BE= 4-x. 在 Rt△AFE 中,22 +(4-x) 2 = x2, 解得 x= 5 2 . ∴ AE= 5 2 . (2)如图,连接 DF. ∵ DC∥AB,∴ ∠DCE= ∠BEC. 由折叠知,∠BEC= ∠FEC. ∴ ∠DCE= ∠FEC. ∴ DC=DE. 又∵ 点 D,F,E 在同一条直线上,∠EFC= ∠B, ∴ ∠DFC= 90°. ∴ ∠DFC= ∠DAE= 90°. ∵ CF=CB=DA, 在 Rt△CDF 和 Rt△DEA 中, CD =DE, CF=DA.{ ∴ Rt△CDF≌Rt△DEA(HL) . ∴ AE=DF= 2. 5. (1)证明:∵ E 是边 BC 的中点,∴ BE=CE. ∵ B′E=BE,∴ B′E=CE. ∴ ∠CB′E= ∠B′CE. 由题意,得∠BEA= ∠B′EA. ∵ ∠BEB′= ∠EB′C+∠B′CE, ∴ ∠BEA= ∠B′CE. ∴ AE∥B′C. (2)解:如图,连接 BB′交 AE 于点 H. ∵ ∠ABE= 90°,AB= 8,BC= 12,E 是边 BC 的中点, ∴ AE= AB2 +BE2 = 10. ∵ 将△ABE 沿直线 AE 折叠,点 B 落在点 B′处, ∴ BB′⊥AE,即 BH 是△ABE 的高. ∴ BH=B′H=AB·BE AE = 4. 8. ∴ BB′=BH+B′H= 9. 6. ∵ BE=B′E=CE, ∴ ∠EBB′= ∠EB′B,∠EB′C= ∠ECB′. ∵ ∠EBB′+∠EB′B+∠EB′C+∠ECB′= 180°, ∴ 2∠EB′B+2∠EB′C= 180°. ∴ ∠EB′B+∠EB′C= 90°,即∠BB′C= 90°. ∴ B′C= BC2 -BB′2 = 122 -9. 62 = 7. 2. 6.解:在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠B= 45°,AE⊥BC, ∴ AE= 2 2 . 由折叠的性质可知,△ABF 是等腰直角三角形, ∴ S△ABF = 1 2 AB·AF= 8,S△ABE = 4. ∵ BF= 2AB= 4 2 , ∴ CF=BF-BC= 4 2 -4. ∵ AB∥CD,∴ ∠GCF= ∠B= 45°. 又由折叠的性质可知,∠F= ∠B= 45°, ∴ GC=GF= 4-2 2 . ∴ S△CGF = 1 2 GC·GF= 12-8 2 . ∴ 重叠部分(阴影部分)的面积是 8-4-(12-8 2)= 8 2 -8. 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DEF= ∠BFE. ∵ 将矩形 ABCD 沿 EF 对折,点 B 与点 D 恰好重合, ∴ DE=BE,DF=BF,∠DEF= ∠BEF. ∴ ∠BFE= ∠BEF. ∴ BE=BF. ∴ DE=BE=BF=DF. ∴ 四边形 BEDF 是菱形. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC= 8,∠A= 90°. 设菱形 BEDF 边长是 x, 则 AE=AD-DE= 8-x. 在 Rt△ABE 中,AE2 +AB2 =BE2, ∴ (8-x) 2 +62 = x2 . 解得 x= 25 4 . ∴ BF= 25 4 . ∴ 菱形 BEDF 的面积是 BF·AB= 25 4 ×6 = 75 2 . 8.解:(1)∵ 四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片, ∴ BC= 9,∠C= 90°. 设 CN=a,则 BN=B′N= 9-a. ∵ 在 Rt△B′CN 中,CN2 +B′C2 =B′N2, ∴ a2 +32 = (9-a) 2 . 解得 a= 4. ∴ CN= 4. (2)如图,连接 BM,B′M,设 AM= x. 在 Rt△ABM 中,AB2 +AM2 =BM2, 在 Rt△MDB′中,DM2 +B′D2 =B′M2 . ∵ BM=B′M, ∴ AB2 +AM2 =DM2 +B′D2, 即 92 +x2 = (9-x) 2 +(9-3) 2 . 解得 x= 2,即 AM= 2. ∴ DM=AD-AM= 7. ∴ △B′DM 的面积= 1 2 ×DM·B′D= 1 2 ×7×6 = 21. 9.解:(1)由折叠知,AF=AD=BC= 10,DE=EF, 在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 BF= 6. ∴ CF= 4. 设 DE=EF= x,则 CE= 8-x. 在 Rt△ECF 中,由勾股定理,得 42 +(8-x) 2 = x2 . 解得 x= 5. ∴ 线段 DE 的长度为 5. (2)由折叠知,点 D 与点 F 关于 AE 对称,则 DP=FP, ∴ 线段 BP+FP 的最小值是 BD 的长. 在 Rt△BCD 中,由勾股定理,得 BD= 82 +102 = 2 41 . ∴ 线段 BP+FP 的最小值是 2 41 . 故答案为 2 41 . 10.解:(1)当点 A′在最左端位置时,点Q与点D重合,如图 1. ∵ 四边形 ABCD 是矩形纸片,AB= 3,AD= 5, ∴ DC=AB= 3,BC=AD= 5,∠C= 90°. 由折叠知,A′D=AD= 5. 在 Rt△A′CD 中,由勾股定理,得 A′C2 +DC2 =A′D2 . ∴ A′C2 =A′D2 -DC2 = 52 -32 = 16. ∵ A′C>0,∴ A′C= 4. 图 1 　 　 图 2 当点 A′在最右端位置时,点 P 与点 B 重合,如图 2, 此时,由折叠知,A′B=AB= 3,∴ A′C= 5-3 = 2. ∴ 点 A′在边 BC 上可移动的最大距离是 4-2 = 2. (2)当点 Q 与点 D 重合时,如图 1, 设 A′P=AP= x,则 BP= 3-x. ∵ A′C= 4,∴ A′B=BC-A′C= 1. 在 Rt△A′BP 中,A′B2 +BP2 =A′P2, ∴ 12 +(3-x) 2 = x2 . 解得 x= 5 3 . ∴ S△APQ = 1 2 AP·AD= 25 6 . 专项突破二　 相似三角形的基本模型 1. (1)证明:∵ AD DB = AE EC ,∴ AD AD+DB = AE AE+EC ,即AD AB =AE AC . ∴ △ADE∽△ABC. ∴ ∠ADE= ∠ABC. ∴ DE∥BC. ∴ DB AB =EC AC . (2)解:∵ AD DB = AE EC ,且 DB=AB-AD= 12-AD, ∴ AD 12-AD = 6 4 . 解得 AD= 7. 2. 2. (1)证明:∵ DE∥AC,∴ ∠DEB= ∠FCE. ∵ EF∥AB,∴ ∠DBE= ∠FEC. ∴ △BDE∽△EFC. (2)解:∵ EF∥AB,∴ BE EC = AF FC = 1 2 . ∵ BC= 12,∴ EC= 12× 2 3 = 8. 3.解:∵ AB∥CD,∴ △AOB∽△DOC, ∴ OA OD = AB DC . ∴ AB=OA·DC OD = 2×5 3 = 10 3 . 4.解:(1)如图所示,设 AB 与 CF 相交于点 G. ∵ AC=CF= 2,CG=FD= 1,∠ACG= ∠CFD= 90°, ∴ △ACG≌△CFD(SAS) . ∴ ∠CAG= ∠FCD. ∵ ∠CAG+∠CGA= 90°, ∴ ∠FCD+∠CGA= 90°. ∴ ∠GEC= 90°. ∴ 线段 AB 与 CD 垂直. (2)AB= 22 +42 = 2 5 . ∵ AC∥BD,∴ △ACE∽△BDE. ∴ AC BD =CE DE = AE BE = 2 3 . ∴ AE AB = 2 5 . ∴ AE= 4 5 5 . 5.证明:∵ ∠BAE= ∠CAD, ∴ ∠BAE+∠EAC= ∠CAD+∠EAC,即∠BAC= ∠EAD. ∵ AB= 18,AC= 48,AE= 15,AD= 40, ∴ AB AE = AC AD = 6 5 . ∴ △ABC∽△AED. 6.证明:(1)∵ AB·AE=AC·AD,∴ AB AD =AC AE . 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠2+∠BAE= ∠1+∠BAE, 即∠BAC= ∠DAE. ∴ △ABC∽△ADE. (2)∵ △ABC∽△ADE,∴ ∠B= ∠D. ∵ ∠B+∠DEB= ∠D+∠1,∴ ∠DEB= ∠1. 7. (1)证明:∵ ∠ABC= ∠ACD,∠A= ∠A, ∴ △ABC∽△ACD. (2)解:∵ △ABC∽△ACD, ∴ AC AD =AB AC ,即AC 4 = 9 AC . ∴ AC= 6. 8. (1)证明:∵ CD⊥AB,∴ ∠ADC= 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ADC= ∠ACB. 又∵ ∠A= ∠A,∴ △ACD∽△ABC. (2)解:∵ ∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4, ∴ AB= AC2 +BC2 = 5. ∵ S△ABC = 1 2 AC·BC= 1 2 AB·CD, ∴ AC·BC=AB·CD. ∴ CD=AC·BC AB = 12 5 . ∵ CD⊥AB,∴ BD= BC2 -CD2 = 42 - 12 5( ) 2 = 16 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 80·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册