(下册)第3章 圆 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·39　 · 第三章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列说法:①弦是直径;②半圆是弧;③过圆心的线段是直径;④圆心相同半径相同的两个圆是同心 圆. 其中错误的有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. P 是☉O 内一点,过点 P 的最长弦的长为 10,最短弦的长为 6,则 OP 的长为 (　 　 ) A. 8 B. 2 C. 5 D. 4 3. 如图,☉O 的半径为 3,将☉O 的一部分沿着弦 AB 翻折,劣弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB 的长为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 3 3 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 4. 如图,点 B,C,D 在☉O 上,若∠BCD= 130°,则∠BOD 的度数是 (　 　 ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 5. 已知☉O 的半径是一元二次方程 x2 -2x-3 = 0 的一个根,圆心 O 到直线 l 的距离 d= 4,则直线 l 与☉O 的位置关系是 (　 　 ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 6. 如图,在△ABC 中,CA=CB= 4,∠BAC=α,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α,得到△AB′C′,连接 B′C 并 延长交 AB 于点 D,当 B′D⊥AB 时,BB′ ( 的长是 (　 　 ) A. 2 3 π 3 B. 4 3 π 3 C. 8 3 π 9 D. 10 3 π 9 7. 如图,AB 是☉O 的直径,PA 切☉O 于点 A,OP 交☉O 于点 C,连接 BC. 若∠P= 40°,则∠B 的度数是 (　 　 ) A. 20° B. 35° C. 30° D. 25° 8. 如图,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,若边心距 OH= 3 ,则☉O 的半径为 (　 　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 9. 如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D,E,F 是 AB ( 上的五等分点,P 是直径 AB 上的任意一点,若 AB= 4,则 图中阴影部分的面积为 (　 　 ) A. 3 4 π B. 2 3 π C. 2 5 π D. 3 2 π 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,☉O 与正方形 ABCD 的两边 AB,AD 相切,且 DE 与☉O 相切于点 E. 若☉O 的半径为 4,且 AB = 10,则 DE 的长度为 (　 　 ) A. 5 B. 5. 5 C. 30 D. 6 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 扇形的半径为 2,圆心角为 90°,则该扇形的面积为　 　 　 　 . (结果保留 π) 12. 如图,在☉O 中,AB ( =CD ( ,∠AOB 与∠COD 的关系是　 　 　 　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 　 　 第 16 题图 13. 如图,AB 是☉O 的弦,OC⊥AB 于点 C,若 AB= 8,OC= 3,则☉O 半径的长为　 　 　 　 . 14. 如图,四边形 ABCD 为☉O 的内接四边形,∠BOD= 110°,则∠BCD 的度数为　 　 　 　 . 15. 如图,∠C= 90°,∠ABC= 30°,AC = 2,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△AB′C′,使点 C′落在 AB 边 上,则点 B 经过的路径长为　 　 　 　 . (结果保留 π) 16. 如图,直线 y= x-2 与 x 轴,y 轴分别交于 M,N 两点,☉O 的半径为 1,将☉O 以每秒 1 个单位长度的 速度向右作平移运动,当移动　 　 　 　 　 　 秒时,直线 MN 恰好与☉O 相切. 三、解答题(共 52 分) 17. (7 分)如图,AB,CD 为☉O 内两条相交的弦,交点为 E,且 AB=CD. 求证:AD∥BC. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18. (7 分)如图,在△OAB 中,OA=OB,☉O 与 AB 相切于点 C. 求证:AC=BC. 小明同学的证明过程如下框: 证明:如图,连接 OC. ∵ OA=OB, ∴ ∠A= ∠B. 又∵ OC=OC, ∴ △OAC≌△OBC. ∴ AC=BC. 　 　 　 　 小明同学的证法是否正确? 若正确,请在框内打“√”;若错误,请写出你的证明过程. 19. (8 分)市区古城门外有一水门(也可以说是一种特殊的拱桥),已知水门的跨径(水门桥拱圆弧所 对的弦的长)为 18. 2 m,拱高(水门桥拱圆弧的中点到弦的距离)为 6. 2 m. 求此水门桥拱圆弧的半 径. (结果精确到 0. 1 m) 20. (9 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC = 120°,点 D 在边 BC 上,☉O 经过点 A 和点 B 且与边 BC 相交于点 D. (1)判断 AC 与☉O 的位置关系,并说明理由; (2)当 CD= 4 时,直接写出☉O 的半径. 21. (9 分)如图,AB 是☉O 的直径,PQ 切☉O 于点 E,AC⊥PQ 于点 C,交☉O 于点 D. (1)求证:AE 平分∠BAC; (2)若 AD= 2,CE= 3 ,∠BAC= 60°,求☉O 的半径. 22. (12 分) 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,对角线 BD 是☉O 的直径,AC 平分∠BAD,过点 C 作 CG∥BD 交 AD 的延长线于点 G. (1)求证:CG 是☉O 的切线; (2)若 AB= 3,AD= 5,求 AC 的长. · 40·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 23. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=CD. ∴ AB ( =CD ( . ∵ E 是 BC ( 的中点,∴ BE ( =CE ( . ∴ AB ( +BE ( =CD ( +CE ( ,即 AE ( =DE ( . ∴ AE=DE. (2)解:如图,连接 BD,OA,过点 D 作 DF⊥DE 交 EC 的 延长线于点 F. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠DBC= ∠DEC= 45°,AD=CD. ∵ ∠EDF= 90°, ∴ ∠F= 90°-45° = 45°. ∴ DE=DF. ∵ ∠AED= 1 2 ∠AOD= 45°, ∴ ∠AED= ∠F. ∵ ∠ADC= ∠EDF= 90°, ∴ ∠ADE+∠EDC= ∠CDF+∠EDC= 90°. ∴ ∠ADE= ∠CDF. 在△ADE 和△CDF 中, ∠AED= ∠F, ∠ADE= ∠CDF, AD=CD, { ∴ △ADE≌△CDF(AAS) . ∴ AE=CF. ∴ S△ADE =S△CDF . ∴ S四边形AECD =S△DEF . ∵ EF= 2DE=CE+DE,CE= 1, ∴ 1+DE= 2DE. ∴ DE= 2 +1. ∴ S四边形AECD =S△DEF = 1 2 DE2 = 2 + 3 2 . 考点五　 弧长与扇形面积 24. B　 【解析】设弧所在圆的半径为 r cm. 由题意,得135πr 180 = 2π×3×5. 解得 r= 40. 故选 B. 25. D　 【解析】S阴影部分 =S扇形AOD-S扇形BOC = 120π×3 2 360 -120π×1. 5 2 360 = 2. 25π m2 . 故选 D. 26. C　 【解析】如图,由勾股定理,得 OC= 22 +22 = 2 2 . ∴ S阴影部分 =(S扇形COE-S扇形FOB)+(S扇形EOD-S△OBD) = 45π×(2 2 ) 2 360 -45π×2 2 360 +45π×(2 2 ) 2 360 - 1 2 ×2×2 = π- 1 2 π+π-2 = 3π 2 -2. 故选 C. 27. 20π　 【解析】如图,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E. 当扇形的半径为 OE 时,扇形 OCD 的面积最大. ∵ OA=OB= 60 cm,∠AOB= 120°, ∴ ∠A= ∠B= 30°. ∴ OE= 1 2 OA= 30 cm. ∴ 弧 CD 的长= 120·π·30 180 = 20π(cm) . 28.解:(1)☉O 扫过的面积如图中阴影部分所示. 阴影部分的面积为 π× ( 42 ) 2 +4×(8+4)= 48+4π(cm2), 这个过程所用时间为(4+8) ÷2 = 6(s) . (2)☉O 在滚动过程中,圆心 O 的运动路线如图所示. ∴ 圆心 O 经过的路程是(8-2) ×2+8+2×90 ×π×2 180 = 20+2π(cm) . 第三章学业水平测试 1. C　 2. D　 3. D　 4. B　 5. C　 6. B　 7. D　 8. B 9. C　 【解析】如图,连接 OE,OD,DE. ∵ C,D,E,F 是 AB ( 上的五等分点, ∴ ∠DOE= 180°÷5 = 36°. ∵ AB= 4,∴ OD= 2. ∵ DE=DE,点 O,P 都在直径上, ∴ △DOE 和△DPE 同底等高. ∴ S△DOE =S△DPE . ∴ 阴影部分的面积为 S扇形DOE = 36π×22 360 = 2π 5 . 故选 C. 10. D　 【解析】如图,设☉O 与正方形 ABCD 的两边 AB,AD 相切于点 F,H,连接 OE,OF,OH. 则∠OHD= ∠OHA= ∠OFA= 90°. ∵ ∠A= 90°,OH=OF, ∴ 四边形 AHOF 是正方形. ∵ ☉O 的半径为 4,且 AB= 10, ∴ OF=AH=OH= 4,AD=AB= 10. ∴ DF= 10-4 = 6. ∵ DE 与☉O 相切于点 E,∴ DE=DH= 6. 故选 D. 11. π　 12. ∠AOB= ∠COD　 13. 5　 14. 125° 15. 4π 3 　 【解析】∵ ∠C= 90°,∠ABC= 30°,AC= 2, ∴ AB= 2AC= 4,∠BAC= 60°. 由旋转的性质,得∠BAB′= ∠BAC= 60°. ∴ 点 B 经过的路径长为60π ×22 180 = 4π 3 . 16. 2- 2或 2+ 2 　 【解析】如图,作 EF∥MN,且与☉O 相 切,交 x 轴于点 E,交 y 轴于点 F. 设直线 EF 的表达式为 y= x+b. ∵ EF 与☉O 相切,且☉O 的半径 为 1, ∴ 1 2 b2 = 1 2 ×1× 2 | b | . 解得 b= 2 或- 2 . ∴ 直线 EF 的表达式为 y= x+ 2 或 y= x- 2 . ∴ 点 E 的坐标为( 2 ,0)或(- 2 ,0) . 令 y= x-2 = 0,则 x= 2. ∴ 点 M(2,0) . ∵ 根据运动的相对性,且☉O 以每秒 1 个单位长度的 速度向右作平移运动, ∴ 移动的时间为(2- 2 )秒或(2+ 2 )秒. 17.证明:∵ AB=CD,∴ ADB ( =CAD ( . ∴ ADB ( -AD ( =CAD ( -AD ( ,即 BD ( =AC ( . ∴ ∠A= ∠B. ∴ AD∥BC. 18.解:证法错误. 正确过程如下. 证明:如图,连接 OC. ∵ ☉O 与 AB 相切于点 C, ∴ OC⊥AB. ∵ OA=OB, ∴ AC=BC. 19.解:如图,设此水门桥拱圆弧的圆心为 O,过点 O 作 OD ⊥AB 于点 D,交圆弧于点 C,连接 OA. 设此水门桥拱圆弧的半径为 R m, 则 AD=BD= 1 2 AB= 9. 1 m,OD= (R-6. 2)m. 在 Rt△AOD 中,由勾股定理,得 R2 = 9. 12 +(R-6. 2) 2 . 解得 R≈9. 8. ∴ 此水门桥拱圆弧的半径约为 9. 8 m. 20.解:(1)AC 是☉O 的切线. 理由如下: 如图,连接 AO. ∵ AB=AC,∠BAC= 120°, ∴ ∠B= ∠C= 1 2 (180°-∠BAC)= 30°. ∵ AO=BO,∴ ∠BAO= ∠B= 30°. ∴ ∠AOC= 2∠B= 60°. ∴ ∠OAC= 180°-∠AOC-∠C= 180°-60°-30° = 90°. ∵ AO 是☉O 的半径,∴ AC 是☉O 的切线. (2)∵ ∠OAC= 90°,∠C= 30°, ∴ OC= 2OA. ∴ OD+CD= 2OA. ∵ CD= 4,∴ r+4 = 2r. ∴ r= 4. ∴ ☉O 的半径为 4. 21. (1)证明:如图 1,连接 OE. ∵ OA=OE,∴ ∠OEA= ∠OAE. ∵ PQ 切☉O 于点 E,∴ OE⊥PQ. ∵ AC⊥PQ,∴ OE∥AC. ∴ ∠OEA= ∠EAC. ∴ ∠OAE= ∠EAC. ∴ AE 平分∠BAC. 图 1 　 　 图 2 (2)解:如图 2,连接 BE. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠AEB= 90°. ∵ ∠BAC= 60°,AE 平分∠BAC, ∴ ∠OAE= ∠EAC= 30°. ∴ AB= 2BE. ∵ AC⊥PQ,∴ ∠ACE= 90°. ∴ AE= 2CE. ∵ CE= 3 ,∴ AE= 2 3 . 设 BE= x,则 AB= 2x. 由勾股定理, 得 x2 +12 = 4x2 . 解得 x= 2 或-2(不符合题意,舍去) . ∴ AB= 4. ∴ ☉O 的半径为 2. 22. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ 对角线 BD 是☉O 的直径,∴ ∠BAD= 90°. 又∵ AC 平分∠BAD, ∴ ∠BAC= ∠DAC= 1 2 ∠BAD= 45°. ∴ ∠BOC= 2∠BAC= 90°. ∴ OC⊥BD. ∵ CG∥BD,∴ OC⊥CG. 又∵ OC 是☉O 的半径, ∴ CG 是☉O 的切线. (2)解:∵ 对角线 BD 是☉O 的直径, ∴ ∠BAD= ∠BCD= 90°. 又∵ ∠BAC= ∠DAC, ∴ BC ( =CD ( . ∴ BC=CD. 在 Rt△ABD 中,BD= AB2 +AD2 = 32 +52 = 34 . 在 Rt△BCD 中,BC=CD= 2 2 × 34 = 17 . ∵ CG 是☉O 的切线, ∴ ∠DCG= ∠DAC= ∠BAC,∠ACG= ∠ABC. 又∵ ∠CDG= ∠ABC,∴ △ABC∽△CDG. ∴ AB CD =BC DG ,即 3 17 = 17 DG . ∴ DG= 17 3 . 由∠ACG= ∠ABC,∠BAC= ∠DAC,得△ABC∽△ACG. ∴ AB AC =AC AG ,即 3 AC = AC 5+17 3 . 解得 AC= 4 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 78·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册