(下册)第2章 二次函数 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

喷射出的水流距离喷水头 8 米时,达到最大高度 1. 8 米, ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-8) 2 +1. 8. 将点(0,1)代入,得 1 = 64a+1. 8,解得 a= - 1 80 . ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 80 (x-8) 2 +1. 8. 令 y= 0,解得 x= 20(负值舍去),即点 C(20,0) . ∴ OC= 20 米. 故选 C. 24. 6 25.解:(1)由表可知,抛物线的顶点坐标为(3,4. 4), ∴ 抛物线的表达式为 y=a(x-3) 2 +4. 4. 把点(0,3. 5)代入 y=a(x-3) 2 +4. 4 中, 得 3. 5 = 9a+4. 4,解得 a= -0. 1. ∴ 抛物线的表达式为 y= -0. 1(x-3) 2 +4. 4. 当 y= 1. 9 时,1. 9 = -0. 1(x-3) 2 +4. 4, 解得 x= 8 或-2(不符合题意,舍去) . ∴ 货车车箱的中心点应距离喷射口 8 m. (2)由函数图象可知 A,B 对应的抛物线分别为 A:②; B:①. 26.解:任务一:∵ AB∥x 轴,AB = 5 cm,点 B 为水流抛物线 的顶点, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 5. ∴ - b 2a = 5. ∴ b= -10a. ∵ OM= 15 cm,∴ 点 M 的坐标为(15,0) . 把点M(15,0)代入抛物线的表达式 y=ax2+bx+15(a≠0), 得 15a+b+1 = 0. 把 b= -10a 代入 15a+b+1 = 0, 得 15a-10a+1 = 0. 解得 a= - 1 5 . ∴ b= 2. ∴ 水流抛物线的函数表达式为 y= - 1 5 x2 +2x+15. 任务二: 水流能流到圆柱形水杯内. 理由如下: 圆柱形水杯最左端到点 O 的距离是 15-4 = 11(cm) . 当 x= 11 时,y= - 1 5 ×112 +2×11+15 = 12. 8. ∵ 10<12. 8, ∴ 水流能流到圆柱形水杯内. 第二章学业水平测试 1. C　 2. B　 3. D　 4. A　 5. A　 6. C　 7. C　 8. A　 9. B 10. C　 【解析】对于①依据题意,由“倍增点”的定义,知 2(1+3)= 8+0,2(1-2)= -2+0, ∴ 点 Q1(3,8),Q2(-2,-2)都是点 P1 的“倍增点” . 故①正确. 对于②,由题意,可设满足题意的“倍增点”A 为(x,x+2), ∴ 2(x+1)= x+2+0. ∴ x= 0. ∴ 点 A(0,2) . 故②错误. 对于③,可设抛物线上的“倍增点”为(x,x2 -2x-3), ∴ 2(x+1)= x2 -2x-3. ∴ x= 5 或-1. 此时满足题意的“倍增点”有(5,12),(-1,0)两个. 故③正确. 对于④,设点 B(x,y) . ∴ 2(x+1)= y+0. ∴ y= 2(x+1) . ∴ P1B= (x-1) 2 +y2 = (x-1) 2 +4(x+1) 2 = 5 ( x+ 35 ) 2 +16 5 . ∴ 当 x = - 3 5 时,P1B 有最小值为 4 5 5 . 故④正确. 综上所述,正确的结论有① ③ ④,共 3 个. 故选 C. 11. y 轴　 12. 增大　 13. y= x2 -8x+18(答案不唯一) 14. x= 1 15. (2,2)　 【解析】点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线对称轴于点 M1,当点 M 运动到点 M1 处时,△MAC 的周长最小. 由点的对称性,知 MA=MB. △MAC 的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=AC+BC, 令 y= 2x2 -8x+6 = 0,解得 x= 1 或 3;令 x= 0,得 y= 6. ∴ 点 A,B,C 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,6), 则抛物线的对称轴为 x= 1 2 (1+3)= 2. 设直线 BC 的表达式为 y= kx+b(k≠0), 则 3k+b= 0, b= 6.{ 解得 k= -2, b= 6.{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -2x+6. 当 x= 2 时,y= -2x+6 = 2, ∴ 点 M 的坐标为(2,2) . 16. 4 2 　 【解析】由题意,可得抛物线经过 K(8,0) . 将点 K(8,0)代入 y= - 3 16 x2 +bx 中, 得- 3 16 ×82 +8b= 0,解得 b= 3 2 . ∴ 抛物线的表达式为 y= - 3 16 x2 + 3 2 x. 由题意,可得当 y= 1. 5 时,1. 5 = - 3 16 x2 + 3 2 x, 解得 x1 = 4+2 2 ,x2 = 4-2 2 . ∴ ST= x1 -x2 = 4+2 2 -(4-2 2 )= 4 2 . 17.解:(1)设二次函数的表达式为 y=a(x-3) 2 -2. 把点(0,7)代入,得 9a-2 = 7,解得 a= 1. ∴ 二次函数的表达式为 y= (x-3) 2 -2. (2)∵ a= 1>0, ∴ 抛物线开口向上. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 3, ∴ 当 x>3 时,y 的值随 x 值的增大而增大. 18.解:(1)∵ 抛物线 y = x2 +bx+c 与 x 轴、y 轴的交点分别 为(1,0)和(0,-3), ∴ 0 = 1+b+c, c= -3.{ 解得 b= 2, c= -3.{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +2x-3. (2)由 y=x2 +2x-3 可知,抛物线的对称轴为 x= b 2a = -1, ∴ 当-2<x<-1 时,y 的值随 x 值的增大而减小, 当-1<x<1 时,y 的值随 x 值的增大而增大. 当 x= -2 时,y= 4-4-3 = -3; 当 x= -1 时,y= 1-2-3 = -4; 当 x= 1 时,y= 1+2-3 = 0, ∴ 当-2<x<1 时,y 的取值范围是-4≤y<0. 19.解:(1)∵ y= -x2 +5x-4 = -(x-1)(x-4), ∴ 当 y= 0 时,x1 = 1,x2 = 4;当 x= 0 时,y= -4. ∴ 点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(4,0),点 C 的 坐标为(0,-4) . (2)如图,画出抛物线的对称轴,连接 BC,BC 与抛物线 的对称轴交于点 D,点 D 即为所求. ∵ y= -x2 +5x-4 = - x- 5 2( ) 2 + 9 4 , ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 5 2 . ∵ 点 B(4,0),C(0,-4), ∴ 直线 BC 的表达式为 y= x-4. ∴ 当 x= 5 2 时,y= - 3 2 . ∴ 点 D 的坐标为 5 2 ,- 3 2( ) . 20.解:(1)由题意,得点 A 的坐标为(0,50) . ∵ 抛物线 l2 为 y2 = - 1 120 x2 +bx+c, ∴ c= 50. ∴ 抛物线 l2 的表达式为 y2 = - 1 120 x2 +bx+50. ∵ 抛物线过点(60,60), ∴ - 1 120 ×3 600+60b+50 = 60. ∴ b= 2 3 . ∴ 抛物线 l2 所对应的函数表达式为 y2 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50. (2)把 y= 10 代入 y2 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50, 得 10 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50. 解得 x1 = 120,x2 = -40(不符合题意,舍去) . ∴ x= 120. ∴ 此时运动员的降落点到点 A 的水平距离为 120 米. (3)把点(120,10)代入 y1 = - 1 240 x2 +mx+40, 得- 1 240 ×1202 +120m+40 = 10. 解得 m= 1 4 . ∴ 抛物线 l1 的表达式为 y1 = - 1 240 x2 + 1 4 x+40. ∴ y2 -y1 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50+ 1 240 x2 - 1 4 x-40 = - 1 240 x2 + 5 12 x+ 10 = - 1 240 (x-50) 2 +245 12 . ∵ - 1 240 <0, ∴ 当 x = 50 时,运动员滑行中与小山坡 l1 的竖直距离 最大. ∴ 当运动员滑行中与小山坡 l1 的竖直距离最大时,运 动员运动的水平距离为 50 米. 21.解: ( 1) ∵ 抛物线 y = x2 + bx + c 经过点 A ( - 1, 0), 点 B(2,-3), ∴ 1 -b+c= 0, 4+2b+c= -3.{ 解得 b= -2, c= -3.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -2x-3. (2)y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4. ∵ 1>0,∴ 抛物线开口向上. 当 x= 1 时,y= -4;当 x= 0 时,y= -3;当 x= 4 时,y= 5, ∴ 当 0<x<4 时,y 的取值范围为-4≤y<5. (3)存在点 P,使△PBC 的面积是△BCD 面积的 4 倍. ∵ y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4,∴ 点 D 的坐标为(1,-4) . 令 x= 0,则 y= x2 -2x-3 = -3, ∴ 点 C 的坐标为(0,-3) . ∵ 点 B 的坐标为(2,-3), ∴ BC∥x 轴. ∴ BC= 2-0 = 2. ∴ S△BCD = 1 2 ×2× | -4+3 | = 1. 设抛物线上的点 P 的坐标为(m,m2 -2m-3), ∴ S△PBC = 1 2 ×2× |m2 -2m-3-( -3) | = |m2 -2m | . 当 |m2 -2m | = 4×1 时,解得 m= 1± 5 . 当 m= 1+ 5时,m2 -2m-3 = 1; 当 m= 1- 5时,m2 -2m-3 = 1. 综上所述,点 P 的坐标为(1+ 5 ,1)或(1- 5 ,1) . 22.解:(1)∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴交于 A,C 两点, 点 A 的坐标为(2,0),点 C 的坐标为 - 1 2 ,0( ) ,抛物线 与 y 轴交于点 B(0,-1), ∴ 4a+2b+c= 0, 1 4 a- 1 2 b+c= 0, c= -1. ì î í ï ï ï ï 解得 a= 1, b= - 3 2 , c= -1. ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 - 3 2 x-1. (2)如图,设点 P 的坐标为 m,m2 - 3 2 m-1( ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 76·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·77　 · ∵ 点 A(2,0),B(0,-1), ∴ 设直线 AB 的表达式为 y= kx-1. 将点 A(2,0)代入 y= kx-1,得 2k-1 = 0. 解得 k= 1 2 . ∴ 直线 AB 的表达式为 y= 1 2 x-1. ∴ 点 E 的坐标为 m, 1 2 m-1( ) . ∴ PE= 1 2 m-1- m2 - 3 2 m-1( ) = -m2 +2m= -(m-1) 2 +1. ∴ 当 m= 1 时,PE 最大,此时点 P 的坐标为 1,- 3 2( ) . (3)在直线 PD 上存在点 Q,使△QBC 为直角三角形. ∵ 点 Q 在直线 PD 上,PD⊥x 轴,点 P 的坐标为 1,- 3 2( ) , ∴ 设点 Q 的坐标为(1,y) . ∴ CQ2 = 1+ 1 2( ) 2 +y2,BC2 = 1+ 1 4 ,BQ2 = 1+(y+1) 2 . 当∠QCB= 90°时,有 CQ2 +BC2 =BQ2, 即 1+ 1 2( ) 2 +y2 +1+ 1 4 = 1+(y+1) 2,解得 y= 3 4 . ∴ 点 Q 的坐标为 1, 3 4( ) ; 当∠CBQ= 90°时,有 BC2 +BQ2 =CQ2, 即 1+ 1 4 +1+(y+1) 2 = 1+ 1 2( ) 2 +y2,解得 y= - 1 2 . ∴ 点 Q 的坐标为 1,- 1 2( ) ; 当∠CQB= 90°时,有 BQ2 +CQ2 =BC2, 即 1+ 1 2( ) 2 +y2 +1+(y+1) 2 = 1+ 1 4 ,方程无解. 综上所述,点 Q 的坐标为 1, 3 4( ) 或 1,- 1 2( ) . 第三章考点梳理与复习 考点一　 圆的有关性质 1. B　 2. B　 3. D 4. 64°　 【解析】∵ ∠BOD= 32°,∴ ∠AOC= ∠BOD= 32°. ∵ AE ( =AC ( ,∴ ∠AOE= ∠AOC= 32°. ∴ ∠COE= ∠AOC+∠AOE= 32°+32° = 64°. 5. 4 2 　 【解析】∵ ∠D= 45°,∴ ∠A= 45°. ∵ AC 是直径, ∴ ∠ABC= 90°. ∴ △ABC 是等腰直角三角形. ∴ AB= 2 2 AC= 2AO= 4 2 (cm) . 6. (1)解:∵ OA=OB,∠ABC= 70°, ∴ ∠ABO= ∠BAO= 70°. ∴ ∠AOB= 40°. ∵ OA∥CD,∴ ∠C= ∠AOB= 40°. ∵ 四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠C+∠BAD= 180°. ∴ ∠BAD= 140°. (2)证明:如图,连接 OD. ∵ OC=OD, ∴ ∠ODC= ∠OCD. ∵ OA∥CD, ∴ ∠AOD= ∠ODC,∠AOB= ∠OCD. ∴ ∠AOB= ∠AOD. ∴ AB ( =AD ( . 考点二　 与圆有关的位置关系 7. A　 8. C　 9. B 10. 5 或 7　 【解析】设经过 t s 时,☉O 与直线 AB 相切. ∵ 开始时点 O 到直线 AB 的距离为 12 cm, ∴ 当圆向右移动(12-2)cm 或(12+2)cm 时,点 O 到直 线 AB 的距离为 2 cm,此时☉O 与直线 AB 相切. ∴ t=(12-2)÷2 = 5 或 t=(12+2)÷2 = 7, 即☉O 与直线 AB 在 5 s 或 7 s 时相切. 11. 2 5 　 【解析】如图,连接 BC,设☉M 与 x 轴相切于点 D,连接 MD 交 BC 与点 E,则 MD⊥x 轴. ∵ AB 为直径, ∴ ∠ACB= ∠AOD= 90°. ∴ BC∥x 轴. ∴ BC⊥MD. ∵ 点 M(2,3), ∴ MB=MD= 3,CE=BE= 2. ∴ BC= 4,AB= 2MB= 6. ∴ AC= AB2 -BC2 = 62 -42 = 2 5 . 12. 1　 【解析】如图,连接 OE,OD. 设☉O 的半径为 r. ∵ ∠C= 90°,AC= 4,BC= 3, ∴ AB= 32 +42 = 5. ∵ 点 E,D 为切点, ∴ OE⊥BC,OD⊥AC. ∵ ∠C= 90°. ∴ 四边形 CDOE 为矩形. ∵ OE=OD. ∴ 矩形 CDOE 为正方形. ∴ CE=CD=OD=OE= r. ∴ BE=BC-CE= 3-r,AD=AC-CD= 4-r. ∵ ☉O 是 Rt△ABC 的内切圆(与三边都相切),切点分 别为 D,E,F, ∴ BF=BE= 3-r,AD=AF= 4-r. ∵ BF+AF=AB,∴ 3-r+4-r= 5. 解得 r= 1, 即☉O 的半径为 1. 13.解:(1)如图,连接 OC,则 OC=OB. ∵ PC 是☉O 的切线, ∴ OC⊥PC,∠OCP= 90°. ∵ BP=OB=BC, ∴ ∠P= ∠BCP, ∠OBC=∠P+∠BCP=2∠BCP. ∵ OC=OB,∴ ∠OCB= ∠OBC= 2∠BCP. ∵ ∠OCP= ∠OCB+∠BCP= 90°, ∴ 3∠BCP= 90°,∠BCP= 30°. ∴ ∠P= 30°. (2)设 OC=OB= x. ∵ OC2 +CP2 =OP2, ∴ x2 +42 = (x+2) 2 . 解得 x= 3. ∴ AB= 2OB= 6. 考点三　 与圆有关的计算 14. D　 15. B 16. 10 - 2 　 【解析】如图,连接 OI,IB,作△OIB 的外接 圆,圆心为 P,连接 OP,BP,IC,ON,BN. ∵ 点 I 为△OCD 的内心, ∴ ∠IOC= ∠IOB. 在△IOC 和△IOB 中, OI=OI, ∠IOC= ∠IOB, OC=OB, { ∴ △IOC≌△IOB(SAS) . ∴ ∠OIC= ∠OIB. ∵ CD⊥x 轴,∴ ∠ODC= 90°. ∴ ∠COD+∠OCD= 90°. ∴ 1 2 ∠COD+ 1 2 ∠OCD= 45°. ∴ ∠IOC+∠ICO= 45°. ∴ ∠OIC= ∠OIB= 135°. ∴ ∠ONB= 45°. ∴ ∠OPB= 90°. ∵ 点 B 的坐标为(2,0), ∴ OB= 2. ∴ OP=BP= 2 2 OB= 2 . ∴ 点 P(1,-1),当 A,I,P 三点共线时,AI 取得最小值. 此时 AI=AP-PI= (0-1) 2 +(2+1) 2 - 2 = 10 - 2 . 17. 6+4 2 　 【解析】如图 1,当点 P 在过点 O 且平行于直 线 l 的直线之上时,过点 O 作 ON⊥PB 于点 N,连接 OP,则∠ONB= 90°. ∵ OA⊥l,PB⊥l,∴ ∠OAB= ∠PBA= 90°. ∴ 四边形 ABNO 是矩形,∴ AB=ON,BN=OA= 6. 设 AB=ON= x. 在 Rt△ONP 中,PN= OP2 -ON2 = 16-x2 , PB=BN+PN= 6+ 16-x2 . ∴ AB+PB= x+6+ 16-x2 . ∴ 当 x+ 16-x2 取最大值时,AB+PB 的值最大. 令 y= x+ 16-x2 , 则 y2 =(x+ 16-x2 ) 2 = 16+2x 16-x2 = 16+2 16x2 -x4 = 16+2 -(x2 -8) 2 +64 . ∴ 当 x2 -8 = 0,即 x= 2 2 时,y 有最大值. ∴ AB+PB= 2 2 +6+ 16-(2 2 ) 2 = 6+4 2 . ∴ 当 x= 2 2 时,AB+PB 的值最大,最大值为 6+4 2 ; 图 1 　 　 　 图 2 如图 2,当点 P 不在过点O 且平行于直线 l 的直线之上时, 过点 P 作 PN⊥OA 于点 N,连接 OP,则∠PNA= 90°. ∵ OA⊥l,PB⊥l,∴ ∠OAB= ∠PBA= 90°. ∴ 四边形 ABPN 是矩形. ∴ AB=PN,PB=AN. 设 AB=PN= x. 在 Rt△ONP 中,ON= OP2 -PN2 = 16-x2 , PB=AN=OA-ON= 6- 16-x2 , ∴ AB+PB= x+6- 16-x2 . ∵ 16-x2 ≥0,x+6>0, ∴ 当 x= 4 时,AB+PB 的值最大,最大值为 4+6-0 = 10. 综上,AB+PB 的最大值为 6+4 2 . 18.解:(1)AB 所在的直线与☉O 相切. 证明如下: 如图,连接 OB,则 OP=OB. ∴ ∠OBP= ∠OPB= ∠CPA. ∵ AB=AC,∴ ∠ACB= ∠ABC. ∵ OA⊥l,即∠OAC= 90°, ∴ ∠ACB+∠CPA= 90°, 即∠ABP+∠OBP= 90°. ∴ ∠ABO= 90°. ∴ OB⊥AB. ∵ OB 为☉O 的半径,∴ AB 所在的直线与☉O 相切. (2)由(1)知,∠ABO= 90°,而 OA= 5,OB=OP= 3. 在 Rt△AOB 中,由勾股定理,得 AB= 4. 如图,过点 O 作 OD⊥PB 于点 D,则 PD=BD. 在△ODP 和△CAP 中, ∵ ∠OPD= ∠CPA,∠ODP= ∠CAP= 90°, ∴ △ODP∽△CAP. ∴ PD PA =OP CP . ∵ AC=AB= 4,PA=OA-OP= 2, 在 Rt△PAC 中,由勾股定理,得 PC= AC2 +PA2 = 2 5 , ∴ PD=OP·PA CP = 3 5 5 . ∴ BP= 2PD= 6 5 5 . 考点四　 多边形与圆 19. C　 20. B　 21. D 22. 2　 13 　 【解析】如图,连接 OC,OD,连接 GO 并延长 交 AF 于点 H. 由正六边形和圆的对称性,可知 GH 所在的直线是这个 图形的对称轴. ∵ 正六边形 ABCDEF 内接于☉O, ∴ ∠COD= 360° 6 = 60°. ∵ OC=OD, ∴ △COD 是正三角形. ∴ CD=OC=OD= 2 cm. ∵ G 是 CD 的中点,∴ OG⊥CD. ∴ OG= OC2 -CG2 = 22 -12 = 3 (cm) . 由对称性,可知 GH⊥AF,OH=OG. ∴ GH= 2OG= 2 3 cm,AH= 1 2 AF= 1 cm. ∴ AG= AH2 +GH2 = 13 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·35　 · 第二章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列函数关系式中,y 是 x 的二次函数的是 (　 　 ) A. y=ax2 +bx+c　 　 B. y= x2 - 1 x 　 C. y= 2 x2 -x+1 D. y= x(x-1) -x2 2. 如果抛物线 y= (a-2)x2 开口向下,那么 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a>2 B. a<2 C. a>-2 D. a<-2 3. 下列二次函数中,其图象的对称轴为直线 x= -2 的是 (　 　 ) A. y= 2x2 -2　 　 B. y= -2x2 -2　 　 C. y= 2(x-2) 2 　 D. y= (x+2) 2 4. 二次函数 y=a(x+m) 2 +k 的图象如图所示,下列四个选项中,正确的是 (　 　 ) A. m<0,k<0 B. m<0,k>0 C. m>0,k>0 D. m>0,k<0 5. 已知抛物线 y= x2 +bx+c 的顶点坐标为(1,3),则抛物线对应的函数表达式为 (　 　 ) A. y= x2 -2x+4 B. y= x2 -2x-3 C. y= -x2 +2x+1 D. y= x2 -2x+1 6. 飞机着陆后滑行的距离 s(米)与滑行的时间 t(秒)的函数表达式是 s= 60t-1. 5t2,则飞机着陆后滑行 到飞机完全停止,滑行的距离为 (　 　 ) A. 500 米 B. 700 米 C. 600 米 D. 800 米 7. 下表是二次函数 y=ax2 +bx+c 的几组对应值: x 6. 17 6. 18 6. 19 6. 20 y=ax2 +bx+c -0. 03 -0. 01 0. 02 0. 04 根据表中数据判断,方程 ax2 +bx+c= 0 的一个解 x 的范围是 (　 　 ) A. 6<x<6. 17 B. 6. 17<x<6. 18 C. 6. 18<x<6. 19 D. 6. 19<x<6. 20 8. 二次函数 y= x2 -2x-3 的图象交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,则△ABC 的面积为 (　 　 ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 1 9. 当 b<0 时,一次函数 y = ax+b 的图象与二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象在同一直角坐标系内的图象可 能是 (　 　 ) A B C D 10. 定义:在平面直角坐标系中,对于点 P(x1,y1),当点 Q(x2,y2)满足 2(x1+x2)= y1 +y2 时,称点 Q(x2,y2) 是点 P(x1,y1)的“倍增点” . 已知点 P1(1,0),有下列结论: ①点 Q1(3,8),Q2( -2,-2)都是点 P1 的“倍增点”;②若直线 y= x+2 上的点 A 是点 P1 的“倍增点”, 则点 A 的坐标为(2,4);③抛物线 y= x2 -2x-3 上存在两个点是点 P1 的“倍增点”;④若点 B 是点 P1 的“倍增点”,则 P1B 的最小值是 4 5 5 . 其中,正确结论的个数是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 抛物线 y= 2x2 的对称轴是　 　 　 　 . 12. 在二次函数 y= x2 -2x+5 中,当 x>2 时,y 随 x 的增大而　 　 　 　 (填“增大”或“减小”) . 13. 有一条抛物线,两位同学分别说了它的一个特点:甲:对称轴是直线 x= 4;乙:顶点到 x 轴的距离为 2. 请你写出一个符合条件的抛物线表达式:　 　 　 　 　 　 . 14. 如图,抛物线 y=ax2 与直线 y= bx-c 的两个交点坐标分别为 A( -2,8),B(1,2),则方程 ax2 -bx+c= 0 较大的根是　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 15. 如图,抛物线 y= 2x2 -8x+6 与 x 轴分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,在其 对称轴上有一动点 M,连接 MA,MC,AC,则当△MAC 的周长最小时,点 M 的坐标为　 　 　 　 . 16. 有一个蔬菜大棚,其截面可以看出抛物线,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,该抛物线 的表达式为 y= - 3 16 x2 +bx,已知 OK 的长为 8 米. 若借助横梁 ST(ST∥OK)建一个门,要求门的高度为 1. 5 米,则横梁 ST 的长度是　 　 　 　 米. 三、解答题(共 52 分) 17. (7 分)已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与 y 轴交于(0,7) . (1)求二次函数的表达式; (2)当 x 为何值时,y 的值随 x 值的增大而增大. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18. (7 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y = x2 +bx+c 的部分图象与 x 轴、y 轴的交点分别为 (1,0)和(0,-3) . (1)求二次函数的表达式; (2)结合函数图象,当-2<x<1 时,直接写出 y 的取值范围. 19. (8 分)如图,抛物线 y= -x2 +5x-4 与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C. (1)求点 A,B,C 的坐标; (2)D 是抛物线的对称轴上一动点,当 AD+CD 最短时,求点 D 的坐标. 20. (10 分)(新情境·实际情境)高台跃下,凌空旋转,天际中滑翔出优美曲线;跳台滑雪简称“跳雪”, 运动员沿着助滑道飞速下滑,在起跳点腾空,身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡,这项运动主要 考核运动员的飞行距离和动作姿势. 在这项运动里,我们可以用数学知识解决一些实际问题. 如图 是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为 x 轴,过起跳点 A 作水平线的垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 图中的抛物线 l1:y1 = - 1 240 x2 +mx+40 近似表示滑雪场地上的一座小山 坡,某运动员从点 O 正上方 50 米处的点 A 滑出,滑出后沿一段抛物线 l2:y2 = - 1 120 x2 +bx+c 运动. 飞 行中某一时刻,当运动员运动到离点 A 处的水平距离为 60 米时,高出水平线的高度为 60 米. (1)求抛物线 l2 所对应的函数表达式; (2)若运动员在高出水平线 10 米的小山坡上着地,求此时运动员的降落点到点 A 的水平距离; (3)在(2)的条件下,当运动员滑行中与小山坡 l1 的竖直距离最大时,求运动员运动的水平距离. 21. (10 分)如图,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(-1,0),点 B(2,-3),与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为 D. (1)求抛物线的表达式; (2)当 0<x<4 时,y 的取值范围为　 　 　 　 ; (3)抛物线上是否存在点 P,使△PBC 的面积是△BCD 面积的 4 倍,若存在,求出点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由. 22. (10 分)如图,抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴交于 A,C 两点,点 A 的坐标为(2,0),点 C 的坐标为 - 1 2 ,0( ) ,与 y 轴交于点 B(0,-1) . P 是抛物线上的一动点,且点 P 在直线 AB 的下方,过点 P 作 x 轴 的垂线 PD,交直线 AB 于点 E,垂足为 D. (1)求抛物线的表达式; (2)当 PE 最大时,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下(即 PE 最大时),在直线 PD 上是否存在点 Q,使△QBC 为直角三角形? 若存 在,求出符合条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 　 备用图 · 36·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册