(下册)第2章 二次函数 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·33　 · 第二章考点梳理与复习 考点一　 二次函数的定义 1. 下列函数中,是二次函数的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y= -8x B. y= 8 x C. y= 8x2 -4 D. y= 8x-4 2. 若 y= (k-1)xk 2+1 是二次函数,则 k 的值为　 　 　 　 . 3. 某商场将进价为 2 000 元的冰箱以 2 600 元售出,平均每天可以 售出 10 台. 为了减少库存,商场决定降价促销,调查表明:售价每 降 50 元,平均每天多售出 5 台. 设每台冰箱降价 x 元,商场每天 销售这种冰箱的利润为 y 元,则 y 与 x 的函数表达式为 　 . 4. 已知关于 x 的函数 y=m(m+2)x2 +mx+m+1. (1)当 m 为何值时,此函数是一次函数? (2)当 m 为何值时,此函数是二次函数? 考点二　 二次函数的图象和性质 5. 抛物线 y= (x-1) 2 的顶点坐标为 (　 　 ) A. (0,1) B. (1,0) C. (0,-1) D. ( -1,0) 6. 二次函数 y= x2 -4x+2 的图象不经过 (　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 二次函数 y= (x+1) 2 +1,当 x>　 　 　 　 时,y 的值随 x 值的增大而 增大. 8. 将抛物线 y= x2 先向下平移 2 个单位长度,再向左平移 3 个单位 长度后,得到的抛物线对应的函数表达式是　 　 　 　 　 　 　 . 9. 已知二次函数 y= x2 +ax+3 的图象经过点 P( -2,3) . (1)求 a 的值和图象的顶点坐标; (2)点 Q(m,n)在该二次函数的图象上,当 m= 2 时,求 n 的值. 考点三　 用待定系数法求二次函数的表达式 10. 抛物线 y= 2x2 +c 的顶点坐标为(0,1),则抛物线的表达式为 (　 　 ) A. y= 2x2 +1 B. y= 2x2 -1 C. y= 2x2 +2 D. y= 2x2 -2 11. 如图是一条抛物线的图象,则其表达式为 (　 　 ) A. y= -x2 -x+2 B. y= -x2 -x-2 C. y= -x2 +x+2 D. y= -x2 +x-2 第 11 题图 　 　 　 　 第 13 题图 12. 一个二次函数的图象的顶点坐标为(2,4),且过另一点(0,-4), 则这个二次函数的表达式为 (　 　 ) A. y= -2(x+2) 2 +4 B. y= -2(x-2) 2 +4 C. y= 2(x+2) 2 -4 D. y= 2(x-2) 2 -4 13. 如图,在▱ABCD 中,AB= 4,点 D 的坐标是(0,-4),以点 C 为顶 点的抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)经过 x 轴上的点 A,B,则抛物线 的表达式是 . 14. 如图所示是抛物线 y= -x2+bx+c 的部分图象,点 A(1,0),B(0,3) . (1)求抛物线的表达式; (2)结合图象,写出当 y<3 时,x 的取值范围(作适当说明) . 15. 看图回答问题. (1)当 y= 0 时,求 x 的值; (2)当 y>5 时,求 x 的取值范围; (3)当 y 的值随 x 值的增大而增大时,求 x 的取值 范围. 16. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与直线 y = kx(k≠0)相交于点 M(1,1),N(3,3),且该抛物线的对称轴为直线 x= 1. (1)若将该抛物线平移使其经过原点,且对称轴不变,求平移后 的抛物线的表达式及 k 的值; (2)设 P 为直线 y = kx 下方的抛物线上一点,连接 PM,PN. 求 △PMN 面积的最大值及此时点 P 的坐标. 考点四　 二次函数与一元二次方程 17. 抛物线 y= x2 +3x-2 与 x 轴的交点有 (　 　 ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无法确定 18. 若抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴的两个交点为( -2,0),(4,0),则 该抛物线的对称轴为 (　 　 ) A. 直线 x= -3 B. 直线 x= 3 C. 直线 x= 1 D. 直线 x= -1 19. 下表是二次函数 y= ax2 +bx-5 的部分自变量 x 与函数值 y 的对 应值: x 1 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 y -1 -0. 49 0. 04 0. 59 1. 16 那么方程 ax2 +bx-5 = 0 的一个根的取值范围为 (　 　 ) A. 1~ 1. 1 B. 1. 1~ 1. 2 C. 1. 2~ 1. 3 D. 1. 3~ 1. 4 20. 二次函数 y = ax2 +bx+ c 的图象如图所示,根据图象解答下列 问题: (1)方程 ax2 +bx+c = 0 的两个根为　 　 　 　 　 ,不等式 ax2 +bx+ c>0 的解集为　 　 　 　 　 ; (2)若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= k 有两个不相等的实数 根,则 k 的取值范围为　 　 　 　 ; (3)若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c-t = 0 在 1<x<4 的范围 内有实数根,求 t 的取值范围. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点五　 二次函数的实际应用 21. 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率” . 在特定条件下,可食用率 y 与加工时间 x(单位:min)满足函数 表达式 y= -0. 2x2 +1. 5x-2,则最佳加工时间为 (　 　 ) A. 3 min B. 3. 75 min C. 5 min D. 7. 5 min 22. (新考法·跨学科)如图 1,质量为 m 的小球从高处由静止开始 下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧 的初始长度为 12 cm) . 从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短 的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形 变),小球的速度 v(cm / s)和弹簧被压缩的长度 Δl( cm)之间的 关系图象如图 2 所示. 根据图象,下列说法正确的是 (　 　 ) 　 图 1 　 　 　 　 　 图 2 A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时,弹簧的长度为 2 cm D. 当小球下落至最低点时,弹簧的长度为 6 cm 23. 如图,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水 头的高度(即 OB 的长度)是 1 米.当喷射出的水流距离喷水头 8 米 时,达到最大高度 1. 8 米,水流喷射的最远水平距离 OC 是 (　 　 ) 图 1 　 图 2 A. 16 米 B. 18 米 C. 20 米 D. 24 米 24. 用总长为 a m 的铝合金材料做成如图 1 所示的“日”字形窗框 (材料厚度忽略不计),窗户的透光面积 y( m2 ) 与窗框的宽 x (m)之间的函数图象如图 2 所示,则 a 的值是　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 　 图 2 25. 如图,某农场的小麦收割机正在收割小麦,脱离后的谷粒沿着喷 射管道飞出,飞行路线可以看作是抛物线的一部分,建立如图所 示的平面直角坐标系,谷粒从喷射出到着陆的过程中,谷粒的竖 直高度 y(单位:m)与距离喷射口的水平距离 x(单位:m)近似满 足函数关系 y=a(x-h) 2 +k(a<0) . (1)谷粒距离喷射口的水平距离 x(单位:m)与竖直高度 y(单 位:m)的几组数据如下: 水平距离 x / m 0 2 3 4 5 竖直高度 y / m 3. 5 4. 3 4. 4 4. 3 4. 0 根据上述数据,若用货车接运谷粒,保证和喷射口在同一平 面的情况下,谷粒落下过程中恰好落到车箱的中心点. 若货 车车箱的中心点距地面 1. 9 m,则货车车箱的中心点应距离 喷射口几米? 　 (2)谷粒喷出的同时,石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力 作用下沿抛物线①被分离出来,谷皮和颗粒等较轻的杂质也 会跟着谷粒一起沿抛物线②被分离出来,若两条抛物线的表 达式如下: A:y= -0. 09(x-3. 2) 2 +4. 42 B:y= -0. 12(x-2. 8) 2 +4. 44 则 A,B 对应的抛物线分别为 A:　 　 　 　 ;B:　 　 　 　 . (均 填“①”或“②”) 26. (新情境·项目式学习)其小组准备合作制作一个简易水流装 置,下面是制作装置的活动过程: 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图,CD 是进水通道,AB 是出水通道,OE 是圆柱形容器的 底面直径. 从 CD 处将圆柱形容器注满水,内部安装调节 器,水流从 B 处流出且呈抛物线型. 以点 O 为坐标原点,EO 所在直线为 x 轴,OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标 系,水流最终落到 x 轴上的点 M 处. 示意图 已知 AB∥x 轴,AB= 5 cm,OM = 15 cm,点 B 为水流抛物线的顶 点,点 A,B,O,E,M 在同一平面内,水流所在抛物线的函数 表达式为 y=ax2 +bx+15(a≠0) . 任务一 求水流抛物线的函数表达式. 任务二 现有一个底面半径为 4 cm,高为 10 cm 的圆柱形水杯,将该 水杯底面圆的圆心恰好放在 M 处,水流是否能流到圆柱形 水杯内? 请通过计算,说明理由. (圆柱形水杯的厚度忽略 不计) 请根据活动过程完成任务一和任务二. · 34·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·75　 · 11. 2 + 3 　 12. 4 5 　 13. (1+10 3 )　 14. 4 15. 50　 【解析】如图所示标注字母. 根据题意,得∠CAP = ∠EPA = 60°,∠CAB = 30°,PA = 30 海里. ∴ ∠PAB= 90°,∠APB= 180°-67°-60° = 53°. ∴ ∠B= 180°-90°-53° = 37°. 在 Rt△PAB 中,sin B=PA PB = 30 PB ≈ 3 5 . 解得 PB≈50 海里. ∴ 此时轮船与灯塔 P 的距离约为 50 海里. 16. 6 - 2 4 　 【解析】sin 15° =sin(45°-30°)= sin 45°cos 30°- cos 45°sin 30° = 2 2 × 3 2 - 2 2 × 1 2 = 6 4 - 2 4 = 6 - 2 4 . 17.解:原式= 2×1- 1 1 2 -2× 3 2( ) 2 + 3 2 = 2-2- 3 2 + 3 2 = 0. 18.解:(1)在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 2,AB= 3, ∴ BC= AB2 -AC2 = 32 -22 = 5 . (2)在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 2,BC= 5 , ∴ tan A=BC AC = 5 2 . 19.解:如图,延长 AB 交 FM 于点 T. 由题意,得四边形 BCMT 是矩形. ∴ MT=BC= 10 米,BT=CM. 在 Rt△CDM 中, ∵ ∠CMD= 90°,CD= 8 米,∠CDM= 30°, ∴ DM=CD·cos 30° = 8× 3 2 = 4 3 (米), CM=CD·sin 30° = 8× 1 2 = 4(米) . ∴ DT=MT+DM= (10+4 3 )米. ∵ ∠ADT= 45°,∠ATD= 90°, ∴ AT=DT= (10+4 3 )米. ∴ AB=AT-BT= 10+4 3 -4 = (6+4 3 )米. ∴ 旗杆 AB 的高度为(6+4 3 )米. 20.解:如图,连接 CD,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E. 由题意,得四边形 ABDE 是矩形. ∵ ∠DAE= 26. 6°,BD= 30 m, ∴ AE=BD= 30 m,tan∠DAE=DE AE . ∴ DE=AE·tan 26. 6°≈0. 50×30 = 15(m) . ∵ ∠CAE= 45°,∴ ∠ACE= 45°. ∴ AE=CE= 30 m. ∴ CD=CE+DE= 30+15 = 45(m) . ∴ 塔的高度是 45 m. 21.解:如图所示,过点 D 作 DG⊥AE 于点 G,过点 F 作 FH⊥DG 于点 H,过点 C 作 CM⊥DG 于点 M,则四边形 ACMG 和四边形 EFHG 都是矩形. ∴ CM=AG,FH=EG,GH=EF. ∵ ∠BCD= 60°,∴ ∠DCM= 30°. ∵ ∠CMD= 90°, ∴ CM=CD·cos∠DCM= 3× 3 2 = 3 3 2 (米) . ∴ AG=CM= 3 3 2 米. ∴ FH=EG=AE-AG= 10-3 3 2( ) 米. ∴ DH=FH·tan∠DFH≈8. 2(米) . ∴ DG=DH+GH= 8. 2+1. 2 = 9. 4(米) . ∴ 路灯 D 距地面 AE 的高度为 9. 4 米. 22.解:( 1) 根据题意,CE 的高度为 72 m,BD 的长度为 585. 6 m. 故答案为 72,585. 6. (2)白岩山的海拔高度 h=AE+365, 所以白岩山的高度与 AE 不相等. (3)设 AC= x m. 在 Rt△ADC 中,∠ACD= 90°,∠ADC= 45°, ∴ △ADC 为等腰直角三角形. ∴ DC=AC= x m. 在 Rt△ABC 中,∠ABC= 30°, ∴ BC= AC tan 30° = 3 x m. ∴ BD=BC-DC= 3 x-x= 585. 6. ∴ x≈800. ∴ h≈800+72+365 = 1 237(m) . ∴ 白岩山的海拔高度 h 为 1 237 m. 第二章考点梳理与复习 考点一　 二次函数的定义 1. C　 2. -1 3. y= - 1 10 x2 +50x+6 000 4.解:(1)∵ 函数 y=m(m+2)x2 +mx+m+1 是一次函数, ∴ m(m+2)= 0 且 m≠0,解得 m= -2. ∴ 当 m= -2 时,此函数是一次函数. (2)∵ 函数 y=m(m+2)x2 +mx+m+1 是二次函数, ∴ m(m+2)≠0,解得 m≠-2 且 m≠0. ∴ 当 m≠-2 且 m≠0 时,此函数是二次函数. 考点二　 二次函数的图象和性质 5. B　 6. C 7. -1　 8. y= x2 +6x+7 9.解:(1)把点 P( -2,3)代入 y= x2 +ax+3 中,得 a= 2. ∴ y= x2 +2x+3 = (x+1) 2 +2. ∴ 图象的顶点坐标为( -1,2) . (2)∵ 点 Q(m,n)在该二次函数图象上, ∴ 当 m= 2 时,n= 22 +2×2+3 = 11. 考点三　 用待定系数法求二次函数的表达式 10. A　 11. C　 12. B 13. y= (x-4) 2 -4　 【解析】∵ 在▱ABCD 中,AB= 4, ∴ DC=AB= 4. 又∵ 点 D(0,-4),即 OD= 4, ∴ 点 C(4,-4),即抛物线的对称轴为直线 x= 4. ∵ AB= 4,∴ 点 A(2,0),B(6,0) . ∵ 顶点 C(4,-4), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-4) 2 -4(a≠0) . 把点 A(2,0)代入,得 0 = 4a-4. 解得 a= 1. ∴ 抛物线的表达式是 y=(x-4) 2 -4. 14.解:(1)∵ 抛物线过点 A(1,0),B(0,3), ∴ 0 = -1+b+c, 3 = c.{ 解得 b= -2, c= 3.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 -2x+3. (2)由(1)知,抛物线的对称轴为直线 x= -1, ∴ 当 y= 3 时,x= -2 或 0, ∴ 当 y<3 时,x 的取值范围为 x<-2 或 x>0. 15.解:(1)由图象,可知抛物线经过点( -1,0),对称轴为 直线 x= 1. ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0) . ∴ 当 y= 0 时,x 的值为-1 或 3. (2)∵ 抛物线经过点( -1,0),(3,0),(0,-3), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3) . 把(0,-3)代入,得-3 = -3a,解得 a= 1. ∴ 抛物线的表达式为 y= (x+1)(x-3) . 令 y= 5,得 5 = (x+1)(x-3) . 解得 x1 = 4,x2 = -2, ∴ 当 y>5 时,x 的取值范围为 x>4 或 x<-2. (3)由图象可知,对称轴为直线 x= 1. ∴ 当 y 的值随 x 值的增大而增大时,x 的取值范围为 x>1. 16.解:(1)由题意,得 - b 2a = 1, a+b+c= 1, 9a+3b+c= 3. ì î í ï ï ï ï 解得 a= 1 2 , b= -1, c= 3 2 . ì î í ï ï ï ï ïï ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 -x+ 3 2 . ∵ 将该抛物线平移使得其经过原点,且对称轴不变, ∴ 平移后的抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 -x. 将点 M(1,1)代入 y= kx 中,得 k= 1. (2)如图,过点 P 作 PQ∥y 轴,交 MN 于点 Q. 设点 Q( t,t),则点 P t, 1 2 t2 -t+ 3 2( ) . ∴ PQ= t- 1 2 t2 -t+ 3 2( ) = - 1 2 t2 +2t- 3 2 . ∴ S△PMN = 1 2 ·PQ·MN= 1 2 ( - 1 2 t2 +2t- 3 2 ) ×2 = - 1 2 t2 +2t- 3 2 = - 1 2 ( t-2) 2 + 1 2 . ∴ 当 t= 2 时,△PMN 的面积最大,最大值为 1 2 . 此时点 P 的坐标为 2, 3 2( ) . 考点四　 二次函数与一元二次方程 17. C　 18. C 19. B　 【解析】观察表格可知,当 x = 1. 1 时,y = -0. 49;当 x= 1. 2 时,y= 0. 04,∴ 方程 ax2 +bx-5 = 0 的一个根的取 值范围为 1. 1 ~ 1. 2. 故选 B. 20. 解:(1) ∵ 抛物线开口向下,抛物线与 x 轴的交点为 (1,0),(3,0), ∴ 方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根为 x1 = 1,x2 = 3. ∴ 不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 1<x<3. (2)∵ 抛物线的顶点的纵坐标为 2, ∴ 抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y= 2 只有一个公共点. ∴ 当 k<2 时,抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y= k 有两个公 共点,即方程 ax2 +bx+c= k 有两个不相等的实数根. ∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k<2. (3)设抛物线表达式为 y=a(x-2) 2 +2. 把点(1,0)代入,得 0 =a+2. 解得 a= -2. ∴ 抛物线表达式为 y= -2(x-2) 2 +2. 把 x= 4 代入,得 y= -6. 观察图象可知,t 的取值范围为-6<t≤2. 考点五　 二次函数的实际应用 21. B　 22. D 23. C　 【解析】∵ 喷水头的高度(即 OB 的长度)是 1 米,当 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 喷射出的水流距离喷水头 8 米时,达到最大高度 1. 8 米, ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-8) 2 +1. 8. 将点(0,1)代入,得 1 = 64a+1. 8,解得 a= - 1 80 . ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 80 (x-8) 2 +1. 8. 令 y= 0,解得 x= 20(负值舍去),即点 C(20,0) . ∴ OC= 20 米. 故选 C. 24. 6 25.解:(1)由表可知,抛物线的顶点坐标为(3,4. 4), ∴ 抛物线的表达式为 y=a(x-3) 2 +4. 4. 把点(0,3. 5)代入 y=a(x-3) 2 +4. 4 中, 得 3. 5 = 9a+4. 4,解得 a= -0. 1. ∴ 抛物线的表达式为 y= -0. 1(x-3) 2 +4. 4. 当 y= 1. 9 时,1. 9 = -0. 1(x-3) 2 +4. 4, 解得 x= 8 或-2(不符合题意,舍去) . ∴ 货车车箱的中心点应距离喷射口 8 m. (2)由函数图象可知 A,B 对应的抛物线分别为 A:②; B:①. 26.解:任务一:∵ AB∥x 轴,AB = 5 cm,点 B 为水流抛物线 的顶点, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 5. ∴ - b 2a = 5. ∴ b= -10a. ∵ OM= 15 cm,∴ 点 M 的坐标为(15,0) . 把点M(15,0)代入抛物线的表达式 y=ax2+bx+15(a≠0), 得 15a+b+1 = 0. 把 b= -10a 代入 15a+b+1 = 0, 得 15a-10a+1 = 0. 解得 a= - 1 5 . ∴ b= 2. ∴ 水流抛物线的函数表达式为 y= - 1 5 x2 +2x+15. 任务二: 水流能流到圆柱形水杯内. 理由如下: 圆柱形水杯最左端到点 O 的距离是 15-4 = 11(cm) . 当 x= 11 时,y= - 1 5 ×112 +2×11+15 = 12. 8. ∵ 10<12. 8, ∴ 水流能流到圆柱形水杯内. 第二章学业水平测试 1. C　 2. B　 3. D　 4. A　 5. A　 6. C　 7. C　 8. A　 9. B 10. C　 【解析】对于①依据题意,由“倍增点”的定义,知 2(1+3)= 8+0,2(1-2)= -2+0, ∴ 点 Q1(3,8),Q2(-2,-2)都是点 P1 的“倍增点” . 故①正确. 对于②,由题意,可设满足题意的“倍增点”A 为(x,x+2), ∴ 2(x+1)= x+2+0. ∴ x= 0. ∴ 点 A(0,2) . 故②错误. 对于③,可设抛物线上的“倍增点”为(x,x2 -2x-3), ∴ 2(x+1)= x2 -2x-3. ∴ x= 5 或-1. 此时满足题意的“倍增点”有(5,12),(-1,0)两个. 故③正确. 对于④,设点 B(x,y) . ∴ 2(x+1)= y+0. ∴ y= 2(x+1) . ∴ P1B= (x-1) 2 +y2 = (x-1) 2 +4(x+1) 2 = 5 ( x+ 35 ) 2 +16 5 . ∴ 当 x = - 3 5 时,P1B 有最小值为 4 5 5 . 故④正确. 综上所述,正确的结论有① ③ ④,共 3 个. 故选 C. 11. y 轴　 12. 增大　 13. y= x2 -8x+18(答案不唯一) 14. x= 1 15. (2,2)　 【解析】点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线对称轴于点 M1,当点 M 运动到点 M1 处时,△MAC 的周长最小. 由点的对称性,知 MA=MB. △MAC 的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=AC+BC, 令 y= 2x2 -8x+6 = 0,解得 x= 1 或 3;令 x= 0,得 y= 6. ∴ 点 A,B,C 的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,6), 则抛物线的对称轴为 x= 1 2 (1+3)= 2. 设直线 BC 的表达式为 y= kx+b(k≠0), 则 3k+b= 0, b= 6.{ 解得 k= -2, b= 6.{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -2x+6. 当 x= 2 时,y= -2x+6 = 2, ∴ 点 M 的坐标为(2,2) . 16. 4 2 　 【解析】由题意,可得抛物线经过 K(8,0) . 将点 K(8,0)代入 y= - 3 16 x2 +bx 中, 得- 3 16 ×82 +8b= 0,解得 b= 3 2 . ∴ 抛物线的表达式为 y= - 3 16 x2 + 3 2 x. 由题意,可得当 y= 1. 5 时,1. 5 = - 3 16 x2 + 3 2 x, 解得 x1 = 4+2 2 ,x2 = 4-2 2 . ∴ ST= x1 -x2 = 4+2 2 -(4-2 2 )= 4 2 . 17.解:(1)设二次函数的表达式为 y=a(x-3) 2 -2. 把点(0,7)代入,得 9a-2 = 7,解得 a= 1. ∴ 二次函数的表达式为 y= (x-3) 2 -2. (2)∵ a= 1>0, ∴ 抛物线开口向上. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 3, ∴ 当 x>3 时,y 的值随 x 值的增大而增大. 18.解:(1)∵ 抛物线 y = x2 +bx+c 与 x 轴、y 轴的交点分别 为(1,0)和(0,-3), ∴ 0 = 1+b+c, c= -3.{ 解得 b= 2, c= -3.{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +2x-3. (2)由 y=x2 +2x-3 可知,抛物线的对称轴为 x= b 2a = -1, ∴ 当-2<x<-1 时,y 的值随 x 值的增大而减小, 当-1<x<1 时,y 的值随 x 值的增大而增大. 当 x= -2 时,y= 4-4-3 = -3; 当 x= -1 时,y= 1-2-3 = -4; 当 x= 1 时,y= 1+2-3 = 0, ∴ 当-2<x<1 时,y 的取值范围是-4≤y<0. 19.解:(1)∵ y= -x2 +5x-4 = -(x-1)(x-4), ∴ 当 y= 0 时,x1 = 1,x2 = 4;当 x= 0 时,y= -4. ∴ 点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(4,0),点 C 的 坐标为(0,-4) . (2)如图,画出抛物线的对称轴,连接 BC,BC 与抛物线 的对称轴交于点 D,点 D 即为所求. ∵ y= -x2 +5x-4 = - x- 5 2( ) 2 + 9 4 , ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 5 2 . ∵ 点 B(4,0),C(0,-4), ∴ 直线 BC 的表达式为 y= x-4. ∴ 当 x= 5 2 时,y= - 3 2 . ∴ 点 D 的坐标为 5 2 ,- 3 2( ) . 20.解:(1)由题意,得点 A 的坐标为(0,50) . ∵ 抛物线 l2 为 y2 = - 1 120 x2 +bx+c, ∴ c= 50. ∴ 抛物线 l2 的表达式为 y2 = - 1 120 x2 +bx+50. ∵ 抛物线过点(60,60), ∴ - 1 120 ×3 600+60b+50 = 60. ∴ b= 2 3 . ∴ 抛物线 l2 所对应的函数表达式为 y2 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50. (2)把 y= 10 代入 y2 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50, 得 10 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50. 解得 x1 = 120,x2 = -40(不符合题意,舍去) . ∴ x= 120. ∴ 此时运动员的降落点到点 A 的水平距离为 120 米. (3)把点(120,10)代入 y1 = - 1 240 x2 +mx+40, 得- 1 240 ×1202 +120m+40 = 10. 解得 m= 1 4 . ∴ 抛物线 l1 的表达式为 y1 = - 1 240 x2 + 1 4 x+40. ∴ y2 -y1 = - 1 120 x2 + 2 3 x+50+ 1 240 x2 - 1 4 x-40 = - 1 240 x2 + 5 12 x+ 10 = - 1 240 (x-50) 2 +245 12 . ∵ - 1 240 <0, ∴ 当 x = 50 时,运动员滑行中与小山坡 l1 的竖直距离 最大. ∴ 当运动员滑行中与小山坡 l1 的竖直距离最大时,运 动员运动的水平距离为 50 米. 21.解: ( 1) ∵ 抛物线 y = x2 + bx + c 经过点 A ( - 1, 0), 点 B(2,-3), ∴ 1 -b+c= 0, 4+2b+c= -3.{ 解得 b= -2, c= -3.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -2x-3. (2)y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4. ∵ 1>0,∴ 抛物线开口向上. 当 x= 1 时,y= -4;当 x= 0 时,y= -3;当 x= 4 时,y= 5, ∴ 当 0<x<4 时,y 的取值范围为-4≤y<5. (3)存在点 P,使△PBC 的面积是△BCD 面积的 4 倍. ∵ y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4,∴ 点 D 的坐标为(1,-4) . 令 x= 0,则 y= x2 -2x-3 = -3, ∴ 点 C 的坐标为(0,-3) . ∵ 点 B 的坐标为(2,-3), ∴ BC∥x 轴. ∴ BC= 2-0 = 2. ∴ S△BCD = 1 2 ×2× | -4+3 | = 1. 设抛物线上的点 P 的坐标为(m,m2 -2m-3), ∴ S△PBC = 1 2 ×2× |m2 -2m-3-( -3) | = |m2 -2m | . 当 |m2 -2m | = 4×1 时,解得 m= 1± 5 . 当 m= 1+ 5时,m2 -2m-3 = 1; 当 m= 1- 5时,m2 -2m-3 = 1. 综上所述,点 P 的坐标为(1+ 5 ,1)或(1- 5 ,1) . 22.解:(1)∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴交于 A,C 两点, 点 A 的坐标为(2,0),点 C 的坐标为 - 1 2 ,0( ) ,抛物线 与 y 轴交于点 B(0,-1), ∴ 4a+2b+c= 0, 1 4 a- 1 2 b+c= 0, c= -1. ì î í ï ï ï ï 解得 a= 1, b= - 3 2 , c= -1. ì î í ï ï ï ï ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 - 3 2 x-1. (2)如图,设点 P 的坐标为 m,m2 - 3 2 m-1( ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 76·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册