(下册)第1章 直角三角形的边角关系 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·31　 · 第一章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 点( -cos 30°,cos 60°)关于 y 轴对称的点的坐标是 (　 　 ) A. 3 2 , 1 2( ) B. - 3 2 , 1 2( ) C. - 3 2 ,- 1 2( ) D. - 1 2 ,- 3 2( ) 2. 世博会期间,从一架离地 200 米的无人机 A 上,测得地面监测点 B 的俯角是 60°,那么此时无人机 A 与地面监测点 B 的距离是 (　 　 ) A. 200 3 3 米 B. 400 3 3 米 C. 200 米 D. 20 3 米 3. 如图,在梯子 AB 和 EF 中,更陡的是 (　 　 ) A. 一样陡 B. AB C. EF D. 不能确定 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 某款国产手机上有科学计算器,依次按键: 4 sin ( 6 0 ) = ,显示的结果在哪两个相邻的整 数之间 (　 　 ) A. 2~ 3 B. 3~ 4 C. 4~ 5 D. 5~ 6 5. 已知某斜坡的坡角为 α,坡度为 i= 5 ∶ 12,则 cos α 为 (　 　 ) A. 5 12 B. 5 13 C. 12 13 D. 12 5 6. 如图,在数学兴趣小组探究活动中,小明要测量小河两岸相对的两点 P,A 之间的距离,他和同学利用 工具测得 PC= 50 m,∠PCA=α,根据上述测量数据可计算得到小河宽度 PA 为 (　 　 ) A. 50 sin α m B. 50sin α m C. 50 tan α m D. 50tan α m 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 在如图所示的网格中,小正方形网格的边长为 1,△ABC 的三个顶点均在格点上,则 cos B 的值为 (　 　 ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 2 3 8. 如图,某地修建高速公路,要从 B 地向 C 地修一条隧道(B,C 在同一水平面上),为了测量 B,C 两地 之间的距离,某工程师乘坐热气球从 C 地出发,垂直上升 300 米到达 A 处,在 A 处观察 B 地的俯角为 α,则 B,C 两地之间的距离为 (　 　 ) A. 300sin α 米 B. 300cos α 米 C. 300 tan α 米 D. 300 sin α 米 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 为解决停车问题,某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位,每个车位长 6 m,宽 2. 4 m,矩形停车位与道路成 60°角,则在这一路段边上最多可以划出的停车位个数为(参考数据: 3 ≈1. 7) (　 　 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,D 为 BC 的中点,点 E 在 AB 上,AD,CE 交于点 F,AE = EF = 4, CF= 9,则 cos∠ACB 的值为 (　 　 ) A. 3 5 B. 5 9 C. 5 12 D. 4 5 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 计算:2sin 45°+tan 60° = 　 　 　 　 . 12. 如图,在 Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°,BC = 4,AC = 3,CD⊥AB 于点 D. 设∠ACD = α,则 cos α 的 值为　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 13. 如图,B 为地面上一点,测得 B 到树底部 C 的距离为 10 m,在 B 处放置 1m 高的测角仪 BD,测得树 顶 A 的仰角为 60°,则树高 AC 为　 　 　 　 m(结果保留根号) . 14. 如图,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,AC = 8 cm,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D,连接 BD,若 cos∠BDC= 3 5 ,则 BC 的长是　 　 　 　 cm. 15. 如图,一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 60°方向,距离灯塔 30 海里的 A 处,它沿北偏东 30°方向航行一 段时间后,到达位于灯塔 P 的北偏东 67°方向上的 B 处,此时轮船与灯塔 P 的距离约为　 　 　 　 海 里. 参考数据:sin 37°≈ 3 5 ,cos 37°≈ 4 5 ,tan 37°≈ 3 4( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16. (新素养·抽象能力)定义一种运算:sin(α+β) = sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β) = sin αcos β- cos αsin β. 例如:当 α = 45°,β = 30°时,sin(45°+30°) = 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 6 + 2 4 ,则 sin 15°的值为 . 三、解答题(共 52 分) 17. (6 分)计算:2tan 45°- 1 sin 30° -2sin260°+ 3 2 . 18. (8 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 2,AB= 3. (1)求 BC 的长; (2)求 tan A 的值. 19. (8 分)如图是旗杆 AB 竖直放置在矩形平台 EFMC 上的示意图,在某一时刻旗杆 AB 形成的影子顶 端恰好落在斜坡 CD 的 D 处,点 F,M,D 在一条直线上. 现测得 BC = 10 米,CD = 8 米,∠CDF = 30°, ∠ADF= 45°,求旗杆 AB 的高度. 20. (8 分)琳琳想用所学知识测量塔 CD 的高度. 她找到一栋与塔 CD 在同一水平面上的楼房,在楼房 的 A 处测得塔 CD 底部 D 的俯角为 26. 6°,测得塔 CD 顶部 C 的仰角为 45°,AB⊥BD,CD⊥BD,BD= 30 m. 求塔 CD 的高度. (参考数据:sin 26. 6°≈0. 45,cos 26. 6°≈0. 89,tan 26. 6°≈0. 50) 21. (10 分)太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯. 如图,某种型号太阳能路灯的 支架 CD 与灯柱 AB 的夹角∠BCD= 60°,支架 CD 长为 3 米,小明同学在距灯柱 10 米的 E 处,用测角 仪测得路灯 D 的仰角为 48°,已知测角仪 EF 的高度为 1. 2 米,求路灯 D 距地面 AE 的高度. (结果精 确到 0. 1 米,参考数据: 3 ≈1. 73,sin 48°≈0. 74,cos 48°≈0. 67,tan 48°≈1. 11) 　 22. (12 分)(新情境·项目式学习)朱熹美名的“八闽岳祖”———白岩山,坐落在闽清县三溪乡境内,雄 伟巍峨,高耸于天表,横陈于东北,气势磅礴,蔚为壮观. 那乳白色的岩壁在骄阳下皎洁如玉,夜间, 那富含石英的岩石与天上星月争辉,散发着珠光宝气. 某实践探究小组想测得白岩山的海拔高度, 数据勘测组通过勘测,得到了如下记录表. 实践探究活动记录表 活动内容 测量白岩山的海拔高度 活动日期 2024 年 3 月 21 日 指导老师 毛老师 组员 小榕、小闽、小清、小梅 工具 测角仪、皮尺等 测量示 意图 说明:山高无法直接测量,数据勘测组在两建筑物 BG,DF 上的 B,D 两处通过测角仪测得∠ADC, ∠ABC 的度数,使用皮尺测得 FG 的长度. 已知数据 地面海拔高度 365 m 建筑物 BG,DF 的高度 72 m 测量数据 角的度数 ∠ABC= 30°,∠ADC= 45° 边的长度 FG= 585. 6 m 特殊说明 点 B,C,D 在同一平面内,点 E,F,G 在同一水平线上. 参考数据: 3 ≈1. 732, 2 ≈1. 414 (1)CE 的高度为 m,BD 的长度为 m; (2)AE 的高度是否等于白岩山的海拔高度 h? (3)求白岩山的海拔高度 h. (结果精确到 1 m) · 32·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 5.解:在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 4,BC= 2, 由勾股定理,得 AB= BC2 +AC2 = 22 +42 = 2 5 . ∴ sin A=BC AB = 2 2 5 = 5 5 ,cos A=AC AB = 4 2 5 = 2 5 5 , tan A=BC AC = 2 4 = 1 2 . 6.解:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AC 于点 C. 在 Rt△ABD 中,sin B=AD c ,即 AD= csin B. 在 Rt△ADC 中,sin C=AD b ,即 AD= bsin C. ∴ csin B= bsin C,即 b sin B = c sin C . 同理可得 a sin A = c sin C . ∴ a sin A = b sin B = c sin C . 考点二　 特殊三角函数值 7. A　 8. A　 9. C 10. 等腰直角　 【解析】∵ sin A- 2 2( ) 2 + | tan B-1 | = 0, ∴ sin A- 2 2 = 0,tan B-1 = 0. ∴ sin A= 2 2 ,tan B= 1. ∴ ∠A= 45°,∠B= 45°. ∴ ∠C= 90°. ∴ △ABC 是等腰直角三角形. 11.解:原式= 1 2 -2× 2 2( ) 2 + 3 2 × 3 3( ) 2 = 1 2 -2× 1 2 + 3 2 × 1 3 = 1 2 -1+ 1 2 = 0. 12.解:(1)原式= 3 2 × ( 32 ) 2 - 3 1 = 3 2 × 3 4 - 3 = -5 3 8 . (2)∵ cos A- 1 2 + ( sin B- 2 2 ) 2 = 0, ∴ cos A- 1 2 = 0,sin B- 2 2 = 0. ∴ cos A= 1 2 ,sin B= 2 2 . ∴ ∠A= 60°,∠B= 45°. ∵ ∠A+∠B+∠C= 180°, ∴ ∠C= 180°-60°-45° = 75°. ∴ ∠C 的度数为 75°. 考点三　 解直角三角形 13. A　 14. C 15. 2 　 【解析】如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△ACD 中,∠A= 30°,AC= 2, ∴ CD= 1 2 AC= 1. 在 Rt△BCD 中,tan B= 1, ∴ CD=BD= 1. ∴ BC= BD2 +CD2 = 2 . 16. 16 5 　 3 5 　 【解析】如图,连接 AC. 根据题意,得 BC= 32 +42 = 5, S△ABC = 4×4- 1 2 ×1×4- 1 2 ×3×4 = 8. ∵ AD⊥BC,∴ 1 2 AD·BC= 8. 解得 AD= 16 5 . ∴ cos∠BAD=AD AB = 16 5 4 = 4 5 . 设 AD= 4x,则 AB= 5x. 在 Rt△ADB 中,AB= 5x,AD= 4x,AD2 +BD2 =AB2, ∴ BD= (5x) 2 -(4x) 2 = 3x. ∴ sin∠BAD=BD AB = 3x 5x = 3 5 . 17.解:(1)∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB= ∠ADC= 90°. ∴ tan B= AD BD = 4 5 . ∵ BD=AC= 10,∴ AD= 4 5 BD= 8. (2)在 Rt△ACD 中,∵ ∠ADC= 90°,AC= 10,AD= 8, ∴ CD= AC2 -AD2 = 102 -82 = 6. ∴ BC=BD+CD= 16,cos C=CD AC = 6 10 = 3 5 . ∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×16×8 = 64. 考点四　 三角函数的应用 18. B　 【解析】由题意,得 AQ= 500 米. 在 Rt△APQ 中,cos α=PQ AQ = PQ 500 ,解得 PQ= 500cos α,所 以发射点 P 与雷达站 Q 之间的距离是 500cos α 米. 故 选 B. 19. D　 【解析】∵ AC⊥BC, ∴ ∠ACB= 90°. 在 Rt△ABC 中,∠ABC=α,AC= 3 米, ∴ BC= AC tan α = 3 tan α (米) . ∵ CD= 1 米, ∴ BD=BC-CD= ( 3tan α-1 )米. ∴ 影长差 BD 的长为 ( 3tan α-1 )米. 故选 D. 20. 55　 【解析】由题意,得 AB=DE= 20 m,AE=BD= 35 m, ∠CAE= 45°,∠AEC= 90°. 在 Rt△AEC 中,CE=AE·tan 45° = 35 m, ∴ CD=DE+CE= 20+35 = 55(m) . ∴ 乙建筑物的高 CD 为 55 m. 21. ( 3 - 1) 米 　 【解析】如图,标注字母 E,G,过点 A 作 AF⊥CG,垂足为 F,则 AF=BG=n= 3 米. 在 Rt△BDG 中,BG=n= 3 米,∠DBG= 30°, ∴ DG=BG·tan 30° = 3 (米) . 在 Rt△ACF 中,AF=n= 3 米,∠CAF= 45°, ∴ CF=AF= 3 米. ∴ AB=FG=CD+DG-CF= 2+ 3 -3 =( 3 -1)米. 22. 9　 【解析】如图,延长 CD 交 AE 于点 F, 则 AF=BC,∠AFC= 90°,设 AF=BC= x 米. 在 Rt△AFD 中,∠FAD= 45°, ∴ DF=AF·tan 45° = x 米. ∵ CD= 3 米,∴ CF=CD+DF=(x+3)米. 在 Rt△AFC 中,∠FAC= 53°, ∴ tan 53° =CF AF = x+3 x ≈ 4 3 . 解得 x= 9. 经检验,x= 9 是原方程的根. ∴ BC= 9 米. ∴ 两座楼房之间的水平距离大约为 9 米. 24. 34　 【解析】如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,设 CF 长 为 x n mile. 由题意,得∠DAC= 50°,∠DAB= 80°,∠CBE= 40°, AD∥BE,则∠CAB= ∠DAB-∠DAC= 30°. ∵ AD∥BE,∴ ∠DAB+∠ABE= 180°. ∴ ∠ABE= 180°-∠DAB= 180°-80° = 100°. ∴ ∠ABC= ∠ABE-∠CBE= 100°-40° = 60°. 在 Rt△ACF 中,∵ ∠CAF= 30°,∴ AF= 3CF= 3 x. 在 Rt△CFB 中,∵ ∠FBC= 60°, ∴ BF= 3 3 CF= 3 3 x. ∵ AF+BF=AB,∴ 3 x+ 3 3 x= 80. 解得 x= 20 3 ≈34. ∴ C 岛到航线 AB 的最短距离约是 34 n mile. 25.解:(1) 如图,过点 O 作 EF⊥OM 于点 O,过点 A 作 AG⊥EF 于点 G. ∵ AB= 6 米,OA ∶ OB= 2 ∶ 1,∴ OA= 4 米,OB= 2 米. ∵ ∠AOM= 127°,∠EOM= 90°, ∴ ∠AOE= 127°-90° = 37°. 在 Rt△AOG 中,AG=OA·sin 37°≈4×0. 6 = 2. 4(米) . 2. 4+3 = 5. 4(米) . ∴ 点 A 位于最高点时到地面的距离为 5. 4 米. (2)如图,过点 B 作 BC⊥EF 于点 C, 过点 B1 作 B1D⊥EF 于点 D. ∵ ∠AOE= 37°,∠AOA1 = 54. 5°, ∴ ∠BOC = ∠AOE = 37°,∠B1OD = ∠A1OE = ∠AOA1 - ∠AOE= 54. 5°-37° = 17. 5°. ∵ OB1 =OB= 2 米, ∴ 在 Rt△OBC 中,BC=OB·sin 37°≈2×0. 6= 1. 2(米), 在 Rt△OB1D 中,B1D=OB1·sin 17. 5°≈2×0. 3=0. 6(米). ∴ BC+B1D= 1. 2+0. 6 = 1. 8(米) . ∴ 此时水桶 B 上升的高度为 1. 8 米. 第一章学业水平测试 1. A　 2. B　 3. C　 4. B　 5. C　 6. D　 7. B　 8. C　 9. D 10. D　 【解析】如图,延长 AD 到点 M,使得 DM = DF,连 接 BM. ∵ D 是 BC 的中点,∴ BD=CD. ∵ ∠BDM= ∠CDF,DM=DF, ∴ △BDM≌△CDF(SAS) . ∴ BM=CF= 9,∠BMD= ∠CFD. ∵ ∠AFE= ∠CFD, ∴ ∠AFE= ∠BMD. ∵ AE=EF,∴ ∠EAF= ∠EFA. ∴ ∠BAM= ∠M. ∴ AB=BM= 9. ∵ AE= 4,∴ BE= 5. ∵ ∠EBC= 90°,CE=CF+EF= 9+4 = 13, ∴ BC= CE2 -BE2 = 132 -52 = 12. ∴ AC= AB2 +BC2 = 92 +122 = 15. ∴ cos∠ACB=BC AC = 12 15 = 4 5 . 故选 D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 74·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·75　 · 11. 2 + 3 　 12. 4 5 　 13. (1+10 3 )　 14. 4 15. 50　 【解析】如图所示标注字母. 根据题意,得∠CAP = ∠EPA = 60°,∠CAB = 30°,PA = 30 海里. ∴ ∠PAB= 90°,∠APB= 180°-67°-60° = 53°. ∴ ∠B= 180°-90°-53° = 37°. 在 Rt△PAB 中,sin B=PA PB = 30 PB ≈ 3 5 . 解得 PB≈50 海里. ∴ 此时轮船与灯塔 P 的距离约为 50 海里. 16. 6 - 2 4 　 【解析】sin 15° =sin(45°-30°)= sin 45°cos 30°- cos 45°sin 30° = 2 2 × 3 2 - 2 2 × 1 2 = 6 4 - 2 4 = 6 - 2 4 . 17.解:原式= 2×1- 1 1 2 -2× 3 2( ) 2 + 3 2 = 2-2- 3 2 + 3 2 = 0. 18.解:(1)在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 2,AB= 3, ∴ BC= AB2 -AC2 = 32 -22 = 5 . (2)在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 2,BC= 5 , ∴ tan A=BC AC = 5 2 . 19.解:如图,延长 AB 交 FM 于点 T. 由题意,得四边形 BCMT 是矩形. ∴ MT=BC= 10 米,BT=CM. 在 Rt△CDM 中, ∵ ∠CMD= 90°,CD= 8 米,∠CDM= 30°, ∴ DM=CD·cos 30° = 8× 3 2 = 4 3 (米), CM=CD·sin 30° = 8× 1 2 = 4(米) . ∴ DT=MT+DM= (10+4 3 )米. ∵ ∠ADT= 45°,∠ATD= 90°, ∴ AT=DT= (10+4 3 )米. ∴ AB=AT-BT= 10+4 3 -4 = (6+4 3 )米. ∴ 旗杆 AB 的高度为(6+4 3 )米. 20.解:如图,连接 CD,过点 A 作 AE⊥CD 于点 E. 由题意,得四边形 ABDE 是矩形. ∵ ∠DAE= 26. 6°,BD= 30 m, ∴ AE=BD= 30 m,tan∠DAE=DE AE . ∴ DE=AE·tan 26. 6°≈0. 50×30 = 15(m) . ∵ ∠CAE= 45°,∴ ∠ACE= 45°. ∴ AE=CE= 30 m. ∴ CD=CE+DE= 30+15 = 45(m) . ∴ 塔的高度是 45 m. 21.解:如图所示,过点 D 作 DG⊥AE 于点 G,过点 F 作 FH⊥DG 于点 H,过点 C 作 CM⊥DG 于点 M,则四边形 ACMG 和四边形 EFHG 都是矩形. ∴ CM=AG,FH=EG,GH=EF. ∵ ∠BCD= 60°,∴ ∠DCM= 30°. ∵ ∠CMD= 90°, ∴ CM=CD·cos∠DCM= 3× 3 2 = 3 3 2 (米) . ∴ AG=CM= 3 3 2 米. ∴ FH=EG=AE-AG= 10-3 3 2( ) 米. ∴ DH=FH·tan∠DFH≈8. 2(米) . ∴ DG=DH+GH= 8. 2+1. 2 = 9. 4(米) . ∴ 路灯 D 距地面 AE 的高度为 9. 4 米. 22.解:( 1) 根据题意,CE 的高度为 72 m,BD 的长度为 585. 6 m. 故答案为 72,585. 6. (2)白岩山的海拔高度 h=AE+365, 所以白岩山的高度与 AE 不相等. (3)设 AC= x m. 在 Rt△ADC 中,∠ACD= 90°,∠ADC= 45°, ∴ △ADC 为等腰直角三角形. ∴ DC=AC= x m. 在 Rt△ABC 中,∠ABC= 30°, ∴ BC= AC tan 30° = 3 x m. ∴ BD=BC-DC= 3 x-x= 585. 6. ∴ x≈800. ∴ h≈800+72+365 = 1 237(m) . ∴ 白岩山的海拔高度 h 为 1 237 m. 第二章考点梳理与复习 考点一　 二次函数的定义 1. C　 2. -1 3. y= - 1 10 x2 +50x+6 000 4.解:(1)∵ 函数 y=m(m+2)x2 +mx+m+1 是一次函数, ∴ m(m+2)= 0 且 m≠0,解得 m= -2. ∴ 当 m= -2 时,此函数是一次函数. (2)∵ 函数 y=m(m+2)x2 +mx+m+1 是二次函数, ∴ m(m+2)≠0,解得 m≠-2 且 m≠0. ∴ 当 m≠-2 且 m≠0 时,此函数是二次函数. 考点二　 二次函数的图象和性质 5. B　 6. C 7. -1　 8. y= x2 +6x+7 9.解:(1)把点 P( -2,3)代入 y= x2 +ax+3 中,得 a= 2. ∴ y= x2 +2x+3 = (x+1) 2 +2. ∴ 图象的顶点坐标为( -1,2) . (2)∵ 点 Q(m,n)在该二次函数图象上, ∴ 当 m= 2 时,n= 22 +2×2+3 = 11. 考点三　 用待定系数法求二次函数的表达式 10. A　 11. C　 12. B 13. y= (x-4) 2 -4　 【解析】∵ 在▱ABCD 中,AB= 4, ∴ DC=AB= 4. 又∵ 点 D(0,-4),即 OD= 4, ∴ 点 C(4,-4),即抛物线的对称轴为直线 x= 4. ∵ AB= 4,∴ 点 A(2,0),B(6,0) . ∵ 顶点 C(4,-4), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x-4) 2 -4(a≠0) . 把点 A(2,0)代入,得 0 = 4a-4. 解得 a= 1. ∴ 抛物线的表达式是 y=(x-4) 2 -4. 14.解:(1)∵ 抛物线过点 A(1,0),B(0,3), ∴ 0 = -1+b+c, 3 = c.{ 解得 b= -2, c= 3.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= -x2 -2x+3. (2)由(1)知,抛物线的对称轴为直线 x= -1, ∴ 当 y= 3 时,x= -2 或 0, ∴ 当 y<3 时,x 的取值范围为 x<-2 或 x>0. 15.解:(1)由图象,可知抛物线经过点( -1,0),对称轴为 直线 x= 1. ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0) . ∴ 当 y= 0 时,x 的值为-1 或 3. (2)∵ 抛物线经过点( -1,0),(3,0),(0,-3), ∴ 设抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x-3) . 把(0,-3)代入,得-3 = -3a,解得 a= 1. ∴ 抛物线的表达式为 y= (x+1)(x-3) . 令 y= 5,得 5 = (x+1)(x-3) . 解得 x1 = 4,x2 = -2, ∴ 当 y>5 时,x 的取值范围为 x>4 或 x<-2. (3)由图象可知,对称轴为直线 x= 1. ∴ 当 y 的值随 x 值的增大而增大时,x 的取值范围为 x>1. 16.解:(1)由题意,得 - b 2a = 1, a+b+c= 1, 9a+3b+c= 3. ì î í ï ï ï ï 解得 a= 1 2 , b= -1, c= 3 2 . ì î í ï ï ï ï ïï ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 -x+ 3 2 . ∵ 将该抛物线平移使得其经过原点,且对称轴不变, ∴ 平移后的抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 -x. 将点 M(1,1)代入 y= kx 中,得 k= 1. (2)如图,过点 P 作 PQ∥y 轴,交 MN 于点 Q. 设点 Q( t,t),则点 P t, 1 2 t2 -t+ 3 2( ) . ∴ PQ= t- 1 2 t2 -t+ 3 2( ) = - 1 2 t2 +2t- 3 2 . ∴ S△PMN = 1 2 ·PQ·MN= 1 2 ( - 1 2 t2 +2t- 3 2 ) ×2 = - 1 2 t2 +2t- 3 2 = - 1 2 ( t-2) 2 + 1 2 . ∴ 当 t= 2 时,△PMN 的面积最大,最大值为 1 2 . 此时点 P 的坐标为 2, 3 2( ) . 考点四　 二次函数与一元二次方程 17. C　 18. C 19. B　 【解析】观察表格可知,当 x = 1. 1 时,y = -0. 49;当 x= 1. 2 时,y= 0. 04,∴ 方程 ax2 +bx-5 = 0 的一个根的取 值范围为 1. 1 ~ 1. 2. 故选 B. 20. 解:(1) ∵ 抛物线开口向下,抛物线与 x 轴的交点为 (1,0),(3,0), ∴ 方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根为 x1 = 1,x2 = 3. ∴ 不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 1<x<3. (2)∵ 抛物线的顶点的纵坐标为 2, ∴ 抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y= 2 只有一个公共点. ∴ 当 k<2 时,抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y= k 有两个公 共点,即方程 ax2 +bx+c= k 有两个不相等的实数根. ∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k<2. (3)设抛物线表达式为 y=a(x-2) 2 +2. 把点(1,0)代入,得 0 =a+2. 解得 a= -2. ∴ 抛物线表达式为 y= -2(x-2) 2 +2. 把 x= 4 代入,得 y= -6. 观察图象可知,t 的取值范围为-6<t≤2. 考点五　 二次函数的实际应用 21. B　 22. D 23. C　 【解析】∵ 喷水头的高度(即 OB 的长度)是 1 米,当 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋