第4章 图形的相似 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·15　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第四章考点梳理与复习 考点一　 成比例线段与相似多边形 1. 两地相距 400 千米,画在图上是 5 厘米,这幅图的比例尺是 (　 　 ) A. 1 ∶ 800 000 B. 1 ∶ 8 000 000 C. 1 ∶ 80 000 000 D. 1 ∶ 800 000 000 2. 如果 C 是线段 AB 延长线上一点,且 AC ∶ BC= 3 ∶ 1,那么 AB ∶ BC 等于 (　 　 ) A. 2 ∶ 1 B. 1 ∶ 2 C. 4 ∶ 1 D. 1 ∶ 4 3. 若四条线段 a,b,c,d 成比例,其中 b= 4 cm,c= 2 cm,d= 8 cm,则线段 a 的长为 (　 　 ) A. 1 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm 4. 下列两个图形一定是相似图形的是 (　 　 ) A. 菱形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 考点二　 平行线分线段成比例定理 5. 如图,AD∥BE∥CF,若 AB= 2,BC= 4,EF= 5,则 DE 的长度是 (　 　 ) A. 6 B. 3 2 C. 5 2 D. 8 3 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,C,D 两点分别在△AOB 两边 AO,BO 的延长线上,AB∥CD,且 OA = 2,OC = 3,AB = 5,BD = 6,则 OB 的长度为　 　 　 　 . 考点三　 相似三角形的判定 7. 下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是 (　 　 ) A. AB AC =A′B′ A′C′ B. AB AC =A′B′ A′C′ ,∠B= ∠B′ C. AB AC =A′B′ A′C′ ,∠A= ∠A′ D. AB A′B′ = AC A′C′ 8. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别为边 AB,AC 上的点,试添加一个条件:　 　 　 　 　 　 　 　 ,使得 △ADE 与△ACB 相似. (任意写出一个满足条件的即可) 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 9. (易错题)如图,已知矩形 ABCD 的边长 AB= 3 cm,BC= 6 cm. 某一时刻,动点 M 从点 A 出发沿 AB 方 向以 1 cm / s 的速度向点 B 匀速运动;同时,动点 N 从点 D 出发沿 DA 方向以 2 cm / s 的速度向点 A 匀 速运动,运动时间为 t s,当 t 为　 　 　 　 　 　 　 时,以点 A,M,N 为顶点的三角形与△ACD 相似. 10. 如图,D 为△ABC 边 AB 上一点. (1)请用尺规作∠ADE,使点 E 在边 AC 上,且∠ADE= ∠C;(保留作图痕迹,不写作法) (2)△ADE 与△ACB 相似吗? 为什么? 考点四　 相似三角形的性质 11. 已知△ABC∽△DEF,AB= 8 cm,DE= 12 cm,则△ABC 与△DEF 的相似比是 (　 　 ) A. 2 ∶ 3 B. 3 ∶ 2 C. 4 ∶ 9 D. 9 ∶ 4 12. 已知△ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′是它们的对应中线. 若 AD = 10,A′D′= 6,则△ABC 与△A′B′C′的 周长比是 (　 　 ) A. 3 ∶ 5 B. 9 ∶ 25 C. 5 ∶ 3 D. 25 ∶ 9 13. 两个相似三角形的面积之比为 2 ∶ 3,则它们对应边的比为　 　 　 　 ,对应边上的高的比为　 　 　 　 . 考点五　 相似三角形的实际应用 14. (新考法·跨学科)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第 1 个小孔成倒像的实验 (如图 1),并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端” . 在如图 2 所示的小 孔成像实验中,若物距为 10 cm,像距为 15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是 9 cm,则蜡烛火焰的高 度是 cm. 图 1 　 　 　 　 图 2 15. 如图,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点 P,在近岸取点 Q 和 S,使点 P,Q,S 在一条直 线上,且直线 PS 与河垂直,在过点 S 在与直线 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T,PT 与过点 Q 且 与 PS 垂直的直线 b 的交点为 R. 如果 QS= 60 m,ST= 120 m,QR= 80 m,求 PQ 的长. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16. (新情境·项目式学习)某综合与实践小组开展测量本校旗杆高度的实践活动. 他们制订了测量方 案,并利用课余时间完成了实地测量,测量报告如下. 课题 测量旗杆的高度 成员 组长:×××　 　 　 　 　 组员:×××,×××,××× 测量工具 皮尺、标杆 测量示 意图 说明:在水平地面上直立一根标杆 EF,观测 者沿直线 BF 后退到点 D,使眼睛 C、标杆的 顶端 E、旗杆的顶端 A 在同一直线上. 测量数据 观测者与标 杆的距离 DF 观测者与旗 杆的距离 DB 标杆 EF 的长 观测者的眼睛离 地面的距离 CD 1 m 18 m 2. 4 m 1. 6 m 问题解决 如图,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,交 EF 于点 G. …… 请根据以上测量结果及该小组的思路,求学校旗杆 AB 的高度. 考点六　 位似图形的性质 17. 如图,已知△ABC 与△DEF 是位似图形,DE= 2AB,连接 EB,FC 并延长,两直线交于点 O,则下列说 法错误的是 (　 　 ) A. 直线 AD 一定经过点 O B. ∠EDF= 2∠BAC C. B 是 OE 的中点 D. S四边形BCFE = 3S△OBC 18. 在平面直角坐标系中,△ABC 和△A1B1C1 的相似比为 1 2 ,并且△ABC 和△A1B1C1 是关于原点 O 的 位似图形,若点 A 的坐标是(2,4),则其对应点 A1 的坐标是　 　 　 　 　 　 　 　 . 19. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,1),B(2,3),C(1,2) . (1)画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (2)以原点 O 为位似中心,在第三象限内画一个△A2B2C2,使它与△ABC 的相似比为 2 ∶ 1,并写出 点 B2 的坐标. 考点七　 与相似有关的动点问题 20. (教改题)如图,在△ABC 中,AB= 16 cm,BC= 32 cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 运动,速度为 4 cm / s; 动点 Q 从点 B 开始沿 BC 运动,速度为 8 cm / s. 设 P,Q 两点同时运动,运动时间为 t s(0<t<4),当 △QBP 与△ABC 相似时,求 t 的值. 21. 已知,如图 1,在▱ABCD 中,E 是 AB 的中点,连接 DE 并延长,交 CB 的延长线于点 F. (1)求证:△ADE≌△BFE; (2)如图 2,G 是边 BC 上任意一点(点 G 不与点 B,C 重合),连接 AG 交 DF 于点 H,连接 HC,过点 A 作 AK∥HC,交 DF 于点 K. ①求证:HC= 2AK; ②当 G 是边 BC 的中点时,恰有 HD=n·HK(n 为正整数),求 n 的值. 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 · 16·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 ∴ P1P2∥CE 且 P1P2 = 1 2 CE. 当点 F 在 EC 上除点 C,E 的位置处时,DP=FP, ∴ P1P∥CE 且 P1P= 1 2 CF. ∴ 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2 . ∴ 当 PB⊥P1P2 时,PB 取得最小值. ∵ 在矩形 ABCD 中,AB= 2,AD= 1,E 是 AB 的中点, ∴ △CBE,△ADE,△BCP1 是等腰直角三角形,P1C= 1. ∴ ∠ADE= ∠CDE= ∠CP1B= 45°,∠DEC= 90°. ∴ ∠DP2P1 = 90°. ∴ ∠DP1P2 = 45°. ∴ ∠P2P1B= 90°,即 P1B⊥P1P2 . ∴ PB 的最小值是 P1B 的长. 在等腰直角三角形 BCP1 中,P1C=BC= 1. ∴ P1B= P1C2 +BC2 = 2 . ∴ PB 的最小值是 2 . 17.解:(1)移项,得 x2 +2x= 3. 配方,得 x2 +2x+1 = 3+1, 即(x+1) 2 = 4. 两边开平方,得 x+1 = ±2, 即 x+1 = 2 或 x+1 = -2. ∴ x1 = 1,x2 = -3. (2)原方程可变形为(x+4) 2 -5(x+4)= 0, (x+4)(x+4-5)= 0. x+4 = 0 或 x-1 = 0. ∴ x1 = -4,x2 = 1. 18.证明:∵ ∠ACB= 90°,D 是 AB 的中点,∴ AD=CD=BD. ∵ DF 是∠ADC 的平分线, ∴ DF⊥AC,即∠CFD= 90°. ∵ DE 是∠BDC 的平分线, ∴ DE⊥BC,即∠DEC= 90°. ∵ ∠CFD= ∠DEC= ∠ACB= 90°, ∴ 四边形 FDEC 是矩形. 19.解:(1)15 W 灯总个数为 1×25+2×9+3×1+4×1 = 50, 平均每盒混入 15 W 灯的个数为50 50 = 1. 答:平均每盒混入 15 W 灯的个数为 1. (2)每盒中混入 0 个,1 个,2 个,数量小于等于 2%,不 用赔偿,混入 3 个数量是 3%,混入 4 个数量是 4%,需 要赔偿, 答:所求概率为 2 50 = 1 25 . 20.解:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ BC=CD= 5,AC⊥BD, ∴ ∠COD= 90°. ∵ DE∥AC,CE∥BD,∴ 四边形 ODEC 是平行四边形. ∵ ∠COD= 90°, ∴ 平行四边形 ODEC 是矩形. ∴ OE=CD= 5. 21.解:(1)每件商品降价 x 元后,可售出商品(500+20x) 件,其中 x≥1. (2)根据题意,得(50-x)(500+20x)= 28 000. 解得 x1 = 10,x2 = 15. ∵ 需要尽快清仓,∴ x1 = 10 舍去. ∴ x 的值为 15. 22.解:(1)与∠AED 相等的角有∠AFB,∠DAF,∠EDC. (2)AF⊥DE. 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=AD,∠DAB= ∠B= 90°, 在 Rt△AED 和 Rt△BFA 中, DE=AF, AD=BA,{ ∴ Rt△AED≌Rt△BFA(HL) . ∴ ∠AED= ∠BFA. ∵ ∠BFA+∠FAB= 90°, ∴ ∠AED+∠FAB= 90°. ∴ ∠AGE= 90°,即 AF⊥DE. 23.解:(1)设所求矩形的长和宽分别是 x 和 y. 由题意,得 x+y= 5 2 ,① xy= 3. ② { 由①,得 y= 5 2 -x,③ 把③代入②,得 x 5 2 -x( ) = 3, 整理,得 2x2 -5x+6 = 0. ∵ b2 -4ac= 25-48 = -23<0, ∴ A 的“兄弟矩形”B 不存在. (2)设所求矩形的长和宽分别是 x 和 y. 由题意,得 x+y=m +n 2 ,① xy=mn 2 . ② ì î í ï ï ï ï 由①,得 y=m +n 2 -x,③ 把③代入②,得 x m +n 2 -x( ) =mn2 , 整理,得 2x2 -(m+n)x+mn= 0. ∵ b2 -4ac= (m+n) 2 -8mn=m2 -6mn+n2,x,y 都是正数, ∴ 当 m2 -6mn+n2≥0 时,A 的“兄弟矩形”B 存在. 24.解:(1)∵ 矩形 ONEF 的对角线相交于点 M, ∴ OM=EM,M 为 OE 的中点. ∵ O 为坐标原点,点 E 的坐标为(4,3), ∴ 点 M 的坐标为 0 +4 2 ,0 +3 2( ) , 即点 M 的坐标为 2, 3 2( ) . 故答案为 (2, 3 2 ) . (2)如图,有三种情况: ①当 AB 为▱ADBC 的对角线时, ∵ A( -1,2),B(3,1),C(1,4), ∴ 由线段中点坐标公式,得点 D 的坐标为(1,-1); ②当 BC 为▱ABD′C 的对角线时, ∵ A( -1,2),B(3,1),C(1,4), ∴ 由线段中点坐标公式,得点 D′的坐标为(5,3); ③当 AC 为▱ABCD″的对角线时, ∵ A( -1,2),B(3,1),C(1,4), ∴ 由线段中点坐标公式,得点 D′′的坐标为( -3,5) . 综上所述,符合要求的点 D 的坐标为(1,-1)或(5,3) 或( -3,5) . 第四章考点梳理与复习 考点一　 成比例线段 1. B 2. A　 【解析】点 A,B,C 的位置关系如图,∵ AC ∶ BC= 3 ∶ 1, ∴ 设 AC = 3x,则 BC = x,AB = 2x. ∴ AB ∶ BC = 2 ∶ 1. 故 选 A. 3. A　 【解析】∵ 四条线段 a,b,c,d 成比例,∴ a b = c d . ∵ b= 4 cm,c = 2 cm,d = 8 cm,∴ a 4 = 2 8 . 解得 a = 1. 故 选 A. 4. D 考点二　 平行线分线段成比例定理 5. C 6. 12 5 　 【解析】∵ AB∥CD,∴ OA OC =OB OD ,即 2 3 = OB 6-OB . ∴ OB= 12 5 . 考点三　 相似三角形的判定 7. C 8. ∠ADE= ∠C(答案不唯一) 9. 2. 4 或 1. 5　 【解析】当运动时间为 t s 时,AM= t cm, AN=(6-2t)cm. 以 A,M,N 为顶点的三角形与△ACD 相似时,有两种 情况. 当△ACD∽△MNA 时,AD MA =CD NA ,即 6 t = 3 6-2t . ∴ 36-12t= 3t. ∴ t= 2. 4; 当△ACD∽△NMA 时,则AD NA =CD MA ,即 6 6-2t = 3 t . ∴ 6t= 18-6t. ∴ t= 1. 5. 综上所述,当 t 为 2. 4 s 或 1. 5 s 时,以 A,M,N 为顶点的 三角形与△ACD 相似. 10.解:(1)如图,∠ADE 即为所求作. (2)△ADE 与△ACB 相似. 理由如下: ∵ ∠DAE= ∠CAB,∠ADE= ∠C,∴ △ADE∽△ACB. 考点四　 相似三角形的性质 11. A　 【解析】∵ △ABC∽△DEF,AB= 8 cm,DE= 12 cm, ∴ △ABC 与△DEF 的相似比是 AB ∶ DE= 8 ∶ 12= 2 ∶ 3. 故选 A. 12. C　 【解析】∵ △ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′是它们的 对应中线,AD = 10,A′D′ = 6,∴ △ABC 与△A′B′C′的周 长比是 AD ∶ A′D′= 10 ∶ 6 = 5 ∶ 3. 故选 C. 13. 2 ∶ 3 　 2 ∶ 3 　 【解析】∵ 两个相似三角形的面积 之比为 2 ∶ 3,∴ 这两个相似三角形的相似比为 2 ∶ 3 . ∴ 它们对应边的比为 2 ∶ 3,对应边上的高的比为 2 ∶ 3 . 考点五　 相似三角形的实际应用 14. 6　 【解析】设蜡烛火焰的高度是 x cm. 由相似三角形的性质,得10 15 = x 9 . 解得 x= 6,即蜡烛火焰的高度是 6 cm. 15.解:设 PQ 的长度为 x m,则 PS 的长度为(x+60)m. 由题意,可知 QR∥ST, ∴ △PQR∽△PST. ∴ PQ PS =QR ST . ∴ x x+60 = 80 120 ,解得 x= 120. ∴ PQ 的长为 120 m. 16.解:由题意,得 CD=FG=BH= 1. 6 m,CG=DF= 1 m, CH=BD= 18 m,∠CGE= ∠CHA= 90°. ∵ EF= 2. 4 m, ∴ EG=EF-FG= 2. 4-1. 6 = 0. 8(m) . ∵ ∠ECG= ∠ACH,∠CGE= ∠CHA, ∴ △ECG∽△ACH. ∴ CG CH =EG AH . ∴ 1 18 = 0. 8 AH . ∴ AH= 14. 4 m. ∴ AB=AH+BH= 14. 4+1. 6 = 16(m) . ∴ 学校旗杆 AB 的高度为 16 m. 考点六　 位似图形的性质 17. B 18. (4,8)或( -4,-8) 　 【解析】∵ △ABC 和△A1B1C1 的相 似比为 1 2 ,并且△ABC 和△A1B1C1 是关于原点 O 的位 似图形,点 A 的坐标是(2,4),∴ 点 A 对应点 A1 的坐标 是(2×2,2×4)或(-2×2,-2×4),即(4,8)或(-4,-8) . 19.解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求作. (2)如图,△A2B2C2 即为所求作,点 B2 的坐标是(-4,-6). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 68·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·69　 · 考点七　 与相似有关的动点问题 20.解:∵ 动点 P 从点 A 开始沿 AB 运动,速度为 4 cm / s,动 点 Q 从点 B 开始沿 BC 运动,速度为 8 cm / s, ∴ AP= 4t cm,BP= (16-4t)cm,BQ= 8t cm. ∵ ∠PBQ= ∠ABC, ∴ 当BP BA =BQ BC 时,△BPQ∽△BAC, 即 16-4t 16 = 8t 32 ,解得 t= 2; 当 BP BC =BQ BA 时,△BPQ∽△BCA, 即 16-4t 32 = 8t 16 ,解得 t= 0. 8. ∴ 当△QBP 与△ABC 相似时,t 的值为 2 或 0. 8. 21. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠ADE= ∠BFE. ∵ E 是 AB 的中点,∴ AE=BE. 在△ADE 和△BFE 中, ∠ADE= ∠BFE, ∠AED= ∠BEF, AE=BE, { ∴ △ADE≌△BFE(AAS) . (2)①证明:如图 2,过点 B 作 BN∥HC 交 EF 于点 N. ∵ △ADE≌△BFE,∴ BF=AD=BC. ∴ B 为 FC 的中点. ∵ BN∥HC,∴ BN= 1 2 HC. 由(1)的方法,可知△ADK≌△BFN,∴ AK=BN. ∴ HC= 2AK. 图 2 图 3 ②解:如图 3,当 G 为 BC 的中点时,过点 G 作 GM∥DF 交 HC 于点 M. ∵ G 是边 BC 的中点,∴ CG= 1 2 BC= 1 4 CF. ∵ GM∥DF,∴ △CMG ∽△CHF. ∴ GM FH =CG CF = 1 4 . ∵ AD∥CF,∴ △AHD∽△GHF. ∴ DH FH = AH GH =AD GF = 2 3 . ∴ GM DH = 3 8 . ∵ AK∥HC,GM∥DF,∴ △AHK∽△HGM. ∴ HK GM = AH HG = 2 3 . ∴ HK HD = 1 4 ,即 HD= 4HK. ∴ n= 4. 第四章学业水平测试 1. B　 2. C　 3. C　 4. B　 5. C　 6. C　 7. D 8. B　 【解析】“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角 形的三边的长分别为 2,2 5 ,4 2 ; “车”“炮”之间的距离为 1, “炮”②之间的距离为 5 ,“车”②之间的距离为 2 2 . ∵ 5 2 5 = 2 2 4 2 = 1 2 ,∴ “马”应落在②的位置. 故选 B. 9. A　 【解析】如图,设 BC 与 DF 交于点 G. ∵ △ABC 沿 AB 边平移到△DEF 的位置, ∴ AC∥DF. ∴ △ABC∽△DBG. ∴ S△DBG S△ABC = DB AB( ) 2 = 1 2 . ∴ AB ∶ DB= 2 ∶ 1. ∵ AB= 2 ,∴ DB= 1. ∴ AD= 2 -1. 故选 A. 10. B　 【解析】各个点字母标注如图. 由已知,得△DEF∽△FGH. ∴ EF GH =DE FG ,即 6 x = 9-6 6-x . 解得 x= 4. 故选 B. 11. 2 12. ∠ABC= ∠ACD(答案不唯一) 13. a= 2b　 【解析】∵ 小矩形与原矩形相似,原矩形纸片的 长与宽分别为 a,b,小矩形的长和宽分别为 b, 1 4 a, ∴ 1 4 a b = b a . ∴ a2 = 4b2 . ∴ a= 2b(负值舍去) . 14. 24　 【解析】∵ AB∥EM∥DC,AE=ED,EF∥BC, ∴ BM ∶ MC=AE ∶ ED= 1,四边形 EFCM 是平行四边形. ∴ BM=MC,MC=EF= 12 cm. ∴ BC= 2MC= 24 cm. 15. 36°　 【解析】∵ D 是线段 AB 的一个黄金分割点, ∴ AD2 =BD·AB. ∵ AD=AC=BC,∴ BC2 =BD·AB, 即 BC ∶ BD=AB ∶ BC. ∵ ∠ABC= ∠CBD, ∴ △BAC∽△BCD. ∴ ∠BAC= ∠BCD. 设∠BAC 的度数为 x,则∠B 的度数为 x,∠BCD 的度 数为 x,∴ ∠ADC= ∠BCD+∠B= 2x. ∵ AC=AD,∴ ∠ACD= ∠ADC= 2x. 在 Rt△ADC 中,∠A+∠ACD+∠ADC= 180°, ∴ x+2x+2x= 180°. 解得 x= 36°. 16. ①②③　 【解析】由题意,得 AC= 2AB,AD= 2AE, ∴ AC AB =AD AE . ∵ ∠BAC= ∠EAD,∴ ∠BAE= ∠CAD. ∴ △BAE∽△CAD. ∴ ①正确; ∵ △BAE∽△CAD,∴ ∠BEA= ∠CDA. ∵ ∠PME= ∠AMD,∴ △PME∽△AMD. ∴ MP MA =ME MD . ∴ MP·MD=MA·ME. ∴ ②正确; ∵ ∠PMA= ∠EMD, ∴ △PMA∽△EMD. ∴ ∠APD= ∠DEA= 90°. ∵ ∠CAE= 180°-∠BAC-∠EAD= 90°, ∴ △CAP∽△CMA. ∴ CA CM =CD CA . ∴ CA2 =CP·CM. ∵ AC= 2CB,∴ 2CB2 =CP·CM. ∴ ③正确. ∴ 正确的结论有①②③. 17.解:∵ DE∥BC,∴ AD AB =AE AC = 4 4+2 = 2 3 . ∵ DF∥AC,∴ AD AB =CF BC ,即CF 8 = 2 3 . ∴ CF= 16 3 . ∴ BF=BC-CF= 8-16 3 = 8 3 . 18.解:∵ AB⊥BC,DE⊥CE,∴ ∠ABC= ∠EDC= 90°. ∵ ∠ACB= ∠DCE,∴ △ABC∽△DEC. ∴ AB DE =BC EC ,即 AB 1. 5 = 14. 4 1. 35 . ∴ AB= 16. ∴ 书店水上部分 AB 的高度为 16 m. 19. (1)证明:∵ ∠C= 90°,△ACD 沿 AD 折叠, ∴ ∠C= ∠AED= 90°. ∴ ∠DEB= ∠C= 90°. 又∵ ∠EBD= ∠CBA,∴ △BDE∽△BAC. (2)解:在 Rt△ACB 中,由勾股定理,得 AB= 10. 由折叠的性质,知 AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°. ∴ BE=AB-AE= 10-6 = 4. 在 Rt△BDE 中,由勾股定理,得 DE2 +BE2 =BD2, 即 CD2 +42 = (8-CD) 2 . 解得 CD= 3. 在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得 AC2 +CD2 =AD2, 即 62 +32 =AD2 . 解得 AD= 3 5 . ∴ 线段 AD 的长度为 3 5 . 20. (1)证明:∵ AE⊥DE,∴ ∠AED= 90°. ∴ ∠AEB+∠CED= 90°. ∵ AB⊥BC,DC⊥BC, ∴ ∠B= ∠C= 90°,∠BAE+∠AEB= 90°. ∴ ∠BAE= ∠CED. ∴ △ABE∽△ECD. (2)解:在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 BE= 3, ∴ EC=BC-BE= 2. 由(1)知△ABE∽△ECD, ∴ AB EC =BE CD ,即 4 2 = 3 CD . ∴ CD= 3 2 . ∴ CD 的长为 3 2 . 21.解:(1)如图所示,△DEF 即为所求作. (2)点 E 在直线 OA 上. 理由如下: 设直线 OA 的表达式为 y= kx(k≠0) . 将点 A(3,2)代入,得 2 = 3k. 解得 k= 2 3 ∴ 直线 OA 的表达式为 y= 2 3 x. 当 x= 6 时,y= 2 3 ×6 = 4,且点 E 的坐标为(6,4) . ∴ 点 E 在直线 OA 上. (3)△OAB 与△DEF 是位似图形. 22.解:(1)①∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠BCD= 90°,∠ACB= ∠ACD= 45°. ∵ PM⊥BC,∴ ∠PMC= 90°. ∴ ∠ACB= ∠MPC= 45°. ∴ MC=PM. ∵ ∠EPF= ∠PMC+∠MCN= 90°, ∴ 四边形 PMCN 为正方形. ∵ AP= 2PC,∴ PC AC = 1 3 . ∵ PM⊥BC,AB⊥BC, ∴ PM∥AB. ∴ △CPM∽△CAB. ∴ PM AB =CP CA = 1 3 . ∴ PM a = 1 3 . ∴ PM= 1 3 a. ∴ 四边形 PMCN 的边 PM 的长是 1 3 a. ②∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠BCD= 90°,∠ACB= ∠ACD= 45°. ∵ PM⊥BC,∴ ∠PMC= 45°. ∴ ∠ACB= ∠MPC= 45°. ∴ MC=PM. ∵ ∠EPF= ∠PMC= ∠MCN= 90°, ∴ 四边形 PMCN 为正方形. ∵ AP=nPC,∴ CP CA = 1 n+1 . ∵ PM∥AB,∴ △CPM∽△CAB. ∴ PM AB =CP CA = 1 n+1 . ∴ PM a = 1 n+1 . ∴ PM= a n+1 . ∴ 四边形 PMCN 的面积是 a 2 (n+1) 2 . 故答案为 a2 (n+1) 2 . (2)如图,过点 P 分别作 PG⊥BC 于点 G,PH⊥CD 于 点 H. ∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ AB⊥BC,AD⊥CD. ∵ PG⊥BC,PH⊥CD,∠BCD= 90°, ∴ 四边形 PGCH 为矩形. ∴ ∠GPH= 90°. ∴ ∠GPM+∠MPH= 90°. ∵ ∠EPF= 90°, ∴ ∠HPN+∠MPH= 90°. ∴ ∠GPM= ∠HPN. ∵ ∠PGM= ∠PHN= 90°, ∴ △GPM∽△HPN. ∴ PM PN =PG PH . ∵ PG⊥BC,AB⊥BC,∴ PG∥AB. ∴ △CPG∽△CAB. ∴ PG AB =CP CA . ∵ PH⊥CD,AD⊥CD,∴ PH∥AD. ∴ △CPH∽△CAD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋