第2章 一元二次方程 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 · 5　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第二章考点梳理与复习 考点一　 一元二次方程的有关概念 1. 下列方程为一元二次方程的是 (　 　 ) A. x+ 1 x = 2 B. 3x2 +2x+1 C. x(x-1)= x D. x+ x-1 = 0 2. 把一元二次方程 5x(x-3)= 6-2x 化成一般形式后常数项是　 　 　 　 . 考点二　 一元二次方程的解法 3. 方程(x+3) 2 = 4 的根是 (　 　 ) A. x1 = -1,x2 = -5 B. x1 = 1,x2 = -5 C. x1 = x2 = -1 D. x1 = -1,x2 = 5 4. 用配方法解一元二次方程 2x2 -3x-1 = 0,配方正确的是 (　 　 ) A. x- 3 4( ) 2 = 17 16 B. x- 3 4( ) 2 = 1 2 　 　 　 C. x- 3 4( ) 2 = 13 4 D. x- 3 4( ) 2 = 11 4 5. 若一元二次方程 ax2 = b(ab>0)的两个根是 2m+1 和 m-4,则 b a = 　 　 　 　 . 6. 用括号中的方法解下列方程: (1)5(x+1) 2 = 4 5 (直接开平方法); (2)9(x-2) 2 = 4(x+1) 2(因式分解法); (3)4x2 +5 = 12x(配方法); (4)2x2 -3x-1 = 0(公式法) . 7. (新考法·阅读理解)阅读下列用因式分解法解方程的方法: ∵ (x+a)(x+b)= x2 +(a+b)x+ab,∴ x2 +(a+b)x+ab= (x+a)(x+b) . 这就是说,对于二次三项式 x2 +px+q,若能找到两个数 a,b,使 a+b= p, ab= q,{ 则有 x 2 +px+q = x2 +(a+b) x+ ab= (x+a)(x+b) . 这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”,即 a,b 的乘积等于常数项,a,b 的和为 一次项系数. 利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程. (1)x2 -3x-4 = 0; (2)x2 +4x-5 = 0. 考点三　 一元二次方程的根的判别式 8. 一元二次方程 2x2 +x-1 = 0 的根的情况是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 若关于 x 的方程 x2 -x-m= 0 有实数根,则实数 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m< 1 4 B. m≤ 1 4 C. m≥- 1 4 D. m>- 1 4 10. 已知方程□x2 -4x+2 = 0,在□中添加一个合适的数字,使该方程有两个不相等的实数根,则添加的 数字可以是　 　 　 　 . (填写一个符合要求的数字即可) 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +(2m+1)x+m-2 = 0. (1)求证:无论 m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)当该方程的判别式的值最小时,写出 m 的值,并求出此时方程的解. 考点四　 一元二次方程的根与系数的关系 12. 已知一元二次方程 x2 -6x-2 = 0 的两根分别为 m,n,则 m+n+mn 的值是 (　 　 ) A. 4 B. 3 C. -3 D. -4 13. 已知方程 x2 -3x+1 = 0 的两根为 x1,x2,不解方程,求下列各式的值: (1)(x1 -1)(x2 -1); (2)x21x2 +x1x22; (3) 1 x1 + 1 x2 ; (4)x21 +x22; (5) x2 x1 + x1 x2 ; (6) 1 x1 +1( ) 1x2 +1( ) . 14. 已知方程 x2 +4x-2m= 0 的一个根比另一个根小 4,求这两个根和 m 的值. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15. 设 x1,x2 是关于 x 的方程 x2 -4x+k+1 = 0 的两个实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得 x1x2 >x1 +x2 成立? 请说明理由. 考点五　 一元二次方程的应用 16. (原创题)“淄博烧烤”火出圈,淄博市政府为方便游客出行,开通了多条公交专线,其中 13 号专线 的站点设置依次为齐鲁医药学院—联通路—姜萌路……周村古商城(大街),已知齐鲁医药学院和 周村古商城(大街)这两个站点之间一共设计了 90 种往返乘车方案,求这条线路一共有多少个站 点. 设这条线路共有 x 个站点,根据题意,下列方程正确的是 (　 　 ) A. x(x+1)= 90　 　 　 　 B. x(x-1)= 90　 　 　 　 C. 1 2 x(x+1)= 90　 　 　 　 D. 1 2 x(x-1)= 90 17. 若两个连续正奇数的积是 143,则这两个奇数的和是　 　 　 　 . 18. 如图,在一幅长 80 cm,宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成 一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是 5 400 cm2,那么金色纸边的宽为 cm. 19. 近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促 销活动. 某款燃油汽车今年 2 月份售价为 23 万元,4 月份售价为 18. 63 万元,设该款汽车这两个月 售价的月平均降价率是 x,则列方程为 . 20. 为改善生态环境,建设美丽乡村,某村规划将一块长 18 米,宽 10 米的矩形场地建设成绿化广场,建 设方案如图,在矩形场地内部修建三条宽相等的小路,其中一条路与广场的长平行,另两条路与广 场的宽平行,其余区域种植绿化,使绿化区域的面积为广场总面积的 80%. (1)求该广场绿化区域的面积; (2)求广场中间小路的宽. 21. 某公司设计了一款工艺品,每件的成本是 40 元,为了合理定价,投放市场进行试销. 据市场调查,销 售单价是 50 元时,每天的销售量是 100 件,而销售单价每提高 1 元,每天的销售量就减少 2 件,但要 求销售单价不得超过 65 元. (1)若销售单价为每件 60 元,求每天的销售利润; (2)要使每天销售这种工艺品盈利 1 350 元,那么每件工艺品售价应为多少元? 22. 劳动是财富的源泉,也是幸福的源泉. 某中学对劳动教育进行积极探索和实践,创建学生劳动教育 基地,让学生参与到农耕劳作中. 如图,现准备利用校园围墙的一段 MN(MN 最长可用 25 m) 和 40 m 长的篱笆,围成一个矩形菜园 ABCD. (1)当 AB 的长度为多少时,矩形菜园的面积为 150 m2? (2)能否围成面积为 210 m2 的矩形菜园? 为什么? 考点六　 一元二次方程的创新应用 23. 如图,在边长为 12 cm 的等边三角形 ABC 中,点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以每秒 1 cm 的速度移 动,点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以每秒 2 cm 的速度移动,若点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发, 其中任意一点到达终点后,两点同时停止运动,连接 PQ. 求: (1)第 4 s 时,BP= cm,BQ= cm; (2)经过多少秒,△BPQ 是直角三角形? (3)经过多少秒,△BPQ 的面积等于 10 3 cm2? · 6·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·65　 · ∴ △PGF≌△CBE(ASA) . ∴ BE=FG. (2)解:由(1)知,FG=EB. ∵ ∠BCE= 90°,M 是 BE 的中点,CM= 1, ∴ BE= 2CM= 2. ∴ FG= 2. 故答案为 2. 【应用】解:由【探究】(2),得 BE= 2ME= 2CM= 6. ∴ ME= 3. 由【探究】(1),得 CG=BE= 6. ∵ BE⊥CG,∴ S四边形GMCE = 1 2 CG·ME= 1 2 ×6×3 = 9. 故答案为 9. 第二章考点梳理与复习 考点一　 一元二次方程的有关概念 1. C　 2. -6 考点二　 一元二次方程的解法 3. A　 4. A 5. 9　 【解析】∵ ax2 = b,∴ x2 = b a . ∵ 一元二次方程 ax2 = b(ab>0)的两个根互为相反数, ∴ 2m+1+m-4 = 0. 解得 m= 1, 即一元二次方程 ax2 = b(ab>0)的两个根是 3 和-3. ∴ b a = 32 = 9. 6.解:(1)方程两边同时除以 5,得(x+1) 2 = 4 25 . 两边开平方,得 x+1 = ± 2 5 ,即 x+1 = 2 5 或 x+1 = - 2 5 . 解得 x1 = - 3 5 ,x2 = - 7 5 . (2)移项,得 9(x-2) 2 -4(x+1) 2 = 0. 整理,得[3(x-2) -2(x+1)][3(x-2) +2(x+1)] = 0, 即(x-8)(5x-4)= 0. 解得 x1 = 8,x2 = 4 5 . (3)移项,得 4x2 -12x+5 = 0. 配方,得 4x2 -12x+9-9+5 = 0, 即(2x-3) 2 = 4. 两边开平方,得 2x-3 = ±2, 即 2x-3 = 2 或 2x-3 = -2. 解得 x1 = 5 2 ,x2 = 1 2 . (4)由方程得 a= 2,b= -3,c= -1. ∵ b2 -4ac= ( -3) 2 -4×2×( -1)= 17>0, ∴ x= 3± 17 2×2 ,即 x1 = 3+ 17 4 ,x2 = 3- 17 4 . 7.解:(1)∵ x2 -3x-4 = 0, ∴ (x-4)(x+1)= 0. ∴ x-4 = 0 或 x+1 = 0. ∴ x1 = 4,x2 = -1. (2)∵ x2 +4x-5 = 0, ∴ (x+5)(x-1)= 0. ∴ x+5 = 0 或 x-1 = 0. ∴ x1 = -5,x2 = 1. 考点三　 一元二次方程的根的判别式 8. A　 9. C 10. 1(答案不唯一) 11. (1)证明:∵ Δ= (2m+1) 2 -4×1×(m-2) = 4m2 +4m+1- 4m+8 = 4m2 +9>0, ∴ 无论 m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根. (2)解:当 m= 0 时,判别式的值最小. 把 m= 0 代入原方程,得 x2 +x-2 = 0,(x+2)(x-1)= 0, 解得 x1 = -2,x2 = 1. 考点四　 一元二次方程的根与系数的关系 12. A 13.解:由题意,得 x1 +x2 = 3,x1x2 = 1. (1)原式=x1x2 -x1 -x2 +1=x1x2 -(x1 +x2)+1= 1-3+1= -1. (2)原式= x1x2(x1 +x2)= 1×3 = 3. (3)原式= x1 +x2 x1x2 = 3 1 = 3. (4)原式= (x1 +x2) 2 -2x1x2 = 32 -2×1 = 9-2 = 7. (5)原式= x21 +x22 x1x2 = 7 1 = 7. (6)原式= 1+x1 x1 · 1+x2 x2 = 1+x1 +x2 +x1x2 x1x2 = 1+3+1 1 = 5. 14.解:设 α,β 是方程 x2 +4x-2m= 0 的两个根,且 α≤β. ∵ 方程 x2 +4x-2m= 0 的一个根比另一个根小 4, ∴ α+β= -4,α·β= -2m,α=β-4. 解得 α= -4,β= 0,m= 0. ∴ 此方程的两个根为-4 和 0,m 的值为 0. 15.解:(1)∵ 方程有实数根, ∴ ( -4) 2 -4(k+1)≥0. 解得 k≤3. ∴ k 的取值范围为 k≤3. (2)不存在实数 k,使 x1x2 >x1 +x2 成立. 理由如下: x1x2 = k+1,x1 +x2 = 4. ∵ x1x2 >x1 +x2,∴ k+1>4. ∴ k>3. ∵ k≤3, ∴ 不存在实数 k,使得 x1x2 >x1 +x2 成立. 考点五　 一元二次方程的应用 16. B 17. 24　 【解析】设其中较小的奇数为 x,则较大的奇数为 (x+2) . 依题意,得 x(x+2)= 143. 解得 x1 = 11,x2 = -13(不合题意,舍去) . ∴ x+(x+2)= 11+(11+2)= 24. 18. 5　 【解析】设金色纸边的宽为 x cm,则矩形挂图的长 为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm. 依题意,得(80+2x)(50+2x)= 5 400, 整理,得 x2 +65x-350 = 0. 解得 x1 = 5,x2 = -70(不合题意,舍去) . ∴ 金色纸边的宽为 5 cm. 19. 23(1-x) 2 = 18. 63 20.解:(1)18×10×80% = 144(平方米) . ∴ 该广场绿化区域的面积为 144 平方米. (2)设广场中间小路的宽为 x 米, 依题意,得(18-2x)(10-x)= 144, 整理,得 x2 -19x+18 = 0. 解得 x1 = 1,x2 = 18(不合题意,舍去) . ∴ 广场中间小路的宽为 1 米. 21.解:(1)(60-40) ×[100-(60-50) ×2] = 1 600(元) . 答:销售单价为 60 元时,每天的销售利润为 1 600 元. (2)设每件工艺品售价为 x 元,则每天的销售量为 [100-2(x-50)]件. 依题意,得(x-40)[100-2(x-50)] = 1 350, 整理,得 x2 -140x+4 675 = 0. 解得 x1 = 55,x2 = 85(不合题意,舍去) . 答:每件工艺品售价应为 55 元. 22.解:(1)设当 AB 的长度为 x m 时,矩形菜园的面积为 150 m2, 根据题意,得 x(40-2x)= 150, 整理,得 2x2 -40x+150 = 0. 解得 x= 5 或 15. ∵ 当 x= 5 时,40-2x= 30,30>25,不符合题意, ∴ x= 5 舍去. ∴ 当 AB 的长度为 15 m 时,矩形菜园的面积为 150 m2 . (2)不能围成面积为 210 m2 的矩形菜园. 理由如下: 若矩形菜园的面积为 210 m2,则 x(40-2x)= 210, 即 2x2 -40x+210 = 0,Δ= b2 -4ac= ( -40) 2 -4×2×210<0, 方程没有实数根, ∴ 不能围成面积为 210 m2 的矩形菜园. 考点六　 一元二次方程的创新应用 23.解:(1)8　 8　 (2)∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=BC= 12 cm,∠B= ∠C= ∠A= 60°. 设 P,Q 两点的运动时间为 t s, 则 AP= t cm,BP= (12-t)cm,BQ= 2t cm. 当∠PQB= 90°时,∠BPQ= 30°,∴ BP= 2BQ. ∴ 12-t= 2×2t,即 12-t= 4t. 解得 t= 12 5 . 当∠BPQ= 90°时,∠PQB= 30°,∴ BP= 1 2 BQ. ∴ 12-t= 1 2 ×2t,即 12-t= t. 解得 t= 6. 综上所述,经过12 5 s 或 6 s,△BPQ 是直角三角形. (3)如图,过点 Q 作 QD⊥AB,垂足为 D. ∵ ∠B= 60°, ∴ ∠DQB= 30°. ∴ BD= 1 2 BQ= t cm. 在 Rt△BDQ 中,由勾股定理, 得 QD= BQ2 -BD2 = 3 t cm. ∴ S△BPQ = 1 2 ·BP·QD= 1 2 (12-t) × 3 t= 10 3 . 解得 t1 = 10,t2 = 2. ∵ 当 t= 10 时,2t= 20,20>12,不符合题意, ∴ 经过 2 s,△BPQ 的面积等于 10 3 cm2 . 第二章学业水平测试 1. B　 2. D　 3. D　 4. B　 5. C　 6. A　 7. B　 8. C　 9. C　 10. B 11. x1 = 2+ 5 ,x2 = 2- 5 　 12. 5 2 或- 3 2 13. -2≤k<2　 【解析】∵ 一元二次方程 x2 - 2k+4 x+k = 0 有两个不相等的实数根,∴ b2 -4ac>0,且 2k+4≥0. 则 4-2k>0,① 2k+4≥0,②{ 由①,得 k< 2,由②,得 k≥ - 2,∴ 不等式组的解集为 -2≤k<2,即 k 的取值范围为-2≤k<2. 14. 3 15. 24　 【解析】依题意,得 1 + 2 + 3 +…+a = 300,整理,得 a2 +a-600 = 0. 解得 a1 = 24,a2 = -25(不合题意,舍去) . ∴ a 的值为 24. 16. 1 或 7 或 4+ 23 　 【解析】如图所示,过点 Q 作 QE⊥ AB 于点 E,则 QE= 1 2 BQ. 当运动时间为 t s 时, AP= t cm,BQ= 4t cm,PB= | 8-t | cm,QE= 2t cm. 依题意,得 1 2 | 8-t |·2t= 7. 当 0<t≤8 时,t2 -8t+7 = 0,解得 t1 = 1,t2 = 7; 当 t>8 时,t2 -8t-7 = 0, 解得 t1 = 4- 23 (不合题意,舍去),t2 = 4+ 23 . 综上所述,经过 1 s 或 7 s 或(4+ 23 )s 时,△PBQ 的面 积等于 7 cm2 . 17.解:(1)∵ x2 -4 = 0,∴ x2 = 4. 解得 x1 = 2,x2 = -2. (2)∵ 3x2 -6x+1 = 0, ∴ 3x2 -6x= -1. ∴ x2 -2x= - 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋