第1章 特殊平行四边形 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（北师大版）

全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 · 1　 · 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　上册 第一章考点梳理与复习 考点一　 菱形的性质与判定 1. 如图,若四边形 ABCD 是菱形,则下列结论不成立的是 (　 　 ) A. AB=AD B. AC=BD C. BD 垂直平分 AC D. ∠BAD= ∠BCD 2. 菱形的两条对角线分别为 6 和 8,则菱形的周长为　 　 　 　 . 3. 在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2),B( -2 3 ,0),C(0,-2),D(2 3 ,0),则以这四个点为顶点的四 边形 ABCD 是 形. 4. 如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,BE=BF,DE,DF 分别与 AC 交于点 M,N. 求证:(1)△ADE≌△CDF; (2)ME=NF. 5. 如图,△ABC 是等边三角形,BC= 6,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 上的点,DE=EF,∠DEF= 60°. (1)求证:BD=CE; (2)当 BE 的长为多少时,四边形 ADEF 是菱形? 请说明理由. 考点二　 矩形的性质与判定 6. 添加下列一个条件,能使平行四边形 ABCD 成为矩形的是 (　 　 ) A. AB=CD　 　 　 B. AC⊥BD　 　 C. ∠BAD= 90° D. AB=BC 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,D 是斜边 AB 的中点,DE 平分∠ADC,BC= 4,则 DE 的长为(　 　 ) A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 8. (易错题)如图,在矩形 ABCD 中,AD= 2,点 P 是直线 AD 上一动点,若满足△PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个,则 AB 的长为　 　 　 　 . 9. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC = 10,P,Q 分别是 AO,AD 的中点,则 PQ 的 长为 . 10. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 是菱形; (2)若∠DOA= 60°,AC 的长为 8 cm,求菱形的对角线 CD 的长. 11. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于点 E,F 是 AC 上的一点,且 CF=AE,连接 EF. (1)求证:四边形 CDEF 是矩形; (2)若 AF= 2,∠B= 30°,求△ABD 的面积. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　 正方形的性质与判定 12. 已知四边形 ABCD 是平行四边形,再从①AB =BC,②∠ABC = 90°,③AC = BD,④AC⊥BD 四个条件 中,选两个作为补充条件后,使得四边形 ABCD 是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是(　 　 ) A. 选①② B. 选①③ C. 选②④ D. 选②③ 13. 边长为 4 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放,则△ABC 的面积为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 14. 如图,正方形 ABCD 的边长为 5,点 E,F 分别在边 AD,DC 上,AE=DF= 2,BE 与 AF 相交于点 G,H 是 BF 的中点,连接 GH,则 GH 的长为 . 15. 已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG,M 是 AF 的中点,连接 DM,EM. (1)如图 1,点 E 在 CD 上,点 G 在 BC 的延长线上,请判断 DM,EM 的数量关系与位置关系,并说明 理由; (2)如图 2,点 E 在 DC 的延长线上,点 G 在 BC 上,(1)中结论是否仍然成立? 请证明你的结论; (3)将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转,使 D,E,F 三点在一条直线上,若 AB = 13,CE = 5,请画出 图形,并直接写出 MF 的长. 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 图 2 　 考点四　 特殊平行四边形的综合题 16. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是 (　 　 ) A. 四条边相等,四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对边分别平行且相等 17. 如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 中,M 为对角线 BD 上一动点,ME⊥BC 于点 E, MF⊥CD 于点 F,则 EF 的最小值为　 　 　 　 . 18. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 AD 的中点,点 F,G 在 AB 上,EF⊥AB,OG∥EF, 连接 OE. (1)求证:四边形 OEFG 是矩形; (2)若 AD= 10,EF= 4,求 OE 和 BG 的长. 19. 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,AB 长为 2 2 ,E 为对角线 AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作 EF⊥DE,交射线 BC 于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形 DEFG,连接 CG. (1)求证:DE=EF; (2)探究 CE+CG 的值是否为定值,若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由. · 2·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册　 　 　 ·63　 · 参考答案及解析 (部分答案不唯一) 上册 第一章考点梳理与复习 考点一　 菱形的性质与判定 1. B　 2. 20 3. 菱　 【解析】∵ A(0,2),B(-2 3,0),C(0,-2),D(2 3,0), ∴ OA=OC,OB=OD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AC⊥BD,∴ 平行四边形 ABCD 是菱形. 4.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ DA=DC=AB=CB,∠DAE= ∠DCF. ∵ BE=BF,∴ AB-BE=CB-BF,即 AE=CF. 在△ADE 和△CDF 中, DA=DC, ∠DAE= ∠DCF, AE=CF, ì î í ïï ï ∴ △ADE≌△CDF(SAS) . (2)由(1)知,△ADE≌△CDF, ∴ ∠ADM= ∠CDN,DE=DF. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ ∠DAM= ∠DCN,AD=CD. ∵ ∠ADM= ∠CDN, ∴ △ADM≌△CDN(ASA) . ∴ ∠DMA= ∠DNC. ∵ ∠DMN= 180°-∠DMA,∠DNM= 180°-∠DNC, ∠DMA= ∠DNC, ∴ ∠DMN= ∠DNM. ∴ DM=DN. ∴ DE-DM=DF-DN. ∴ ME=NF. 5. (1)证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=BC=AC= 6,∠B= 60°. ∵ ∠DEF= 60°,∠DEC= ∠DEF+∠CEF= ∠B+∠BDE, ∴ ∠BDE= ∠CEF. 在△BED 和△CFE 中, ∠B= ∠C, ∠BDE= ∠CEF, DE=EF, ì î í ïï ï ∴ △BED≌△CFE(AAS) . ∴ BD=CE. (2)解:当 BE 的长为 3 时,四边形 ADEF 是菱形. 理由如下: ∵ BE= 3,BC= 6,∴ CE=BC-BE= 3. 由(1)知,△BED≌△CFE,∴ BD=CE= 3,BE=CF= 3. ∴ AF=AC-CF= 3,AD=AB-BD= 3. ∵ ∠B= 60°,BD=BE, ∴ △BDE 是等边三角形. ∴ DE=BE= 3. ∴ AD=DE=EF=AF= 3. ∴ 四边形 ADEF 是菱形. 考点二　 矩形的性质与判定 6. C　 7. D　 8. 2 或 3 9. 2. 5　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC=BD= 10,BO=DO= 1 2 BD= 5. ∵ P,Q 分别是 AO,AD 的中点, ∴ PQ 是△AOD 的中位线. ∴ PQ= 1 2 DO= 2. 5. 10. (1)证明:∵ CE∥BD,DE∥AC, ∴ 四边形 CODE 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AC=BD,OA=OC= 1 2 AC,OB=OD= 1 2 BD. ∴ OC=OD. ∴ 平行四边形 CODE 是菱形. (2)解:在矩形 ABCD 中,OA=OB=OC=OD, 又∵ ∠DOA= 60°, ∴ △AOD 是等边三角形. ∴ AD=AO. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,AC= 8 cm, ∴ AO= 1 2 AC= 4 cm. ∴ AD= 4 cm. 在 Rt△ADC 中,AC= 8 cm,AD= 4 cm, ∴ DC= AC2 -AD2 = 4 3 cm. 11. (1)证明:∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠DAC= ∠DAE. ∵ DE∥AC,∴ ∠DAC= ∠ADE. ∴ ∠ADE= ∠DAE. ∴ AE=DE. ∵ CF=AE,∴ DE=CF. ∵ DE∥CF, ∴ 四边形 CDEF 是平行四边形. 又∵ ∠C= 90°, ∴ 平行四边形 CDEF 是矩形. (2)解:如图,过点 D 作 DG⊥AB 交 AB 于点 G. ∵ AD 是∠BAC 的平分线,∠C= 90°,∠B= 30°, ∴ DG=CD,∠CAB= 60°. ∴ ∠CAD= ∠BAD= 30°. ∵ 四边形 CFED 是矩形, ∴ ∠EFA= 90°,EF=CD. ∴ ∠AEF= 30°. 在 Rt△AEF 中,AE= 2AF= 2×2 = 4, ∴ CF=AE= 4. 在 Rt△AFE 中,∠EFA= 90°,AE= 4,AF= 2, ∴ EF= AE2 -AF2 = 2 3 . ∴ DG=CD=EF= 2 3 . 在 Rt△ACB 中,∠B= 30°,AC=CF+AF= 4+2 = 6. ∴ AB= 2AC= 2×6 = 12. ∴ S△ADB = 1 2 ·AB·DG= 1 2 ×12×2 3 = 12 3 . 考点三　 正方形的性质与判定 12. D　 13. 4 14. 34 2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BAE= ∠D= 90°,AB=AD. 在△ABE 和△DAF 中, AB=DA, ∠BAE= ∠D, AE=DF, ì î í ïï ï ∴ △ABE≌△DAF(SAS) . ∴ ∠ABE= ∠DAF. ∵ ∠ABE+∠BEA= 90°,∴ ∠DAF+∠BEA= 90°. ∴ ∠AGE= ∠BGF= 90°. ∵ H 是 BF 的中点,∴ GH= 1 2 BF. 在 Rt△BCF 中,BC= 5,CF=CD-DF= 5-2 = 3, ∴ BF= BC2 +CF2 = 34 . ∴ GH= 1 2 BF= 34 2 . 15.解:(1)DM=EM,DM⊥EM. 理由如下: 如图 1,延长 EM 交 AD 于点 H. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,四边形 CEFG 是正方形, ∴ ∠ADE= ∠DEF= 90°,AD=CD. ∴ AD∥EF. ∴ ∠MAH= ∠MFE. ∵ AM=FM,∠AMH= ∠FME. ∴ △AMH≌△FME(ASA) . ∴ MH=ME,AH=EF=EC,HM=EM. ∵ DH=AD-AH,DE=CD-CE, ∴ DH=DE. ∵ ∠EDH= 90°, ∴ △DHE 是等腰直角三角形且 M 为 HE 的中点. ∴ DM⊥EM,DM=ME. 图 1 (2)结论仍然成立. 证明如下: 如图 2,延长 EM 交 DA 的延长线于点 H. 图 2 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,四边形 CEFG 是正方形, ∴ ∠ADE= ∠DEF= 90°,AD=CD. ∴ AD∥EF. ∴ ∠MHA= ∠MEF. ∵ AM=FM,∠AMH= ∠FME, ∴ △AMH≌△FME(ASA) . ∴ MH=ME,AH=EF=EC,HM=EM. ∵ DH=DA+AH,DE=DC+CE,∴ DH=DE. ∵ ∠EDH= 90°, ∴ △DHE 是等腰直角三角形且 M 为 HE 的中点. ∴ DM=ME,DM⊥EM. (3)两种情况,如图 3,图 4,MF 的长为 157或 37 . 图 3 　 　 　 图 4 考点四　 特殊平行四边形的综合题 16. D　 【解析】矩形的四条边可能不相等,菱形的四个角 可能不相等,故 A 不符合题意;菱形的对角线可能不相 等,故 B 不符合题意;矩形的对角线可能不垂直,故 C 不符合题意;菱形、矩形、正方形都是特殊平行四边形, 都具有两组对边分别平行且相等的性质,故 D 符合题 意. 故选 D. 17. 3 2 　 【解析】如图,连接 MC. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BCD= 90°,∠DBC= 45°. ∵ ME⊥BC,MF⊥CD, ∴ 四边形 MECF 是矩形,∴ EF=MC. 当 MC⊥BD 时,MC 取得最小值, 此时△BCM 是等腰直角三角形. 在 Rt△BCD 在,BC=CD= 6. ∴ BD= BC2 +CD2 = 6 2 . ∵ △BCM 是等腰直角三角形, ∴ MC= 1 2 BD= 1 2 ×6 2 = 3 2 . ∴ EF 的最小值为 3 2 . 18. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OB=OD. ∵ E 是 AD 的中点,∴ OE 是△ABD 的中位线. ∴ OE∥FG. ∵ OG∥EF,∴ 四边形 OEFG 是平行四边形. ∵ EF⊥AB,∴ ∠EFG= 90°. ∴ 平行四边形 OEFG 是矩形. (2)解:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BD⊥AC,AB=AD= 10. ∴ ∠AOD= 90°. ∵ E 是 AD 的中点,∴ OE=AE= 1 2 AD= 5. 由(1)知,四边形 OEFG 是矩形,∴ FG=OE= 5. ∵ EF⊥AB,∴ ∠AFE= 90°. 在 Rt△AFE 中,∵ AE= 5,EF= 4, ∴ AF= AE2 -EF2 = 3. ∴ BG=AB-AF-FG= 10-3-5 = 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19. (1)证明:如图,过点 E 作 EM⊥BC 于点 M,EN⊥CD 于 点 N,∵ ∠BCD= 90°, ∴ ∠MEN= 90°. ∵ E 是正方形 ABCD 对角线上的点, ∴ EM=EN. ∵ EF⊥DE, ∴ ∠DEF = 90°, ∵ ∠DEN = ∠DEF - ∠FEN, ∠MEF = ∠MEN-∠FEN,∠DEF= ∠MEN, ∴ ∠DEN= ∠MEF. 在△DEN 和△FEM 中, ∠DNE= ∠FME, EN=EM, ∠DEN= ∠FEM, ì î í ïï ï ∴ △DEN≌△FEM(ASA) . ∴ DE=EF. (2)解:CE+CG 的值是定值,定值为 4. ∵ EF=DE,四边形 DEFG 是矩形, ∴ 矩形 DEFG 是正方形. ∴ DE=DG,∠GDE= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=CD,∠ADC= 90°. ∵ ∠GDE= ∠ADC= 90°, ∴ ∠CDG+∠CDE= ∠ADE+∠CDE= 90°. ∴ ∠CDG= ∠ADE. ∴ △ADE≌△CDG(SAS) . ∴ AE=CG. 在 Rt△ABC 中,AB=BC= 2 2 , ∴ AC= AB2 +BC2 = 4. ∴ CE+CG=CE+AE=AC= 4. 第一章学业水平测试 1. C　 2. A　 3. C　 4. C　 5. C 6. B　 【解析】 ∵ ▱ABCD 的周长是 26 cm,∴ AB + AD = 13 cm,OB = OD. ∵ △AOD 的周长比 △AOB 的周长多 3 cm,∴ (OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)= AD-AB= 3 cm. ∴ AB= 5 cm,AD = 8 cm. ∴ BC = AD = 8 cm. ∵ AC⊥AB,E 是 BC 的中点,∴ AE= 1 2 BC= 4 cm. 故选 B. 7. B　 8. A　 9. C 10. D　 【解析】根据题意,设 DP= t cm,BM= t cm. ∵ AD= 10 cm,BC= 8 cm, ∴ AP=(10-t)cm,CM=(8-t)cm. 当四边形 ABMP 为矩形时,AP=BM, 即 10-t= t,解得 t= 5. 故 A 选项不符合题意; ∵ ∠A= ∠B= 90°,∴ AD∥BC. 当四边形 CDPM 为平行四边形时,DP=CM, 即 t= 8-t,解得 t= 4. 故 B 选项不符合题意; 当 CD=PM 时,分两种情况: ①四边形 CDPM 是平行四边形, 此时 CM=PD,即 8-t= t,解得 t= 4. ②四边形 CDPM 是等腰梯形, 如图,过点 M 作 MG⊥AD 于点 G,过点 C 作 CH⊥AD 于 点 H,则四边形 ABMG,ABCH 为矩形. ∴ ∠MGP= ∠CHD= 90°,AB=GM,AB=HC. ∴ GM=HC. ∵ PM=CD,GM=HC, ∴ Rt△MGP≌Rt△CHD(HL) . ∴ GP=HD. ∵ DH=AD-AH=AD-BC= 2, ∴ GP= 2. ∴ AG=AP+GP= 10-t+2. ∵ BM= t, ∴ 10-t+5 = t,解得 t= 6. 综上,当 CD=PM 时,t= 4 s 或 6 s. 故 C 选项不符合题意,D 选项符合题意. 故选 D. 11. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 12. 20°　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OD=OB. ∵ DE⊥BC 于点 E,∴ OE 为直角三角形 BED 斜边上的 中线. ∴ OE= 1 2 BD. ∴ OB=OE. ∴ ∠OBE= ∠OEB. ∵ ∠ABC= 140°,∴ ∠OBE= 70°. ∴ ∠OED= 90°-70° = 20°. 13. 8 cm　 【解析】根据折叠的性质,可知∠BAC= ∠EAC. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥CD. ∴ ∠BAC= ∠ACD. ∴ ∠EAC= ∠ACD. ∴ AO=CO= 5 cm. 在 Rt△ADO 中,DO= AO2 -AD2 = 3 cm. ∴ AB=CD=DO+CO= 3+5 = 8(cm) . 14. 5 cm　 【解析】如图,菱形 ABCD 对角线交于点 O. 设菱形的对角线长为 2x,2y, 则菱形的面积为 2xy= 24. 根据题意,得 2x-2y= 2,解得 x= 4,y= 3. ∴ AO= 3 cm,BO= 4 cm. ∵ 菱形对角线互相垂直, ∴ △ABO 为直角三角形. ∴ AB= AO2 +BO2 = 5 cm. 15. 5 16. 41 -3　 【解析】如图,连接 CM,CN. ∵ 在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 10,BC= 8, ∴ AB= AC2 +BC2 = 2 41 . ∵ DE= 6,点 M,N 分别是 DE,AB 的中点, ∴ CN= 1 2 AB= 41 ,CM= 1 2 DE= 3. 当 C,M,N 在同一直线上时,MN 取最小值, 此时 MN=CN-CM= 41 -3. ∴ MN 的最小值为 41 -3. 17.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠AEG= ∠BFG. ∵ ∠AEG= ∠BFG,∠AGE= ∠BGF,AG=BG, ∴ △AGE≌△BGF(AAS) . ∴ AE=BF. ∵ AE∥BF,∴ 四边形 AFBE 是平行四边形. ∵ EF⊥AB,∴ 平行四边形 AFBE 是菱形. 18.证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BAD= ∠ADC= 90°,AB=CD. ∵ △ADE 是等边三角形, ∴ ∠EAD= ∠ADE= 60°,AE=ED. ∴ ∠BAD-∠EAD= ∠ADC-∠ADE,即∠BAE= ∠CDE. 又∵ AB=CD,AE=ED, ∴ △ABE≌△DCE(SAS) . ∴ BE=CE. 19. (1)证明:∵ CF∥AB, ∴ ∠ADF= ∠CFD,∠DAC= ∠FCA. ∵ E 是 AC 的中点,∴ AE=CE. ∴ △ADE≌△CFE(AAS) . ∴ AD=CF. (2)解:当 AC⊥BC 时,四边形 ADCF 是菱形. 证明如下:由(1)知,AD=CF. ∵ AD∥CF,∴ 四边形 ADCF 是平行四边形. ∵ AC⊥BC,∴ △ABC 是直角三角形. ∵ 点 D 是 AB 的中点,∴ CD= 1 2 AB=AD. ∴ 四边形 ADCF 是菱形. 20.证明:(1)∵ F 是 BC 的中点,∴ BF=CF= 1 2 BC. ∵ BC= 2AD,∴ AD= 1 2 BC. ∴ AD=CF. ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 AFCD 是平行四边形. ∵ CD⊥BC,∴ ∠DCF= 90°. ∴ ▱AFCD 是矩形. (2)如图,连接 DF 交 CE 于点 G. ∵ BC= 2AD,F 是 BC 的中点, ∴ AD=BF. ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 ABFD 是平行四边形. ∴ AB∥DF. ∵ CE⊥AB,∴ CE⊥DF. ∵ F 是 BC 的中点,∴ EF= 1 2 BC=CF. ∴ DF 是线段 CE 的垂直平分线. ∴ GE=GC,∠DFE= ∠DFC. ∴ △DGE≌DGC(SAS) . ∴ DE=DC. 21. (1)证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB. ∵ ∠DAC= ∠B,∴ ∠DAC= ∠ACB. ∴ AD∥EC. ∵ AB=AC,E 是 BC 的中点, ∴ AE⊥BC. ∴ ∠AEC= 90°. ∴ ∠EAD= 180°-∠AEC= 90°. ∵ ∠D= 90°,∴ 四边形 AECD 为矩形. (2)解:当△AFG 为直角三角形时,有以下三种情况: ①当∠AGF= 90°时,∵ ∠CGF= 90°, ∴ ∠AGC= ∠AGF+∠CGF= 90°+90° = 180°. ∴ 点 G 在 AC 上,如图 1. 在 Rt△ADC 中,AD= 8,CD= 6, ∴ AC= AD2 +CD2 = 10. 由折叠知,CG=CD= 6,∴ AG=AC-CG= 10-6 = 4. 设 DF= x,则 AF= 8-x,GF=DF= x. 在 Rt△AGF 中,由勾股定理,得 AG2 +GF2 =AF2 . ∴ 42 +x2 = (8-x) 2 . 解得 x= 3. 在 Rt△CDF 中,CD= 6,DF= 3, ∴ CF= CD2 +DF2 = 62 +32 = 3 5 . 图 1 　 　 图 2 ②当∠AFG= 90°时,∵ ∠CGF= 90°, ∴ AF∥CG. ∴ 点 G 在 CE 上,如图 2. 此时四边形 AFGE 是矩形,∴ FG=AE=CD= 6. ∵ FG=DF,∴ DF=CD= 6. 在 Rt△CDF 中,∵ ∠D= 90°, ∴ CF= CD2 +DF2 = 62 +62 = 6 2 . ③当∠FAG= 90°时,点 G 在 AE 上, 此时 CG=CD= 6,而 CE=AD= 8, ∵ 斜边大于直角边,∴ 点 G 不可能在 AB 边上. 综上所述,CF 的长为 3 5或 6 2 . 22. 【感知】证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠BCE= ∠ABC= 90°. ∴ ∠ABE+∠CBE= 90°. ∵ AF⊥BE,∴ ∠ABE+∠BAF= 90°. ∴ ∠BAF= ∠CBE. 在△ABF 和△BCE 中, ∠BAF= ∠CBE, AB=BC, ∠ABF= ∠BCE, ì î í ïï ï ∴ △ABF≌△BCE(ASA) . 【探究】(1)证明:如图,过点 G 作 GP⊥BC 于点 P. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠A= ∠ABC= 90°. ∴ 四边形 ABPG 是矩形. ∴ PG=AB. ∴ PG=BC. 同【感知】的方法,得∠PGF= ∠CBE. 在△PGF 和△CBE 中, ∠PGF= ∠CBE, PG=CB, ∠FPG= ∠ECB, ì î í ïï ï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 64·　 　 　 全程复习大考卷·数学·BS·九年级全一册