直线与方程专题训练-2025届高三数学一轮复习

直线与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•临泉县校级期中）已知直线l经过点（2，﹣4），且与直线x+2y﹣8＝0平行，则直线l的方程为（　　） A．x+2y+6＝0 B．x+2y+8＝0 C．2x﹣y﹣8＝0 D．x﹣2y﹣6＝0 2．（2024秋•礼泉县期中）直线l：5x+9y﹣4＝0在y轴上的截距为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•赣州期末）直线y＝﹣x+1的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（2024秋•瑞丽市校级期中）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（　　） A．k≥k≤﹣4 B．﹣4≤k≤ C．k＜ D．≤k≤4 5．（2024秋•福州期中）“a＝2”是“直线l1：2ax+4y+3＝0与直线l2：（a﹣1）2x+y﹣5＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024春•榆林期末）已知正三棱锥O﹣ABC，满足OA⊥OB，OB⊥OC，OA⊥OC，OA＝3，点P在底面ABC上，且，则点P的轨迹长度为（　　） A． B． C． D．π 7．（2024•湖北模拟）设直线l：x+y﹣1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx（x≥0）向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N．若，则k的值为（　　） A． B． C． D．2 8．（2024秋•虹口区校级期中）定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A．或 B．或 C．或 D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•洛阳期中）已知直线l：mx﹣y+3m+1＝0，下列说法正确的是（　　） A．直线l过定点（﹣3，1） B．点P（1，﹣1）到直线l的最大距离为2 C．直线l一定经过第四象限 D．当m＝﹣1时，直线l关于直线x+2y﹣3＝0的对称直线为x+7y﹣28＝0 （多选）10．（2024秋•城中区校级期中）已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（﹣2，0），则下列结论中正确的是（　　） A．l与直线垂直 B．l的倾斜角等于150° C．l在y轴上的截距为 D．圆x2+y2＝1上存在两个点到直线l的距离等于1 （多选）11．（2024秋•青海月考）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系．将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题．结合上述观点，可满足方程的x的值可能是（　　） A． B． C． D． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•广西期中）若直线mx+2y﹣2＝0经过两直线5x﹣3y﹣17＝0和x﹣y﹣5＝0的交点，则m＝ 　 　． 13．（2024秋•静安区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y+7＝0与直线l2：6x﹣（m+1）y+1﹣m＝0平行，则l1与l2之间的距离为 　 　． 14．（2024秋•徐汇区校级期中）当点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）距离的最大值时，直线l的一般式方程是 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024秋•沈阳期中）已知△ABC中，顶点A（3，﹣5），AB边上的高线所在直线与直线x﹣2y+2＝0平行，∠ABC的平分线所在直线的方程为x﹣y﹣5＝0． （1）求顶点B的坐标； （2）求边BC所在直线的一般式方程． 16．（2024秋•临泉县校级期中）已知直线l1：ax+2y﹣a＝0，l2：x+（a﹣1）y+1＝0． （1）若l1⊥l2，求a的值及l1与l2的交点坐标； （2）若l1∥l2，求l1与l2间的距离． 17．（2024秋•雷州市月考）已知直线l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，记l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A． （1）当m＝2时，求原点关于直线l1的对称点坐标； （2）求证：不论m为何值，△ABC总有一个顶点为定点； （3）求△ABC面积的取值范围．（可直接利用对勾函数的单调性）． 18．（2024春•岳阳期末）已知平面内两个定点A（﹣2，0），B（2，0），满足直线PA与PB的斜率之积为的动点P的轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于不同两点M，N； （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若直线AM和AN的斜率之积为，求证：直线l过定点； （3）若直线l与直线l1：x+2y＝0，l2：x﹣2y＝0分别交于R、S．求证：|MR|＝|NS|． 19．（2024秋•浦东新区校级期中）过点A（x0，y0）作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，若k1k2＝μ（μ≠0），则称直线l1，l2是KA（μ）定积直线或定积直线． （1）已知直线a：y＝kx（k≠0），直线b：，试问是否存在点A，使得直线a，b是KA（μ）定积直线？请说明理由． （2）在△OPM中，O为坐标原点，点P与点M均在第一象限，且点M（x0，y0）在二次函数y＝x2﹣3的图象上．若直线OP与直线OM是K（0，0）（1）定积直线，直线OP与直线PM是KP（﹣2）定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标． （3）已知直线m与n是K（﹣2，4）（﹣4）定积直线，设点O（0，0）到直线m，n的距离分别为d1，d2，求d1d2的取值范围． 直线与方程专题训练-2025年高考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•临泉县校级期中）已知直线l经过点（2，﹣4），且与直线x+2y﹣8＝0平行，则直线l的方程为（　　） A．x+2y+6＝0 B．x+2y+8＝0 C．2x﹣y﹣8＝0 D．x﹣2y﹣6＝0 【解答】解：直线x+2y﹣8＝0的斜率为， 直线l与直线x+2y﹣8＝0平行，则直线l的斜率为， 直线l的方程为，即x+2y+6＝0． 故选：A． 2．（2024秋•礼泉县期中）直线l：5x+9y﹣4＝0在y轴上的截距为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在5x+9y﹣4＝0中，令x＝0，可得， 所以直线l在y轴上的截距为． 故选：A． 3．（2023秋•赣州期末）直线y＝﹣x+1的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【解答】解：因为直线y＝﹣x+1的斜率为k＝﹣， 所以直线的倾斜角为α，tanα＝﹣，所以α＝120°． 故选：C． 4．（2024秋•瑞丽市校级期中）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（　　） A．k≥k≤﹣4 B．﹣4≤k≤ C．k＜ D．≤k≤4 【解答】解：根据题意在坐标系中画出线段AB，如图所示： 根据直线斜率的计算公式可得：直线PA的斜率k＝，直线PB的斜率k′＝＝， 所以转动直线l，可以发现直线能够出现与x轴垂直的情况， 所以可得直线l的斜率k的取值范围是k≤﹣4或k≥． 故选：A． 5．（2024秋•福州期中）“a＝2”是“直线l1：2ax+4y+3＝0与直线l2：（a﹣1）2x+y﹣5＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：直线l1：2ax+4y+3＝0与直线l2：（a﹣1）2x+y﹣5＝0平行， 则2a﹣4（a﹣1）2＝0，解得a＝2或， 所以由a＝2可以得到l1∥l2，反之则不然， 故“a＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件． 故选：A． 6．（2024春•榆林期末）已知正三棱锥O﹣ABC，满足OA⊥OB，OB⊥OC，OA⊥OC，OA＝3，点P在底面ABC上，且，则点P的轨迹长度为（　　） A． B． C． D．π 【解答】解：因为OA⊥OB，OB⊥OC，OA⊥OC，OA＝3，所以， 设M为等边三角形ABC的中心，则OM⊥平面ABC， 连接BM，则，可得， 所以，可知点P在以点M为圆心，半径r＝的圆上， 根据点M到AC的距离为，可知该圆与△ABC的三边各有2个交点， 设圆弧与AB相交于E、F两点，作MH⊥AB，则， ，所以，可得， 可得点P的轨迹在△ABC内部的弧所对的圆心角为， 因此，点P轨迹对应的弧长为． 故选：C． 7．（2024•湖北模拟）设直线l：x+y﹣1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx（x≥0）向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N．若，则k的值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：根据题意得原点O关于直线l：x+y﹣1＝0的对称点为A（1，1）， 一束光线从原点O出发沿射线y＝kx（x≥0）向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M， 根据，解得，可知入射点P（，）； 由点A、P、M三点共线，解得M（1﹣k，0）． 设P关于x轴的对称点为P′（，）， 光线再次经x轴反射后与y轴交于点N．则P′、M、N三点共线， 设N（0，b），则，解得，即N（0，）， 所以，解得k＝（k＝不符合题意，舍去）． 故选：B． 8．（2024秋•虹口区校级期中）定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A．或 B．或 C．或 D． 【解答】解：直线经过点，则； ∴直线． 由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∴该等腰三角形的高等于斜边的一半． ∵0＜d＜1， ∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）； ∵当x＝1时，， 当x＝2时，， 当x＝3时，， ∴美丽抛物线的顶点只有B1B2． ①若B1为顶点，由，则； ②若B2为顶点，由，则， 综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•洛阳期中）已知直线l：mx﹣y+3m+1＝0，下列说法正确的是（　　） A．直线l过定点（﹣3，1） B．点P（1，﹣1）到直线l的最大距离为2 C．直线l一定经过第四象限 D．当m＝﹣1时，直线l关于直线x+2y﹣3＝0的对称直线为x+7y﹣28＝0 【解答】解：A中，直线l：mx﹣y+3m+1＝0整理可得：m（x+3）﹣y+1＝0，可得直线恒过定点M（﹣3，1），可得A正确； B中，当PM⊥l时，点P到直线l的距离最大，且最大值为|PM|＝＝2，所以B正确； C中，因为直线的斜率k＝m，定点M的坐标在第二象限，当m≥0时，直线不过第四象限，所以C不正确； D中，当m＝﹣1时，直线l的方程为x+y+2＝0，联立，解得x＝﹣7，y＝5， 即直线的交点N（﹣7，5），取x+y+2＝0上一点M（﹣1，﹣1）， 设点M关于x+2y﹣3＝0的对称点M'（a，b）， 则， 解得a＝，b＝，即M'（，）， 所以kMN＝＝﹣，所以对称直线的方程为y﹣5＝﹣（x+7），即x+7y﹣28＝0，所以D正确． 故选：ABD． （多选）10．（2024秋•城中区校级期中）已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（﹣2，0），则下列结论中正确的是（　　） A．l与直线垂直 B．l的倾斜角等于150° C．l在y轴上的截距为 D．圆x2+y2＝1上存在两个点到直线l的距离等于1 【解答】解：因为直线l的一个方向向量， 可得直线l的斜率， 又直线l经过点（﹣2，0）， 代入点斜式方程可得，，即直线l的方程为：， 对于A，因为直线的斜率为， 又直线l的斜率， 因为﹣×＝﹣1，所以直线l与直线x﹣3y+1＝0垂直，所以A正确； 对于B，由直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为α，0°≤α＜180°， 则，所以α＝120°，所以B不正确； 对于C，令x＝0，代入直线l的方程可得， 即直线l在y轴上的截距等于，所以C不正确； 对于D，圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝＞r＝1， 因此直线l与圆x2+y2＝1相离， 又圆x2+y2＝1上点到直线l的最近距离为d﹣r＝﹣1＜1， 因此可得圆x2+y2＝1上存在两个点到直线l的距离等于1，故D正确． 故选：AD． （多选）11．（2024秋•青海月考）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系．将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题．结合上述观点，可满足方程的x的值可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由，得， 其几何意义为平面内一点（x，2）到两定点（3，0），（﹣3，0）距离之差的绝对值为， 由于， 故（x，2）在以点（3，0），（﹣3，0）为焦点，2a＝2的双曲线上， 即点（x，2）在双曲线上， 所以，解得． 故选：AC． 三．填空题（共3小题） 12．（2024秋•广西期中）若直线mx+2y﹣2＝0经过两直线5x﹣3y﹣17＝0和x﹣y﹣5＝0的交点，则m＝ 　10　． 【解答】解：联立，解得x＝1，y＝﹣4， 即两条直线的交点为（1，﹣4）， 由题意将点（1，﹣4）代入直线mx+2y﹣2＝0中，可得：m﹣8﹣2＝0， 解得m＝10． 故答案为：10． 13．（2024秋•静安区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y+7＝0与直线l2：6x﹣（m+1）y+1﹣m＝0平行，则l1与l2之间的距离为 　2　． 【解答】解：根据l1：3x﹣4y+7＝0与l2：6x﹣（m+1）y+1﹣m＝0平行， 可得﹣3（m+1）﹣（﹣4）×6＝0，解得m＝7． 所以l2方程为6x﹣8y﹣6＝0，即l2：3x﹣4y﹣3＝0． 可得l1与l2之间的距离． 故答案为：2． 14．（2024秋•徐汇区校级期中）当点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）距离的最大值时，直线l的一般式方程是 　3x+2y﹣5＝0．　． 【解答】解：∵直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0， ∴可将直线方程变形为x+y﹣2+（3x+y﹣4）λ＝0， ∴， 解得x＝1，y＝1， 由此可得直线系横过点A（1，1） 则P到直线l的最近距离为A，此时直线过P． P到直线l的最远距离为|PA|，此时直线垂直于PA． ∵， ∴直线l的斜率为， ∴， ∴， ∴直线l的一般方程为3x+2y﹣5＝0． 故答案为：3x+2y﹣5＝0． 四．解答题（共5小题） 15．（2024秋•沈阳期中）已知△ABC中，顶点A（3，﹣5），AB边上的高线所在直线与直线x﹣2y+2＝0平行，∠ABC的平分线所在直线的方程为x﹣y﹣5＝0． （1）求顶点B的坐标； （2）求边BC所在直线的一般式方程． 【解答】解：（1）AB边上的高线所在直线与直线x﹣2y+2＝0平行， 则可设AB边所在的直线方程为2x+y+c＝0， 点A在直线AB上， 则2×3﹣5+C＝0，解得C＝﹣1， 则AB边所在直线的方程为2x+y﹣1＝0， ，则顶点B的坐标为B（2，﹣3）． （2）设点A（3，﹣5）关于直线x﹣y﹣5＝0的对称点为D（x0，y0）， 则， 所以D（0，﹣2），直线BC的方程即为直线BD的方程， 因为，D（0，﹣2）， 所以，即x+2y+4＝0， 则直线BC的一般式方程为x+2y+4＝0． 16．（2024秋•临泉县校级期中）已知直线l1：ax+2y﹣a＝0，l2：x+（a﹣1）y+1＝0． （1）若l1⊥l2，求a的值及l1与l2的交点坐标； （2）若l1∥l2，求l1与l2间的距离． 【解答】解：（1）若l1⊥l2，直线l1：ax+2y﹣a＝0，l2：x+（a﹣1）y+1＝0， 则a+2（a﹣1）＝0，解得：， 则，l2：， 联立方程组，则l1与l2的交点坐标为． （2）若l1∥l2， 则a（a﹣1）＝2⇒a＝﹣1或a＝2， a＝2时，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y+1＝0，则l1与l2间的距离， 当a＝﹣1时，l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y+1＝0，则l1与l2间的距离， 当综上所述，l1与l2间的距离为或． 17．（2024秋•雷州市月考）已知直线l1：mx﹣y+m＝0，l2：x+my﹣m（m+1）＝0，l3：（m+1）x﹣y+（m+1）＝0，记l1∩l2＝C，l2∩l3＝B，l3∩l1＝A． （1）当m＝2时，求原点关于直线l1的对称点坐标； （2）求证：不论m为何值，△ABC总有一个顶点为定点； （3）求△ABC面积的取值范围．（可直接利用对勾函数的单调性）． 【解答】解：（1）当m＝2时，直线l1的方程为：2x﹣y+2＝0，且斜率k1＝2， 设原点关于直线l1的对称点为（x0，y0），则由斜率与中点坐标公式列方程得：， 解得：，故所求点的坐标为（﹣）． （2）证明：根据题意得 l1，l3交于A（﹣1，0），l2，l3交于B（0，m+1）， ∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（﹣1，0）． （3）由，得l1与l2的交点为：A（）， 由两点间距离公式得AB＝， 点C（﹣1，0）到l2的距离为：d＝＝， 三角形面积S＝＝••＝， 当m＝0时，有 ＝0； 当m＞0时，有＝∈（0，]； 当m＜0时，＝∈[﹣，0） 所以，，． 18．（2024春•岳阳期末）已知平面内两个定点A（﹣2，0），B（2，0），满足直线PA与PB的斜率之积为的动点P的轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于不同两点M，N； （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若直线AM和AN的斜率之积为，求证：直线l过定点； （3）若直线l与直线l1：x+2y＝0，l2：x﹣2y＝0分别交于R、S．求证：|MR|＝|NS|． 【解答】解：（1）设P（x，y）（x≠±2），由题有，化简得到， 所以曲线C的轨迹方程为； （2）证明：因为直线AM和AN的斜率之积为，所以直线l的斜率存在， 设l：y＝kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，消y得到（1﹣4k2）x2﹣8kbx﹣4b2﹣4＝0， 则Δ＝64k2b2+4（4b2+4）（1﹣4k2）＞0， ，， kAM•kAN＝＝＝＝， 化简整理得到2k2+kb﹣b2＝0，得到b＝2k或b＝﹣k， 当b＝2k时，y＝kx+2k＝k（x+2），直线过定点（﹣2，0）与A重合，不合题意， 当b＝﹣k，y＝kx﹣k＝k（x﹣1），直线过定点（1，0），所以直线l过定点； （3）由（2）知，， 所以MN的中点坐标为， 又易知直线直线l1：x+2y＝0，l2：x﹣2y＝0是双曲线的渐近线， 设R（x3，y3），S（x4，y4）， 由，消y得到（1﹣4k2）x2﹣8kbx﹣4b2＝0， 所以，， 得到RS的中点坐标为， 所以MN的中点与RS的中点重合，设中点为P，则|PR|＝|PS|，|PM|＝|PN|，从而有|MR|＝|NS|． 19．（2024秋•浦东新区校级期中）过点A（x0，y0）作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，若k1k2＝μ（μ≠0），则称直线l1，l2是KA（μ）定积直线或定积直线． （1）已知直线a：y＝kx（k≠0），直线b：，试问是否存在点A，使得直线a，b是KA（μ）定积直线？请说明理由． （2）在△OPM中，O为坐标原点，点P与点M均在第一象限，且点M（x0，y0）在二次函数y＝x2﹣3的图象上．若直线OP与直线OM是K（0，0）（1）定积直线，直线OP与直线PM是KP（﹣2）定积直线，直线OM与直线PM是定积直线，求点P的坐标． （3）已知直线m与n是K（﹣2，4）（﹣4）定积直线，设点O（0，0）到直线m，n的距离分别为d1，d2，求d1d2的取值范围． 【解答】解：（1）存在点A（0，0），使得a，b是KA（μ）定积直线，理由如下： 由题意可得k•， 由，解得， 故存在点A（0，0），使得a，b是KA（μ）定积直线，且． （2）设直线OM的斜率为（λ≠0），则直线OP的斜率为，直线PM的斜率为﹣2λ． 依题意得，得，即λx0＝1或﹣1． 直线OM的方程为y＝λx，因为点在直线OM上，所以， 因为点M在第一象限，所以，解得x0＝2或﹣2（舍去），，M（2，1）， 所以直线OP的方程为，直线PM的方程为y＝﹣2λ（x﹣2）+1＝﹣x+3， 由，得，即点P的坐标为（1，2）． （3）设直线m：y﹣4＝t（x+2），直线n：，其中t≠0， 则 ＝， ，当且仅当，即t2＝4时，等号成立， 所以，即0≤d1d2＜8， 故d1d2的取值范围为[0，8）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$