3.3抛物线课时训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3抛物线课时训练-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 6．抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，点为上一动点，线段的垂直平分线与交于点，那么（    ） A． B． C． D． 8．一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知点M是抛物线与圆的交点，点F为抛物线C的焦点，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为2 B．圆E与抛物线C至少有两条公切线 C．若圆E与抛物线C的准线相切，则轴 D．若圆E与抛物线C的准线交于P，Q两点，且，则 11．已知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，与轴交于点，与在第一、四象限的交点分别为，，则下列结论正确的是（   ） A．若轴，则 B．若轴，则 C． D． 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程是 ，点是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时， . 13．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则 . 四、解答题 15．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 16．如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 17．已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 18．已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 19．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D C A A C AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据条件，直接求出焦点坐标及准线方程，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：D. 2．C 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 3．A 【分析】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 4．D 【分析】延长AB，设AB交直线与点，应用抛物线的定义，将的周长转化为，再求的范围即可求解. 【详解】解：延长AB，设AB交直线与点， 由抛物线定义可知，， 所以的周长为, 又因为，所以， 所以的周长的取值范围是. 故选：D. 5．C 【分析】求出两点的纵坐标后可求的值. 【详解】设，，由题设 因为直线l的倾斜角为，故， 由可得，解得或， 故，，故， 故选：C. 6．A 【分析】设，结合抛物线的定义可得，，再根据面积关系运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则， 因为，即， 解得，则，即， 又因为的面积为，且，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 7．A 【分析】利用抛物线的定义判断即可. 【详解】因为抛物线，所以，准线为， 过点向准线作垂线交准线于点, 所以由抛物线的定义可得， 因为线段的垂直平分线与交于点，所以， 又因为，所以，当且仅当轴时等号成立. 故选：A 8．C 【分析】清洁钢球半径最大，则圆心必在抛物线的对称轴上，因此设圆心为设，圆能过抛物线底部（即顶点），只要到抛物线上点的距离的最小值是到顶点的距离，此距离的最大值即为所求结论． 【详解】设，是抛物线上任一点，显然， 抛物线内以为圆心的圆能过原点，则的最小值是， ， 所以时，取得最小值， 若，则点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意， 若，即，则时，，此时圆半径为，最大值是2. 故选：C． 9．AC 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 10．ACD 【分析】根据题意，联立直线与抛物线的方程，结合抛物线与圆的位置关系以及抛物线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】联立方程组，消去可得， 解得，因为，，所以， 于是，则的最小值为2，故A正确； 此时圆与抛物线只有一条公切线为轴，故B错误； 若圆E与抛物线C的准线相切，则，即， 到准线的距离为4，所以轴，故C正确； 由可得，则为等边三角形， 又焦点到准线的距离为4，则，故D正确； 故选：ACD 11．ABD 【分析】根据抛物线的方程，由点的坐标求点纵坐标判断A，由中位线性质判断B，根据平行线分线段成比例及抛物线的定义判断CD. 【详解】过分别作轴，轴于点，如图， 由题意，, 若轴，则，代入抛物线方程，可得，则， 故A正确； 若轴，则轴，由为中点可知，，故B正确； 由可知，由抛物线的定义知， 所以，故C错误D正确； 故选：ABD 12． 2 【分析】根据给定的抛物线方程求出求出准线方程；设，利用抛物线定义建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为； 设，则， 当且仅当时取等号，此时. 故答案为：；2 13． 【分析】利用抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 14． 【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，设、，结合韦达定理可得出，，利用斜率公式可求得的值. 【详解】当直线与轴重合时，直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 设点、，易知点， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，同理可得， 所以，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 15．(1)8 (2) 【分析】（1）求出直线方程，与抛物线方程联立，应用韦达定理，结合焦点弦长公式可得结果； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形的面积公式求解． 【详解】（1）∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1， ∴直线方程为， 由，得， 设，则， 则由抛物线焦点弦长公式得：． （2）点到直线的距离为， 则的面积． 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可得的坐标. （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则，故， 又在抛物线上，则，可得，故. （2）设，，由（1）知：， 所以，，又，故， 所以， 因为的斜率不为零，故设直线， 联立，整理得，且， 所以，，则，， 综上，， 当时，过定点； 当时，过定点，即共线，不合题意； 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， 而中点为，即为定值，得证. 17．(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得； （2）①联立直线和抛物线方程消元，利用判别式求得，求出坐标，结合抛物线定义可得，得证；②同理求得，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由得， 显然，， 设，，则，， ，，，． （2）设， 由得， 由得，    又，，； ①设直线AM的方程为：， 取，得，则， 而，． ②同理可得，， 而，． 18．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）令，联立抛物线并应用韦达定理求得、，写出线段的中点坐标，即可得轨迹方程； （2）令，，同（1）求得，，根据点在抛物线上、点差法求得， 写出直线并求坐标，应用两点式并假设推出矛盾，即可证结论. 【详解】（1）由题意，令，联立抛物线得， 若，则，， 所以， 而线段的中点坐标为， 所以中点的轨迹方程. （2）令，，同（1）可得，， 由且，则，即， 可设，令，则，即， 所以，， 若，即， 所以 所以， ， ，显然与矛盾， 综上，不成立，故，即，，在同一条直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法求得，进而求得，再应用两点式并假设推出矛盾为关键. 19．(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 (2)证明见解析 (3)是，． 【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解； （2）结合题意联立方程组和，化简即可求解； （3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明. 【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． （2）联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$