江苏省苏锡常镇四市2023-2024学年高三下学期教学情况调研（一）数学试题

3 2023－2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学 限时120分钟 满分150分 答案见14页 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则 A. B. C. D. 2.设，则 A.2 B.－1 C.242 D.243 3.已知平面向量，，满足，，，则与的夹角为 A. B. C. D. 4.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm）近似服从正态分布，且身高在168cm到176cm之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于176cm的约有 A.150人 B.300人 C.600人 D.900人 5.函数在区间内的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 6.在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为 A. B.2 C. D.4 7.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点，，作它的外接圆的切线，分别和，，所在直线交于点，，，则，，三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，，，则该三角形的Lemoine线的方程为 A. B. C. D. 8.已知正项数列满足，若，则 A. B.1 C. D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数，，，下列说法正确的有 A.若，则 B.若，则 C.若，则或 D.若，则 10.已知函数，则 A.的最小正周期为 B.的图象关于点对称 C.不等式无解 D.的最大值为 11.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，则 A.当时，平面 B.任意，三棱锥的体积是定值 C.存在，使得与平面所成的角为 D.当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知变量，的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，据此模型预测当时的值为________. 5 6 7 8 9 3.5 4 5 6 6.5 13.已知，，，则的最小值为________. 14.在平面直角坐标系中，已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点.记线段的中点为，若线段的中点在上，则的值为，的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：； （2）若，，求的周长. 16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. （1）证明：平面 （2）当二面角为135°时，求. 17.（15分）我国无人机产业发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 18.（17分）在平面直角坐标系中，已知点，过椭圆的上顶点作两条动直线，分别与交于另外两点，.当时，. （1）求的值； （2）若，，求和的值. 19.（17分）已知函数，函数. （1）若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. ①求的值； ②当，两点不重合时，求线段的长； （2）若，使得不等式成立，求的最小值. 3 2023－2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 1.D 一元二次不等式的解法＋集合间的关系 因为，（题眼），所以，故选D. 2.C 二项式定理 解法一 基本量法 的展开式的通项为，（题眼）所以，故选C. 解法二 赋值法 在中，令，得，所以；（题眼）令，得，（方法：求的展开式中各项系数之和，只需令即可）所以，故选C. 3.B 向量的夹角公式＋向量的线性运算＋向量的数量积 由，得，所以.（题眼） 解法一 基本量法 所以，设与的夹角为，（提醒：注意向量夹角的取值范围）则，所以，故选B. 解法二 数量积法 ，所以.又，所以，故选B. 4.A 正态分布 设样本的身高为，则，且该正态曲线关于直线对称，（题眼）所以，所以，所以，所以样本中身高不低于176cm的约有（人），故选A. 5.C 正弦函数的图象与性质 由，得.（题眼）（提示：函数的零点为，，解题时注意整体思想的应用）又当时，，所以当，，，，即，，，时，，所以在区间内共有4个零点，故选C. 6.B 双曲线的几何性质 因为为圆的直径，且点在该圆上，所以.不妨设点在渐近线上，则，（提示：直线倾斜角的正切值即该直线的斜率）即.（题眼）又，所以.在中，，即，整理得，（小结：在解题的过程中经常可以得到直角三角形，然后利用勾股定理建立方程，得到，（或，）的关系）所以，故选B. 方法技巧 求双曲线离心率（或取值范围）的方法：①根据已知条件列方程组，求出，的值，直接利用离心率计算公式求解；②根据已知条件得到一个关于，（或，）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）来求解. 7.B 圆的方程＋直线与圆的位置关系＋直线方程 设该三角形的外接圆的方程为，（方法：已知三点求圆的方程，一般采用圆的一般方程，利用待定系数法求解）则由题意得解得所以该圆的方程为，即.（题眼）如图，不妨设，，，易知该圆在处的切线方程为，在处的切线方程为，直线的方程为，（提醒：在利用截距式求直线方程时，注意横（纵）截距就是直线与轴交点的横（纵）坐标）令得，所以.直线的方程为，令得，所以.所以该三角形的Lemoine线的方程为，即，故选B. 8.D 数列的通项与前项和之间的关系 第1步：求的值 当时，，即. 第2步：求 当时，由，得，以上两式相减，得，又，所以，（题眼） 第3步：根据求的值 所以，又，所以，.因为，所以.因为，所以.因为，所以，所以，故选D. 方法技巧 已知数列的前项和为.根据与的关系求的常用思路：一是利用将已知关系式转化为的递推关系，再求；二是将已知关系式转化为的递推关系，先求出，再求. 9.AC 复数的运算＋共轭复数的概念＋复数的模 对于A，因为，所以由，得，所以，故A正确； 对于B，当，时，满足条件，但，且均不为0，故B不正确； 对于C，，即，所以或，即或，故C正确； 对于D，当，时，满足，但，故D不正确.综上所述，选AC. 10.BD 函数的周期性、最值＋函数图象的对称性＋不等式问题＋基本不等式＋诱导公式 对于A，因为，所以不是的周期，（方法：判断是否为函数的周期，只需判断是否成立即可）故A不正确. 对于B，因为，所以的图象关于点对称，（结论：若函数满足或，则函数的图象关于点对称）故B正确. 对于C，因为，所以不等式有解，故C不正确. 对于D，，（题眼）当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立.所以的最大值为，故D正确.综上所述，选BD. 11.ACD 线面垂直的判定定理＋三棱锥的体积＋直线与平面所成角＋球的截面问题 对于A，如图，连接，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，. 所以，，所以，.又，，平面，所以平面.当时，点与点重合，平面为平面.因为平面，所以平面，故A正确. 对于B，设点到平面BDE的距离为，则，其中为定值，而不与平面平行，所以点到平面的距离不为定值，（提示：直线与平面平行时，直线到平面的距离与直线上任意一点到平面的距离相等）所以三棱锥的体积不为定值，故B不正确. 对于C，由A知平面的一个法向量为.易得，设直线与平面所成的角为，则.连接，易得，.因为，，平面，所以平面.当与重合时，与平面所成的角的正弦值为，此时与平面所成的角小于；（提示：正弦函数在内单调递增）当与重合时，与平面所成的角为.所以存在，使与平面所成的角为，故C正确. 对于D，当时，，则，设平面的法向量为，则，令，则.易知该正方体的外接球球心为，则，所以到平面的距离，外接球半径，所以截面圆半径的平方，所以所求截面的面积，故D正确.综上所述，选ACD. 12.7.4 经验回归方程 由题表数据，得，.因为经验回归直线过样本点的中心，（题眼）所以，解得，（方法：求经验回归方程中参数，主要是根据经验回归直线必过样本点的中心建立方程求解）所以，当时，. 13. 对数运算＋利用导数求函数的最值 因为，即，所以，所以，即，（题眼）所以.令，（关键：通过对数运算得，将双变量变为单变量，从而构造函数）则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当，时取得. 14.2 5 抛物线的定义及性质＋直线与抛物线的位置关系 第1步：写出直线的方程，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系 由题意得，所以直线的方程为，设，，线段的中点为，由，消去并整理得，所以，，所以，（题眼） 第2步：利用中点坐标公式求点的坐标 所以，（提示：若，，则线段的中点的坐标为）所以. 第3步：由点在抛物线上求的值 因为点在抛物线上，所以，解得或（舍去）. 第4步：利用抛物线的定义及根与系数的关系求的值 由抛物线的定义，得，，（小结：重视抛物线定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径） 所以. 二级结论 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，且，，则（1），；（2）；（3），；（4）. 15.正弦定理＋两角和与差的正弦公式＋二倍角公式 解：（1）第1步：由正弦定理化条件等式中的边为角 中，由正弦定理得，所以，（方法：当等式中出现边的比值关系时，可考虑选用正弦定理化边为角） 即， （2分） 第2步：利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简 又， 所以， 整理得. （5分） 第3步：证结论 因为，所以， 又，所以， 所以或（舍去），即，得证. （7分） （2）第1步：由同角三角函数的基本关系求 因为，所以，（提醒：在利用同角三角函数的基本关系求函数值时，注意要先确定角的范围） 又，所以. 第2步：利用正弦定理、二倍角公式求边长 由（1）得，所以，即，（题眼） （9分） 在中，由正弦定理及，得，（方法：在三角形中，已知两角一边求边长时，选用正弦定理） 所以. （11分） 因为，所以，， 第3步：求结果 所以的周长为. （13分） 16.线面平行的判定定理＋二面角＋空间向量的应用 解：解法一 （1）第1步：作出相关辅助线 连接交于点，连接. 第2步：证线线平行 因为，所以， （2分） 又，所以，所以. （3分） 第3步：利用线面平行的判定定理证结论 由，平面，平面，得平面. （6分） （2）第1步：作二面角的平面角 过作于点，过作于点，连接. 因为平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以. 由，，得为二面角的平面角.（根据二面角的定义作出二面角的平面角是求解问题的关键） （9分） 第2步：结合题意得到线段相等 因为二面角为，所以， 所以在中，. （11分） 第3步：利用相似三角形相关知识求结果 设， 易知，所以，所以，. 因为，，所以，所以，即，所以. （13分） 由，得，得，即. （15分） 解法二 因为平面，，平面，所以，， 又，所以，，两两垂直.（找到两两垂直且交于一点的三条直线是建立空间直角坐标系的关键） 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1分） 设， 由题意可得，，，，. 由，得. （3分） 所以，. 设为平面的一个法向量， 则 取，则，得. （7分） （1）因为，所以，即，又平面，所以平面.（方法：用向量法证线面平行，即证平西外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直） （10分） （2）易知平面的一个法向量为. （12分） 因为二面角为，所以， 即，得，即. （15分） 17.二项分布＋离散型随机变量的分布列及数学期望＋全概率公式＋相互独立事件的概率公式 解：（1）第1步：确定随机变量的所有可能取值，判断其服从二项分布 由题知，起火点被无人机击中次数的所有可能取值为0，1，2，3，且，（题眼）（提醒：求离散型随机变量的分布列时，要特别注意随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布） 第2步：求出相应概率 所以；；；. （5分） 第3步：列出分布列，求数学期望 分布列如下： 0 1 2 3 由二项分布的期望公式可得.（提示：若，则） （8分） （2）第1步：求起火点被无人机击中次的相应概率 记起火点被无人机击中次为事件， 则，，， 第2步：利用相关概率公式求解 记起火点被扑灭为事件，则，，. （10分） ，（14分） 所以起火点被无人机击中且被扑灭的概率为. （15分） 考情速递 高考中概率与统计解答题常考常新，背景新颖、设问巧妙，就近生活实际，命题大多考查概率的求解、独立性检验、数学期望等，求解概率与统计问题时，要认真读题、审题，抓住问题的关键信息，准确利用数据进行计算和判断. 18.直线与椭圆的位置关系＋椭圆的几何性质＋直线的斜率 解：（1）第1步：由线段相等条件求点的坐标 由题意得. 因为，当时，， 所以且，（提示：等腰三角形三线合一性质的应用） 所以，即. （4分） 第2步：将点的坐标代入椭圆方程求的值 将点的坐标代入椭圆方程得，所以， 又，所以. （6分） （2）第1步：联立直线与椭圆的方程，将点的坐标用表示出来 由（1）得椭圆方程为. 由得， （8分） 解得，所以，即，（难点：计算比较复杂，计算量较大，需要有较强的计算能力） 第2步：通过斜率的关系判断，，三点共线 所以. （10分） 同理可得，. （12分） 因为，所以，所以，，三点共线.（题眼）（根据同一条直线上任意两点连线的斜率都相等判断出三点共线是求解问题的关键） （14分） 第3步：由建立方程求出，的值 由题易得，因为，所以，即. 因为，所以， 所以，所以. 因为且，所以. 所以，. （17分） 19.导数的几何意义＋利用导数研究存在性问题 解：（1）①第1步：由导数的几何意义求直线的方程 设，（提醒：求切线方程时，当切点的坐标未给出时，需先设出切点的坐标） 因为， 所以的斜率， 又过点，所以， 即，解得，（提示：导函数在切点处的函数值即切线的斜率） 所以，，所以的方程为. （3分） 第2步：联立方程，利用根的判别式求的值 联立得 得 ， 令，得或. （5分） ②当时，方程的根为2，故，此时，两点重合，不符合题意； （6分） 当时，方程的根为，故，此时，两点不重合，线段的长为.（提示：两点间距离公式的应用） 综上所述，当，两点不重合时，线段的长为. （8分） （2）第1步：由（1）得当时满足题意 当时，由（1）知，，即，使得不等式成立.（题眼） （9分） 第2步：证明恒成立 当时，下证对，不等式恒成立. 先证对，不等式恒成立.（i） 令，则.（难点：根据所证不等式构造函数） 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，，所以当时，， 所以（i）得证. （12分） 第3步：证明恒成立 再证对，不等式恒成立.（ii） 令，则的图象的对称轴为直线. 当时，，在上单调递减， 所以当时，，即； （14分） 当时，，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 所以（ii）得证. （16分） 第4步：求的最小值 由（i）（ii）可得，当时，对，不等式恒成立. 综上所述，当时，，使得不等式成立；当时，对，不等式无解.所以的最小值为1. （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$